湖南省醴陵市2019届九年级(上)期末考试数学试题(含答案)

湖南省醴陵市2019届九年级上学期期末考试数学试题一．选择题（共12小题，满分36分）1．四个实数﹣2，0，﹣，﹣1中，最大的实数是（）A．﹣2 B．0 C．D．﹣12．下列运算正确的是（）A．992＝（100﹣1）2＝1002﹣1 B．3a+2b＝5abC．＝±3 D．x7÷x5＝x23．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）A．8×1012B．8×1013C．8×1014D．0.8×10134．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝145°，则∠B是（）A．45°B．55°C．65°D．75°6．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+b上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y1＞y27．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（）A．4.65、4.70 B．4.65、4.75 C．4.70、4.75 D．4.70、4.70 8．下列说法正确的是（）A．某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命采用普查法B．已知一组数据1，a，4，4，9，它的平均数是4，则这组数据的方差是7.6C．12名同学中有两人的出生月份相同是必然事件D．在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是9．某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人（）A．赚16元B．赔16元C．不赚不赔D．无法确定10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，延长AD到点E，使DE＝AD，延长CD 到点F，使DF＝CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（）A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+411．如图，底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或8cm 12．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则cos∠CBE的值是（）A．B．C．D．二．填空题（满分18分，每小题3分）13．因式分解：2a2﹣2＝．14．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a ＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是．15．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．16．如图将一直角三角板的直角顶点放置在两边互相平行的纸条的边上，若∠1＝35°，则∠2的大小为度．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于．18．经过定点A且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是．三．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分）19．（6分）计算：|﹣|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+3﹣1．20．（6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）21．（8分）文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《经曲咏流传》（记为A）、《中国诗词大会》（记为B）、《中国成语大会》（记为C）、《朗读者》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目（记为E）．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；（3）若选择“E”的学生中有2名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率．22．（8分）如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）23．（9分）如图，⊙O的半径为6，点A，B，C为⊙O上三点，BA平分∠OBC，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）当sin∠OBC＝时，求BC的长；（3）连结AC，当AC∥OB时，求图中阴影部分的面积．24．（9分）某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．（1）求该文具店购进A、B两种钢笔每支各多少元？（2）经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖64支；每涨价3元，每月将少卖12支，求该文具店B种钢笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？六．解答题（共2小题，满分10分）25．（10分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．26．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F 在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．参考答案一．选择题1．解：∵﹣2，﹣，﹣1均为负数，负数小于零，∴最大的实数是0，故选：B．2．解：A、992＝（100﹣1）2＝1002﹣200+1，错误；B、3a+2b＝3a+2b，错误；C、，错误；D、x7÷x5＝x2，正确；故选：D．3．解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．故选：B．4．解：第一个图是轴对称图形，是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，故选：B．5．解：在△ABC中，∵∠ACD＝∠A+∠B，∠A＝80°，∠ACD＝145°，∴∠B＝145°﹣80°＝65°，故选：C．6．解：∵直线y＝﹣x+b，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣2＜﹣1＜1，∴y1＞y2＞y3．故选：A．7．解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.75．故选：C．8．解：A、某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命时，检测范围比较大，因此适宜采用抽样调查的方法，故本选项错误；B、根据平均数是4求得a的值为2，则方差为[（1﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2+（9﹣4）2]＝7.6，故本选项正确；C、12个同学的生日月份可能互不相同，故本事件是随机事件，故错误；D、在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”六个图形中有3个既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是，故本选项错误．故选：B．9．解：设赚了25%的衣服的成本为x元，则（1+25%）x＝120，解得x＝96元，则实际赚了24元；设赔了25%的衣服的成本为y元，则（1﹣25%）y＝120，解得y＝160元，则赔了160﹣120＝40元；∵40＞24；∴赔大于赚，在这次交易中，该商人是赔了40﹣24＝16元．故选：B．10．解：∵DE＝AD，DF＝CD，∴四边形ACEF是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD，∴AE＝CF，∴四边形ACEF是矩形，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝1，∴EF＝AC＝1，过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°＝，∴AF＝CE＝2AG＝，∴四边形ACEF的周长为：AC+CE+EF+AF＝1++1+＝2+2，故选：B．11．解：如图，已知OA＝5cm，AB＝8cm，OC⊥AB于D，求CD的长，理由如下：当油面位于AB的位置时∵OC⊥AB根据垂径定理可得，∴AD＝4cm，在直角三角形OAD中，根据勾股定理可得OD＝3cm，所以CD＝5﹣3＝2cm；当油面位于A'B'的位置时，CD′＝5+3＝8cm．故选：D．12．解：根据题意，BE＝AE．设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2＝BC2+CE2，即（8﹣x）2＝62+x2解得x＝，BE＝，BC＝6，∴cos∠CBE＝，故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．解：原式＝2（a2﹣1）＝2（a+1）（a﹣1）．故答案为：2（a+1）（a﹣1）．14．解：联立两函数解析式成方程组，得：，解得：．∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．故答案为：2．15．解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长＝4+9+9＝22cm．故填22．16．解：∵将一直角三角板的直角顶点放置在两边互相平行的纸条的边上，∴∠1+∠3＝90°，∠2＝∠3，∵∠1＝35°，∴∠3＝55°，∴∠2＝∠3＝55°．故答案为：55．17．解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∴AE＝DC，而∠AFE＝∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF＝DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC＝F A，设F A＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，则FD＝6﹣x＝．故答案为：18．解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于5厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，5cm为半径的圆，故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．三．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分）19．解：原式＝+1﹣2×+＝．20．解：，由①得，x＞﹣2；由②得，x≥，故此不等式组的解集为：x≥．在数轴上表示为：．四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）21．解：（1）30÷20%＝150（人），∴共调查了150名学生．（2）D：50%×150＝75（人），B：150﹣30﹣75﹣24﹣6＝15（人）补全条形图如图所示．扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为．（3）记选择“E”的同学中的2名女生分别为N1，N2，4名男生分别为M1，M2，M3，M4，列表如下：∵共有30种等可能的结果，其中，恰好是同性别学生（记为事件F）的有14种情况，∴．22．解：过P作PB⊥AM于B，在Rt△APB中，∵∠P AB＝30°，∴PB ＝AP ＝×32＝16海里，∵16＜16，故轮船有触礁危险．为了安全，应该变航行方向，并且保证点P 到航线的距离不小于暗礁的半径16海里，即这个距离至少为16海里，设安全航向为AC ，作PD ⊥AC 于点D ，由题意得，AP ＝32海里，PD ＝16海里，∵sin ∠P AC ＝＝＝，∴在Rt △P AD 中，∠P AC ＝45°，∴∠BAC ＝∠P AC ﹣∠P AB ＝45°﹣30°＝15°．答：轮船自A 处开始至少沿南偏东75°度方向航行，才能安全通过这一海域． 五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）23．解：（1）∵BA 平分∠OBC ，∴∠OBA ＝∠CBA ． ∵OA ＝OB ， ∴∠OBA ＝∠OAB ． ∴∠OAB ＝∠CBA ． ∴AO ∥BC ， ∵AD ⊥BC ， ∴AD ⊥AO ，∴直线AD是⊙O切线；（2）过O点作OE⊥BC于点E，得BC＝2BE，在Rt△OBE中，∵sin∠OBC＝，∴，OB＝6．∴OE＝4，∴BE＝∴；（3）连结OC，∵AO∥BC，AC∥OB，OA＝OB，∴四边形OACB是菱形．∴OA＝AC＝OC＝6．∴∠AOC＝∠OAC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴在Rt△ADC中，CD＝6sin30°＝3，∴AD＝，∴．24．解：（1）设文具店购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元，根据题意，得：，解得：，答：文具店购进A种钢笔每支15元，购进B种钢笔每支20元；（2）设B种钢笔每支售价为x元，每月获取的总利润为W，则W＝（x﹣20）（64﹣12×）＝﹣4x2+264x﹣3680＝﹣4（x﹣33）2+676，∵a＝﹣4＜0，∴当x ＝33时，W 取得最大值，最大值为676，答：该文具店B 种钢笔销售单价定为33元时，每月获利最大，最大利润是676元． 六．解答题（共2小题，满分10分）25．解：（1）①由已知，点B （4，2）在y 1═（x ＞0）的图象上 ∴k ＝8∴y 1＝ ∵a ＝2∴点A 坐标为（2，4），A ′坐标为（﹣2，﹣4） 把B （4，2），A （﹣2，﹣4）代入y 2＝mx +n解得∴y 2＝x ﹣2②当y 1＞y 2＞0时，y 1＝图象在y 2＝x ﹣2图象上方，且两函数图象在x 轴上方 ∴由图象得：2＜x ＜4（2）分别过点A 、B 作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连BO∵O 为AA ′中点S △AOB ＝S △ABA ′＝8 ∵点A 、B 在双曲线上 ∴S △AOC ＝S △BOD ∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8由已知点A 、B 坐标都表示为（a ，）（3a ，）∴解得k＝6（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）把A′代入到y＝﹣∴n＝∴A′D解析式为y＝当x＝a时，点D纵坐标为∴AD＝∵AD＝AF，∴点F和点P横坐标为∴点P纵坐标为∴点P在y1═（x＞0）的图象上26．解：（1）∵直线l：y＝x+m经过点B（0，﹣1），∴m＝﹣1，∴直线l的解析式为y＝x﹣1，∵直线l：y＝x﹣1经过点C（4，n），∴n＝×4﹣1＝2，∵抛物线y＝x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣1；（2）令y ＝0，则x ﹣1＝0， 解得x ＝，∴点A 的坐标为（，0），∴OA ＝，在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝＝＝，∵DE ∥y 轴， ∴∠ABO ＝∠DEF ，在矩形DFEG 中，EF ＝DE •cos ∠DEF ＝DE •＝DE ，DF ＝DE •sin ∠DEF ＝DE •＝DE ，∴p ＝2（DF +EF ）＝2（+）DE ＝DE ，∵点D 的横坐标为t （0＜t ＜4），∴D （t ， t 2﹣t ﹣1），E （t ， t ﹣1），∴DE ＝（t ﹣1）﹣（t 2﹣t ﹣1）＝﹣t 2+2t ，∴p ＝×（﹣t 2+2t ）＝﹣t 2+t ，∵p ＝﹣（t ﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t ＝2时，p 有最大值；（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1＝（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x＝，②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，∴x2﹣x﹣1＝（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x＝﹣，综上所述，点A1的横坐标为或﹣．。