高中数学- 正态分布

C．8 与 10
D．2 与 10
解析：由正态曲线 f(x)＝
1 2πσe
(
x )2 8
知，
2πσ＝ 8π， μ＝10，
即 μ＝10，σ＝2.
答案：B
2．如图是正态分布 N(μ，σ21)，N(μ，σ22)， N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线， 那么 σ1，σ2，σ3 的大小关系是( ) A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1 C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3 解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中， σ2越小，故有σ1>σ2>σ3. 答案：A
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由 此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图 象可求σ.
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象，
且
f(x)＝
1 8πe
(
x
10 )2 8
，则这个正态总体的均值与标准差
ห้องสมุดไป่ตู้分别是
()
A．10 与 8
B．10 与 2
期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作 N(μ，σ2)， μ＝0，σ＝1的正态分布叫 标准正态分布．
2．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方 ，并且关于直线 x＝μ 对称； (2)曲线在 x＝μ 时处于最高点，并由此处向左右两边 延伸时，曲线逐渐 降低 ，呈现“中间高，两边低 ”的形状； (3)曲线的形状由参数σ确定，σ越 大，曲线“矮胖”；σ 越 小，曲线越“高瘦”．
7．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已 知X～N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时 的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少 小时以上？ 解：因为灯泡的使用寿命X～N(1 000,302)， 故X在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%， 即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%， 故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上．
[精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于
直线
x＝20
对称，最大值是 2
1
，所以 π
μ＝20.
由
1＝ 2π·σ 2
1
，得 π
σ＝
2.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝2
1
π·e
()0x2 4
2
，x∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
[一点通] 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ， 具体方法如下：
2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点 去理解、记忆．
[例1] 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出 其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量 的期望和方差．
[思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线 的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、 标准差及解析式．
3．正态分布的3σ原则 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%； P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝ 95.；4% P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝ 99.7. % 正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就 是正态分布的3σ原则．
1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ 确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数， 可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动 大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
[例3] (10分)据调查统计，某市高二学生中男生的身高 X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．
[思路点拨] 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布 的性质可以求解．
[精解详析] 因为身高X～N(174,9)，
因为P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，所以正态总体 X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间 以外取值的概率只有0.0026，这是一个小概率事件，通 常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这是统 计中常用的假设检验基本思想．
[一点通] 解答此类问题的关键在于充分利用正态 曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概 率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
解析：若随机变量 X～N(μ，σ2)，则其正态密度曲 线关于 x＝μ 对称，故 P(X≤μ)＝12. 答案：12
所以μ＝174，σ＝3，
(2分)
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，
μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4.
(6分)
又因为μ＝174.
所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为
0.477 2，
故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是
[例2] 在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)， 求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
[思路点拨] 解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概 率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值 的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
[精解详析] 由题意得 μ＝1，σ＝2， 所以 P(－1<X<3)＝P(1－2<X<1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于 x＝1 对称， 所以 P(－1<X<1)＝P(1<X<3)＝12P(－1<X<3)＝ 0.341 3.
6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于 交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)， 则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为______． 解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4. 答案：0.954 4
3 000×0.477 2≈1 432(人)．
(10分)
[一点通] 解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将 所求概率向P(μ－σ<X<μ＋σ)，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－ 3σ<X<μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概 率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面 积为1这一特殊性质．
4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝ P(X<c－1)，则c＝________.
解析：∵μ＝2，P(X>c＋1)＝P(X<c－1)， ∴c＋1＋2 c－1＝2，解得 c＝2. 答案：2
5．若X～N(5,1)，求P(5<X<7)．
解：∵X～N(5,1)，∴μ＝5，σ＝1. 因为该正态曲线关于 x＝5 对称， 所以 P(5<X<7)＝12P(3<X<7)＝12×0.954 4＝0.477 2.
第
2.4
二 正态 章 分布
理解教材新知
把握热点 考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1．正态曲线
态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝e
1
(
x )2 22
2π·σe
，x∈R，其中参数μ为正态分布变量的
数学期望 ，μ∈( －∞， ＋∞ )；σ为正态分布变量的 标准差 ,σ∈ (0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x)) 的 图象 叫做正态曲线．