信号与系统 第7章离散时间系统的时域分析
第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
7 离散时间系统的时域分析4
m m −1
+ … + b1s + b0
则有：D( s )[ y (k )] = N ( s )[e(k )]
§7.4 离散时间系统的零输入响应
2、零输入响应的解法 ① 一阶系统 y (k + 1) + a0 y (k ) = b0 e( k )
则：sy (k ) + a0 y (k ) = b0 e(k ) e( k ) = 0 根据 即： s + a0 ) y (k ) = 0 ( y (k + 1) = − a0 y (k )
例4：有一离散时间系统，用下列差分方程描写y(k+2)有一离散时间系统，用下列差分方程描写y(k+2)y(k+2) 3y(k+1)+2y(k)=e(k+1)-2e(k),系统的初始条件为 3y(k+1)+2y(k)=e(k+1)-2e(k),系统的初始条件为 (1)=1.求该系统的零输入响应 求该系统的零输入响应。 yzi(0)=0,yzi(1)=1.求该系统的零输入响应。
y ( k ) = cr k
(
r −1
+ ar −1k +
n j = r +1
r −2
+ ⋯ + c2 k + c1 vr
k j
)
k
∑c v
j
,k ≥ 0
式中c 为待定系数，可由初始条件y(0) y(0)， 式中c1，c2，…，cn为待定系数，可由初始条件y(0)， y(1)， y(n-1)确定 确定。 y(1)， …，y(n-1)确定。 注：共轭复根可配对（变幅正弦序列） 共轭复根可配对（变幅正弦序列）
自动控制理论课件第七章离散系统的时域分析
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
信号与系统：第七章 离散信号与系统时域分析
k 0 k 0
推广： 1)
U (k
j)
0, k 1, k
j j
2) AU (k), AU (k j)
性质：
f
(k)U
(k)
f
(k) 0
k 0 k 0
可见，U(k)作用类似于U(t)，
但二者有较大差别：
U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； U(k)：非奇异信号，可实现信号。
(k)与U(k)关系： (k) U(k) U(k 1)
y(k+1)Ey(k)
y(k-N)E-N y(k) y(k+N)EN y(k)
E-1 : 单位延迟算子
17
（2）算子形式的差分方程
1) uk 2 2a 1uk 1 u(k) 0 (E2 2a 1 E 1)u(k) 0
a
a
2） y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k)
[1-(1+a)E-1 ]y(k)=f(k)
周期：N 20 无周期
13
7-2 离散时间系统基本概念
一、定义： 二、分类：
激励、响应均为离散时间信号的系统。
线性系统 非线性系统
时不变系统 时变系统
因果系统 非因果系统
线性系统： f1(k) y1(k) f2 (k) y2 (k) af1(k) bf2(k) ay1(k) by2(k)
k
y(k) f (i) i
y(k)
k
f1(i)
i
0 k 0
1.5 2.5
k 0 k 1
2 k 2
5
5.差分: 序列与其移序序列的差而得到一个新序列。
y(k)=f(k)-f(k-1)
（后向差分）
离散时间信号与系统的时域分析实验报告
离散时间信号与系统的时域分析实验报告报告⼆：⼀、设计题⽬1．绘制信号)()(1k k f δ=和)2()(2-=k k f δ的波形2.绘制直流信号)()(1k k f ε=和)2(2-=k f ε的波形3绘制信号)()(6k G k f =的波形⼆实验⽬的1．掌握⽤MATLAB 绘制离散时间信号（序列）波形图的基本原理。
2．掌握⽤MATLAB 绘制典型的离散时间信号（序列）。
3．通过对离散信号波形的绘制与观察，加深理解离散信号的基本特性。
三、设计原理离散时间信号(也称为离放序列)是指在时间上的取值是离散的，只在⼀些离放的瞬间才有定义的,⽽在其他时间没有定义，简称离放信号(也称为离散序列) 序列的离散时间间隔是等间隔(均匀)的，取时间间隔为T.以f(kT)表⽰该离散序列,k 为整数(k=0,±1.±2，...)。
为了简便，取T=1.则f(kT)简记为f(k)， k 表⽰各函数值在序列中出现的序号。
序列f(k)的数学表达式可以写成闭合形式,也可逐⼀列出f(k)的值。
通常,把对应某序号K0的序列值称为序列的第K0个样点的“样点值”。
四、设计的过程及仿真1clear all; close all; clc;k1=-4;k2=4;k=k1:k2;n1=0;n2=2;f1=[(k-n1)==0];f2=[(k-n2)==0];subplot(1,2,1)stem(k,f1,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_1(k)');title('δ(k)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);subplot(1,2,2)stem(k,f2,'filled','-k','linewidth',2);ylabel('f_2(k)');title('δ(k-2)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:2c lear all; close all; clc;k1=-2;k2=8;k=k1:k2;n1=0;n2=2; %阶跃序列开始出现的位置f1=[(k-n1)>=0]; f2=[(k-n2)>=0];subplot(1,2,1)stem(k,f1,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_1(k)');title('ε(k)')axis([k1,k2+0.2,-0.1,1.1])subplot(1,2,2)stem(k,f2,'filled','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_2(k)');title('ε(k-2)')axis([k1,k2+0.2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:3clear all; close all; clc;k1=-2;k2=7;k=k1:k2; %建⽴时间序列n1=0;n2=6; f1=[(k-n1)>=0];f2=[(k-n2)>=0];f=f1-f2;stem(k,f,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f(k)');title('G_6(k)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:五、设计的结论及收获实现了⽤matlab绘制离散时间信号, 通过对离散信号波形的绘制与观察，加深理解离散信号的基本特性。
数字信号处理实验离散时间 LTI 系统的时域分析与 Z 域分析
实验一离散时间LTI系统的时域分析与Z域分析一、实验目的1、掌握用MATLAB求解离散时间系统的零状态响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应；2、掌握离散时间系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的稳定性。
二、实验原理1、离散时间系统的时域分析（1）离散时间系统的零状态响应离散时间LTI系统可用线性常系数差分方程来描述，即MATLAB中函数filter可对式（1-1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter的语句格式为：y=filter(b,a,x)其中，x为输入的离散序列；y为输出的离散序列；y的长度与x的长度一样；b与a分别为差分方程右端与左端的系数向量。
（2）离散时间系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应定义为系统在 (n)激励下系统的零状态响应，用h(n)表示。
MATLAB求解单位脉冲响有两种方法：一种是利用函数filter；另一种是利用函数impz。
impz函数的常用语句格式为impz(b,a,n)，其中b和a的定义见filter，n表示脉冲响应输出的序列个数。
（3）离散时间系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应定义为系统在ε(n)激励下系统的零状态响应。
MATLAB求解单位脉冲响应有两种方法：一种是利用函数filter，另一种是利用函数stepz。
stepz函数的常用语句格式为stepz(b,a,N)其中，b和a的定义见filter，N表示脉冲响应输出的序列个数。
2、离散时间系统的Z域分析(1)系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即如果系统函数H(z)的有理函数表示式为那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到。
roots的语法格式为：Z=roots(b)%计算零点b=[b1b2…bmbm+1]P=roots(a)%计算极点a=[a1a2…anan+1]tf2zp的语句格式为[Z,P,K]=tf2zp(b,a)其中，b与a分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。
离散时间系统的时域分析
§7.1 引言
离散时间信号通过将连续时间信号进行取样得到
f t 4.2
3.1
采样(sampling)过程就是对模拟信号的 时间取离散的量化值过程——得到离 散信号。
1.5 0.9 2T 3T
o
3
f q t
T
4
t
幅值量化——幅值只能分级变化。
2 1
o
T
2T
3T
t
§7.1 引言
• 经过量化的离散时间信号称 为数字信号(digital signal)
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: 拉氏变换法
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析: z变换法
§7.2 取样信号与取样定理
• 取样定理(抽样定理)
• 通常将这种方程形式称为前向预测差分方程 (forward difference equation)
§7.3 离散时间系统的描述和模拟
• 差分方程与微分方程相比 在取样间隔Ts足够小时
dy( t ) y[( k 1)Ts ] y( kTs ) 微分方程 dt Ts 也可写做 dy( t ) y( kTs ) y[( k 1)Ts ] dt Ts
x n
3 4 5
1 2
9 10 11 6 7 8
22
n
一个周期
§7.1 引言
信号xn sin0.4n是否为周期信号？
0 0.4
2π
0
5π是无理数 所以为非周期的序列
§7.1 引言
• 离散信号 sin n0与连续信号 sin 0 t 的关系 2 对连续信号 f t sin2πf 0 t sinΩ0 t Ω0 T 离散点（时刻）nT’上的正弦值
信号与系统chapter 7离散时间信号与系统的Z域分析
由此可见，位移特性Z域表达式中包含了系统的起始条 件，把时域差分方程转换为Z域代数方程，因此，可以方便 求出Z域的零输入响应和两状态响应。
式（7.3）又称为左移序性质，与拉普拉斯变换的时域 微分特性相当。式（7.4）又称右移序性质，与拉普拉斯变 换的时域积分特性相当。
进一步，对于因果序列 x ( n ) , x ( 1 ) 0 ,x ( 2 ) 0 , ,则
Z [nx(n)u(n)]zdd zn∞ 0znx(n)zdd zX(z)
求下列序列的Z变换。
(1) n 2 u ( n )
n(n 1)
(2)
u(n)
解：(1 )Z[n2 u(n)] zd d z 2zz 1 zd d z2 zd d z zz 1
dz
z2 z
z [
]
, z 1
zlnz1 1ln1 zzlnzz1,z1
（2）因为
Z1
u(n 1) , z 1 z 1
根据Z域积分特性，可得
∞1
X(z)
x 1dx∞
1
z dxln ,z1
2
z x1
z x(x1 )
z1
§ 6. 卷积和定理
若 x1(n)u(n) ZX 1(z),z Rx;x2(n)u(n) ZX2(z),z Rx，则 ：
第七章 离散时间信号与系统的Z域分析
7.1引言 7.2 Z 变换 7.3 Z 变换的性质 7.4 反变换 7.5离散时间系统的 Z 域分析 7.6离散时间系统的系统函数与系统特性 7.7离散时间系统的模拟
7.1 引 言
按照与连续时间信号与系统相同的分析方法，本章将
讨论离散时间信号与系统的 z 域分析。
§ 4. Z域微分特性
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)
sin (Ω0 t ) 10
o1 -1
5
n
4π 例7-2-5 已知： sin n ， 求其周期。 11 4π 2π 11 11 N ω0 ，则有： 2π 11 ω0 4π 2 m
所以N 11，即周期为11。（ π 中有5.5个ω0 2 ）
x (n)
3 4 5 1 2
对应值相加可得f ( n )＝{2,－1, 1, 7, 4, 2，4} （2）将指针对齐后，对应值相乘得f (n)＝{－6,12,4,1}
在实际应用中，若序列的第一个非零值对应的是
指针位置n＝0，为了方便则指针可不标示。
z 3．移位： (n) x(n - m) z ( n ) x ( n + m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
n
三．常用离散信号
•单位样值信号 •单位阶跃序列 •矩形序列 •斜变序列 •单边指数序列 •正弦序列 •复指数序列
1．单位样值信号
也称为单位取样、单位函数、单位脉冲、单位冲激
0, n 0 d ( n) 1, n 0
d (n)
1 O
离散时间系统的优点
•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；
•容易做到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决 于位数；
•可靠性好；
•存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；
•易消除噪声干扰； •数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，可大大改 善了系统的灵活性和通用性；软件就是仪器
9 10 6 7 8 11
22
n
一个周期
例7-2-6 信号x(n) sin(0.4n)是否为周期信号？
0 0.4
2π
0
5π是无理数 所以为非周期的序列
f ( t ) sin ( Ω0t )
离散点（时刻）nT上的正弦值 x( n) f (nT ) sin(Ω0 nT )
2．单位阶跃序列
u(n)
1 u( n) 0
n0 n0
1
-1 O
1 23
n
u (n) d (n) + d (n - 1) + d (n - 2) + d (n - 3) + d (n - k )
d (n) u(n) - u( n - 1)
1
-1 O
k 0
u (n - 1)
arg x(n) 0 n
7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
x (0) x (n ) x (3)
右移位 (逐项后移) 左移位 (逐项前移)
x (n - 1) x (0)
x (- 1)
x (1) 2
x (- 1)
x (1) 3
x (3) 4
-1 o 1
3 x (2)
n
-1 o
1 2
n
x (2)
4．反褶： z( n) x( - n) 5．差分： 前向差分：x( n) x( n + 1) - x( n)
●数字频率——抽样间隔S为抽样间隔时间)，s为抽样角频率，
0 π可以取负值，所以 0 (- π，π)
x(n) e j 0n cos 0 n + j sin 0 n 7．复指数序列
复序列用极坐标表示： x (n) x (n) e jarg x (n ) 复指数序列： x (n) 1
系统分析
连续时间系统——微分方程描述
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
本章内容
•离散时间信号及其描述、运算； •离散时间系统的数学模型——差分方程； •线性差分方程的时域解法； •离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应； •离散卷积。
学习方法
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比， 与连续系统有并行的相似性。和前几章对照，温故而知新。
x(n)d (n) x(0)d (n) x(n)d (n - j ) x( j )d (n - j )
利用单位样值信号表示任意序列
x(n) x(m)d (n - m)
m -
f (n ) 1.5 -1 o 1 -3
2 3 4 n
f (n ) 1,1.5,0,-3,0,0, d (n + 1) + 1.5d (n) - 3d (n - 2) n 0
1 2 3
n
3．矩形序列
1 RN ( n ) 0 0 n N -1 n 0, n N
RN (n) 1 -1 o
1 2 3 N -1 n
x (n)
4．斜变序列
x( n) nu( n)
1
- 1O 1 2 3 4
n
5．单边指数序列 x(n) a n u(n)
a n u(n ) a n u(n )
模拟信号 抽样信号
连续时间系统：
系统的输入、输出都是连续的时间信号。
连续信号与离散信号
连续时间信号：在所讨论的时间间隔内，除若干不连续
点之外，对于任意时间值都可以给出确定的函数值。（模 拟信号）
离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的
规定瞬时给出函数值，在其它时间没有定义。
模拟信号，抽样信号，数字信号
离散信号用x(n)表示，其中n为 整数，表示序号，所以，离散 信号又称为序列。离散信号可 以用图形表示，也可以用所谓 的指针法表示，如x(n)＝{1, 2, 3, 4, 3, 2, 1} 式中， 表示n＝0对应
例7-2-1
2n , n 0 x ( n) 试写出其序列形式并画出波形。 0, n 0
应用前景
由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字 （更多是模／数混合）系统所代替；
人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数字化生存” 等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。数 字信号处理技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新 境界。
信号分析
连续时间信号——傅里叶变换 离散时间信号——傅里叶变换、快速傅里叶变换等
2 Ω0 T0
x(n) sin( 0 n)
区别:
ω0 (- π， )
数字角频率（离散域的频率）的取值
数字频率 0可以连续变化，
但 0只能在(- π，π )范围内取值。
正弦函数本身周期为2π, 0为抽样值的数字频率间 隔 的弧度数，其数值不会 超过 2π。
d (t )
(1)
1
n
o
t
注意：
单位冲激信号的性质
d ( n - 1)
1 O 1
n
1, n j 1、时移性 d (n - j ) 0, n j
2、比例性
c, n 0 cd (n) 0, n 0
3、抽样性（筛选特性）
c, n j cd (n - j ) 0, n j
后向差分：x( n) x( n) - x( n - 1)
6．累加： z ( n)
k -
x( k )
n
7．尺度倍乘（压缩、扩展）：
n x (n) x (an) , 或 x (n) x a 注意：有时需按规律去除某些点或补足相应的零值。 该运算也称为序列的“重排”。
sin (W 0 t ) 5 10 n
1
O
1
-1
0 : 正弦序列的频率 序列值依次周期性重复 , 的速率。
2π 当 0 ＝ , 则序列每10个重复一次正弦包络的 数值。 10
x(n + N ) x(n) N称为序列的周期，为任意正整数。
正弦序列周期性的判别 ①
2π sin( n + 2π) sin( n) 0 0 sin 0 (n + N ) sin 0 n + 0 正弦序列是周期的 周期: N
8．序列的能量
E
n -
x ( n)
2
n 已知x(n)波形，请画出 x(2n), x 波形。 例7-2-3 2 x (n ) x (2n )
6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 n x ÷ 2 n 6 4
2
O 1 2 3 4 5 6 n
6 5 4 3 2 1 O
•模拟信号：时间和幅值均为连续
采 样 的信号。
O
t
•抽样信号：时间离散的的信号。
量 化
O
n
•数字信号：时间和幅值均为离散
的信号。 抽样信号也叫离散信号，数字信号是离散 信号的特殊形式；模拟信号是连续信号的 特殊形式。
O
n
离散时间信号、离散时间系统
离散时间信号：
时间变量是离散的，函数只 在某些规定的时刻有确定的值， 在其他时间没有定义。
1, 4}，求：（1）f ( n )＝ f 1( n )＋ f 2( n )；
（2） f ( n )＝ f 1( n ) • f 2( n ) 解 （1）将指针对齐，使二序列长度相同 f 1( n )＝{2,－1, f 2( n )＝{0, 3, 4, 2, 1, 0}
0,－2, 3, 2, 1, 4}
2．相乘：
序列x ( n )与y ( n )序列乘是指两序列中同序号的序列值
相乘，从而构成一新序列，表示为
z( n )＝ x ( n ) • y ( n ) 如果二序列长度不同，对应长度不足的项的序列值应视 为0。
例7-2-2 设序列f 1( n )＝{2,－1, 3, 4, 2, 1}， f 2( n )＝{－2, 3, 2,