高中数学-正态分布(1)
高中数学正态分布
高中数学正态分布正态分布是高中数学中一个重要的概率分布，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中具有广泛的应用，可以描述许多随机变量的分布情况。
正态分布具有许多独特的特性，包括对称性、钟形曲线、均值和标准差等。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质以及它在实际问题中的应用。
一、基本概念正态分布是一种连续型的概率分布，它的概率密度函数可以用一个钟形曲线来表示。
钟形曲线关于均值对称，左右两边的面积相等。
正态分布的概率密度函数可以用数学公式表示，但在本文中我们不涉及具体公式。
二、性质1. 对称性：正态分布的钟形曲线关于均值轴对称，即曲线左右两侧的面积相等。
2. 峰度：正态分布的峰度较高，表示数据相对集中，没有明显的长尾巴。
3. 均值和标准差：正态分布的均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
三、应用举例正态分布广泛应用于各个领域，下面举几个例子说明其具体应用：1. 身高分布：人类的身高大致符合正态分布，均值是一定范围内的平均身高，标准差则决定了身高的变化范围。
2. 考试成绩：在一次考试中，学生的成绩往往呈现出正态分布的特点。
均值代表了班级的平均水平，标准差则反映了学生成绩的离散程度。
3. 生产质量控制：正态分布在生产过程中的质量控制中发挥重要作用。
通过对产品尺寸、重量等特征的测量，可以判断产品是否符合正态分布，从而进行质量控制和改进。
四、正态分布的应用思考正态分布的应用思考是高中数学中常见的问题类型之一。
通过理解正态分布的基本概念和性质，我们可以解决一些实际问题，例如：1. 求解概率：已知某一正态分布的均值和标准差，我们可以求解某个范围内的概率，从而回答一些关于随机事件的概率问题。
2. 参数估计：通过样本数据对总体的均值和标准差进行估计，从而推断总体的特征。
3. 假设检验：通过正态分布的性质，可以进行关于总体均值的假设检验，从而判断总体是否满足某种条件。
高中数学中的正态分布是一种重要的概率分布，具有广泛的应用。
2025届高中数学一轮复习课件《正态分布》ppt
高考一轮总复习•数学
A．甲工厂生产的零件尺寸的平均值等于乙工厂生产的零件尺寸的平均值 由正态曲线的对称轴相等可知． B．甲工厂生产的零件尺寸的平均值小于乙工厂生产的零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产的零件尺寸的稳定性高于乙 甲的正态曲线瘦高，即稳定性高于乙． 工厂生产的零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产的零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产的零件尺寸的稳定性
(2)由已知得 E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，故 E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.故选 D．
解析
高考一轮总复习•数学
第21页
题型
服从正态分布的概率计算
典例 2 (1)(2024·陕西西安模拟)陕西洛川苹果享誉国内外，据统计，陕西洛川苹果(把
苹果近似看成球体)的直径 X(单位：mm)服从正态分布 N(70,52)，则直径在(80,85]内的概率
高考一轮总复习•数学
第27页
135 分的为特别优秀，那么本次数学考试成 μ＋2σ 绩特别优秀的大约有________人．(若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ －2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.95) (2)(2024·河北张家口统考)某校举办乒乓球颠球比赛，现从高一年级 1 000 名学生中随机 选出 40 名学生统计成绩(单位：个)，其中 24 名女生的平均成绩 x 女＝70，标准差 s 女＝4；16 名男生的平均成绩 y 男＝80，标准差 s 男＝6.
σ ＝ 9. 因 为
μ
－ 2σ
＝
110
－
2×9
＝ 92
，
P(ξ≥90)>P(ξ≥92) ＝
P(ξ≥μ －
2σ)
＝
1 2
高考高中数学正态分布
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N (,s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a x ≤ a) ,s ( x)dx a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 s 而言，该面 积 的随概着率越s 大的，减即少X而集变中大在。这周说围明概s率越越小大, 落。在区间 ( a, a]
s ( x)
1
2 s
e
( x )2 2s 2
y
y
μ= -1
σ=0.5
μ=0
, x (, )
y μ=1
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
上述数据的分布有怎样的特点？
频率分布 直方图
第一步：分组
确定组数，组距？
第二步：列出频率分布表
区间 号
1
区间
频数
153.5~157.5 5
2 157.5~161.5 8
3 161.5~165.5 10
4 165.5~169.5 15
5 169.5~173.5 18
6 173.5~1775 18
7 177.5~181.5 8
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
高中数学必修三正态分布知识点
高中数学必修三正态分布知识点正态分布的定义：如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用来表示。
当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。
叫标准正态曲线。
正态曲线x∈R的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x 轴;(3)曲线在x=μ处达到最高点;(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。
在标准正态总体N(0，1)中：二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。
高中数学课件 2.4正态分布(一)2.6平面向量复习课
OB CA 0
OB CA
则O在CA边的高线上 同理可得O在CB边的高线上
19、设在平面上有两个向量： a (cos ,sin ), b (cos ,sin ),(0 ) (1)试证：a b与a b互相垂直； (2)两个向量 ka b与a kb的模相等时，角 - 等于多少？其中k为非零实数
10. 已知a=(1，3)，b=(－3，1)，求<a，b>；
|a+b|，|a－b|，<(a+b)，a>.
< a，b >=90° |a+b|= 2 5 , |a－b|= 2 5
<(a+b)，a>=45 °
11. 已知向量a=(1，5)，b=(－3，2)，求a在b
方向上的正射影的数量。
a b 7 13 | a | cos a, b |b| 13
15、在三角形ABC中，AB =（2，3），AC =（1，k）， 且三角形ABC的一个内角为直角，求实数k的值
16.已知向量a （-2，2）， (5, k ). b （1）若 a b 不超过5，则实数k的取值范围是_______ （2）若 a ， 为钝角，则实数k的取值范围是______ b
4、已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，设 AB=e1，AD=e2，则用e1, e2表示ED的表达式为
.
5.设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a=(2e1+e2)， b=e1-λe2. (1)若a∥b，求λ； (2)若a⊥b，求λ.
6. 已知平行四边形ABCD的三顶点 A(－1, － 3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四个顶点D和中 心M的坐标 D(1，－2)
高中数学正态分布
指数分布与正态分布关系
指数分布是一种连续型概率分布 ，用于描述两个连续事件之间的 时间间隔。
在某些情况下，指数分布可以近 似为正态分布。具体来说，当指 数分布的参数 $lambda$ 足够大 时，指数分布 $Exp(lambda)$ 可以用正态分布 $N(frac{1}{lambda}, frac{1}{lambdasqrt{2}})$ 来近似 。然而，这种近似通常不如二项 分布和泊松分布逼近正态分布那 样准确。
多元正态分布的定义
多元正态分布是指多个随机变 量组成的向量服从正态分布的 情况。
多元正态分布的性质
多元正态分布具有一些重要的 性质，如联合分布、边缘分布 、条件分布和独立性等。
多元正态分布在统计学中 的应用
多元正态分布广泛应用于多元 统计分析中，如多元线性回归 、主成分分析、因子分析等。
多元正态分布的参数估计 和假设检验
对于多元正态分布的参数估计 和假设检验，可以使用最大似 然估计、协方差矩阵的估计和 多元t检验等方法进行。
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THANKS
对两个正态总体均值或方差进行 比较的假设检验，如t检验和F检 验的两样本版本。
置信区间构建
利用样本数据构造总体均值的置 信区间，以估计总体均值可能落 入的范围。
01
02
单样本假设检验
对单个正态总体均值或方差进行 假设检验，如t检验和F检验。
03
04
配对样本假设检验
对配对观测值之差的均值进行假 设检验，如配对t检验。
智商分布
智商测试的结果也符合正态分布，大 部分人的智商处于中等水平，极高和 极低的智商相对较少。
生产过程中质量控制
产品质量分布
在生产线上，产品质量往往呈现 正态分布，大部分产品符合质量 标准，极少数产品存在严重缺陷
高三数学正态分布知识点
高三数学正态分布知识点正文：正态分布是概率论和统计学中经常应用的一种重要分布。
其特点是在均值附近的概率较高，而在离均值较远处的概率较低。
在高中数学的学习中，正态分布也是一个重要的知识点。
本文将介绍高三数学正态分布的相关知识。
一、正态分布的定义正态分布，又称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
对于一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / sqrt(2 * π * σ^2)) * exp(-(x - μ)^2 / (2 * σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。
二、正态分布的性质1. 对称性：正态分布是以均值为对称轴，两侧面积相等的曲线。
2. 峰度：正态分布的峰度是指曲线的陡峭程度，峰度值为3。
3. 切点：正态分布曲线与均值之间会有两个切点，也即均值加减标准差的位置。
三、标准正态分布标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
它是对正态分布进行标准化后的结果。
对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过以下公式将其转化为标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - μ) / σ四、正态分布的应用正态分布在实际生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 质量控制：正态分布可以帮助企业在生产过程中进行质量控制，通过控制产品的均值和标准差，来确保产品的质量稳定。
2. 统计分析：正态分布在统计学中扮演了重要角色，可以用于分析和描述大量数据的分布情况，从而得出结论或进行预测。
3. 考试评分：在考试评分过程中，教师常常采用正态分布来确定分数段及相应的等级，从而更公平地进行评价。
4. 实验设计：科学实验中常常会涉及到测量误差和数据分布的问题，正态分布可以作为参考，帮助科研人员进行实验设计和数据分析。
五、常用的正态分布应用题1. 求解概率：给定正态分布的均值和标准差，可以求解指定区间的概率。
2. 求解分位数：给定正态分布的均值和标准差，可以求解给定概率下的分位数，即求解落在该概率下的随机变量取值。
人教版数学高二-《正态分布》精品课件 新课标
• [题后感悟] 解答此类题目的关键在于将待求 的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ －3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用 上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依 然会用到化归思想及数形结合思想．
高中数学
• 3.设在一次数学考试中，某班学生的分数服 从X～N(110,202)，且知满分150分，这个班 的学生共54人．求这个班在这次数学考试 中及格(不小于90分)的人数和130分以上的 人数．
高中数学
• A．三科总体的标准差及平均数都相同 • B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同 • C．丙科总体的平均数最小 • D．甲科总体的标准差最小 • 解析： 由题图可得，甲、乙、丙三科的平均
分一样，但它们的标准差大小不同，σ甲＜σ乙 ＜σ丙． • 答案： D
高中数学
(2011湖北高考)已知随机变量ξ服从 正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则 P(0<ξ<2)＝( )
(3)曲线在 x＝μ
处达到峰值 1 ； σ 2π
高中数学
1
σ
μ
• (4)曲线与x轴之间的面积为 • (5)当 越一大定时，曲线随着
沿x轴平移，如图①；
；
越小
的变化而
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ ，曲线越“瘦高”；σ ， 曲 线 越
“．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 • P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0. ；682 6 • P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.954 4 ； • P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.997 4 .
越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集 中，这个性质可直接判断．由正态曲线性质知 μ1＜μ2，σ1＜σ2. • 答案： A
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)(σ2>0)的密度
函数图象如图所示，则有
()
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
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解析：根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线 是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形 曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越 小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.
度曲线，简称正态曲线．
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2．正态曲线的性质
(1)曲线位于x轴上方 ，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ 对称；
(3)曲线在 x＝μ
处达到峰值 σ
1； 2π
(4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
(5)当σ一定时，曲线随着 μ 的变化而沿x轴平移，如图甲
＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8.
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求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只 需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个 区间上体现了转化与化归思想应用．
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＝12×(0.954 4－0.682 6)
＝0.135 9.
(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，
∴P(X≥5)＝12[1－P(－3<X≤5)]
＝12[1－P(1－4<X≤1＋4)]
＝12[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]
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解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线 的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
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设两个正态分布N(μ1，σ
2 1
)(σ1>0)和N(μ2，σ
2 2
问题探究：参数μ，σ在正态分布中的实际意义是什么？ 提示：μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．
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3．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b) ＝ ∫baφμ，σ(x)dx ，则称X的分布为正态分布，记作N(μ，σ2)． (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826 ； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由
1＝ 2πσ
1 2π·4
，得σ
＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是 φμ，σ(x)＝4 12πe－3x22 ，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)
＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.
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考纲要求
考情分析
利用实际 问题的直方图， 了解正态分布的 特点及曲线所表 示的意义.
通过近三年高考试题来看，正态分布主要
考查正态总体在某一区间内的概率，通常以选择 、填空题形式出现，题目较易或中等．如2012年 课标卷5将正态分布与相互独立事件的概率结合 起来考查，可以说是一个新的命题方向．
所示；
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(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小 ，曲线越“瘦 高”，表示总体的分布越集中；σ越大 ，曲线越“矮胖”，表 示总体的分布越分散，如图乙所示．
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答案：(1)D (2)C
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在实际生活中，很多事例都服从或近似服从正态分布， 了解N(μ，σ)的含义并能正确应用是解决这些问题的关键．
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(2012全国课标)某一部件由三个电子元件按右图方式连接 而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正 常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态 分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么 该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
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(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质． 正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于直线x＝μ对称 的区间上，概率相等．
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设X～N(1,22)，试求 (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X≥5)．
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在正态分布N 0，19 中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)
内的概率为
()
A．0.097
B．0.046
C．0.03 解析：∵μ＝0，σ＝
D．0.002 6
1 3
，∴P(x<－1或x>1)＝1－P(－
1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6.
形状判别相应的μ和σ的大小关系．
2．正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的
区间上概率相等．正态曲线与x轴之间面积为1.
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若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函
数的最大值为 4
1 2π.
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；
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【错因分析】 (1)不能正确得出该正态分布的两个参数 μ，σ导致计算无从下手．(2)对正态分布中随机变量在三个区 间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错．
【正确解答】 依题意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝ 92，μ＋3σ＝140，而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋ 3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考 生所占百分比约为99.7%，从而成绩在140分以上的考生所占 的百分比为1－929.7%＝0.15%.故选D.
(2)求正态总体在(－4,4]的概率．
【思路启迪】 要确定一个正态分布的概率密度函数的
解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定
曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
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【解】 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函
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(1)设随机变量ξ服从标准正态分布，则P(|ξ|<1.88)等于(已
知Ф(1.88)＝0.97)
()
A．0.03
B．0.06
C．0.97
D．0.94
(2)(2011年湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝
【思路启迪】 将所求概率转化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－ 2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正态密度曲线 的对称性求解．
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【解】 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)， ∴P(3<X≤5)＝21[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]
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(对应学生用书P218)
1.若连续型随机变量ξ服从正态分布，即ξ～N(μ，σ2)，则
E(ξ)＝μ，D(ξ)＝σ2，这里μ，σ的意义是期望和标准差．μ在正
态分布曲线中确定曲线的位置，而σ确定曲线的形状．如果给
出两条正态分布曲线，我们可以根据正态分布曲线的位置和
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高考总复习 ·课标版 ·A 数学（理）