网格中的数学
中考数学专题《在网格线中作图》
(1)在图1中,画出线段AB的垂直平分线MN；
(2)在图2中,线段CD∥AB,画出线段CD的中点O.
M
利用轴对称
的性质作图
A
A
N B
利用梯形 四点共线作图
C O D B
知识点
01 利用常用技巧作图 02 利用性质作位置关系 03 利用性质作数量关系 04 按要求构造图形
典例精讲
利用性质作位置关系
知识点二
【例2】(2016·T17)如图,六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形,AB
是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求：
1仅用无刻度直尺,2保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中画一个45º角,使点A或点B是这个角的顶点,AB为这个角的一边.
(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线.
典例精讲
通过计算面积作图
知识点三
【例3】(2014·T17)已知梯形ABCD,请使用无刻度直尺画一个与梯形ABCD
面积相等的图形.
(1)在图1中,画以CD为边的三角形；
(2)在图2中,画以AB为边的平行四边形.
A
D
A
D
F
EB
C
如图1
如图1,△CDE即为所求；
B
E
C
如图2
如图2,□ABEF即为所求.
完成下列作图.
(1)在图1中,作线段AB∥MN； (2)在图2中,作线段CD⊥MN.
A M
M
CC C
A
NB
N
图1 B
D D D 图2
当堂训练
利用性质作位置关系
知识点二
2.如图,在正三角形网格内,A、B、P、Q均为网格格点,仅用无刻度的直尺
2023年中考数学《网格作图》真题及答案解析
2023中考真题抢先练：数学网格作图1.（2023达州18题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上.（1）将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积.第1题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）如解图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如解图，△A 2B 2C 2即为所求；第1题解图（3）由图可得，△ABC 为等腰直角三角形，∴51222=+==BC AB ，AC =101322=+，∴25552121=´´=×=D BC AB S ABC ，∴△A 1B 1C 1在旋转过程中扫过的面积为2ABCACA S S D +扇形290360p ´=+52=52π+52.反比例与一次函数性质综合题2.（2023自贡24题）如图，点A (2，4)在反比例函数xm y =1图象上，一次函数b kx y +=2的图象经过点A ，分别交x 轴，y 轴于点B ，C ，且△OAC 与△OBC 的面积比为2：1.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请直接写出y 1≥y 2时，x 的取值范围.第2题图【推荐区域：安徽江西甘肃】【参考答案】解：（1）将A （2，4）代入x m y =1中得24m =，解得m =8，∴xy 81=，∵C （0，b ），∴12OAC S OC D =·2=b ，∵△OAC 与△OBC 的面积比为2：1，∴b OB OC S OBC 2121=´=D ，解得OB =1，∴B （-1，0）或（1，0），①将A （2，4），B （-1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+-=+=，，b k b k 024解得ïîïíì==，，3434b k ∴34342+=x y ；②将A （2，4），B （1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+=+=，，b k b k 024解得îíì-==，，44b k ∴442-=x y ；综上可知，一次函数的解析式为34342+=x y 或442-=x y ；（2）当34342+=x y 时，x ≤-3或0＜x ≤2；当442-=x y 时，x ≤-1或0＜x ≤2.解直角三角形的实际应用3.（2023达州19题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱，如图所示，秋千链子的长度为3m ，当摆角∠BOC 恰为26°时，座板离地面的高度BM 为0.9m ，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC 为50°，求座板距地面的最大高度为多少m?(结果精确到0.1m ；参考数据：sin 26°=0.44，cos 26°≈0.9，tan 26°≈0.49，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)第3题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：如解图，过点B 作BD ⊥ON 于点D ，过点A 作AE ⊥ON 于点E ，作AF ⊥MN于点F，第3题解图∴四边形BDNM，AENF均为矩形，∴BM=DN=0.9，AF=EN，在Rt△OBD中，OD=OB·cos26°=3cos26°，∴ON=OD+DN=3cos26°+0.9，在Rt△OAE中，OE=OA·cos50°=3cos50°，∴EN=ON-OE=3cos26°+0.9-3cos50°，∴AF=3cos26°+0.9-3cos50°≈3×0.9+0.9-3×0.64=1.68≈1.7（m），答：座板距地面的最大高度为1.7m.4.（2023重庆A卷24题）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A—D—C—B；②A—E—B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向.( 1.41≈1.73)（1）求AD的长度；(结果精确到1千米)（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②?第4题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：（1）如解图，过点D作DF⊥AB于点F.第4题解图由题意可知，AB∥CD，BC⊥AB，∴四边形BCDF是矩形，且BC=10，CD=14.∴DF=BC=10，在Rt△ADF中，∠DAF=45°，∴AD≈14（千米），答：AD的长度约为14千米；（2）由题意可知，EA⊥AB，∠ABE=90°-60°=30°，∵AF=DF=10，BF=CD=14，∴AB=AF+BF=10+14=24，∴在Rt△ABE中，AE AB BE=2AE线路①：AD+CD+BC≈38.1（千米），线路②：AE+BE41.52（千米），∵38.1＜41.52，∴小明应选择线路①.二次函数的实际应用5.（2023南充23题）某工厂计划从A ，B 两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x 件，已知A 产品成本价m 元/件(m 为常数，且4≤m ≤6)，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B 产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y 元，y (元)与每日产销x （件）满足关系式201.080x y +=.（1）若产销A ，B 两种产品的日利润分别为1w 元，2w 元，请分别写出1w ，2w 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）分别求出产销A ，B 两种产品的最大日利润；(A 产品的最大日利润用含m 的代数式表示)（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.[利润=(售价一成本)×产销数量一专利费]【推荐区域：安徽河北云南江西】【参考答案】解：（1）根据题意，得30)8(1--=x m w ，0≤x ≤500.)01.080()1220(22x x w +--=80801.02-+-=x x ，0≤x ≤300；（2）∵8-m >0，∴1w 随x 的增大而增大，又0≤x ≤500，∴当x =500时，1w 的值最大，39705001+-=m w 最大.1520)400(01.080801.0222+--=-+-=x x x w .∵-0.01<0，对称轴为直线x =400，当0≤x ≤300时，2w 随x 的增大而增大，∴当x =300时，2w 最大=-0.01×(300-400)2+1 520=1 420（元）.（3）①若最大1w =最大2w ，即-500m +3970=1420，解得m =5.1；②若最大1w >最大2w ，即-500m +3970>1 420，解得m <5.1；③若最大1w <最大2w ，即-500m +3 970<1420，解得m >5.1.又∵4≤m ≤6，∴综上可得，为获得最大日利润：当m =5.1时，选择A ，B 产品产销均可；当4≤m <5.1时，选择A 种产晶产销；当5.1<m ≤6时，选择B 种产品产销.二次函数性质综合题6.（2023遂宁25题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线c bx x y ++=241经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C (2，-2)且垂直于y 轴.过点B 的直线1l 交抛物线于点M ，N ，交直线l 于点Q ，其中点M ，Q 在抛物线对称轴的左侧.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当BM ：MQ =3：5时，求点N 的坐标；（3）如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接PQ ，PO ，其中PO 交1l 于点E ，设△OQE 的面积为1S ，△PQE 的面积为2S ，求12S S 的最大值.第6题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）由题意得0b 2124c =ìïïí-=ï´ïî，，解得01c b =ìí=-î，，∴抛物线的解析式为y =214x -x ；（2）如解图，过点M ，Q 作MD ⊥x 轴，QH ⊥x 轴分别于点D ，H ，第6题解图∴DM ∥HQ ，∴△BDM ∽△BHQ ，∴BM BQ =DM HQ ，∴38=2DM ，∴DM =34，∴点M 的纵坐标为-34，代入y =34x 2-x 中，解得x M =1或x M =3，∵点M 在抛物线对称轴的左侧，∴x M =1，∴点M （1，-34），设直线BM 的解析式为y =kx +b 1，将点M （1，-34）和点B （2，0）代入，得113=402k b k b ì-+ïíï=+î，，解得13=432k b ìïïíï=-ïî，，∴直线BM 的解析式为y =2343-x ，联立2143342y x x y x ì=-ïïíï=-ïî，，解得134x y =ìïí=-ïî，或63x y =ìí=î，，∵点N 在对称轴的右侧，∴点N （6，3）；（3）由题意可知，点Q 的坐标为（0，-2），设点P （m ，14m 2-m ），由题意得直线y OP =（14m -1）x ，直线l 1的解析式为y BQ =x -2，联立1(1)42y m x y x ì=-ïíï=-î，，∴点E 的横坐标为x E =88m -，∴S 1=21OQ ·x E =21×2×m -88=m-88，S 2=21OQ ·(P E x x -）=21×2（m -m-88）=m m m ---8882，∴22188888S m m m S m ---=-=1812-+-m m =1)4812+--m （，∵81-＜0，∴当m =4时，12S S 有最大值，最大值为1，∴12S S 的最大值为1.。
网格中的数学问题
网格中的数学问题。
网格中的数学问题是一种挑战性的数学游戏，它可以帮助孩子们提高
数学能力，培养他们的逻辑思维能力。
网格中的数学问题是一种拼图
游戏，它由一个网格组成，每个格子里有一个数字或符号，孩子们需
要根据给定的规则，将这些数字或符号排列成一个完整的图案。
网格中的数学问题可以帮助孩子们提高数学能力，培养他们的逻辑思
维能力。
它可以帮助孩子们学习数学概念，比如加减乘除、因数分解、比例、比较、百分比等等。
它还可以帮助孩子们学习如何解决问题，
比如如何分析问题、如何推理、如何解决问题等等。
网格中的数学问题也可以帮助孩子们提高解决问题的能力，比如如何
分析问题、如何推理、如何解决问题等等。
它可以帮助孩子们学习如
何分析问题，比如如何分析问题的结构、如何分析问题的解决方案、
如何分析问题的可行性等等。
网格中的数学问题也可以帮助孩子们提高思维能力，比如如何思考、
如何分析、如何解决问题等等。
它可以帮助孩子们学习如何思考，比
如如何分析问题、如何推理、如何解决问题等等。
网格中的数学问题也可以帮助孩子们提高解决问题的速度，比如如何
快速分析问题、如何快速推理、如何快速解决问题等等。
它可以帮助
孩子们学习如何快速解决问题，比如如何快速分析问题的结构、如何
快速分析问题的解决方案、如何快速分析问题的可行性等等。
总之，网格中的数学问题是一种有趣的游戏，它可以帮助孩子们提高
数学能力、培养他们的逻辑思维能力、提高解决问题的能力和思维能力，以及提高解决问题的速度。
网格中的数学初三复习公开课PPT课件
也是整数； 2、要把一个长方形分割成几个不同的长方形，面
积最小是1，2，3，…… 3、在“3×5”的长方形内，面积为4的长方形不
唯一，可以是“1×4”，也可以是“2×2”， 但面积为6的长方形只能是“2×3”，不能是 “1×6”； 4、分割时不一定是按1，2，3，4，5，…的顺序 增加，也可以是1，2，3，4，6，…
第24页/共25页
感谢您的观看！
第25页/共25页
中考题欣赏
2.（08温州）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要
求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括 顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴 对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心 对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心 对称图形．
中考题欣赏 4.（09年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正
方形的边长都是1．△ACB和△DCE的顶点都在格 点上，ED的延长线交AB于点F． （1）求证：△ACB∽△DCE； （2）求证：EF⊥AB．
第19页/共25页
中考题欣赏
中考复习数学 网格作图与相关计算问题
网格作图与相关计算问题
D C
A
O
B
O
归纳总结
考题再现
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平 面直角坐标系△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，-1)，B(2,-5),C(5,-4), (1)将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1， 画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标; (2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2坐 标; (3)在(2)的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长(结果保 留π).
求点B在旋转过程中所经过的路径长。(结果保留π)
O
x
考题再现
如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长 度,在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(3，1)，B(4, 4),C(2, 4). (1)请画出△ABC 向下平移5个单位后得到的△A1B1C1，直 接写出点B1的坐标 (2)请画出△ABC 绕点O逆时针旋转 90°后的△A2B2C2. (3)在(2)的条件下，求点C经过的路径长.(结果保留π).
y
O
x A
C B
考题再现
如图,正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平 面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点 A(5，2)、B(5，5)、c(1,1)均在 格点上. (1)将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标; (2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转 90°后得到的△A₂B2C2，并写出点 A2的坐标; (3)在(2)的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积(结果保留π).
y
C
一文搞定初中数学网格问题
一、网格题型在中考数学中的10大考点梳理网格问题，近年来在一些省市的中考试卷中频频出现，这类问题虽然出现在小网格中，却隐藏着大智慧，从中可以开发智力，发展思维．笔者以中考试题为例，说明小网格中的大智慧．一、正方形网格（一）全网格形全网格形是指有完整的网格的题型．1．网格中求坐标例1：如图1，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A t(2，0)，A2（1，－1），A3(0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为________．分析：由于2012是4的倍数，故A1~A4；A5～A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即求得纵坐标为1006．答案：(2，1006)2．网格与等腰三角形例2：如图2所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点°已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点G的个数是()(A)6(B)7(C)8(D)9分析：有两种情况：①AB为等腰△ABC底边，C在A B的中垂线上，因此，符合条件的C点有4个；②AB为等腰ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个，应选C．本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．3．网格与直角三角形例3：如图3，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度）．若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有()(A)4个(B)6个(C)7个(D)9个分析：根据题意可知：如图4，以原三角形AB边为公共边的三角形有4个，分别如图上D1，D2，D3，D4；以原三角形BC边为公共边的三角形有2个，分别如图上D5，D6；以原三角形AC边为公共边的三角形只有1个，如图上D．符合要求新三角形有7个，选C例4：如图5是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出_______个．分析：如图6，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABC、△ABM、△AB H和原三角形全等，所以可画出6个．5．网格与相似例5：图7所示4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()[来源学*科*网][来源学科网Z XX K]分析：根据勾股定理，得BC＝，AB，AC；根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BC：AB＝1：2．在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1：2，选B．例6：如图8，在3×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求图中点A到P Q的距离A H的长．分析：连结A P，AQ组成一个三角形．你可以用长方形面积减去三个直角三角形求得[来源学科网]出△A P Q的面积，而S△A P Q＝12P Q×A H，P Q的长用勾股定理计算，求得答案为755．7．网格中求三角函数[来源:Z xx k.C o m]例7：如图9，在正方形网格中有△ABC，则s i n∠ABC的值等于()（A）31010（B）1010（C）13（D）10分析：首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，最后根据锐角三角函数的定义求出s i n∠ABC的值，选B．8．网格与圆例8：如图10，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，点A 、B 、C 、E 也都在格点上，CB 与⊙O 相交于点D ，连结ED ，则∠AED 的正切值等于_______．分析：本题是锐角三角函数的定义和圆周角的运用，解答本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等把求∠AED 的正切值转化成求∠ACB 的正切值．tan ∠AED ＝tan ∠ABC ＝12AC AB ．（二）局部网格形局部网格形指是网格图案的一部分，需要通过添线补全网格的题型．例9：如图11(1)，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为()(A )90°(B )60°(C )45°(D )30°分析：先把局部网格补全成如图11(2)所示，易见△ACD 与△CBE 全等，可得出AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝45°．选C ．二、长方形网格例10：如图12，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是()(A)2(B)3(C)4(D)5[来源学科网]分析：底和高分别是4和1的有两个，底和高分别是2和2的有两个，选C．二、中考网格型试题赏析近几年中考中，网格型试题可谓大放异彩，这类试题构思精巧、形式活泼，能很好地考查图形变换、勾股定理、相似等数学知识，体现分类讨论、数形结合等重要的数学思想，当网格作为背景与双曲线、抛物线、圆、三角形结合时，更会出现许多让人意想不到的思路、方法，使我们在解题中感受到无穷的乐趣，本文撷取其中的几例进行解析，供参考．一、网格与双曲线结合例1：在边长为1的4×4方格上建立直角坐标系（如图1），在第一象限内画出反比例函数16y x =、6y x =、4y x=的图象，它们分别经过方格中的一个格点、二个格点、三个格点；在边长为1的10×10方格上建立直角坐标系（如图2），在第一象限内画出反比例函数的图象，使它们经过方格中的三个或四个格点，则最多可画出()条．(A )12(B )13(C )25(D )50分析：易知系数k 为合数，且能分解成两个均不超过10的正整数的乘积的形式．如4＝1×4＝2×2，则反比例函数4y x=的图象经过以下3个格点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．6＝1×6＝2×3，则反比例函数6y x =的图象经过以下4个格点：(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)．经过尝试，符合条件的k 值共有13个，分别为：4，6，8，9，10，12，16，18，20，24，30，36，40．所以，经过方格中的三个或四个格点的反比例函数的图象最多可以画出13条．故选B ．二、网格与抛物线结合例2：已知图3中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？()(A )6(B )7(C )8(D )9分析：我们先解决如下问题：对于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，当x 取任意整数时，函数值y 都是整数？（为叙述方便，不妨假设抛物线开口向上．）当x ＝0时，y ＝c ；当x ＝l 时，y ＝a ＋b ＋c ．∴c 为整数，a ＋b ＋c 为整数，∴a ＋b 必为整数，又∵当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＝2a ＋2(a ＋b )＋c 是整数，∴2a 必为整数，∴a 应为12的整数倍，即a ＝12，1，32，2，…从对称的角度考虑，建立如图4所示的平面直角坐标系．(1)若抛物线的顶点在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线过原点．所画抛物线y ＝ax 2（n ＝12，1，32，2，…）最多能经过5个格点．(2)若抛物线的顶点不在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线），＝ax 2＋bx ＋c 过原点和(1，0)．所画抛物线y ＝ax (x －1)（a ＝12，1，32，2，…）最多能经过8个格点．此时a ＝12，这8个格点分别为：(－3，6)，（－2，3），（－1，1），(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)．[来源学&科&网Z&X &X &K]综上所述，抛物线最多能经过81个格点中的8个，故选C ．三、网格与圆结合例3：请你在12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的____个格点．分析：从对称的角度考虑，建立如图5所示的平面直角坐标系．(1)如图5，若圆心在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过原点，所画圆最多能经过12个格点，此时圆的半径为5．这12个格点分别为：(0，5)，(3，4)，(4，3)，(5，0)，[来源学§科§网](4，－3)，（3，－4），（0，－5），（－3，－4），(－4，－3)，（－5，0），（－4，3），（－3，4）．(2)如图6，若圆心不在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过（12，12），所画圆最多能经过16个格点，此时圆的半径为2，这16个格点分别为：(2，6)，(4，5)，(5，4)，(6，2)，（6，－1），（5，－3），（4，－4），（2，－5），（－1，－5），（－3，－4），（－4，－3），(－5，－1)，（－5，2），（－4，4），（－3，5），（－1，6）．综上所述，所画的圆最多能经过169个格点中的16个格点．四、网格与三角形结合例4：如图7，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1网格中，点A 、B 、C 均落在格点上．(1)△ABC 的面积等于____；(2)若四边形DEF G 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图7所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法．分析：(1)S △ABC ＝12×4×3＝6；(2)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形面积是最大的．如图8，在△ABC 中，AB ＝c ，AB 边上的高CN ＝h c ，△ABC 的面积为S ，正方形的一边DE 落在AB 上，其余两个顶点F 、G 分别在BC 、AC 上．设正方形DEF G 的边长是x．所以，图8中正方形一边落在AB 边上，另两个顶点落在其他两边上时，121212744x ==+；图8中正方形一边落在BC边上，另两个顶点落在其他两边上时，图8中正方形一边落在AC 边上，另两个顶点落在其他两边上时，[来源学科网Z|X X|K]∴当正方形一边落在BC边上时，正方形DEF G的面积最大．画法一：如图9，在AB上任取一点P，作P Q⊥BC于点Q，以P Q为一边在△ABC内部画正方形P QMN；作射线BN交AC于点D，过点D作D G⊥BC于点G，作DE⊥D G交AB 于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为矩形，∵D G⊥BC，NM⊥BC，∴D G//NM，画法二：如图10，取格点P，连结P C，过点A画P C的平行线，与BC交于点Q，连结P Q 与AC相交得点D；过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画P C的平行线，与CB相交得点G、F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为平行四边形，[来源学科网]由格点P的位置易判断P C＝CB，且P C⊥CB，∴D G⊥CB，∴平行四边形DEF G为矩形。
初三数学 格点问题资料
初三数学格点问题一、网格中的图形变换1.如图，正方形网格图中每个小正方形边长都为1，每格的顶点叫做格点。
（1）以格点为顶点画出三边长分别为23104、、的ABC∆，并求出三角形的面积；（2）画出ABC∆的外接圆的圆心O，并求出这个外接圆的面积。
（π取14.3）二、网格中的计算问题2.图2是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为________m．（结果保留根号）图2 图3 图4 图53.如图3，在边长为1的正方形网格中，•按下列方式得到“L”形图形．第1个“L”形图形的周长是8，第2•个“L•”形图形的周长是12，则第n个“L”形图形的周长是______．4.如图4，直角坐标系中，△ABC•的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，-1），则△ABC的面积为________平方单位.5.如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于三、网格中的计数问题6.如图6，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A．B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A．B．C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是个.第6题第7题第7题A BCC’B’7.如图7，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ’B ’，则tanB ’的值为8.如第8题图，1∠的正切值等于 。
四、网格中的相似图形1. 如图2，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁2．有一张足够大的网格图，每一小格都是边长为a 正方形，每格的顶点叫做格点。
网格上有如右图的D C B A ,,,四点，连接AD BC AC AB 、、、。
（１）请问在网格上可以找到几个格点（记这个点为E ）使得以点E D A 、、为顶点的ADE ∆与ACD ∆相似；选择其中的一点，来说明ADE ∆与ACD ∆相似。
四年级上册数学人沪教版《数学广场(通过网格来估测)》课件
你知道这里一共有多少颗黄豆吗？
估测黄豆的数量
操作提示
1.小组合作，每人选一格。 2.估测黄豆的数量。 • 不足整颗的，都不算。 3.记录在工具纸上。
Байду номын сангаас
估测黄豆 的数量
格子 1
一格的黄豆数 估测黄豆总数
格子 7
一格的黄豆数 估测黄豆总数
23
4
5
6
8 9 10 11 12
这幅图中有多少个细菌？
这幅图中有多少个细菌？
这幅图中有多少个细菌？
估测细菌的数量
这片花海，大约有多少株郁金香？
1m 1m
估测在生活中的应用
估测这篇作文有多少字 估测10公里的道路内有多少辆车
这些西瓜，需要几辆卡车 才能运走？
这些西瓜，需要几辆卡车才能运走？
这些西瓜，需要几辆卡车才能运走？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A.
例3 问题背景：在△ABC中，AB、BC、CA三 边的长分别为 5、 10 、13 ，求这个三角形的面 积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正 方形网格（每个小正方形的边长为1），再在 网格中画出格点△ABC（如图所示）．这样不 需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的 面积．
C
（1）请你将△ABC的面积 3.5 直接填写在横线上_____.
B
A
思维拓展（2）我们把上述求△ABC面积的方法 叫做构图法．若三边的长分别为 5a 、 2 2a 、 17a （ a 0 ），请利用下图的正方形网格（每个小 正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出 它的面积．
AB 17a
C B A
BC 5a
AC 2 2a
探索创新：（3）若△ABC三边的长分别 为 m2 16n2 、 9m2 4n2 、 2 m2 n2 （m 0，n 0且 m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
中考题欣赏 4. (09温州）在所给的9×9方格中，每个小正 方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它 的四个顶点及对角线交点都在方格的顶点上． (1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长 是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它 的周长不是整数．
中考题欣赏 5.（09年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正 方形的边长都是1．△ACB和△DCE的顶点都在格 点上，ED的延长线交AB于点F． （1）求证：△ACB∽△DCE； （2）求证：EF⊥AB．
网格中的数学
想一想：你能说出一个与正方形网格有关 的数学问题吗？
B
A
例1、在如图的格点中找一点C，使得△ABC 是等腰三角形，且AB为其中一腰.
例2：在如图的正方形网格中画一个等腰直 角三角形，使其满足下列条件： （1）顶点都在方格的顶点上； （2）直角边不在方格线上.
例2：在如图的正方形网格中画一个等腰直 角三角形，使其满足下列条件： （1）顶点都在方格的顶点上； （2）直角边不在方格线上.
中考题欣赏 6.（2009淄博）如图，网格中的每个四边形 都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按 照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面 积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格 点三角形A3B3C3的面积为 ． 37S
A3 A2 A1
A
B B1 B2
C
C1
C2
C3
B3
（第17题）
AB m 2 16n 2
AC 9m 2 4n 2
BC 2 m2 n 2
S ABC 5mn
归纳与反思：
1、正方形的网格问题，主要考查的知识点是： （1）勾股定理； （2）图形的面积； （3）图形与变换；（4）图形与证明； （5）作图.
2、正方形网格主要起到工具的作用，解题时往 往利用（或设） “小正方形的边长为1”.
A B D C E
变1：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得 到△AB1C1 ． （1）在正方形网格中，作出△AB1C1 ；
C1 B1
变1：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得 到 △AB1C1． （2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示 出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它 的面积．（结果保留π）
AC 10
AB 2 5
C1
B1 1 5 2 2 2 S ( AB AC ) （ cm ） 4 2
变2：如图，△ABC是Rt△，请你画一个与 △ABC相似的格点三角形．
F D P Q R A E D F
E
想到了一道熟 悉的（曾经做 过）的题目：
B
C
试一试：
1、如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1， 3 则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 8 （结果保留 π ）． 2、如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部 分）与相似的是（ C ）
中考题欣赏 7.(09湖州)已知图中的每个小方格都是边长 为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格 点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的 抛物线最多能经过81个格点中的多少个？ （ ）． A．6 B．7 C．8 D．9
课外拓展 如图是一个边长分别为3和5的长方 延伸一：如果要把上图分成 6个互不相同 形，我们把它表示为“3×5”，现在要把它分 的长方形，并且它们的边长都是整数，你 成5个互不相同的长方形，而且它们的边长都 是整数，你能分吗？请在图上画出你的分法， 能分吗？如果能，请在图上画出你的分法； 并把每个长方形用类似于“3×5”的形式表示。 如果不能，请说明理由。
中考题欣赏 1.（2009广东）用同样规格的黑白两种颜色 的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第 （3）个图形中有黑色瓷砖_____块，第n个图 形中需要黑色瓷砖_____块（用含n的代数式表 示）．
（ 1）
（1）
（ 2）
（2）
（ 3）
（3 ）
10，
3n 1
中考题欣赏 △ ABC 与 △ ABC 是位 2.（2009山西）如图， 似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐 标是 ． （ 9， 0）
1×1
1×4
1×1
1 ×2
1×3 1×5
1 ×2
1×3 1×5
2×2
延伸二：如果把原长方形变为“4×5”的形状， 你能否把它分成6个不同的长方形呢？如果能， 请在图上画出你的分法；如果不能，请说明理 由。
1×1
1×4 1 ×2 1×3 2×2 2×3
解题时应注意的问题： 1、已知长方形的面积是整数，所求长方形的面积 也是整数； 2、要把一个长方形分割成几个不同的长方形，面 积最小是1，2，3，…… 3、在“3×5”的长方形内，面积为4的长方形不 唯一，可以是“1×4”，也可以是“2×2”， 但面积为6的长方形只能是“2×3”，不能是 “1×6”； 4、分割时不一定是按1，2，3，4，5，…的顺序 增加，也可以是1，2，3，4，6，…
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O
A
B
A
C
C
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
中考题欣赏
3.（08温州）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要 求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括 顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴 对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心 对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心 对称图形．