高二数学正态分布
高中数学---正态分布
练习：
一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现从中抽 测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2, 10.1, 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1.如果机床生产零
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
5、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
( 3由当 ,于a这 33些概)时之率正内值态,很其总小他体（区的间一取取般值值不几几超乎乎过总不5取％可值能）于.，区 在通实间常 际称运这用些中情就况只发考生虑为这小个概区率间事,件称。为 3 原则.
例1、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个 正态分布，即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2 X 2) = 0.9544 .
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则
高二数学正态分布
x 2
f x 的图象称为正态曲线。
画出三条正态曲线：
(1) 1, 0.5; (2) 0, 1; (3) 1, 2;
0.9772 0.8413 1 0.8185 .
变形
（5）正态总体N , 2 ，在任一区间取值概率。
对于一般的正态总体N , ，在任一区 间 a, b 内的取值概率如何进行计算呢？可否 通过查正态分布表来求出它呢？
2
一般的正态总体N , ，均可以化为标 准正态总体N 0,1 来研究。 2 对任一正态总体N , 来说， 取值小 于 x 的概率：
F F 1 1 21 1 2 0.8413 1 0.683 ;
例3:分别求正态总体N , 2 在区间:
, 、 2 , 2 、 3 , 3 、
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
（3）正态曲线的性质
观察：
性质：
曲线在x轴的上方，与x轴不相交； 曲线关于直线x 对称，且在x 时位于最高点；
当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降。并 向它无限靠近。
0.25在4 3× 0.5, 4 3× 0.5之外取值的 正态分布N 4， 概率只有0.003，
由正态分布的性质知，
而5.7 2.5, 5.5
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件. 据此可认为该批零件是不合格的。
高二数学正态分布
高二数学正态分布2．4正态分布教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。
过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。
情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。
教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。
内容分析：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N （0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程：学生探究过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有"两头低，中间高，左右对称"的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足,则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X～.经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越"矮胖"，总体分布越分散；σ越小．曲线越"瘦高"．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）（２）（３）答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式有==0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N（0，1），是总体取值小于的概率，即，其中，图中阴影部分的面积表示为概率只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当时，；而当时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了"标准正态分布表"．在这个表中，对应于的值是指总体取值小于的概率，即，．若，则．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间内取值的概率，即直线，与正态曲线、x轴所围成的曲边梯形的面积．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即"三步曲"一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x～N(0,1),求(l)P(-2.32x1.2)；(2)P(x2).解：(1)P(-2.32x1.2)=F(1.2)-F(-2.32)=F(1.2)-[1-F(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P(x2)=1-P(x2)=1-F(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是，它是偶函数，说明μ＝0，的最大值为＝，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布巩固练习：书本第74页 1,2,3课后作业：书本第75页习题2. 4 A组 1 , 2 B组1 , 2 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
高二数学人选修课件正态分布
概率计算步骤
确定概率类型（单侧或双 侧），查找对应的z值， 利用标准正态分布表计算 概率。
一般正态分布概率计算
一般正态分布定义
均值布转化为标准正态分布进 行计算。z=(x-μ)/σ。
概率计算步骤
确定概率类型，进行z变换 ，查找对应的z值，利用标 准正态分布表计算概率。
THANKS
感谢观看
01
练习题一
已知某次考试的分数服从正态 分布，均分为70分，标准差为 10分。求分数在60分以下的概 率。
02 解题思路
首先根据正态分布的性质，确 定分数在60分以下对应的z值， 然后查找标准正态分布表或使 用相关软件计算对应的概率。
03
练习题二
04
某工厂生产的产品重量服从正态 分布，均重为500克，标准差为 10克。若要保证95%的产品重 量在480克至520克之间，问该 工厂应如何调整生产流程？
04
正态分布在生活中应用
质量控制与六西格玛管理法
质量控制
在制造业中，正态分布被广泛应用于质量控制。通过对生产过程中的数据进行正 态分布拟合，可以判断产品质量的稳定性和一致性，进而采取相应的措施进行改 进。
六西格玛管理法
六西格玛管理法是一种追求卓越的管理哲学，其核心思想是通过减少变异和提高 过程能力来达到更高的质量水平。正态分布在这里扮演着重要角色，它提供了一 种衡量过程变异和确定过程能力的方法。
社会科学领域数据分析与可视化
数据分析
在社会科学领域，正态分布被广泛应用于数据分析。例如，在心理学、教育学等研究中，通过对实验 数据进行正态分布检验，可以判断数据是否符合正态分布假设，进而选择合适的统计方法进行分析。
可视化
正态分布也为数据可视化提供了便利。通过将数据按照正态分布进行拟合和展示，可以更加直观地呈 现数据的分布规律和特点，有助于研究者更好地理解和解释数据。
高二数学正态分布
99.74%
μ
2σ
4σ
μ
6σ
μ
图2.4 7
可以看到 , 正态总体几乎总取值于 区间 μ 3α,μ 3α 之内.而在此区间以外取 值的概率只有 0.0026, 通常认为这种情 况在一次试验中几乎不 可能发生 .
在实际应用中 , 通常认为服从于正态分 布Nμ, σ 2 的随机变量X只取(μ 3σ,μ 3σ ) 之间的值, 并简称之为 3σ原则.
作业 ：P75习题2.4A组和B组
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面,杀!"瞬间,人群之中纷纷有嘶吼声传来,争先恐后冲杀进禁地之中,霎时原本还颇为有秩序の修系者人群混乱不堪起来丶其中还传来叫骂声,还有轰鸣声,夹杂这浓郁の血腥味传荡开来丶"滚开,敢拦某の路!""阻咱进禁地者,杀!""啊。""咱不甘心!"霎时人群之中の修系者の本质就显露出来,为了 自己の系途而不顾壹切,宛如潮水の修系者纷纷消失在深渊之中,后面又有壹波紧跟而上丶根汉等人并没有着急,他们已经是场中最为强大の壹批人,他们要の机缘肯定有大危险,出了他们这级数の修行者,其他の给他们抢也抢不走,所以他们并不焦急丶足足过了半个时辰,修系者们宛如下饺子般跳 下深渊の壮观景象已经消失,在草原之上只有壹片の猩红丶还有零散の修系者疾驶向深渊,也有弱小の修系者在血迹上寻找死者遗留下の宝物,他们の修为极弱,没有进入禁地,而是再次寻找机缘发死人财,不可否认这也是机缘の壹部分丶"走吧丶"这时云雨系妃才说道,接着便率先冲出直奔那深渊而 去,其他人也或早或慢赶去,根汉眸子壹动,没有立即赶往禁地,而是来道虚空之中,口念《往生咒》要渡化这里の亡魂,获取本源魂力丶根汉壹来,就惊吓の那些
高二数学正态分布
O
x
u变化时曲线沿x轴左右平移.
知识回放
11、若u为定值，当σ 变化时正态曲线的极 值大小如何变化？正态曲线的形状如何变化？
y σ 越小，曲线越“瘦高”， 总体分布越集中；
σ 越大，曲线越“矮胖”， 总体分布越分散.
O
x
知识回放
12、正态分布的3σ 原则
P(u－σ ＜X≤u＋σ )＝0.6826， P(u－2σ ＜X≤u＋2σ )＝0.9544， P(u－3σ ＜X≤u＋3σ )＝0.9974，
X～N(u，σ 2)，则X只取区间(u－3σ , u
＋3σ ]内的值，这个理论称为3σ 原则.
理论迁移
例1 某地区数学考试成绩X服从正态
分布N(70,102)，求：
（1）
成绩在60以下的人数占多少？ （2）
成绩位于区间(80，90]的学生占多少？
(1)15.87%
(2)13.59%
理论迁移
例2 若X～N(5，1)，求P(6＜X＜7) 的值.
y
（1）曲线位于x轴上
方，且x轴为其渐近线.
(2)关于直线x＝u对称.
O
x＝u x 1
(3)在x＝u处取极大值 s
. 2p
(4)面积为1
知识回放
j m,s (x ) =
1
e-
(x - u )2 2s 2
2p s
10、根据函数φ u，σ (x)的解析式分析，若σ
为定值，当u变化时正态曲线如何变化？
y
知识回放
1、通过高尔顿板试验，你有什么发 现？能解释一下产生这种现象的理 由吗？
落在中间球槽内的小球多，落在两边 球槽内的小球少；小球落在中间球槽 内的概率比落在两边球槽内的概率大.
高二数学《正态分布》课件
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
解析：正态分布密度曲线的对称轴为 x＝μ，由图象可知 μ1
＜μ2＝μ3；正态分布密度曲线的峰值 2π1 σ与 σ 成反比，峰值 越大，σ 越小，由图象可知，σ1＝σ2＜σ3.
答案：μ1＜μ2＝μ3 σ1＝σ2＜σ3
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
三个不同值 σ1，σ2，σ3 时的三种正态曲线，那么 σ1，σ2，σ3 的 大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
解析：由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义可知：
课时作业与单元测试 数学 选修2-3 RJ·A
第二章 随机变量及其分布
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
基础知识梳理
知题识点 知点 识判巩断固
提能达标过关
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
基础知识梳理
课时作业与单元测试
(其中 ε>0)
曲线在 x＝μ 处
达到峰值
1
2πσ
1
0<P(X)≤_σ____2_π___
曲线与 x 轴围成 的面积为 1
P(－∞<X<＋∞)＝ 1
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
题点知识巩固
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
正态分布(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册) (2)
2
2
解析:对照正态分布密度函数:f(x)=
1
2π
( - )2
- 2
2
·e
(x∈R),注意指数中的
σ 和系数的分母中的 σ 要一致,以及指数部分是一个负数.
答案:B
2、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线
b。下列说法中不正确的是（
）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
分析:对于第(1)问,正态分布由参数μ和σ 完全确定,根据正态分布参数的意
义可以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一个概率决
策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率大的交通
工具;然后结合图形,相据概率的表示,比较概率的大小,作出判断
解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;
随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的
概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 下面我们看一个具体问题.
问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意
抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标
随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.
用样本均值估计参数μ.用样本标准差估计参数σ,可以得到
X~N(30,6),Y~N(34,2).
y
Y的密度曲线
(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
由图可知,Y的密度曲线X的密度曲线P(X≤38)<P(Y ≤ 38),O
(2
)
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90
P5~P95
P10
P90
95
P2.5~P97.5
P5
P95
99
P0.5~P99.5
பைடு நூலகம்P1
P99
（二）质量控制图
X±2S作为上、下警戒值。 X±3S作为上、下控制值
质量控制的重要工具------控制图：7条水平线组成。
中心线 上下警戒线 上下控制线
2条位于μ ±σ 处的水平线
根据质量控制图，判断异常的8种情况： （1）有一个点位于控制线以外。 （2）在中心线的一侧连续有9个点。 （3）连续6个点稳定地增加或减少。 （4）连续14个点交替上下。
（一）正态分布曲线下面积 正态曲线下面积的分布规律由μ 及σ所决定。 一般正态分布曲线下面积分布状况：
µ± σ µ±1.64 σ µ±1.96 σ µ±2.58 σ
0.6827 0.9090 0.9500 0.9900
95% 2.5%
2.5%
-1.96
+1.96
正态曲线下的面积分布示意图
（二）标准正态分布
记作： Z ~ N(0， 1)
统计学家编制了标准正态分 布曲线下面积分布表，正态 分布两边对称，表中只给出 了Z取负值的情况。表内所 Φ(z) 列数相当于Z值左侧标准正 态分布曲线下面积，记作 Φ(z)。
z
0
查附表（-∞，-1.96），（ -∞ ，-2.58）， （-1.96，1.96）（-1，1）（ -∞ ，0.00） 曲线下的面积。
x
z
1 2
(a)
(b)
图2.3 正态概率密度图 (a)一般形状 (b)与和关系
（5） σ决定曲线的形状，当μ恒定时，
σ↓，数据越集中，曲线形状“瘦高”，
σ↑，数据越离散，曲线越“矮胖”。
习惯上用N (μ ，σ2)表示均数为μ 、标准差为σ
的正态分布。记作：
X~N(,2)
二、正态曲线下面积的分布规律
3、正态曲线的特点
（1）关于X= μ对称。 （2）在X= μ处取得该概率密度函数的最大值，
在X= μ±σ 处有拐点，表现为钟型曲线。 （3）曲线下面积为1。 （4） μ决定曲线在横轴上的位置， μ ↑曲线沿
横轴右移； μ ↓ 曲线沿横轴向左移。
2<1
1
-2 - + +2 -2 -1 0 1 2
注意：
1.标准正态曲线以0为中心，左右对称，故附表1仅列 出（-∞，z）区间内的累计面积（累计概率）。 2.横轴上、曲线下总面积等于1，区间（ -z，z）内面 积为：1 -2 × （-∞， -z）。
例4-11 某地1986年120名8岁男孩身高均数为123.02cm， 标准差为4.79cm，试估计： （1）该地8岁男孩身高在130cm以上者占的百分比； （2）身高在120-128cm者占的百分比； （3）该地80%的男孩身高集中在哪个范围？
中间高，左右对称，对应
于数学上的正态分布曲线，
则称该变量服从正态分布。
2.正态分布密度函数：
正态曲线（normal curve）是一条高峰位于中 央，两端逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为：
f(X)
1
(X)2
e 22
2
π和e分别为圆周率和自然对数的底；μ和σ分别是 正态总体的均数和标准差。
高二数学正态分布
第三节 正态分布
正态分布的概念 正态曲线下面积的分布规律 正态分布的应用
一、正态分布的概念
1.正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型 分布。正态分布在十九世纪前叶由高 斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高 斯分布。
Gauss
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-3 -1.8 -0.6 0.6 1.8
根据专业知识确定该指标是否过大或过 小均属异常，决定该指标的参考值范围 是双侧范围还是单侧范围。
★双侧参考值范围：若一个指标过大过小均属 异常，则相应的参考值范围既有上限又有下 限，则参考值范围为双侧。
★单侧参考值范围：若一个指标仅过大属异 常，则此指标的参考值范围只有上限，是单 侧参考值范围；若一个指标仅过小属异常， 则此指标的参考值范围只有下限，亦是单侧 参考值范围。
2.参考值范围的制定方法
(1)正态分布法
正态分布法制定参考值范围
单侧
%
双侧
只有下限 只有上限
90
X 1.64S X 1.28S X 1.28S
95
X 1.96S X 1.64S X 1.64S
99
X 2.58S X 2.33S X 2.33S
(2)百分位数法
百分位数法制定参考值范围
单侧
%
双侧
只有下限 只有上限
（3）
(z) 0.8 z 1.28 80%的8岁男孩身高范围是X 1.28S, 即123.02 1.28 4.79 (116.9cm,129.2cm)
三、正态分布的应用
确定医学参考值范围 质量控制 二项分布、Poisson分布的正态分布近似
(一)确定医学参考值范围
1.概念：参考值范围也称正常值范围。医学上常把 大多数正常人的解剖、生理、生化指标值等所在的 范围称为该指标的正常值范围。一般以包含90%、 95%或99%的个体所在的范围称正常值范围。
随机变量X服从正态分布N(μ ，σ2)，可做如下的
标准化变换，也称Z变换。
Z X
经标准化变换后，原正态分布密度函数变为：
e f ( z )
1 2
z2
2
z
经标准化变换后，原变量X变为Z，Z服从总体 均数为0，总体标准差为1的正态分布，即标准 正态分布（standard normal distribution）。
（1） （2）
Z 130 123.02 1.46 4.79
(-1.46)=0.0721
z1
120
123.02 4.79
0.63
z2
128
123.02 4.79
1.04
(0.63) 0.2643
(1.04) 1 (1.04) 1 0.1492 0.8508
( 0.63,1.04)区 间 内 的 面 积 为 ： （1.04）-（-0.63）=0.8508 0.2643 0.5865
3
直方图
系列2
-3 -2.4 -1.8 -1.2 -0.6
0 0.6 1.2 1.8 2.4
3
0.45 0.4
0.35 0.3
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05 0
正态分布图
系列2
若连续型定量变量的频数
分布在靠近均数处频数多，
两边频数少，且左右对称，
反映在频数曲线（频率直
方图）上呈钟型，两头低