八年级数学上册角的相关计算和证明(随堂测试及答案)(人教版)

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八年级数学上册综合训练与角有关的辅助线随堂测试新人教版(2021年整理)

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与角有关的辅助线（随堂测试）1。

已知：如图，AB⊥EF 于点O，BD 与MN 相交于点C,∠1=35°，∠B=125°．A求证:EF∥MN．E O FBM NC 1D【参考答案】1. 解：EF∥MN理由如下：如图,延长AB 交MN 于点G．AE O FBM NG C 1D∵∠1=35°（已知）∴∠BCG=35°（对顶角相等）∵∠ABC 是△BCG 的一个外角（外角的定义)∴∠ABC=∠BGC+∠BCG（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ABC=125°(已知)∴∠BGC=∠ABC∠=125°35°=90°（等式的性质）∵AB⊥EF（已知）∴∠AOF=90°(垂直的定义）∴∠AOF=∠BGC（等量代换）∴EF∥MN(同位角相等，两直线平行）。

部编版人教初中数学八年级上册《三角形的外角专题突破随堂测试题(含答案)》最新精品优秀

2.如图，AB∥CD，EG与AB，CD分别交于点F，G，∠A=30°，∠EGD=70°，求∠E的度数．
【参考答பைடு நூலகம்】
1.55°
2.解：如图，
∵AB∥CD（已知）
∴∠EFB=∠EGD（两直线平行，同位角相等）
∵∠EGD=70°（已知）
∴∠EFB=70°（等量代换）
∵∠EFB是△AEF的一个外角（外角的定义）
∴∠EFB=∠A+∠E（三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和）
∵∠A=30°（已知）
∴∠E=∠EFB∠A
=70°30°
=40°（等式的性质）
前言：
该专题突破随堂测试题由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。以高质量的专题突破随堂测试题助力考生查漏补缺，在原有基础上更进一步。
（最新精品专题突破随堂测试题）
三角形的外角（随堂测试）
1.如图，已知∠B=∠ADB，∠1=15°，∠C=20°，则∠EAC的度数为___________．

人教版八年级数学上册与三角形有关的角同步练习及答案

人教版八年级数学上册与三角形有关的角同步练习及答案同步练习（§11.2 与三角形有关的角）班级学号姓名得分1．填空：(1)三角形的内角和性质是____________________________________________________.(2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：已知：△ABC，求证：∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______．证明：过A点作______∥______，则∠EAB＝______，∠F AC＝______．(___________，___________)∵∠EAF是平角，∴∠EAB＋______＋______＝180°．( )∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．( )即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______．2．填空：(1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角．因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．(2)利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质?如图，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD与∠ACB互为______，即∠ACD＝180°－∠ACB．①又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______，∴∠A＋∠B＝______．②由①﹨②，得∠ACD＝______＋______．∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B由上述(2)的说理，可以得到三角形外角的性质如下：三角形的一个外角等于____________________________________________________.三角形的一个外角大于____________________________________________________. 3．(1)已知：如图，∠1﹨∠2﹨∠3分别是△ABC的外角，求：∠1＋∠2＋∠3．(2)结论：三角形的外角和等于______．4．已知：如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．5．已知：如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．6．依据题设，写出结论，想一想，为什么?已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，则：(1)∠A＋∠B＝______．即∠A与∠B互为______；(2)若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．7．填空：(1)△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．(2)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．(3)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______．(4)如图，直线a∥b，则∠A＝______度．(5)已知：如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．(6)已知：如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．(7)已知：如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______(8)在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．8．已知：如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．9．已知：如图，在△ABC中，AD﹨AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．(2)试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?说明理由．10．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB﹨OC分别平分∠ABC﹨∠ACB．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，求∠BOC；(3)若∠BOC＝148°，利用第(2)题的结论求∠A．11．已知：如图，O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，用n的代数式表示∠BOC的度数．12．类比第10﹨11题，若O是△ABC外一点，OB﹨OC分别平分△ABC的外角∠CBE﹨∠BCF，若∠A＝n°，画出图形并用n的代数表示∠BOC．13．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB＝3∶2求∠CAB的度数．14．如图，已知线段AD﹨BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．参考答案1．(1)三角形的内角和等于180°，(2)性质﹨平角，说理过程(略)2．略．3．∠1＋∠2＋∠3＝360°，360°．4．∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠F ．(此图中的结论为常用结论) 5．30°6．(1)90°，余角，(2)∠A ，∠B7．(1)60°．(2)36°，54°，90°．(3)5∶4∶3．(4)39°．(5)110°．(6)115°．(7)36°．(8)30°，45°，105°．8．35°． 9．(1)10°；(2)).(21B C DAE ∠-∠=∠ 10．(1)113°，(2),2190o n + (3)116°． 11．(1)23°．(2).21 n BOC =∠ 证明：∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACE ，∴.21,21ABC OBC ACE OCE ∠=∠∠=∠ ∴.2121)(21 n A ABC ACE OBC OCF BOC =∠=∠-∠=∠-∠=∠ 12．)(21180)32(180FCB EBC BOC ∠+∠-=∠+∠-=∠ )]()[(21180o ABC A ACB A ∠+∠+∠+∠-= )180(21180o o A ∠+-= A ∠-=2190 .2190o n -=13．36°．14．39°．由本练习中第4题结论可知：∠C ＋∠CDM ＝∠M ＋∠MBC ，即①．2121ABC M ADC C ∠+∠=∠+∠同理，②．2121ABC A ADC M ∠+∠=∠+∠ 由①﹨②得),(21C A M ∠+∠=∠ 因此∠C ＝39°．。

人教版八年级上册数学《与三角形有关的角》同步练习(含答案)

与三角形有关的角一、选择题1.已知ABC ∆的三个内角为A ∠，B ∠，C ∠，令B C α∠=∠+∠，C A β∠=∠+∠，A B γ∠=∠+∠，则α∠，β∠，γ∠中锐角的个数至多为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 2.如图，()A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=A ．100︒B ．120︒C ．150︒D ．180︒二、填空题3.如图，ABC △中，ABC DBE EBC ACD DCE ECB ∠=∠=∠∠=∠=∠，，若145BEC ∠=︒，则BDC ∠等于．4.如下图，求A B C D ∠+∠+∠+∠= ．5.如图所示，点E 和D 分别在ABC ∆的边BA 和CA 的延长线上，若3050D B ∠=︒∠=︒，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠，则F ∠的度数为．GFEDCBAGFEDCBAED CBA 120︒100︒D CB A6.⑴如图，点P 是ABD ∠与ACD ∠的角平分线的交点，若60A ∠=︒，120D ∠=︒，则______BPC ∠=⑵如图，点P 是ABD ∠与ACD ∠的角平分线的交点，若40A ∠=︒，35P ∠=︒，则______D ∠=7.如右图所示，在ABC ∆中，CD 、BE 是外角平分线，BD 、CE 是内角平分线，BE 、CE 交于E ，BD 、CD 交于D ，试探索D ∠与E ∠的关系：．8.如图，在ABC △中，BD CD ，是ABC ACB ∠∠，的角平分线，连接AD ,125BDC ∠=︒，求ADB ∠的度数9.已知三角形的三个内角分别为α、β、γ，且αβγ≥≥，2αγ=，则β的取值范围是．P DCBA DP CBA DCBA10.ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ︒，最小值是n ︒．则m n += ．11.如下图，CGE α∠=，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．12.如图，ABC △中，90C ∠=︒，13BAD BAE ∠=∠，13ABD ABF ∠=∠，则D ∠= ．三、解答题13.如下图，求C D ∠+∠的度数．14.如图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=︒，110BGC ∠=︒，求A ∠的度数．15.（1）若4030A B ∠=︒∠=︒，，求C D ∠+∠的度数（2）若BP CP 、为ABC ACD ∠∠、的角平分线，P ∠与A ∠和D ∠之间的关系αGFEDCBAFE DCB A70︒30︒E DCBA16.如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ABC ∆的外角平分线，BD 、CD交于点D ，若70A ∠=︒，求D ∠．17.如图，在三角形ABC 中，42A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D 、E ，求BDC ∠的度数．18.如图所示，已知70A ∠=︒，40B ∠=︒，20C ∠=︒，求BOC ∠度数．19.如图，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数．20.如图，P 是ABC △内一点，求证：BPC ∠>A ∠DCBAPDCBAABC D EF21.如下图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 、E 为AB 上两点，若AE AC =，45DCE ∠=︒，求证：BC BD =．22.已知三角形有一个内角是(180)x -度，最大角与最小角之差是24︒．求x 的取值范围．PCBA54321E D CB A与三角形有关的角答案解析一、选择题1.A;实际是问至多有几个顶点所对应的外角是锐角，即至多有几个内角是钝角．总结：一个三角形的内角至多有311⎧⎪⎨⎪⎩锐角个直角个钝角个；至少有2个锐角．2.D;如图，连接EF AC ，，则有G D GAD GCA ∠+∠=∠+∠，()()EFC AEF EAC ACF EAD CAD GCF GCA ∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠ ()()()()EAD GCF CAD GCA EAD GCF G D =∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠所以A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠()()()EAD GCF G D B AEB CFB =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠ ()()EFC AEF B AEB CFB =∠+∠+∠+∠+∠()()180EFC CFB AEB AEF B EFB FEB B =∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒二、填空题3.110︒;根据燕尾形，故E A ABE ACE ∠=∠+∠+∠，2A E D ∠+∠=∠，35x y +=︒4.220︒．5.40︒;1()=402F D B ∠=∠+∠︒【解析】对顶八字形的应用 6.⑴90BPC ∠=︒;⑵30D ∠=︒7.D E ∠=∠;∵1122D AE A ∠=∠∠=∠，，∴D E ∠=∠ 8.35︒；两内角平分线的应用，1902A BDC ∠+︒=∠，又三内角平分线交于一点9.4572β︒︒≤≤;由题意可得2(180)3αβ=︒-，1803βγ︒-=，解不等式组yxED CBA2180(180)33βββ︒-︒-≥≥，得：4572β︒︒≤≤．10.175;25A B ∠=∠，依题意得2718055B B B ∠︒-∠∠≤≤，解得75100B ︒∠︒≤≤，故175m n +=．11.2α．12.90︒;()()1118018033DAB ABD BAE ABD CAB ABC ∠+∠=∠+∠=︒-∠+︒-∠，90CAB ABC ∠+∠=︒三、解答题13.180180100C D CED AEB A B ∠+∠=︒-∠=∠︒-∠=∠+∠=︒ 14.延长BD 交AC 于H ，则BDC HCD DHC ∠=∠+∠∵DHC A ABH ∠=∠+∠∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ 即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠② ②－①得2BGC BDC A ∠-∠=∠ ∴211014080A ∠=⨯︒-︒=︒15.（1）70C D ∠+∠=︒．（2）如图⑤，x A y P +∠=+∠，x P y D +∠=+∠，化简可得2P A D ∠=∠+∠x x yy⑤DPCBA【解析】对顶八字形，需要掌握A B C D ∠+∠=∠+∠，第二问便是这个结论的应用16.∵ACE A ABC ∠=∠+∠∵12DCE ACE ∠=∠，12DBC ABC ∠=∠ ∴12DCE A DBC ∠=∠+∠ ∵DCE D DBC ∠=∠+∠∴12D DBC A DBC ∠+∠=∠+∠，即1352D A ∠=∠=︒．17.设ABC ∠的三分之一为x ，ACB ∠的三分之一为y ，因为三角形内角和为180︒，所以有：3342180x y ++=︒，即180423x y ︒-︒+=，所以180421802883BDC ︒-︒∠=︒-⨯=︒． 18.法1：如图(1)，延长BO 交AC 于D ，求得130BOC ∠=法2：如图(2)，连接BC ；法3：如图(3)，连接AO 并延长到点D ．本题的一个重要结论：如例题所示图形，BOC A B C ∠=∠+∠+∠ 19.连接BC ，∵EFD CFB ∠=∠(对顶角相等)∴E D FCB FBC ∠+∠=∠+∠(等量减等量差相等)∴ACB ABC ACD ABE FCB FBC ∠+∠=∠+∠+∠+∠(等量代换) ∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒(三角形内角和定义) ∴180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒(等量代换)20.图中没有三角形的外角，可适当引辅助线构造外角，再比较．延长BP 交AC 于D ．则有BPC PDC ∠>∠，且PDC A ∠>∠，所以BPC A ∠>∠．21.如图，∵245∠=︒，AE AC =，∴523453∠=∠+∠=︒+∠．∴43A ∠=∠+∠，15(453)(90)345445B A A ∠=∠-∠=︒+∠-︒-∠=∠+∠-︒=∠-︒．∴4145BCD ∠=∠+∠︒=∠， ∴BC BD =．22.①若(180)x -度为最大角，则最小角为(156)x -度，那么，156180(180)(156)180x x x x ------≤≤，解得104112x ≤≤；②设(180)x -度是中间角，则121801222x x x --+≤≤，112128x ≤≤； ③设(180)x -度为最小角，则180180(180)(204)204x x x x ------≤≤，解得128136x ≤≤，综合⑴、⑵、⑶得x 的范围是104136x ≤≤．A PCBD。

人教版八年级数学上册课堂随堂练习题：12.2 三角形全等的判定(解析版)

12.2 三角形全等的判定基础题1．如图，PB ⊥AB 于B ，PC ⊥AC 于C ，且PB =PC ，则△APB ≌△APC 的理由是A ．SASB ．ASAC ．HLD ．AAS2．如图，若∠ABC =∠DCB ，当添加下列条件时，仍不能判断△ABC ≌△DCB 的是A ．∠A =∠DB ．AB =DC C ．∠ACB =∠DBCD ．AC =BD3．如图，点C 在AOB 的OB 边上，用尺规作出了CN OA ∥，作图痕迹中，FG 是A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧 C ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧4．下列条件中能作出唯一三角形的是 A ．AB =4 cm ，BC =3 cm ，AC =5 cm B ．AB =2 cm ，BC =6 cm ，AC =4 cm C ．∠A =∠B =∠C =60°D ．∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°5．如图，小明设计了一种测零件内径AB 的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC =AB ，则AO 、BO 、CO 、DO 应满足下列的条件是A ．AO =COB ．AO =CO 且BO =DOC ．AC =BDD ．BO =DO6．如图，△ABC 是不等边三角形，DE =BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个7．如图，D 为△ABC 内一点，且AD =BD ，若∠ACD =∠DAB =45°，AC =5，则S △ABC =__________．8．如图，ABC △中，10cm AB AC ==，8cm BC =，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由点B 向点C 移动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 移动，若点Q 的移动速度与点P 的移动速度相同，则经过__________秒后，BPD △≌CQP △．9．如图，△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点E 在AB 上，试说明：△CDA ≌ △CEB ．10．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图所示四边形ABCD 是一个筝形，其中AB =CB ，AD =CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，垂足分别是E ，F ．求证：OE =OF ．11．如图，AB=AC，AD=AE，CD=BE．求证：∠DAB=∠EAC．12．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．13．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（1）求证：ΔABC≌ΔDEF；（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．能力题14．如图，D ､E ､F 分别为△ABC 边AC ､AB ､BC 上的点，∠A =∠1=∠C ，DE =DF ．下面的结论一定成立的是A ．AE =FCB ．AE =DEC ．AE +FC =ACD ．AD +FC =AB15．已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是A ．平分已知角B ．作已知直线的垂线C ．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段D ．作已知直线的平行线16．如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，AD CB =，OA OC =，OB OD =，则图中的全等三角形有A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对17．如图，∠ADB =∠AEC =100°，∠BAD =50°，BD =EC ，则∠C =A ．20︒B ．50︒C ．30︒D ．40︒18．如图，在△ABC 中，AC =3，中线AD =5，则边AB 的取值范围是__________．19．如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的C 点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的A 点，然后姿态不变原地转了一个角度，正好看见了他所在的岸上的一块石头B 点，他发现看到B 点和A 点的视角相等，并测量BC =30 m ，则河宽为___________．20．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足为D．将△ADC绕点D逆时针旋转90°后，点A落在BD上点A1处，点C落在DA延长线上点C1处，A1C1与AB交于点E．求证：△A1BE≌△AC1E．参考答案1．【答案】C【解析】∵Rt △APB 和Rt △APC 中，PB PCAP AP =⎧⎨=⎩，∴Rt △APB ≌Rt △APC （HL ）．故选C ．2．【答案】D【解析】A 、添加∠A =∠D 可利用AAS 判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意； B 、添加AB =DC 可利用SAS 定理判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意； C 、添加∠ACB =∠DBC 可利用ASA 定理判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意； D 、添加AC =BD 不能判定△ABC ≌△DCB ，故此选项符合题意．故选D ． 3．【答案】D【解析】根据作一个角等于已知角可得弧FG 是以点E 为圆心，DM 为半径的弧．故选D ． 4．【答案】A【解析】A ．符合全等三角形的SSS ，能作出唯一三角形，故该选项符合题意，B ．AB +AC =BC ，不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形；故该选项不符合题意， C ．属于全等三角形判定中的AAA 的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，D ．属于全等三角形判定中的AAA 的情况，不能作出唯一三角形；故该选项不符合题意，故选A ． 5．【答案】B【解析】如图，连接CD ．AO =CO 且BO =DO ，AOB COD ∠=∠（对顶角相等），所以AOB COD △≌△，则DC =AB ．故选B ． 6．【答案】B【解析】如图，可以作4个，分别是以D 为圆心，AB 为半径，作圆，以E 为圆心，AC 为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．然后以D为圆心，AC为半径，作圆，以E为圆心，AB 为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．故选B．7．【答案】25 2【解析】如图，过D作FD⊥CD交AC于F，连接BF．∵∠ACD=45°，∴∠CFD=45°，∴FD=CD．∵∠CDF=∠ADB=90°，∴∠CDA=∠FDB．在△ADC和△BDF中，∵CD=DF，∠CDA=∠FDB，AD=DB，∴△ADC≌△BDF，∴∠ACD=∠BFD=45°，AC=BF．∵∠CFD=45°，∴∠BFC=90°，∴BF⊥AC，∴S△ABC=12AC•BF=12×5×5=252．故答案为：252．8．【答案】1【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，设点P、Q的运动时间为t，则BP=3t，CQ=3t，∵AB=10 cm，BC=8 cm，点D为AB的中点，∴BD=12×10=5 cm，PC=（8-3t）cm，∵△BPD≌△CQP，∴BD=PC，BP=CQ，∴5=8-3t且3t=3t，解得t=1，故答案为：1．9．【解析】∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，BC ACECB DCA EC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDA≌△CEB．10．【解析】∵在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=CD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．11．【解析】在△ADC和△AEB中，AC AB CD BE AD AE===⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ADC≌△AEB（SSS），∴∠DAC=∠EAB，∴∠DAC-∠BAC=∠EAB-∠BAC，即∠DAB=∠EAC．12．【解析】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CE，AB=CD，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．13．【解析】（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF，∴AC=DF．在△ABC和△DEF中，AB DE BC EF AC DF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（SSS）．（2）由（1）可知，∠F=∠ACB，∵∠A=55°，∠B=88°，∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-（55°+88°）=37°，∴∠F=∠ACB=37°．14．【答案】C【解析】∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠1+∠CDF=180°，∠A=∠1，∴∠AED+∠ADE=∠ADE+∠CDF，∴∠AED=∠CDF，又∵∠A=∠C，DE=DF，∴△ADE≌△CFD，∴AE=CD，AD=CF，又∵AD+CD=AC，∴AE+FC=AC，∴上述四个结论中，正确的是C中的结论，其余三个结论都是错误的，故选C．15．【答案】C【解析】已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段．故选C．16．【答案】C【解析】在△AOB和△COD中，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，同理可证△AOD≌△COB，在△ABD和△CDB中，AB=CD，AD=CB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB，同理可证△ABC≌△DCA，故选C．17．【答案】C【解析】∵∠ADB=∠AEC=100°，∴∠ADE=∠AED=80°，∴AD=AE，∵∠BAD=50°，∴∠B=180°-100°-50°=30°，在△ADB与△AEC中，AD AEADB AEC BD EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴AB=AC，∴∠B=∠C=30°，故选C．18．【答案】7<AB<13【解析】如图，延长AD到E，使得DE=AD=5，连接EC．∵AD =DE ，∠ADB =∠EDC ，BD =DC ，∴△ADB ≌△EDC ，∴EC =AB ，∴AE AC EC AE AC -<<+，即713EC <<，713AB <<．故答案为：713AB <<． 19．【答案】30 m【解析】由题意得：在BCD △和ACD △中，ADC BDC CD CD ACD BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴BCD ACD △≌△，∴30m BC AC ==，故答案为：30 m ． 20．【解析】∵△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠B =∠C ，BD =CD ，∵△A 1DC 1是由△ADC 旋转而得， ∴A 1D =AD ，C 1D =CD ，∠C 1=∠C ， ∴∠B =∠C 1，BD =C 1D ，∴BD －A 1D =C 1D －AD ，即BA 1=C 1A ．在△A 1BE 和△AC 1E 中，11111BEA C EA B C B A C A∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1BE ≌△AC 1E （AAS ）．。

2020年秋人教版八年级数学上册第13章《等腰三角形》(讲义、随堂测试、习题及答案)

人教版八年级数学上册第13章等腰三角形（讲义）➢ 课前预习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠1=∠2，则BD ____DC （填“>”，“<”或“=”）；（2）若BD =CD ，则AD ____BC （填“⊥”或“∥”）；（3）若AD ⊥BC ，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）．D CB A 212. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．➢ 知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写：已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：BD =CD ．证明：➢ 精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．CB C B C B AAA108°60°2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．D CB ADCBAEDCBA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，BD =BE ，∠A =100°，则∠DEC =________．4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．CD B AABCE第4题图第5题图5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，AD =AE ，若∠BAD =50°，则∠CDE =________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E ．求证：AE =ED ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD于点D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ． E CB AAB CD8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13 cm ，其中一边长为3 cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．11.若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．13.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．➢课前预习1.（1）=（2）⊥（3）=2.18或21➢知识点睛1.有两边相等2.轴对称，三线合一，对称轴3.相等，等边对等角相等，等角对等边4.相等，60°5.证明：如图∵AB=AC，AD平分∠BAC∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一）∴BD=CD➢精讲精练1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.100°4.108°5.25°6.证明略提示：根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，再由平行可以得到∠CAD=∠BAD=∠ADE，从而AE=DE7.证明略提示：过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一可得BE=CD，再证△ABE≌△ACD即可．8.∠E=60°提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE9.3cm10.40°或100°11.50°或130°12.这样的点能找4个，作图略13.这样的点能找2个，作图略等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．CDB 2.已知等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为10cm，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 证明略提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD等腰三角形（习题）➢ 例题示范E DCB A例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于点D ，12CD BC =．求证：∠ACD =∠B ．【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：由条件12CD BC =，可尝试取BC 的中点E ，此时结合等腰构造三线合一的线AE ，如图所示．要证∠ACD =∠B ，可以证明△ABE ≌△ACD ．【过程书写】证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．∵E 是BC 的中点∴12BE BC =∵12CD BC = ∴BE =CD∵AB =AC ，E 是BC 的中点 ∴AE ⊥BC ∴∠AEB =90° ∵CD ⊥AD ∴∠D =90°∴∠AEB =∠D =90°在Rt △ABE 和Rt △ACD 中 AB AC BE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已证）∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ） ∴∠ACD =∠B例2：等腰三角形的周长为12cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________cm ．【思路分析】ACDEA B C D A CD等腰三角形一边长为5cm ，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论： ① 如果5cm 为底，则根据周长为12cm ，可知腰长为3.5cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．② 如果5cm 为腰，则根据周长为12cm ，可知底边长为2cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．综上，该等腰三角形的底边长为5cm 或2cm ． ➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =80°，求∠C 的度数．2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BE ∥AC ，∠BDE =100°，∠BAD =70°，则∠E =______．第2题图第3题图3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E作MN ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（）CBAED CB ADB AA ．6B ．7C ．8D ．95. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ．求证：BD =CE ．N M EC BADCBAPA B CD E7.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．8.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．9.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．➢思考小结1.要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：①如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；②如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．2.将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．【参考答案】➢巩固练习 1.50° 2.50° 3.36° 4. D5. 证明略提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD 垂直平分BC ，从而得到PB =PC6. 证明略提示：根据等边对等角可得∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，进而可得∠BAD =∠CAE ，从而证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形对应边相等，可得BD =CE7. 20 D C B A8.80°或40°9.这样的点能找4个，作图略➢思考小结1.①全等②等腰2.等边，=，12，12，一半。

2021-2022学年人教版八年级数学上册随堂检测附答案11.2.2三角形的外角

11.2.2 三角形的外角一、选择题（共5小题；共25分）1. 如图，点B，C，D在同一直线上，则∠1，∠2，∠3的大小关系是( )A. ∠1<∠2<∠3B. ∠1<∠3<∠2C. ∠2<∠3<∠1D. ∠3<∠2<∠12. 三角形的一个外角是锐角，则这个三角形是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 若一个三角形三个内角之比为2:3:4，则相应的三个外角之比为( )A. 2:3:4B. 4:3:2C. 5:4:3D. 7:6:54. 如图1所示，点D，E分别是∠BAC内的一点，则∠A，∠D，∠E的大小关系是( )A. ∠A>∠D>∠EB. ∠A<∠D<∠EC. ∠D<∠A<∠ED. 不确定5. 将一副直角三角板按如图所示方式叠放在一起，则∠α的度数是( )A. 120∘B. 135∘C. 150∘D. 165∘二、填空题（共9小题；共45分）6. 求图中各未知角的度数：∠1=；∠2=；∠3=；∠4=．7. 如图，一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数是．8. 如图所示，∠ABD的度数是．9. 在△ABC中，已知∠A+∠B−∠C=20∘，则∠C=（填度数）．10. 如图，∠DAB的度数是．11. 等腰三角形的一个外角等于100∘，则顶角的度数为．12. 将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=．13. 如图，点D是△ABC内一点，∠A=80∘，∠ABD=20∘，∠ACD=35∘，则∠BDC=．14. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．三、解答题（共5小题；共80分）15. 如图，从A处测得建筑物的顶部C的仰角∠CAD=30∘，沿直线AD走到点B处时测得建筑物的顶部C的仰角∠CBD=55∘．从建筑物的顶部C观测A，B两处时视角∠ACB是多少?16. 如图，CD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠BAC=50∘，求∠AFC的度数．17. 如图，一个零件按规定∠A=90∘，∠B=32∘，∠C=23∘．检验工人量得∠BDC=143∘，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明不合格的理由．如果测得∠BDC=145∘，能说明这个零件一定合格吗?18. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数．（1）若∠ABC=60∘，∠ACB=70∘，则∠BIC=；（2）若∠ABC+∠ACB=130∘，则∠BIC=；（3）若∠A=50∘，则∠BIC=；（4）从上述计算中，我们发现∠A与∠BIC之间有怎样的数量关系?请说明理由．19. 如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA，CD平分∠ACB，CE⊥AB交AB的延长线于点E，若∠DCE=54∘，求∠A的度数．答案1. C2. C3. D4. B 【解析】延长BD交AC于点F，延长BE交CD于点G，如图2所示．因为∠BEC是△CEG的一个外角，所以∠BEC>∠1（三角形内角和定理的推论2）．同理可得∠1>∠2，∠2>∠3，∠3>∠A，根据传递性可得∠BEC>∠2>∠A．5. D6. 80∘，100∘，60∘，105∘7. 105∘8. 120∘9. 80∘10. 35∘11. 80∘或20∘12. 240∘13. 135∘14. 360∘15. 由题意得，∠CBD是△ABC的一个外角，∴∠CBD=∠ACB+∠CAD．∴∠ACB=∠CBD−∠CAD=55∘−30∘=25∘．16. ∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=12∠BAC=12×50∘=25∘.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC=90∘．∴∠AFC=∠DAF+∠ADF=25∘+90∘=115∘．17. 如图，连接A D并延长至点E，∠BDC=∠BDE+∠EDC=(∠B+∠BAE)+(∠C+∠EAC)=∠BAC+∠B+∠C=145∘.（1）检验工人量得∠BDC=143∘≠145∘，所以零件不合格；（2）如果测得∠BDC=145∘，这个零件不一定合格 .当∠A=90∘，∠B=35∘，∠C=20∘时，∠BDC= 145∘，但此零件不合格．18. （1）115∘（2）115∘（3）115∘（4）∠BIC=90∘+12∠A．设∠ABI=∠IBC=x，∠ACI=∠ICB=y，在△ABC中，2x+2y=180∘−∠A，所以x+y=90∘−12∠A．在△IBC中，∠BIC=180∘−(x+y)=180∘−(90∘−12∠A)=90∘+12∠A．19. 设∠ACD=x .∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=x .又∠BAC=∠BCA，∴∠BAC=∠BCA=2x .∴∠CBE=4x .∵∠CBE+∠BCE=90∘，∠DCE=54∘，∴4x+(54∘−x)=90∘ .解得x=12∘．∴∠A=2x=24∘．。

八年级数学上册综合训练角的相关计算和证明一天天练试题

角的相关计算和证明制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

学生做题前请先答复以下问题问题1：看到平行想什么？问题2：看到垂直想什么？问题3：看到三角形的外角想什么？问题4：看到三角形的内角想什么？角的相关计算和证明〔一〕〔人教版〕一、单项选择题(一共7道，每道14分)1.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD平分∠BAC，那么∠ADC的度数为( )A.80°B.107°C.73°D.100°2.如图，直线BD∥EF，AE交BD于点C，假设∠B=30°，∠A=75°，那么∠E的度数为( )A.60°B.75°C.90°D.105°3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC边上一点，BE交AD于点F．∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，那么∠BEC的度数为( )A.85°B.105°C.100°D.90°4.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，那么∠E=( )C.90°D.105°5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为E，F，假设∠ADE=158°，那么∠FEC的度数为( )A.22°B.32°C.44°D.58°6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．假设∠A=70°，那么∠D的度数为( )A.110°B.140°7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M．假设∠ACB=70°，∠B=40°，那么∠M的度数为( )A.20°B.15°C.35°D.25°制卷人：打自企；成别使；而都那。

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角的相关计算和证明（随堂测试）
1. 已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分
∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠FDE的度数是______．

E
F
D

BA
2. 已知：如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠F=130°．
求证：EF∥AB．
证明：如图，

【参考答案】
F
E

B
A
∵∠CBF=20°（已知）
∴∠FBA=________-_________
=________-_________
=________（等式的性质）

由平行求
∠ABC

求∠FBA
由同旁内角
互补证平行
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1. 20°
2. 证明：如图，

F
E

B
A
∵CD∥AB （已知）
∴∠DCB=∠ABC（两直线平行，内错角相等）
∵∠DCB=70° （已知）
∴∠ABC=70° （等量代换）

由平行求
∠ABC

∵∠CBF=20°（已知）
∴∠FBA=∠ABC -∠CBF
=70°-20°
=50°（等式的性质）

求∠FBA

∵
∠F=130° （已知）
∴∠FBA+∠F=50°+130°=180°（等式的性质）
∴EF∥AB （同旁内角互补，两直线平行）
由同旁内角

互补证平行