高二数学正态分布综合测试题
【高中】正态分布经典练习题
正态分布一、选择题1. 已知随机变量•服从正态分布N（2,9），若P「• c • 1）=P（「c — 1），则c等于（）A. 1B.2C.3D.42. 已知随机变量•服从正态分N（2,；「2），且P「：：：4） =0.8，则P（0「：：：2）等于（）A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.23. 已知随机变量•服从正态分布N（2,；「2），P（< 4）=0.84，则P（< 0）等于（）A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.844. 已知随机变量X服从正态分布N（2,；「2），P（0 ：：：X ：：：4） =0.8，则P（X ■ 4）等于（）A. 0.1B.0.2C.0.4D.0.65. 已知随机变量■服从正态分布N（3,；「2），且Pf :：: 2） =0.3，则P（2「：：：4）等于（）A.0.5B.0.2C.0.3D.0.46. 已知随机变量•服从正态分布N（3,；「2），P（< 4）=0.842，则P（< 2）等于（）A.0.842B.0.158C.0.421D.0.3167. 已知随机变量X服从正态分布N（3,1），且P（2：：：X ：：：4） =0.6826，则P（X 4）等于（）A.0.1588 B.0.158 C.0.1586 D.0.15858. 已知随机变量X服从正态分布N（0,二2），若P（X・2） =0.023，贝U P（-2 < X < 2）等于（）A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9779. 在某次联考数学测试中，学生成绩•服从正态分布（100，二2）（二0），若•在（80,120）内的概率为0.8，贝U落在（0,80）内的概率为（）A.0.05B.0.1C.0.15D.0.210. 已知随机变量X服从正态分布NW匸2），且P（亠） 0.9 5,4P（」-；—：：X「=0.6826，若J 贝U P（5 ：：X ：：6）=（）A.0.1358B.0.1359C.0.2716D.0.271811. 某商场经营的一种袋装的大米的质量服从正态分布N（10, 0.12）（单位kg）,任选一袋这种大米，其质量在9.8~10.2kg的概率为（）A.0.0456B.0.6826C.0.9544D.0.997412. 一批电池的使用时间X （单位：小时）服从正态分布N（36,42），在这批灯泡中任取一个“使用时间不小于40小时”的概率是（）A.0.9544B. 0.6826C. 0.3174D. 0.1587二、填空题13. 某校在本学期期中考试中，理科数学考试成绩~ N(90,；「2),统计结果显示P(60岂＜120^0.8，该校参加此次考试的理科学生共420人，试估计该校成绩高于120 分的理科学生数为___________________ .14. 某班有50名学生，一次考试的成绩■服从正态分布N(100,；「2),已知P(90兰©兰100) =0.3,估计该班数学成绩在110分以上的人数为 ____________ .15. 某中学200名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N(120,102)，则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为___________ .16. 某市高二理科学生数学考试的成绩x服从正态分布，其密度曲线如图，已知该市理科学生总数是10000人，则成绩位于(65,85］的人数约____________ .17. 在某项测量中，测量结果•服从正态分布N(1f2)(二0)，若•在(0,1)内取值的概率为0.4，则©在(0,2)内取值的概率为_____________ .18. 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量•记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为__________ .19. 一批电阻的阻值X服从正态分布N(1000,52)(单位门).今从甲乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为10110和982O，可以认为______________ .(填写正确序号)①甲乙两箱电阻均可出厂；②甲乙两箱电阻均不可出厂；③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂.20. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作•设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_______________ .1 d k----- 1 ■■■■ ■■ BTB ■■■■■■■■■■I■'2n L元件ill16题图20题图欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
正态分布(习题版)
正态分布（共62道题）1．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从N（80，σ2）（σ＞0），若ξ在（70，90）内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（）A．0.05B．0.1C．0.15D．0.22．设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝95.44%）A．7539B．6038C．7028D．65873．已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（102，42），则114分以上的成绩所占的百分比为（）（附P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.3%B．0.23%C．1.3%D．0.13%4．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩X～N（100，σ2）（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为（）A．120B．160C．200D．2405．随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.9756．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，16），且P（ξ＜﹣2）+P（ξ≤6）＝1，则μ＝（）A．﹣4B．4C．﹣2D．27．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f（x）＝，则下列命题中不正确的是（）A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为1027．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞a）＝0.2，则P（X＞6﹣a）＝．28．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．29．某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（25，0.04），任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为．（附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+2σ）＝0.6826，P（μ﹣σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）30．设随机变量ξ服从正态分布N（1，2），若p（ξ＜2a﹣3）＝p（ξ＞3a+2），则a的值为．31．按照国家规定，某种大米每袋质量（单位：kg）必须服从正态分布ξ～N（10，σ2），根据检测结果可知P（9.9≤ξ≤10.1）＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分到的大米质量在9.9kg以下的职工人数大约为．32．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于．33．某个部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2或元件3正常工作，且元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能正常相互独立工作，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．34．已知随机变量服从正态分布X～N（2，σ2），若P（X＜a）＝0.32，则P（a＜X＜4﹣a）＝．35．某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（50，0.01），任意选一袋这种大米，质量在49.8～50.1kg的概率为．36．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞3）＝a，P（1＜ξ≤3）＝b，则+的最小值是．1．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（﹣1＜ξ＜0）＝p，则P（ξ＞1）＝（）A．﹣B．+C．+p D．﹣p2．经统计，某市高三学生期末数学成绩X﹣N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（）A．0.35B．0.65C．0.7D．0.853．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78＜X≤84）＝0.3．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A．60B．80C．100D．1204．如果随机变量X～N（μ，σ2），且EX＝3，DX＝1，则P（0＜X＜1）等于（）A．0.021 5B．0.723C．0.215D．0.645．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布（100，σ2）（σ＞0），若ξ在（85，115）内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（）A．0.25B．0.1C．0.125D．0.56．随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则的最小值为（）A．B．C．D．7．在某项测量中，测得变量ξ﹣N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（）A．0.2B．0.1C．0.8D．0.48．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150B．200C．300D．4009．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣2，4）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：X⁓N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545．）A．906B．2718C．339.75D．341310．设随机变量X服从正态分布X～N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则函数f（t）＝t2+4t+X不存在零点的概率是（）A．0.5B．0.3174C．0.1587D．0.682611．若随机变量X～N（2，1），且P（X＞1）＝0.8413，则P（X＞3）＝（）A．0.1587B．0.3174C．0.3413D．0.682612．若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≥5）＝0.2，则P（1＜X＜5）＝（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.313．设随机变量X～N（2，9），P（X＞m）＝P（X＜m﹣4），则m的值为（）A．1B．2C．3D．414．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16．已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（）A．B．C．D．不确定15．若随机变量X服从分布X～N（2，σ2），且2P（X≥3）＝P（1≤X≤2），则P（X＜3）＝（）A．B．C．D．16．若随机变量ξ～N（﹣2，4），则ξ在区间（﹣4，﹣2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率（）A．（2，4]B．（0，2]C．[﹣2，0）D．（﹣4，4] 17．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞2a+1）＝P（ξ＜2a﹣1），则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．418．已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.64，P（0＜Y＜2）＝p，则P（Y＞4）＝（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.819．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.2，则P（2≤ξ＜4）等于（）A．0.3B．0.5C．0.4D．0.620．已知X～N（1，σ2），P（0＜X≤3）＝0.7，P（0＜X≤2）＝0.6，则P（X≤3）＝（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.921．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜0）＝P（ξ＞a﹣2），则a＝（）A．﹣2B．2C．4D．622．已知随机变量X服从正态分布N（5，σ2），且P（X＜7）＝0.8，则P（3＜X＜5）＝（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.223．若随机变量X～N（3，1），且P（X＜4）＝0.8413，则P（X＞2）＝（）A．0.1587B．0.3413C．0.6826D．0.841324．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（0，σ2），若ξ在（﹣∞，﹣1）内取值的概率为0.1，则ξ在（0，1）内取值的概率为（）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.125．设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＞m）＝0.4，则P（X＞8﹣m）＝（）A．0.6B．0.5C．0.4D．与σ的值有关26．某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm和9.35cm，则可认为（）A．上午生产情况异常，下午生产情况正常B．上午生产情况正常，下午生产情况异常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均异常27．设两个正态分布N1（μ1，σ）和N2（μ2，）的密度函数曲线如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ228．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X（单位：辆）均服从正态分布N（600，σ2），若P（500＜X＜700）＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A．B．C．D．29．设随机变量ξ：N（2，2），则D（ξ）＝（）A．1B．2C．D．430．某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，102），已知P（90≤ξ≤100）＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为（）A．20B．10C．14D．2131．当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时，正态曲线N（0，σ2）的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A．σ1＜σ2＜σ3B．σ1＜σ3＜σ2C．σ2＜σ1＜σ3D．σ3＜σ2＜σ1 32．已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1﹣a）+P（X≤1+2a）＝1，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．433．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，2），则D（2ξ+3）＝34．随机变量X～N（3，σ2），且P（0＜X＜3）＝0.35，则P（X＞6）＝．35．设随机变量X～N（1，δ2），且P（X＞2）＝，则P（0＜X＜1）＝．36．若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z≤μ+2σ）＝0.9544．已知随机变量X～N（6，4），则P（2＜X≤8）．37．随机变量ξ服从正态分布ξ：N（μ，σ2），若p（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，则P（ξ＞μ+2）＝．37．某中学为了了解该校高中学生的体重情况，现随机抽取该校150名高中学生，并测量每个人的体重后得到如图5的频率分布直方图．（1）求这150名高中学生体重的样本平均数和样本方差s2；（同一组中的数据用该区间的中点值代替）（2）根据频率分布直方图，我们认为该校高中学生的体重Z服从正态分布N（u，δ2），其中u近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2；如果体重Z满足Z＜33.4或Z＞106.6，则该生的体重有严重问题．①利用该正态分布，求P（Z＜33.4）；②某机构从该校高中学生中任取1000名学生，记X表示这1000名学生中体重有严重问题的人数，求EX．附：≈12.2，若Z～N（u+δ2），则P（u﹣δ＜Z＜u+δ）＝0.6826，P（u﹣2δ＜Z＜u+2δ）＝0.9544，P（u﹣3δ＜Z＜u+3δ）＝0.9974．38．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954539．甲市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（I）根据50名高三男生身高的频率分布直方图，求这50名高三男生身高的中位数的估计值；（II）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（III）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．40．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值（记为Z），由测量结果得如下频率分布直方图：（1）公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．①利用该正态分布，求P（87.8＜Z＜112.2）；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间（87.8，112.2）的产品件数，利用①的结果，求E（X）．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．38．党的十八大以来，党中央从全面建成小康社会全局出发，把扶贫工作摆在治国理政的突出位置，全面打响脱贫攻坚战，2018年6月《中共中央、国务院关于打赢脱贫攻坚战三年行动的指导意见》发布，对精准脱贫这一攻坚战做出了新的部署，2019年3月，十三届全国人大二次会议召开，3月7日，国务院扶贫办刘永富回答记者问时表示：“我国脱贫攻坚取得显著成就，贫困人口从2012年的9899万人减少到2018年的1660万人，连续6年平均每年减贫1300多万人．并表示：“今年再努力一年，攻坚克难，再减少贫困人口1000万人以上，再摘帽300个县左右．”根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.2万元的家庭确定为“贫困户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2018年的全年收入进行调查，抽查结果如下频率分布直方图：（1）求这200户家庭的全年收人的样本平均值和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这200户家庭收入Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（Z＜1.2）；（ii）若从该县100万户中随机抽取100户，记X为这100户家庭中“贫困户的数量，利用（i）的结果求E（X）；附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954．39．为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在[50，60]内，可以认为该企业治污水平基本达标．（1）如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（2）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在[18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60%的标准分在[18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量X∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.3%，P（μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.4%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝99.7%）40．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．。
正态分布练习题(含部分答案)
正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。
若P (ξ>C +1)=P (ξ<C −1)，则C =3.2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。
1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (µ−σ<X ≤µ+σ)=0.6826;P 2=P (µ−2σ<X ≤µ+2σ)=0.9544;P 3=P (µ−3σ<X ≤µ+3σ)=0.9974.类型1:(µ,µ+nσ]型,(n =1,2,3):P (µ<X ≤µ+nσ)=12P n ,(n =1,2,3);如：P (µ<X ≤µ+2σ)=12P 2=12×0.9544=0.4772.类似也可求解(µ−nσ,µ]型,(n =1,2,3).类型2:(µ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (µ±nσ<X <+∞)=12×[1∓P n ],(n =0,1,2,3);如：P (µ−2σ<X <+∞)=12×[1+P 2]=12×[1+0.9544]=0.9772.类似也可求解(−∞,µ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(µ+kσ,µ+tσ)型,−3≤k <t ≤3:case 1:kt ≤0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P M +P m ],M =max {|k |,|t |},m =min {|k |,|t |}.总结,以上各类型需要与正态曲线的图形有机结合在一起,把概率问题转化为对应区间上图形的面积问题.1练习:1.若X N(µ,1)，求P(µ−3<X≤µ−2)=0.0215.2.若X N(5,1)，求P(6<X≤7)=0.1359.3.若X N(1,1)，求P(3<X≤4)=0.0215.4.若X N(0,1)，求P(−3<X<−∞)=0.9987.1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。
高二数学正态分布练习题
xyO正态分布㈠ 知识点回顾：1、正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为),(,21)(222)(∞+-∞∈=--x ex f x σμσπ，其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。
()f x 的图象称为正态曲线。
2、正态分布的期望与方差 若ξ～()2,Nμσ，则2,E D ξμξσ==3、正态曲线的性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线关于直线x=μ对称． ③曲线在x=μ时位于最高点．④当x<μ时，曲线上升；当x>μx 轴为渐进线，向它无限靠近．⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，5、两个重要公式：① ②（6）、()2,Nμσ与()0,1N的关系：()()00P x F x ξ<==Φ①若ξ～()2,N μσ，有()212xP x x x σ⎛<<=Φ ⎝②若ξ～()2,N μσ，则)(0x Φ())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ（二）习题 一、选择题1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2R x ex f x ∈⋅=--π，则下列命题不正确的是 （ B ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10. 2.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（D ）A.2pB. 1p -C. 12p -D. 12p -3.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ D ） 4. 已知正态分布曲线关于y 轴对称，则μ值为（ ）A ．1B ．－1C ．0 D.不确定5.正态分布N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上的取值的概率分别为12,p p ，则12,p p的大小关系为（ ） A ．12p p <B ．12p p >C ．12p p =D.不确定6.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( B )7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.848.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B )A.1B.2C.3D.49.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ D ）(A)15(B)14(C)13(D)1210.若φ(3)=0.9987，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 (B) A ．0.9987 B ．0.9974 C ．0.944 D ． 0.8413 11、设随机变量服从正态分布N(0,1),p(ξ＞1)＝P ，则P(－1＜ξ＜1)＝（ C ） A ．12PB ．1－PC ．1－2PD ．12－P12.（07湖南卷,5）设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N。
(推荐)高二数学正态分布练习题
正态分布㈠ 知识点回顾：1、正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为),(,21)(222)(∞+-∞∈=--x e x f x σμσπ，其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。
()f x 的图象称为正态曲线。
2、正态分布的期望与方差若ξ～()2,N μσ，则2,E D ξμξσ==3、正态曲线的性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．②曲线关于直线x=μ对称．③曲线在x=μ时位于最高点．④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐进线，向它无限靠近．⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即()()00x P x x Φ=<00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，)()()()()(121221x x x P x P x x P Φ-Φ=<-<=<<ξξξ5、两个重要公式：① ②标准正态分布曲线)(0x Φ())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ（6）、()2,N μσ与()0,1N 的关系： ①若ξ～()2,N μσ，有()()000x P x F x μξσ-⎛⎫<==Φ ⎪⎝⎭②若ξ～()2,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（二）习题一、选择题1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2R x e x f x ∈⋅=--π，则下列命题不正确的是 （ B ） A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10.2.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（D ） A.2p B. 1p - C. 12p - D. 12p - 3.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ D ）μμσ...0.D C B A -4. 已知正态分布曲线关于y 轴对称，则μ值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D.不确定5.正态分布N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上的取值的概率分别为12,p p ，则12,p p 的大小关系为（ ）A ．12p p <B ．12p p >C ．12p p = D.不确定6.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( B )1)2(2.)4()2(.)2()4(.1)1(2.-ΦΦ-ΦΦ-Φ-ΦD C B A7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.848.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B )A.1B.2C.3D.49.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ D ） (A)15 (B)14 (C)13 (D)1210.若φ(3)=0.9987，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 (B)A ．0.9987B ．0.9974C ．0.944D ． 0.84131x 2x11、设随机变量服从正态分布N(0,1),p(ξ＞1)＝P ，则P(－1＜ξ＜1)＝（ C ）A ．12PB ．1－PC ．1－2PD ．12－P 12.（07湖南卷,5）设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N 。
高二精品数学正态分布综合测试题.pdf
2012新课标精品练习 基础达标5 一、单项选择题：（每小题3分，共36分） 1．式子有意义，则取值范围是 （ ） A． B． C． D． 2．的值是 （ ） A． 9 B．3 C．－3 D． 3．如果2是关于的方程的一个根，那么它的另一个根是（ ） A． －2 B．－4 C．2 D．4 4．用配方法解方程，变形正确的是（ ） A． B． C． D． 5．相切两圆的半径是的两根，两圆的圆心距是（ ） A． 7 B．1或7 C．1 D．6 6．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的个数为（ ） ①线段；②平行四边形；③等腰梯形；④正六边形 A． 1 个 B．2个 C．3个 D．4个 7．一个正多形边每个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角等于（ ） A． 36° B．18° C．72° D．54° 8．有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为（ ） A． 4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm 9．关于的方程有两个不相等的实根，则k的最大整数值是（ ） A． 4 B．3 C．2 D．1 10．如图，△ABC中，∠A=50°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于D、E两点，分别过D、E作⊙O的切线，两切线交于P，则∠P=（ ） A． 100° B．110° C．120° D．130° 11．如图是我国2005～2009年粮食产量增长率统计图，已知2009年我国粮食总产量为50150万吨，比上年增加350万吨，下列结论中正确的个数有（ ） ①这五年中粮食总产量最高的是2006年； ②这五年粮食总产量逐步增加； ③若2008年总产量比2007年增长0.29%，则2007年粮食总产量为万吨； ④预计以后两年的增长率与2009年持平，则预计2011年我国粮食总产量为万吨。
高二数学正态分布试题
高二数学正态分布试题1.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为服从正态分布，所以正态分布曲线关于；又因为在内取值的概率为，所以在内取值的概率为，所以在内取值的概率为. 考点:正态分布曲线的特点及意义.2.已知随机变量服从正态分布，，则（）A． B． C． D，【答案】A【解析】由正态曲线的性质可知，答案为A【考点】正态曲线3.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？【答案】(1) 10000人 (2) 80分【解析】解：(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，∵X～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10.∴P(X≥90)＝[1－P(30＜X＜90)]＝(1－0.9974)＝0.0013.又P(X≥90)＝，∴＝0.0013.∴n＝10000.故此次参加竞赛的学生总数共有10000人．(2)设受奖的学生的分数线为x.则P(X≥x)＝＝0.0228.∵0.0228＜0.5，∴x0＞60.∴P(120－x0＜X＜x)＝1－2P(X≥x)＝0.9544，∴x＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分．4.随机变量服从正态分布，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于随机变量服从正态分布，若，则可知1-0.4=0.6，故可知答案为C.【考点】正态分布点评：主要是考查了正态分布的概率的求解，属于基础题。
5.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且=0.6826，则（）A．0.1585B．0.1588C．0.1587D．0.1586【解析】∵=0.6826，∴0.3413，，∴，故选C【考点】本题考查了正态分布列的性质点评：求正态分布中的概率时常常利用图象的对称性，属基础题6.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，由正态分布曲线的对称性知：。
高中数学正态分布检测题
正态分布检测题一、单选题1.某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为()人．(参考数据P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544)A. 261B. 341C. 477D. 6832.中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目．在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，则参赛的学生总数约为()(参考数据：P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.954，P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.997)A. 208B. 206C. 204D. 2023.设随机变量X～N(μ,7)，若P(1<X<4)=P(2<X<5)，则()A. μ=3，DX=7B. μ=6，DX=√7C. μ=3，DX=√7D. μ=6，DX=74.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(X<4)=0.8，则P(0<X<2)=()A. 0.6B. 0.3C. 0.2D. 0.15.在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布X~N（98,100）．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区第（）名．附：若X∽N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+ 2σ)=0.9544．A. 1500B. 1700C. 4500D. 80006.在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)，已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544A. 1500名B. 1700名C. 4500名D. 8000名7.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=P(ξ>8)=0.15，则P(2≤ξ<5)=()A. 0.3B. 0.35C. 0.5D. 0.78.随机变量X服从正态分布X～N(10,σ2)，P(X>12)=m，P(8≤X≤10)=n，则2m +1n的最小值为()．A. 3+4√2B. 6+2√2C. 8+2√2D. 6+4√29.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(−1<x≤2)=0.35，则P(X≥5)等于()A. 0.65B. 0.5C. 0.15D. 0.110.在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为()A. 0.16B. 0.24C. 0.32D. 0.4811.某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,100)，则用电量在320度以上的居民户数估计约为()【参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.】A. 17B. 23C. 34D. 46二、多选题12.已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(105,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974．A. 该市学生数学成绩的期望为105B. 该市学生数学成绩的标准差为100C. 该市学生数学成绩及格率超过0.99D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等13.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X~N(70，100)，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是( )参考数据：随机变量ξ~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ－2o＜ξ＜μ＋2σ)＝0．9544，P(μ－3o＜ξμ＋3σ)＝0.9974．A. 该校学生体育成绩的方差为10B. 该校学生体育成绩的期望为70C. 该校学生体育成绩的及格率不到85%D. 该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当第II卷（非选择题）三、单空题14.王老师驾车从家到学校上班所需的时间X(单位：min)服从正态分布N(20,25)，则王老师从家到学校所需时间在(30,35]内的概率为________.(若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827，P(μ+2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9973)．15.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有人.(若X N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.68，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.96)16.改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的A先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1(单位：分钟)服从正态分布N(33,42)，下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2(单位：分钟)服从正态分布N(44,22)，从地铁站步行到单位需要5分钟.现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大．则以上说法中正确的序号是_____.参考数据：若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z≤μ+3σ)=0.997417.已知随机变量X∽N(1,σ2)，若P(X>2)=0.2，则P(X>0)=________．18.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,2)，则D(2ξ+3)=______四、解答题19.在一次测试中，测试结果X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X>4)．20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．(1)求这4000名考生的竞赛平均成绩x−(同一组中数据用该组区间中点作代表)；(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x−和考生成绩的方差s2，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).(精确到0.001)附：①s2=204.75，√204.75=14.31；②z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<z<μ+2σ)=0.9544；③0.84134=0.501．21.某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．(1)同一组数据用该区间的中点值作代表，①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数．②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N(μ,100)，其中μ近似为样本平均数，求P(54<X<64)的值；(2)为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y.以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E(Y)．参考数据：若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973．22.某增高鞋垫公司为了推广相关产品，募集了一批志愿者赠送增高鞋垫，并且进行身高数据追踪．现将募集的志愿者使用前的身高进行统计，所得数据如图表所示，(1)求志愿者身高的平均数x和方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)根据样本数据，可以认为使用前的身高X近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本的平均数x，σ2近似为样本方差s2，求P(163.58<X<172.14)的值；(3)以频率估计概率，从所有的使用者中随机抽取4人，记人数在[171,173)内的人数为Y，求Y的分布列以及期望．参考数据：√4.6≈2.14；P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X<μ+ 2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9973．答案和解析1.【答案】B由正态分布的求出数学成绩面75分到86分的概率，即可得出结论．【解答】解：由此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，得正态曲线的对称轴为x= 75，σ=11，所以数学成绩在75分到86分之间的概率P=12P(μ−σ<X<μ+σ)=0.3413，所以数学成绩在75分到86分之间的人数约为1000×0.3413≈341．故选B．2.【答案】D设参赛学生的成绩为ξ，利用正态曲线的性质，结合题目条件得P(ξ⩾90)=1−0.6832≈0.159，再利用概率的含义，计算得结论．【解答】解：设参赛学生的成绩为ξ，由题意知ξ∼N(80,102)，因此P(70<ξ⩽90)=0.683，所以P(ξ⩾90)=1−0.6832≈0.159．又因为成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，所以参赛的学生总数约为320.159≈202．故选D．3.【答案】A根据正态分布曲线的对称性，可以得到μ=1+52=2+42=3，根据正态分布的概念，可以得到D(X)=7．【解答】解：由正态曲线的对称性可知μ=1+52=2+42=3，由参数的意义可知√DX=√7，所以DX=7．故选A．4.【答案】B本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，属于基础题．由题意可得这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，即可得解．【解答】解：随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，∴曲线关于x=2对称，∴P(X≤0)=P(X≥4)=1−0.8=0.2，∴P(0<X<2)=0.5−0.2=0.3，故选B．5.【答案】A本题考查正太分布的概率的计算，解题的关键是求出ξ≥108的概率．将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．【解答】解：因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，μ=98，σ=10，所以P(X≥108)＝12[1－P(88< X≤108)]＝12[1－P(μ－σ< X≤μ＋σ)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587，所以0.1587×9450≈1500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名.故选A.6.【答案】A本题考查正态分布的概率计算，解题的关键是求出X≥108的概率．根据公式求出P(X≥108)，即可得到结论．【解答】解：因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，μ=98，σ=10，所以P(X≥108)=12[1−P(88<X≤108)]=12[1−P(μ−σ<X<μ+σ)]=12×(1−0.6826)=0.1587，所以0.1587×9450≈1500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名．故选A．7.【答案】B本题主要考查了正态分布的应用，正态分布曲线的对称性，属基础题．由题意得μ=8+22=5，根据正态曲线的对称性即可求出P(2≤ξ<5)．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=P(ξ>8)=0.15，∴μ=8+22=5，∴P(2≤ξ<5)=0.5−P(ξ<2)=0.5−0.15=0.35，故选B.8.【答案】D本题考查了正态分布的概率计算，以及利用基本不等式求最值的应用.属于基本题目，由正态分布的概率，得到m+n=12，再利用“乘1法”，利用基本不等式，得到最值．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布X −N(10,δ2),P(X>12)=m，P(8≤X≤10)=n，∴P(10≤X<12)=n，∴m+n=12，且m>0,n>0∴2m +1n=2(2m+1n)(m+n)，=2(3+2nm +mn)，≥2(3+2√2nm ·mn)，=2(3+2√2)，=6+4√2，当且仅当2nm =mn时，即m=2−√22,n=√2−12等号成立，∴2m +1n的最小值为6+4√2．故选D．9.【答案】C本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，得到曲线关于x=2对称，根据曲线的对称性得到结论．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，∴曲线关于x=2对称，∵P(−1<X≤2)=0.35，∴P(2<X≤5)=0.35，∴P(X≥5)=0.5−0.35=0.15．故选C．10.【答案】C本题考查正态曲线的性质和二项分布，属于基础题．利用对称性求P(ξ⩽80)=1−P(80<ξ<120)2=0.2，再根据二项分布求解即可．【解答】解：ξ服从正态分布N(100,σ2)，所以正态曲线关于直线x=100对称，P(ξ⩽80)=1−P(80<ξ<120)2=0.2，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为C21×0.2×0.8= 0.32．故选C．11.【答案】B根据正态分布，求出μ=300，σ=10，在区间(280,320)的概率为0.9545，由此可求用电量在320度以上的户数．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．【解答】解：由题意，μ=300，σ=10，在区间(280,320)的概率为0.9545，∴用电量在320度以上的概率为1−0.95452≈0.023，∴用电量在320度以上的户数估计约为1000×0.023=23，故选B．12.【答案】AD本题考查了正态分布的应用，涉及了正态曲线及其性质，正态分布的概率计算，属于中档题．由学生的数学成绩X服从正态分布N(105,100)，可得μ=105，σ=10，再根据正态曲线及其性质，正态分布的概率计算方法，对选项逐一判断即可得出答案．【解答】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为x=105，σ=10．∴该市学生数学成绩的期望为105，故A正确；该市学生数学成绩的标准差为10，故B错误；∵P(85<X<125)=0.9544，∴P(X≤85)=P(X≥125)=12[1−P(85<X<125)]=12(1−0.9544)=0.0228，则P(X<90)>0.0228，P(X≥90)<0.9772<0.99，故C错误；由正态分布曲线的对称性可知，P(X<90)=P(X>120)，可知该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等，故D正确．故选AD．13.【答案】BC本题考查正态分布的概率计算与数学期望方差计算，属于基础题.根据正态分布的性质进行求解即可.【解答】解：由题知，体育成绩X服从正态分布N（70,100），则体育成绩的期望为70，体育成绩的标准差为10，标准差是方差的算术平方根，故A错误，B正确；及格率为P(X>60)=1−12×[1−P(70−10<ξ<70+10)]=1−12×(1−0.6826)=0.8413,C正确；由正态分布的图像可知，P(X>70+20)=P(X<70-20)< P(X<60),所以该校高一学生体育成绩不及格的人数大于优秀的人数，D错误.故选BC.14.【答案】0.0214本题考查正态曲线的性质及概率计算，属于基础题．计算P(30<X⩽35)=P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)−P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)2即可．【解析】解：设孙老师到校所需的时间为X，由题意，X∽N(20,25)，∴μ=20，σ=5，∴μ+2σ=30，μ+3σ=35，∴P(30<X⩽35)=P(μ+2σ<X⩽μ+3σ)=P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)−P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)2=12(0.9973−0.9545)=0.0214．故答案为0.0214．15.【答案】0.1610本题考查正态分布，属于中档题．利用正态曲线的性质即可求成绩不超过82.5分的概，求出高三考生总人数和本次考试数学成绩特别优秀的概率，即可求得本次考试数学成绩特别优秀的人数．【解答】P(X≤82.5)=P(X≤μ−δ)=P(μ−σ<X<μ+σ)2≈0.16，解：P(X≥117.5)=P(X≥μ+δ)=P(μ−σ<X<μ+σ)2≈0.16，成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，高三考生总人数有800.16=500人，P(X>135)=P(x>μ+2δ)≈P(μ−2σ<X<μ+2σ)2=0.02，本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10人.故答案为：0.16；1016.【答案】②④本题考查正态曲线及其性质，考查正态分布的概率计算及应用，属于一般题．根据正态分布的概率性质即可逐项判断正误．【解答】解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N(33,42)，故P(Z⩾45)=1−P(21<Z<45)2=1−0.99742=0.0013，∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误；②若8：02出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N(33,42)，P(Z≤41)=1−P(25<Z<41)2+P(25<Z<41)=0.9772∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N(44,22)，P(Z≤48)=1−P(40<Z<48)2+P(40<Z<48)=0.9972此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确；③若8：06出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N(33,42)，P(Z⩽37)=1−P(29<Z<37)2+P(29<Z<37)=0.8413；若8：06出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N(44,22)，P(Z⩽44)=12=0.5，此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误；④若8：12出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N(33,42)，P(Z⩽31)>P(Z⩽29)=1−P(29<Z<37)2=0.1857；若8：12出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N(44,22)，P(Z⩽38)=1−P(38<Z<50)2=0.00135由0.1857>0.00135，∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确；故答案为：②④．17.【答案】0.8【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，属于基础题．根据随机变量X服从正态分布X∽N(1,σ2)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布X∽N(1,σ2)，∴对称轴是x=1，∴P(X>2)=P(X<0)=0.2，∴P(X>0)=1−0.2=0.8．故答案为0.8．18.【答案】8本题考查正态分布的概念和应用，属基础题．根据正态分布的表示和方差的意义求解．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布，N(1,2)，∴D(ξ)=2，∴D(2ξ+3)=22D(ξ)=8．故答案为8．19.【答案】解：(1)由X～N(2,σ2)，对称轴x=2，画出示意图，因为P(0<X<2)=P(2<X<4)，所以P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4．(2)P(X>4)=12[1−P(0<X<4)]=12(1−0.4)=0.3．【解析】本题考查正态分布，属于基础题．(1)由X～N(2,σ2)，对称轴x=2，再根据对称性，求得X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X>4)=12[1−P(0<X<4)]，即可得答案．20.【答案】解：(1)由题意知：x−=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+ 85×0.15+95×0.1=70.5，∴4000名考生的竞赛平均成绩x−为70.5．(2)依题意z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ=x−=70.5，σ2=204.75，σ=14.31，∴z服从正态分布N(μ,σ2)=N(70.5,14.312)，而P(μ−σ<z<μ+σ)=P(56.19<z<84.81)=0.6826，∴P(z≥84.81)=1−0.68262=0.1587．∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为0.1587×4000=634.8人≈634人．(3)全市竞赛考生成绩不超过84.81的概率为1−0.1587=0.8413．而ξ～B(4,0.8413)，∴P(ξ≤3)=1−P(ξ=4)=1−C44⋅0.84134=1−0.501=0.499．【解析】本题考查了频率分布直方图，正态分布与二项分布的概率计算，属于中档题．(1)根据加权平均数公式计算x−；(2)根据正态分布的对称性计算P(z≥84.81)，再估计人数；(3)根据二项分布的概率公式计算P(ξ≤3)．21.【答案】解：(1)①x＝55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.045×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝74．②由①得μ＝x＝74，所以X~N(74，100)，所以P(64＜X＜84)≈0.6827，P(54＜X＜94)≈0.9545，所以P(54＜X＜64)＝P(54<X<94)−P(64<X<84)2＝0.9545−0.68272＝0.1359;(2)设“该同学一局比赛获胜”为事件A，则P(A)＝(0.02＋0.005)×10＝14．Y的可能取值为3，4，5,P (Y ＝3)＝(14)3＋(34)3＝716，P (Y ＝4)＝C 32×(14)2×34×14＋C 32×(34)2×14×34＝45128， P (Y ＝5)＝C 42×(14)2×(34)2×14＋C 42×(34)2×(14)2×34＝27128．因此E (Y )＝3×716＋4×45128＋5×27128＝483128．【解析】本题考查知识点为频率分布直方图，平均数，正态分布，离散型随机变量及其分布列及期望，属于一般题.（1）①根据频率分布直方图及平均数求法得到答案；②利用正态曲线的对称性质，求得P (54＜X ＜64)的值；（2）设“该同学一局比赛获胜”为事件A ，得到P (A )＝14，先求得比赛的局数Y 的分布列，继而得到E (Y ) 22.【答案】解：(1)依题意，所有的人数为400.05×2=400，故将频率分布表整理如下：故x =0.1×166+0.2×168+0.375×170+0.25×172+0.075×174=170， 依题意，s 2=(170−166)2×0.1+(170−168)2×0.2+(170−172)2×0.25+(170−174)2×0.075=4.6;(2)由(1)可得，μ=170，σ=√4.6≈2.14，故P(163.58<X <172.14)=P(μ−3σ<X <μ+σ)=0.6827+0.99732=0.84；(3)依题意，Y ∼B (4,14)，故P(Y =0)=(34)4=81256，，，，P(Y =4)=(14)4=1256；故Y 的分布列为：故E(Y)=4×14=1．【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列，期望与方差，正态曲线的性质和概率计算，掌握这些性质是解答本题的关键．(1)利用平均数公式和方差公式解答即可；(2)由(1)可得，μ=170，σ=√4.6≈2.14，进而解答即可；(3)由Y ∼B (4,14)，从而求出分布列和期望值．。
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选修2-3 2.4 正态分布
一、选择题
1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( )
A ．f (x )＝1
2π
e －(x －1)22
B ．f (x )＝12π·σ
e (x －2)2
2σ2
C ．f (x )＝1
2πσe －(x －μ)22σ2
D ．f (x )＝1
2πe －(x －μ)22π
[答案] A
2．已知ξ～N (0,62)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.6
D ．0.8
[答案] A
[解析] 由正态分布曲线的性质知P (0≤ξ≤2)＝0.4，∴P (－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P (ξ>2)＝1
2(1－0.8)＝0.1，故选A.
3．若随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )
A ．2
B ．10
C. 2
D ．可以是任意实数 [答案] A
[解析] 由于ξ的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等
的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2.∴k＝2.
4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内() A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
[答案] C
[解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.
由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，
60×0.9974≈60人．
5．(2018·山东理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
[答案] C
[解析]∵P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023，
故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝0.954.
6．以φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若
随机变量ξ服从正态分布(μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )
A ．φ(μ＋σ)－φ(μ－σ)
B ．φ(1)－φ(－1)
C ．φ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－μσ D ．2φ(μ＋σ) [答案] B
[解析] 设η＝|ξ－μ|
σ，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1) ＝φ(1)－φ(－1)．
[点评] 一般正态分布N (μ，σ2)向标准正态分布N (0,1)转化．
7．给出下列函数：①f (x )＝12πσe －(x ＋μ)22σ2；②f (x )＝1
2πe －(x －μ)24；
③f (x )＝12·2πe －
x 24；④f (x )＝1π
e －(x －μ)2，其中μ∈(－∞，＋∞)，σ＞0，
则可以作为正态分布密度函数的个数有( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案] C
[解析] 对于①，f (x )＝12πσ
e －(x ＋μ)22σ2.由于μ∈(－∞，＋∞)，所
以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若σ＝1，则应为f (x )＝12πe －(x －μ)22.若σ＝2，则应为f (x )＝1
2π·2e
－
(x －μ)24
，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对
于③，它就是当σ＝2，μ＝0时的正态分布密度函数；对于④，它
是当σ＝
2
2时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正
态分布密度函数．
8．(2018·安徽)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
[答案] A
[解析]根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，故选A.
二、填空题
9．正态变量的概率密度函数f(x)＝1
2π
e－
(x－3)2
2
，x∈R的图象关
于直线________对称，f(x)的最大值为________．
[答案]x＝31 2π
10．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案] 1
[解析]正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在
这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．
∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.
11．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为____________．
[答案]0.8
[解析]∵μ＝1，∴正态曲线关于直线x＝1对称．
∴在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等．
12．(2018·福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．
[答案](24.94,25.06)
[解析]正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为
(24.94,25.06)．
三、解答题
13．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的
最大值等于1
42π
.求该正态分布的概率密度函数的解析式．
[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y 轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12π·σ，所以12π·σ＝1
2π·4，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142πe －x 232
，x ∈(－∞，＋∞)．
14．(2018·邯郸高二检测)设随机变量ξ～N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，求c 的值．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①ξ～N (2,9)，②P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)． 解答本题可利用正态曲线的对称性来求解．
[解析] 由ξ～N (2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)，
又P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)， 故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2， ∴c ＝2.
[点评] 解答此类问题要注意以下知识的应用：
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1； (2)正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等．
(3)P (x <a )＝1－P (x ≥a )
P (x <μ－a )＝P (x ≥μ＋a )
若b <μ，则P (x <b )＝1－P (μ－b <x ≤μ＋b )
2
. 15．某个工厂的工人月收入服从正态分布N (500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？
[解析] 设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N (500,202)，所以μ＝500，σ＝20，
所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．
因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．
16．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f (80)＝182π
.
(1)求概率密度函数；
(2)估计尺寸在72mm ～88mm 间的零件大约占总数的百分之几？ [解析] (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处取得最大值，因此得μ＝80.
12π·σ＝1
82π
，所以σ＝8. 故概率密度函数解析式是φμ，σ(x )＝182π
e －(x －80)2128.
(2)尺寸在72mm～88mm之间的零件的百分率，即在(80－8,80＋8)之间的概率为68.28%.。