各种排列组合问题的统一处理

( x1 + x2 + … + x m ) n =
n1 + n2 + …+ nm = n
从 n 个相异的元素中取出允许重复使用的 r 个元 素 , 不管怎样的次序并成一组 , 叫做 n 个相异元素 的允许重复的 r 元组合 , 简称重集的 r2 组合 [ 2 ] .
∑
n! n n n x 11 x 22 …x mm . n1 !n2 ! …nm !
0 引言
排列与组合是组合数学中的两个重要的概 念 ,是一类重要的基本计数方法 . 可重复排列与可 重复组合在理论和实际中的应用更为广泛 . 本文 试图以可重复全排列的基本思想来统一解决所有 的排列组合问题 , 从而得出排列与组合的可以相 互转化的结论 . 首先给出一个本文中要多次使用的可重复排 列公式[ 1 ] 以及可重复组合的概念 . 设 S = { k1 a1 , k2 a2 , …, k n a n } 是 n 个不同元素 的多重集 , 其中第 i 个元素的重数为 k i , 令元素的 总数 k = k1 + k2 + … + k n , 则 S 的所有元素的不 同 k 2重复排列数为
n! n! = = ( n - r) ! 1 !1 ! … 1 ! ( n - r) !
r n ( n - 1) …( n - r + 1) = P n .
数为 ( 4) . 从不同的角度考虑 , 可得到两种不同的证明 方法 . 证明 1 从 n 个盒子中选 n1 个放入 a1 , 每个 盒子中放一个 , 虽然盒子是编号的 , 但每个盒子中
r 一排 , 方案总数自然是 C n .
这又一次证明组合可以看成一种特殊的可重 复排列 .
第3期
张会凌 : 各种排列组合问题的统一处理
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类型 2 把 r 个不尽相同的球放入 n 个有编号 的盒子 , 球可以随意放入盒子 , 一个盒子里最多可 以放入 r 个. 对应于这种类型 , 有下面的结论[ 2 ] . 结论 2 把 r 个无区别的球装入 n 个有编号 的盒子 , 每个盒子中放入球的数量不限 , 总方案数 r 为 Cn+ r- 1 . 此处球的放法等价于从 n 个相异的元素中可 重复选取 r 个元素 ( 每个元素可被重复选取的次 数在不超过 r 的前提下没有限制) 的组合 [ 2 ] , 即多 重集 S = { ∞a1 , ∞a2 , …, ∞an , } 或 S = { k1 a1 , k2 a2 , …, k n a n , } ( k i ≥ r) 的 r - 组合 . 文献[ 3 ] 按照组合的思路给出了本结论的证明. 笔者按照重复排列的思想给出如下的证明 . 不考虑盒子的编号 . 如果某个盒子放入了 2 个球 , 就把这个盒子看成 2 个同样的盒子 . 如果某个盒子放入了 3 个球 , 就把这个盒子 看成 3 个同样的盒子 . 如果某个盒子放入了 k 个球 , 就把这个盒子 看成 k 个同样的盒子 ( k ≤ r) . 当所有的球都放入 盒子后 , 把所有放入球的盒子按这样的方法 “拆 分” 为只装 1 个球的盒子 , 并且都看成相同的 , 记 为 “实” , 则共有 r 个 “实” . 将空盒子记为 “空” , 其数目每次都不定 , 但总 可以假定有 n - 1 个 . 这是因为 , 在极端的情况下 , 原编号为 i 的盒子里放入了 r 个球 , 其余的空盒子 共有 n - 1 个 . 经过如上的调整后 , 我们得到 n + r - 1 个无 编号的盒子 , 分为两种 , 一种是 “实” , 有 r 个 , 另一 种是 “空” , 有 n - 1 个. 由于将 r 个无区别的球装入 n 个有编号的盒 子 , 使每个盒子中放入球的数量不限的每一种具 体方案 , 都对应于我们新得出的 n + r - 1 个无编 号的盒子的一种可重复的全排列 ,反之亦然 . 根据 公式 ( 1) ,方案的总数是
r Pn
n 1 !n2 ! …nk !
( r ≤ n) .
( 5)
此公式使这一类型问题的排列属性更加明显 . 值得指出的是 , 若在结论 1 中将条件简化为
n1 = r , n2 = n3 = … = nk = 0 , 即要将 r 个无区
当 r = n 时 , 此公式就是有重复元素出现的全排 列公式 ( 1) . 本结论给出了不尽相同的球放入有编号的盒 子的方案数 . 问题到底属于重复排列还是属于重 复组合 ? 我们通过对本结论的证明进行分析 . 题目实际上是给出了一个有 r 个不尽相同元 素 a1 , a2 , …, ak 的重集 , S = { n1 a1 , n2 a2 , …, nk a k } , n1 + n2 + … + nk = r. 要求证明把这 r 个不尽相同元素放入 n 个有编号 的盒子中 , 并且每个盒子中最多放入一球的方案
n! . r ! ( n - r) !
( 2)
公式 ( 1) 和 ( 2) 的形式特别类似 ,并非偶然 . 事实上 ,当从 n 个相异的元素中取出 r 个元 素组成任意一种组合时 , n 个相异的元素就被简
收稿日期 :2009207205.
证明 从 n 个不同的元素中每次取出 r ( r ≤
作者简介 : 张会凌 ( 19542) ,男 ,甘肃成县人 ,甘肃联合大学教授 ,从事微分几何 、 计算机算法设计与分析研究 .
2 相同或不尽相同的物品放入有编
号的盒子问题
相异元素允许重复的排列与组合问题 ,即多重 集的 r2 排列与 r2 组合问题 , 其模型是把相同或不尽 相同的物品放入有编号的盒子问题 , 我们通过对此 类问题的分析来说明排列与组合的相互转化 . 为简单 , 把物品看成球 . 把 r 个球放入 n 个有 编号的盒子问题 , 根据球是否不尽相同 , 是否允许 有空盒 , 是否对放入盒中的球的个数有限制而分 为下面几种类型 . 类型 1 把 r 个不尽相同的球放入 n 个有编 号的盒子 , 限制每个盒子里最多放入一球 . 对应于 这种类型 , 有下面的结论 [ 1 ] . 结论 1 设有 r 个球由 n1 个第一种球 , n2 个 第二种球 , …, nk 个第 k 种球组成 ( r = n1 + n2 + … + nk ) , 把这 r 个球装入 n 个有编号的盒子 ,使每个 盒子中最多放入一个球的方案数为
…- n k- 1
( n - n1 ) ! n! = ・ ・…・ ( ) ( n1 ! n - n1 ! n2 ! n - n1 - n2 ) ! ( n - n1 - n2 - … - nk- 1 ) ! = nk ! ( n - n1 - n2 - … - nk ) ! n! . n1 !n2 ! …nk ! ( n - r) !
nk 个第 k 种球 , n - r 个第 k + 1 种球 ( 实际上是 ) , 于是问题就变成了求 n 个不尽相同的球的自然是
n! ( r ≤ n) . n1 !n2 ! …nk ! ( n - r) !
此为笔者给出的证明 . 从这个证明又可以看出 , 问题属于可重复排 列的范畴 . 事实上 ,公式 ( 4) 也可写成
n! ( r ≤ n) . n1 !n2 ! …nk ! ( n - r) ! ( 4)
此为文献 [ 3 ] 给出的证明思想 . 从证明方法可以看出 ,问题属于组合的范畴 . 证明 2 由于 n ≥ r , 且每个盒子中最多放入 一球 , 故把球放入盒子的任何一种摆放完成后 , 总 有 n - r 个盒子是空的 . 于是我们可以设想共有 n 个球 , 其中有 n1 个第一种球 , n2 个第二种球 , …,
( n + r - 1) ! . r ! ( n - 1) !
r 而这恰是 Cn+ r- 1 . 类型 3 把 r 个完全不同的球放入 n 个有编号 的盒子 , 放法不限. 对类此问题有下面的结论[ 4 ] . 结论 3 从 n 个不同的元素中可重复地选取 r r 个元素的可重复排列 , 方案总数是 n . 本结论的证明是非常简单的 . 每个球都有 n
甘肃联合大学学报 ( 自然科学版) 第 24 卷 2 4
n) 个进行排列 , 对于每一种具体的方案 , 注意到
取出 r 个不同的元素后 , 还剩 n - r 个未被选取 . 对 选取出的 r 个不同元素 , 将其每个的重数都看成 1 , 而将未被选取的 n - r 个元素看成一样的 , 重数 为 n - r , 于是每一种具体的非重复的排列方案都 对应于 n 个元素的一种可重复的全排列 , 根据公 式 ( 1) ,方案总数是
k! . k1 !k2 ! …k n ! ( 1)
单地分成了两种 , 一种是被选取的 r 个 , 另一种是 未被选取的 n - r 个 . 由于组合与元素的顺序无 关 , 被选取的 r 个元素可以看成是相同的 , 未被选 取的 n - r 个元素也可以看成是相同的 . 于是每一 种传统意义上的组合都可以看成 n 个元素的一种 特殊的可重复的全排列 . 这种重复全排列是由两 种共 n 个元素构成的 , 第一种元素有 r 个 , 第二种 元素有 n - r 个 . 根据公式 ( 1) , 这种可重复的全排 列的总数就是 ( 2) . 命题 1 从 n 个相异的元素中取出 r 个元素的 组合 , 可以看作 n 个元素的一种特殊的全排列 , 这 n 个元素分为两种 , 第一种 r 个 , 第二种 n - r 个 . 将组合看成一种特殊形式的可重复全排列的 另一个典型的例子是二项式定理及其推广 . 假设 n , m 为正整数 , 对所有的 x i ( i = 1 , 2 , …, m) , 有如下的多项式定理
( 3)
1 用重复排列的思想解决非重复的
上式中的多项式系数 n !/ ( n1 !n2 ! …nm !) 就是 n2 重复排列的种数 . 当 m = 2 时 , ( 3) 就成为二项式
1 = C n2 . 定理 , 系数 n !/ ( n1 !n2 !) = C n n n