圆与方程(教师版)
《圆的一般方程》教学设计(优质课)
圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F .教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A(0，0)，B (1，1)，C(4，2)的圆的方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+(y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2–r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey +F= 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得22224()()224D E D E Fx y+-+++=②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2– 4F＞0时，方程②表示以(,)22D E--为圆心，整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.22142D E F +-为半径的圆；（2）当D 2 + E 2 – 4F = 0时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，即只表示一个点(,)22D E--； （3）当D 2 + E 2 – 4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 应用举例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0 （2）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x 2 + y 2 – x + 3y +94= 0 D = –1，E =3，F =94. ∵D 2 + E 2 – 4F = 1＞0学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，94F =通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决∴此方程表示圆，圆心（12，32-），半径r =12.（2）将原方程化为x2 + y2 –x + 3y +114= 0D = –1，E =3，F =114. D2 + E2– 4F = –1＜0∴此方程不表示圆. 而不是D= –4，E=12，F = 9.问题的能力.例2 求过三点A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1．根据题设，选择标准方程或一般方程.2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.解此方程组，可得：D = –8，E =6，F = 0 ∴所求圆的方程为：x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0221452r D E F =+-=； 4,322D F-=-=-. 得圆心坐标为(4，–3).或将x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2 = 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以0043,22x y x y ++==，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4，即 (x 0 + 1)2 + y 02 = 4 ② 把①代入②，得(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程.备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax– 2ay = 0 (a≠0).【解析】（1）因为D＝ 1，E＝ 0，F＝ 1，所以D2 + E2– 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D＝ 2a，E＝ 0，F＝a2，所以D2 + E2– 4F＝ 4a2– 4a2 = 0，所以方程（2）表示点(–a，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2 – 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a-，半径|r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2 + Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)， 又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a |.② ③222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2 – 5a + 5 = 0， 解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r ==故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y 2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4 + 9 = 0表示一个圆，求 （1）t 的取值范围； （2）该圆半径r 的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0 即7t 2 – 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<。
高中数学圆的标准方程教案 高中数学圆与方程教案三
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案三高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇七一、具体目标：1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学……二、本学期要达到的教学目标1.双基要求：在基础知识方面让学生掌握高一有关的概念、性质、法则、公式、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。
在基本技能方面能按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据、能使用计数器及简单的推理、画图。
2.能力培养：能运用数学概念、思想方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质;会根据法则、公式正确的进行运算、处理数据，并能根据问题的情景设计运算途径;会提出、分析和解决简单的带有实际意义的或在相关学科、生产和生活的数学问题，并进行交流，形成数学的意思;从而通过独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。
3.思想教育：培养高一学生，学习数学的兴趣、信心和毅力及实事求是的科学态度，勇于探索创新的精神，及欣赏数学的美学价值，并懂的数学来源于实践又反作用于实践的观点;数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇八高一下学期数学教学计划精选本学期担任高一(9)(10)两班的数学教学工作，两班学生共有120人，初中的基础参差不齐，但两个班的学生整体水平不高;部分学生学习习惯不好，很多学生不能正确评价自己，这给教学工作带来了一定的难度，为把本学期教学工作做好，制定如下教学工作计划。
20高三一轮复习-圆的方程、直线与圆-教师版
圆的方程、直线与圆⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩定义：代数方程与几何曲线建立一一对应关系曲线从代数方程角度分析几何特性曲线与方程分析（数形结合）与从几何图形角度分析代数方程解的情况轨直接列式迹间接代入求方程方法方参数方程圆程待定系数的圆的标准方程 ：三个了解（延伸了一个直径式方程）方一般方程：二元二次方程分析方程程位置关系问题距离、角问题数形面积问题应定值、定点问题用直线与二次曲线问题对称问题⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、知识点分布：1.曲线与方程：一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解； ②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点．此时，把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线． 2..利用集合与对应的观点可以更清楚、更深刻地理解曲线方程的概念.设)}(|{M P M P =表示曲线C 上适合某种条件的点M 的集合；}0),(|),{(==y x F y x Q 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.于是，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程等价于⎭⎬⎫⊆⊆P Q Q P ，即 Q P =.3.曲线方程的应用：交点、弦（弦长公式）、位置关系、图形性质分析 （1）图形的点的坐标与方程的解； （2）图形的交点与方程组的解；（3）用方程思想解决曲线上的交点弦问题，弦长公式；12|||AB x x =-=；12|||AB y y =-== （4）用方程思想解决曲线的位置关系；（5）用方程的代数性质分析图形的对称性、最值性等4.求曲线方程的方法：直接列式、间接转化（间接动点法，换元法、点差法）、参数方程 （1） 直接法：直接根据动点满足的几何条件或等量关系列出等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法．①运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程. ②借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. （2）定义法（也叫待定系数法）：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程．熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键． （3）代入法（也叫间接转化）：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上运动，求另一动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代入到已知曲线之中，得出所要求的轨迹方程．（4）参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标),(y x 中的y x ,分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可；在选择参数时，选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质，如时间、速度、距离、角度，有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围的对动点坐标取值范围的影响．5.圆的一般式方程与标准方程及直径式方程（1）圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 特别地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+ （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x圆心为)2,2(ED --，半径为2422FE D r -+=，其中0422>-+F E D .（3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②没有xy 项，即B=0；③0422>-+AF E D .（4）一个特殊：直径两个端点()11,y A x 及()22,y B x ，则0))(())((2121=--+--y y y y x x x x6.位置关系：点圆、线圆、圆圆 （1） 点与圆的位置关系圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心A (a ，b )，半径为r .设所给点为M (x 0，y 0)，则①几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． ②代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．③直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． （3）过圆上一点的切线方程：圆222)()(r b y a x =-+-，圆上一点为(0x ，0y )，则过此点的切线方程为200=)-)(-(+)-)(-(r b y b y a x a x ；圆的方程为x 2＋y 2＝r 2（r ＞0），点M （x 0，y 0），若点M 在⊙O 上，则过M 的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2． 7.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1、r 2的关系d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含(3)一个特殊：两圆的相交弦的直线方程 8.距离问题及垂径定理（1）圆心到直线的距离与半径比对判断直线与圆的位置关系； （2）垂径定理的三个量：圆心到直线距离、半径、弦；（3）利用圆心到直线距离判断圆上点到直线的距离最值及满足特定值的点的个数； （4）一个特殊的弦的用法：弦AB 与定点C 满足：0CA CB ⋅=，若点C 是圆心则多采用垂径定理求解，但点C 不是圆心时，只能采用联立、消元、韦达的思路（学生易粗心认定为圆心的点）。
2.3.1圆的标准方程(基础)-教师版
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d= ，化简得：|4a-3b|=5①，
又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），
把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-
（舍去），∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．
故选A
考点：圆的方程的求解
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
5．经过圆 的圆心 ，且与直线 垂直的直线方程是（）
故选：D
【点睛】
本题考查圆的标准方程、圆的对称性，考查基本分析判断能力，属基础题.
12．圆心在 轴上，半径为1，且过点 的圆的方程是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点 代入圆的方程即可求解.
【详解】
因为圆心在 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为 ，则圆的方程为 ，又点 在圆上，所以 ，解得 .
2.3.1圆的标准方程（基础）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知圆 和 关于直线 对称，若圆 的方程是 ，则圆 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
人教版高数必修二第11讲：圆的方程(教师版)
圆的方程一、圆的标准方程1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径． 2．确定圆的几何要素：(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件．3．圆心为(a ，b )半径为r (r >0)的圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，称作圆的标准方程．特别地，圆心在原点、半径为r 的圆方程为x 2＋y 2＝r 2. 4．点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系．P 在圆外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2， P 在圆上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2， P 在圆内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.二、圆的一般方程1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F <0 时，方程没有实数解，它不表示任何图形．2．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是：A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F >0 .3．点P (x 0，y 0)与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)的位置关系是： P 在圆内⇔ ， P 在圆上⇔ ， P 在圆外⇔ . 4．求轨迹方程的五个步骤：(1)建系：建立适当的坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)设点：写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)列式：用坐标(x ，y )表示条件p (M )，列出方程F (x ，y )＝0； (4)化简：化方程F (x ，y )＝0为最简形式；(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．类型一 圆的标准方程例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x 2＋y 2＝2；(2)(x －3)2＋y 2＝4；(3)x 2＋(y －1)2＝9；(4)(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.解析：用圆的标准方程的公式解决．答案：(1)圆心(0,0)，半径为 2. (2)圆心(3,0)，半径为2. (3)圆心(0,1)，半径为3.(4)圆心(－1，－2)，半径为22.练习1：已知圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，试根据下列条件，分别写出a 、b 、r 应满足的条件：(1)圆心在x 轴上； (2)圆与y 轴相切； (3)圆过原点且与y 轴相切； (4)圆与两坐标轴均相切． 答案：(1)b ＝0. (2)r ＝|a |(a ≠0)． (3)r ＝|a |(a ≠0，b ＝0)． (4)|a |＝|b |＝r (a ≠0，b ≠0)． 练习2：已知圆C 的方程为()()225610x y -+-=，试判断点()()()6,9,3,3,5,3M N Q 是在圆上，圆内，还是在圆外？答案：∵CM == ∴点M 在圆上∵CN ==>∴点N 在圆外∵3CQ ==<∴点Q 在圆内例2：过两点P (2,2)、Q (4,2)，且圆心在直线x －y ＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝2B ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x －3)2＋(y －3)2＝ 2 D ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝ 2解析：解法一：点P (2,2)不在选项B 、C 、D 中的圆上，排除B 、C 、D ，故选A.解法二：设圆心坐标为(a ，a )，半径为R ，由题意得(a －2)2＋(a －2)2＝(a －4)2＋(a －2)2， 解得a ＝3. ∴R 2＝(3－2)2＋(3－2)2＝2，故选A. 答案：A练习1：求经过点A (10,5)、B (－4,7)，半径为10的圆的方程． 答案：解法一：设圆心为(a ，b )∴⎩⎪⎨⎪⎧(a －10)2＋(b －5)2＝100 ①(a ＋4)2＋(b －7)2＝100 ② ①－②整理得7a －b －15＝0，即b ＝7a －15，③将③代入①得a 2－6a ＋8＝0.∴a ＝2或a ＝4，则b ＝－1或b ＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100. 解法二：A 、B 的垂直平分线方程为y －6＝－10＋45－7(x －3)即y ＝7x －15.设圆心为(a ，b )，由于圆心在AB 的垂直平分线上， ∴b ＝7a －15，又∵(a －10)2＋(b －5)2＝100，②将①代入②可得a ＝2或a ＝4.(以下同解法一) 练习2：求满足下列条件的方程（1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点()3,4C（3）圆心在直线538x y -=上，又圆与坐标轴相切答案：（1）229x y +=； （2）()()22345x y -+-=（3）设所求的方程为：()()222x a y b a -+-= 由题意知a b =，即a b =或a b =-又∵圆心在直线538x y -=上，∴538a a -=或538a a += 解得：4a =或1a = ∴所求方程为()()224416x y -+-=或()()22111x y -++=练习3：求以A (2,2)、B (5,3)、C (3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．答案：设所求圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r2－a 2＋－b2＝r2－a2＋－1－b 2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝1r 2＝5.故△ABC 的外接圆的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝5.类型二 圆的一般方程例3：m 是什么实数时，关于x 、y 的方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示一个圆？解析：形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D 2＋E 2－4F >0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．答案：由题意，得2m 2＋m －1＝m 2－m ＋2，即m 2＋2m －3＝0， 解得m ＝－3或m ＝1.当m ＝1时，原方程化为2x 2＋2y 2＋3＝0.不合题意舍去；当m ＝－3时，原方程化为14x 2＋14y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝114，表示以原点为圆心， 以1414为半径的圆．练习1：已知方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求：(1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．答案：(1)由题意，得D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，即4m 2＋4－4m 2－20m >0，解得m <15， 故m 的取值范围为(－∞，15)．(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .练习2：220x y x y R +-++=表示一个圆，则R 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．(),2-∞ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦答案：C例4：已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)、B (－2，3)、C (4，－5)，求△ABC 的外接圆的一般方程．解析：设PQ 的中点为M ，则由中点坐标公式得M (1,0)．∵点M 在直线ax －y ＋b ＝0上，∴a ＋b ＝0. 又PQ 所在直线与直线ax －y ＋b ＝0垂直，∴－1－13－－·a ＝－1， ∴a ＝2.故b ＝－2. 答案：设△ABC 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A 、B 、C 三点在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝04＋9－2D ＋3E ＋F ＝016＋25＋4D －5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－23.∴△ABC 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.练习1：求过点C (－1,1)和D (1,3)且圆心在直线y ＝x 上的圆的一般方程． 答案：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为(－D 2，－E2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E22－D ＋E ＋F ＝010＋D ＋3E ＋F ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝－2F ＝－2.∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.练习2：ABC ∆的三个顶点坐标分别为()()()1,5,2,2,5,5A B C ---，求其外接圆的方程． 答案：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=由题意知()()()22222215502222055550D E F D E F D E F ⎧-+-++=⎪⎪-+---+=⎨⎪++++=⎪⎩解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴所求方程为2242200x y x y +---=例5：等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解析：利用等腰三角形性质两腰相等． 答案：设另一端点C 的坐标为(x ，y )．依题意，得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式， 得x －42＋y －2＝－2＋－2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.练习1：自圆x 2＋y 2＝4上的点A (2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程．答案：设AB 的中点P (x ，y )，B (x 1，y 1)，则有x 21＋y 21＝4，且x ＝x 1＋22，y ＝y 1＋02.∴x 1＝2x －2，y 1＝2y .∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，即(x －1)2＋y 2＝1.当A 、B 重合时，P 与A 点重合，不合题意，∴所求轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2)．2：已知动点M 到定点()8,0的距离等于M 到()2,0的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是（ ）A ．2232x y +=B ．2216x y +=C ．()22116x y -+= D ．()22116x y +-=答案：B1．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足( )A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外 答案：C 2．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，4 答案：A 3．已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100 答案：B4．圆x 2＋y 2－2x ＋y ＋14＝0的圆心坐标和半径分别是( )A ．(－1，12)；1B ．(1，－12)；1C ．(1，－12)；62D ．(－1，12)；62 答案：B5．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2C ．－2<a <0D ．－2<a <23 答案： D6．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( )A.2π B ．2πC ．22πD ．4π 答案：C7. 若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.答案：±28. 点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________ 答案：在圆C 外部． 9.求经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3)的圆的标准方程． 答案：由题意知，圆的半径r ＝|CP |＝－2＋＋2＝5， 圆心为点C (8，－3)．∴圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.基础巩固1．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．与t 有关答案：|PO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 21＋t 22＝1，故点P 在圆上．C2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5答案：圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即对称圆的圆心为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A. 3．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在答案：A4．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点在圆C 上，则实数a 等于( )A ．10B ．－10C ．20D ．－20 答案：B. 由题意知，直线2x ＋y －1＝0过圆C 的圆心(－2，－a 2)，∴2×(－2)－a2－1＝0，∴a ＝－10.能力提升5．过点A (1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1或(x －5)2＋(y －5)2＝25B ．(x －1)2＋(y －3)2＝2C ．(x －5)2＋(y －5)2＝25D ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 答案：A 6．圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝25上的点到原点的最大距离是( )A ．5－10B ．5＋10 C.10 D ．10 答案：B7. 一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0上的最短路程是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 6 答案：A8.经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是__________________． 答案： (x ＋2)2＋y 2＝29.经过两点P (－2,4)、Q (3，－1)，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程．答案： 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36， ③ ①、②、③联立组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝－4F ＝－8， 或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.10．圆C 通过不同三点P (k,0)、Q (2,0)、R (0,1)，已知圆C 在点P 的切线的斜率为1，试求圆C 的方程．答案： 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵点P (k,0)、Q (2,0)在圆上，∴k 、2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．∴k ＋2＝－D,2k ＝F .即⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－k ＋F ＝2k ，又因圆过点P (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－F －1＝－2k －1，故圆的方程为 x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0.∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.又∵圆在点P 的切线斜率为1， ∴2k ＋12－0k ＋22－k ＝－1，即k ＝－3， 从而D ＝1，E ＝5，F ＝－6.即圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.。
高中数学《圆的方程》教案
高中数学《圆的方程》教案作为一位默默奉献的教育工作者，常常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情形对教学进程做适当的必要的调剂。
优秀的教案都具有一些什么特点呢?这里给大家分享一些关于高中数学圆的方程教案，方便大家学习。
高中数学《圆的方程》教案1、教学目标(1)知识目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌控圆的标准方程;2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程;3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
(2)能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的知道;3、增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交换的意识，在体验数学美的进程中激发学生的学习爱好。
2、教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其运用。
(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②挑选恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学进程(一)创设情境(启发思维)问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。
7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)将x=2。
7代入，得即在离隧道中心线2。
7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢?[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M合适的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法(三)运用举例(巩固提高)I.直接运用(内化新知)问题三：1、写出下列各圆的方程(课本P77练习1)(1)圆心在原点，半径为3;(2)圆心在，半径为(3)经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II.灵活运用(提升能力)问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
11圆的标准方程教师版
课题：圆的标准方程编制人：钟政鑫 主审人：岳旻一、 新课引入问题一：什么是曲线的方程，什么是方程的曲线？问题二：圆的定义是什么？我们如何建立直角坐标系研究？怎么建系会让结果看起来更简单？问题三：如果一步一步求出圆的方程呢？问题四：已知定点、定圆，如何判断二者的位置关系呢？二、概念建构知识点一 圆的标准方程1.方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)叫做以点(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的标准方程.2.以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2.知识点二 点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断方法三、例题选讲例1. 求圆的标准方程（1）求圆心C(2,-3),且经过坐标原点的圆的方程。
答案：书P108（2）求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程. 解 方法一 (待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.方法二 (几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3， 即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.反思感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤变式：(1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的标准方程为________________. (2)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________.答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25解析 (1)设圆心C 的坐标为(a,0)(a ＞0)， 由题意知|2a |5＝455，解得a ＝2， 则圆C 的半径为r ＝CM ＝22＋(－5)2＝3.∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，且圆与y 轴相切，∴圆的半径为5，∴圆的标准方程为(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25.例2. 点与圆位置关系的判定已知两点M (3,8)和N (5,2)，圆C 以MN 为直径.(1)求圆C 的方程；(2)试判断P 1(2,8)，P 2(3,2)，P 3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解 (1)方法一 设圆心为C (a ，b )，半径为r ，则由C 为MN 的中点，得a ＝3＋52＝4，b ＝8＋22＝5， 由两点间的距离公式，得r ＝CM ＝(4－3)2＋(5－8)2＝10.∴所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.方法二 ∵直径所对的圆周角是直角，∴对于圆上除M ，N 外任意一点P (x ，y )，有PM ⊥PN ，即k PM ·k PN ＝－1，∴y －8x －3·y －2x －5＝－1(x ≠3且x ≠5)， 化简得x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0，即(x －4)2＋(y －5)2＝10.又∵M (3,8)，N (5,2)的坐标满足方程，∴所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.(2)分别计算点到圆心的距离：CP 1＝(4－2)2＋(5－8)2＝13>10，CP 2＝(4－3)2＋(5－2)2＝10，CP 3＝(4－6)2＋(5－7)2＝8<10，因此，点P 2在圆上，点P 1在圆外，点P 3在圆内.反思感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可.②把点的坐标代入圆的标准方程，并比较式子两边的大小，作出判断.(2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.变式：已知点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，则a 的取值范围为______________. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由题意知，(1－a )2＋(1＋a )2>4，即2a 2－2>0，所以a <－1或a >1.四、当堂检测1.圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，－3)D.(－1，－3)答案 C解析由圆的标准方程知，圆心坐标为(1，－3).2.已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外答案 C解析∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，∴点P(3,2)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的内部.3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是()A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝1答案 A解析方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则(0－1)2＋(b－2)2＝1，∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.4.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的标准方程是________________.答案 (x ＋2)2＋y 2＝4解析 设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |＝2，即a ＝－2，∴(x ＋2)2＋y 2＝4.5.求下列圆的标准方程.(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A (5,6)，C (3，－4)；(2)过两点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆.解 (1)由题意知，AC 为直径，则AC 的中点为圆心，∴圆心坐标为(4,1)，半径为r ＝AC 2＝(5－3)2＋(6＋4)22＝1042＝26， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝26.(2)由几何知识知，CD 的垂直平分线经过圆心，由k CD ＝3－11－(－1)＝1，CD 的中点坐标为(0,2)， 得CD 的垂直平分线方程为y ＝－x ＋2.则圆心坐标为(2,0)，r ＝(－1－2)2＋(1－0)2＝10，∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.五、课堂总结1.求圆的标准方程常用的方法(1)待定系数法.(2)直接法.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线长是半径长.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P (x 0，y 0)在圆C 上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2.六、课后作业1.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为()A.(－1,2)，2B.(1，－2)，2C.(－1,2)，4D.(1，－2)，4答案 A2.以下各点不在圆(x－4)2＋y2＝4内的是()A.(0,2)B.(2,0)C.(3,1)D.(1,3)答案ABD解析根据题意，依次分析选项：对于(0,2)，有(0－4)2＋22＝20>4，点在圆外，符合题意；对于(2,0)，有(2－4)2＋02＝4，点在圆上，符合题意；对于(3,1)，有(3－4)2＋12＝2<4，点在圆内，不符合题意；对于(1,3)，有(1－4)2＋32＝18>4，点在圆外，符合题意.3.方程(x－1)x2＋y2－3＝0所表示的曲线是()A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆答案 D解析(x－1)x2＋y2－3＝0可化为x－1＝0或x2＋y2＝3，∴方程(x－1)x2＋y2－3＝0表示一条直线和一个圆.4.过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案 C解析根据圆心在直线x＋y－2＝0上可排除B，D，再把点B的坐标代入A，C选项中，可得C正确.5.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为()A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案 B解析如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13.故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.6.圆心在直线x＝2上的圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则该圆的标准方程为____________.答案(x－2)2＋(y＋3)2＝5解析由题意知圆心的横坐标为2，又圆心应在弦AB的垂直平分线上，故圆心的纵坐标为－3，即圆心为(2，－3)，由两点间距离公式可求得半径为(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.7.圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的标准方程为________________________. 答案(x＋2)2＋y2＝25解析设圆心为(a,0)，则(a－1)2＋16＝(a－2)2＋9，所以a＝－2.半径r＝(a－1)2＋16＝5，故所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25.8.若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是__________.答案[－1,1]解析由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25，∴a2≤1，∴－1≤a≤1.9.若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为____________________________.答案 (x ＋5)2＋y 2＝5解析 设圆心坐标为(a,0)， 由题意知|a |5＝5，∴|a |＝5. ∵圆C 位于y 轴左侧，∴a ＝－5，∴圆C 的标准方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.10.若直线y ＝ax ＋b 通过第象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第四象限答案 一、二、四解析 (－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限.11. 求圆心在直线5x －3y ＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的标准方程.解 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵圆与坐标轴相切，故圆心满足a －b ＝0或a ＋b ＝0.又圆心在直线5x －3y ＝8上，∴5a －3b ＝8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，5a －3b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，5a －3b ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. ∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1).∴半径r ＝4或r ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.12.类比直线的截距，如果我们把圆与x 轴交点的横坐标称为圆在x 轴上的截距，与y 轴交点的纵坐标称为圆在y 轴上的截距，那么请求出过点A (－1,3)，B (4,2)，且在x 轴、y 轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程.解 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2， 消去r 2，得b ＝5a －5.①令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r 2－a 2，∴在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r 2－b 2，∴在x 轴上的截距之和是2a .∴2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.②将①代入②，得a ＝76，∴b ＝56. ∴r 2＝⎝⎛⎭⎫－1－762＋⎝⎛⎭⎫3－562＝16918. ∴圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －762＋⎝⎛⎭⎫y －562＝16918. 13.已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析 y ＝9－x 2表示x 2＋y 2＝9的上半圆，t 可以看作半圆上的点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32， ∴t ≤－32或t ≥34. 14.已知动圆C 经过点A (2，－3)和点B (－2，－5).(1)当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程；(2)当圆C 的圆心在直线3x ＋y ＋5＝0上时，求圆C 的标准方程.解 (1)要使圆C 的面积最小，则AB 为圆C 的直径，此时圆心C (0，－4)，半径r ＝12AB ＝ 5. 所以所求圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋4)2＝5.(2)方法一 因为k AB ＝12，AB 的中点坐标为(0，－4)， 所以AB 的中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，3x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 所以圆心C 为(－1，－2).根据两点间的距离公式，得半径r ＝10，所以所求圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 方法二 设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，根据已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，3a ＋b ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，所以所求圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.七、课后反思。
高中数学必修2圆与方程(教师用)
圆的方程知识点与题型1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径； (2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2ED --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切； ｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 一、圆的方程1 、以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x(D)9)1()2(22=-++y x解：已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).2、方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是（ ）A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1D .1<t <2 ：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C3、已知两点P 1（4，9）、P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程.【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P 1P 2的坐标已知，且P 1P 2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：解法1：设圆心为C （a ，b ）、半径为r. 由中点坐标公式，得 a ＝＝5，b ＝＝6.∴ C （5，6），再由两点间距离公式，得∴ 所求的圆的方程为（x －5）2＋（y －6）2＝10.解法2：设P （x ，y ）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P 1（4，9）、P 2（6，3）， ∴ 圆的方程为（x －4）（x －6）＋（y －9）（y －3）＝0， 化简得 （x －5）2＋（y －6）2＝10，即为所求.4、求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程，并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.A 、B 两点，所以圆心在线段ABk AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －yy =0上，因此圆心坐标是方程组x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.5、已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．的解，即圆心坐标为（－1，0）.设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－12，3），半径52r =．二、位置关系问题（点、直线、圆与圆的位置关系）1、点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是（ D ）A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 2、直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( A )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.3、 直线2x －y ＋1＝0与圆O ∶x 2+y 2+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）.A ． 相切B ． 相交且过圆心C ． 相离D ． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O ∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r ＝6，圆心到直线的距离为d ＝从而知0＜d ＜r ，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D4、已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或三、切线问题1、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A). 点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.2、求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程：(1)经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1-解：(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上，故所求切线方程为43=+y x 。
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（2）求直线 被圆 截得的弦长最小时 的方程.
例3、已知直线 和圆 ，判断此直线与已知圆的位置关系.
探究1：直线 与圆 没有公共点，则 的取值范围是
探究2：若直线 与圆 有两个不同的交点，则 的取值范围是.
练习巩固：若直线 与曲线 有且只有一个公共点，求实数 的取值范围.
5、已知圆 ，点P ，过P点作圆 的切线PA、PB，A，B为切点.
（1）求PA、PB所在直线的方程；C（1，2）
（2） 求切线长 ；A B
（3）求AB方程.
O
P
解：（1）
（2）
（3）
6、已知实数 满足方程
（1）求 的最大 ；最小值：
（2）最大值： ；最小值：
圆与方程第6讲
时间：2014年11月16日张(敏)老师电话：182****7318
一、兴趣导入（Topic-in）:
小明数学不好被父母转学到一间教会学校。半年后数学成绩全A。妈妈问：“是修女教得好？是教材好？是祷告？...”“都不是，”小明说，“进学校的第一天，我看见一个人被钉死在加号上面，我就知道...他们是玩真的。”
探究1：过坐标原点且与圆 相切的直线的方程为
探究2：已知直线 与圆 相切，则 的值为.
练习巩固：求经过点 ，且与直线 和 都相切的圆的方程.
例2、求直线 被圆 截得的弦 的长.
探究1：直线 截圆 得的劣弧所对的圆心角为
探究2：设直线 与圆 相交于 、 两点，且弦 的长为 ，
则 .
练习巩固：已知圆 ，直线 .
（1）求 的最大值与最小值；（2）求 的最大值与最小值.
五、训练辅导(Tutor):
1.圆与两平行线 相切，圆心在直线 ，求这个圆的方程.
2.在直线 上求一点P，使P到圆 的切线长最短，并求出此时切线的长.
，切线长：
3.已知过 和点 且与 轴相切的圆只有一个.求 的值及此时圆的方程.
4.已知圆 与 轴相切，圆心 在直线 上，且直线 上截得的弦长为 ，求圆 的方程.
二、学前测试(Testing):
1．圆： 和圆： 交于 两点，
则 的垂直平分线的方程是
2．两圆 和 相切，则实数 的值为 或0
3． 为圆 上的动点，则点 到直线 的距离的最小值为____ ___
4．若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则实数 的值为 或
三、知识讲解(Teaching)：
1、圆的方程：
⑴标准方程：
（2） 的最小值；——截距（线性规划）
（3） 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
四、强化练习(Training)
例1、求以 为圆心，并且与直线 相切的圆的方程.
圆心到切线距离等于半径
所以r=|3*1-4*3-7|/根号(3^2+4^2)=|-16|/5
r^2=256/25
所以(x-1)^2+(y-3)^2=256/25
六、反思总结(Thinking)：
堂堂清落地训练
（5-10分钟的测试卷，坚持堂堂清，学习很爽心）
1．求过点 ，且与圆 相切的直线 的方程．
2、过坐标原点且与圆 相切的直线的方程为
3、已知直线 与圆 相切，则 的值为.
4.求以 为直径两端点的圆的方程.
.解：
得
5.求过点 和 且与直线 相切的圆的方程.
五、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（ 为圆心距）
（1） 外离（2） 外切
（3） 相交（4） 内切
（5） 内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆 ： ，圆 ： ，
则 为两相交圆公共弦方程
六、最值问题
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程
1.已知实数 ， 满足方程 ，求：
（1） 的最大值和最小值；——看作斜率
解：圆心显然在线段 的垂直平分线 上，设圆心为 ，半径为 ，则
，得 ，而
.
点在圆内； 点在圆上； 点在圆外
2.涉及最值：
（1）圆外一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值
（2）圆内一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值
思考：过此 点作最短的弦？（此弦垂直 ）
四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（ 为圆心到直线的距离）
（1）相离 没有公共点
（2）相切 只有一个公共点
（3）相交 有两个公共点
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）
条件方程形式
圆心在原点
过原点
圆心在 轴上
圆心在 轴上
圆心在 轴上且过原点
圆心在 轴上且过原点
与 轴相切
与 轴相切
与两坐标轴都相切
二、一般方程
1. 表示圆方程则
3. 常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离 与半径 的大小关系
例4、判断圆 与圆 的位置关系，
并画出图形.
探究1：圆 和圆 的位置关系是
探究2：若圆 与圆 相切，则实数 的取值集合是.
练习巩固：求与圆 外切于点 ，且半径为 的圆的方程.
例5、圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是
探究1：已知 ， ，点 在圆 上运动，则 的最小值是.
练习巩固：已知点 在圆 上运动.