新课标人教A版名师对话数学文一轮复习课件6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第3 讲二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题、知识梳理2•二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成的有序数对（x,y）,叫做二元一次不等式（组）的解，所有这样的有序数对（x, y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集1 .利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax+ By+ C>0 或Ax+ By+ C<0,则有⑴当B（Ax + By+ C）＞0时，区域为直线Ax + By + C = 0的上方；（2）当B（Ax + By+ C）＜0时，区域为直线Ax + By + C = 0的下方.2.最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解. 最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.X W 2,（必修5P91练习T1改编）若x , y 满足y 》—1,则y — x 的最小值为 ________4x — 3y + 1 > 0,最大值为 ________ .答案：—31一、思考辨析判断正误（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. （ ）⑵线性目标函数的最优解可能是不唯一的.（ ）⑶线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. （）⑷在目标函数 z = ax + by （b 丰0）中，z 的几何意义是直线 距.()答案：(1)X (2) V (3) V (4) X 二、易错纠偏常见误区⑴不明确目标函数的最值与等值线截距的关系; （2）不理解目标函数的几何意义； ⑶平面区域内点满足关系不理解.1.点（一2, t ）在直线2x — 3y + 6= 0的上方，贝U t 的取值范围是 _________、习题改编ax + by — z = 0在y 轴上的截解析：因为直线2x —3y+ 6 = 0的上方区域可以用不等式2x —3y+ 6 v 0表示，所以由点2(—2, t)在直线2x—3y+ 6 = 0 的上方得—4—3t + 6 V 0,解得t>$答案：|,"y+ 2 > 0,2.设x,y满足约束条件x—2w 0, 则z= x+ y的最大值与最小值的比值为 _____________2x—y+ 1> 0.解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示x—2= 0, z= x+ y可化为y=—x+ z,当直线y=—x+ z经过A点时，z最大，联立2x—y+ 1 = 0.x= 2, y + 2 = 0,得故A(2,5)，此时z= 7;当直线y=—x+ z经过B点时,z最小，联立y= 5, 2x—y+ 1 = 0, 3x= —2 3 7得2故B —3, —2 ,此时z= —2,故最大值与最小值的比值为— 2.y=—2,答案：—2x—y+ 5> 0,y —13.已知x, y满足条件x+ y>0, 则z= 的最大值为________x十3x< 3,解析：作出可行域如图，问题转化区域上哪一点与点M(—3, 1)连线斜率最大，观察知55心1_ 2 - 1点 A -5,,使k MA 最大,Z max= k MA = = 3.2 5^—5+3答案：3.兀一次不等式（组）表示的平面区域（典例迁移）面区域的面积等于（）A 》 Ctx > 1 ,⑵设不等式组 x — y < 0,表示的平面区域为 M ,若直线y = kx —2上存在M 内的点，则x + y < 4实数k 的取值范围是（）B . (— 3 1] U [3 ,+s )（1）不等式组x> 0,x + 3y >4,所表示的平3x + y w 4A . [1, 3]D .D . ( — a, 2] U [5 , +8 )【解析】(1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 1 8 4 1), C(0, 4),则厶ABC 的面积为2X 1 x 3 =3.故选C.x > 1 ,(2)作出不等式组x — y w 0,表示的平面区域，如图中阴影部分所示,因为直线I ： y = x + y w 4kx — 2的图象过定点 A(0, — 2),且斜率为k ,由图知，当直线I 过点B(1, 3)时，k 取最大值 3+ 22+ 2=5 ,当直线I 过点C(2 , 2)时，k 取最小值 =2,故实数k 的取值范围是[2 , 5]. 1 — 02— 0C . [2, 5] 4,A 0, 3，B (1，【答案】(1)C (2)C【迁移探究】（变问法）本例（2）中条件不变，求平面区域M的面积，结果如何?解：可知平面区域M为等腰直角三角形，可求出B（1，3）和C（2, 2），所以2, 1所以S=新2X 2= 1.二元一次不等式（组）表示的平面区域的确定方法（1）确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法是："直线定界，特殊点定域”，即先作直线,再取特殊点并代入不等式（组）.若满足不等式（组），则不等式（组）表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.（2）当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原占八、、♦1 .不等式(x —2y+ 1)(x+ y —3) < 0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )合.故选C.x — y > 0, 2x + y w 2,2.若不等式组 所表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）y > 0,x + y w a B . 0<a w 1 4D . 0<a w 1 或 a >3 x — y >0,解析：选D.不等式组 2x + y w 2，所表示的平面区域如图所示（阴影部分）.y > 0解析:选 C.(x — 2y + 1)(x + y — 3)w 0, x — 2y + 1 > 0,即或x + y — 3w 0x — 2y + 1 w 0,与选项C 符x + y — 3> 0,A 4 A . a >34 C . 1 w a w 3y = 0,得B （1, 0）.若原不等式组表示的平面区域 2x + y = 2,4是一个三角形，则直线x + y = a 中的a 的取值范围是0<a < 1或a >~.3求线性目标函数的最值（范围）（多维探究）角度一求线性目标函数的最值（范围）（2019高考全国卷II ）若变量x , y 满足2x + 3y — 6> 0,约束条件 x + y — 3< 0,贝U z = 3x — y 的最大值是 ___________ .y — 2< 0,y =x ,2 2由 得A 3，3 ；由2x + y = 2, 33【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线3x—y= 0,并平移，当直线经过点（3, 0）时，直线在y轴上的截距最小，此时z= 3x—y取得最大值，且Z max= 9・【答案】9⑴求目标函数的最值a z形如z= ax+ by(b^ 0)的目标函数，可变形为斜截式y= —£x+ £(b丰0).①若b>0,当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时z值最小；②若b<0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大.(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解.角度二求非线性目标函数的最值(范围)x—y+ 1 w 0,实数x, y满足x> 0,y w 2.(1) 若z= y，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；x(2) 若z= x2+ y2,求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.x—y+ 1w 0,【解】由x>0, 作出可行域，y w 2,如图中阴影部分所示.(1)z= 丫表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，入因此y的范围为直线0B的斜率到直线OA的斜率(直线0A的斜率不存在，即Z max不存x1 2'x —y +1 = 0, 由 得 B(1 , 2),y = 2,2所以 k OB = ~= 2,即 Z min = 2 ,1 ， 所以z 的取值范围是[2 , +8) •(2)z = x 2 + y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此x 2 + y 2的最小值为0A 2,最大值为0B 2x —y +1 = 0, 由 得 A(0, 1),x = 0,所以 0A 2= ( 02+ 12)2= 1,0B 2= C .‘12 + 22)2= 5,所以z 的取值范围是[1 , 5].【迁移探究1】(变问法)本例条件不变，求目标函数z = y 一1的取值范围. x — 1y — 1解：z = 可以看作过点P(1, 1)及(x , y)两点的直线的斜率.x — 1 所以z 的取值范围是(一8 , 0].【迁移探究2](变问法)本例条件不变，求目标函数 z = x 2 + y 2— 2x — 2y + 3的最值.解：z = x 2+ y 2— 2x — 2y + 3 =(x — 1)2+ (y — 1)2+ 1,而(x — 1)2+ (y — 1)2表示点P(1, 1)与Q(x , y)的距离的平方 PQ 2 , PQ max = (0 — 1)2+ (2 — 1)2= 2 ,所以 z max = 2 + 1 = 3 , z min = ?+ 1 = ^.PQ min = |1— 1+ 1| 2'.12+(— 1) 2。
新课标人教A版名师对话数学理一轮复习课件6.1不等关系与不等式
熟记不等式的性质是解题关键，尤其是不等式两边同乘以 一个数的性质及取倒数的性质是判断这类题的一个关键点．
在使用不等式的性质时，要先确定独立变量，再搞清它们成 立的条件． (1)在应用传递性时， 如果两个不等式中有一个带等号而另一 个不带等号，那么等号是传递不过去的，如 a≤b，b<c⇒a<c. (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，例如当 c≠0 时，有 a>b⇒ac2>bc2；若无 c≠0 这个条件，则 a>b⇒ac2>bc2 就是错误结论(∵当 c＝0 时，取“＝”)．
考 点
互 动 探 究
核心突破 · 导与练
(对应学生用书 P127)
考点1
用不等式(组)表示不等关系
1.区分“不等关系”与“不等式”的异同，不等关系强调的 是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则 是 表 现 两 者 的 不 等 关 系 ， 可 用
“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是 可以通过不等式来体现的． 2．对有关生活的数学应用问题，在求解过程中一定要准确 地将题目中的生活语言用相应的不等式 ( 或等式的形式 ) 表现出 来．
第 六 篇
不等式
(必修 5 第三章
推理与证明
选修 2－2 第二章)
第一节
不等关系与不等式
高考导航
考纲要求 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．了解证明不等式的基本方法——比较法.
考情分析 从近三年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用等是高考的热点， 题型既有选择题，又有填空题，难度为中低档；客观题突出对不等式性质的灵 活运用，与不等式有关的集合的运算是常考题型；主观题考查绝对值不等式、 不等式性质的应用，有时考查转化思想、数形结合思想． 预测与备考：与命题、充要条件结合命制试题是常规方案，2014 年仍会这样构 建试题，难度也不会太大．与函数、数列等综合命制试题，将不等关系隐含其 中，要求考生清楚地区分“等”与“不等”，要在整个高考备考中始终关注.
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6_2二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件理新人教A版
4．求平面区域面积的方法 (1)画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化 为不等式组问题，再作出平面区域； (2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行 四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三 角形分别求解再求和即可．
答案：C
解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件 36x＋60y≥900，
为yx－＋xy≤≤72，1， x，y∈N，
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝ 36 800(元)．
考点三|数形结合法求目标函数的最值 (方法突破)
线性约束条件 由x，y的一次不等式组成的 不等式(组)
目标函数 关于x，y的函数 解析式
线性目标函数 关于x，y的 一次 解析式
可行解 可行域
满足线性约束条件的解(x，y) 所有 可行解 组成的集合
最优解 使目标函数取得 最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的 线性规划问题 最大值 或 最小值 问题
y－x≤2
表示的平面区域是△AOB，动直线x＋y＝a(即y＝－
x＋a)在y轴上的截距从－2变化到1.
知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1等腰直角三角形，
所求区域的面积S＝S△ACD－S△OEC＝12×3×32－12×1×1＝74.
[答案] (1)B (2)D
名师点拨 1.确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特 殊点定域”的方法．需要将特殊点的坐标代入f(x，y)计算并判断符号． 2．求平面区域面积，需要解方程组求区域端点的坐标，要计算边长或角度、高 度． 3．根据图形特点选取面积计算方法．
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
索引
考试要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式 的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情 境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
方加1，
结合图形得到 zmin＝
12＋|1（＋－1| 1）22＋1＝3.
索引
角度3 求参数值或取值范围
x≥2，
例 3 已知 x，y 满足x＋y≤4， 若目标函数 z＝3x＋y 的最大值为 10，则实数 2x－y－m≤0.
m 的值为___5_____. 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示.作出 直线3x＋y＝0，并平移可知，当直线过点A时， z取得最大值为10，当直线过点B时，z取得最 小值.
索引
(2)(2022·南昌模拟)已知变量
x，y
x－2y＋4≤0，
满足x≥2，
则
x＋y－6≥0，
k＝xy＋－13的取值范围是
__(_－__∞__，__－__5_]∪___12_，__＋__∞____.
解析 由题意作出可行域如图阴影部分所示，
由于 k＝xy＋－13＝y－（x－－31）表示动点 M(x，y)与
索引
(2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 设总收视人次为z万 ，则目标函数为z＝60x＋25y.
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的
2017届一轮复习全国通用 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 课件
2 , ������+2 2������ + ������+2
2
故 ������ 2,
2 2������ , + ������+2 ������+2
2 .
2 2 , 2 2
而以线段������������为直径的圆的圆心为������ 即
2 2 ������+2 2
, 所以有|������������| ≤ 1,
第六章
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
主干知识回顾
名师考点精讲 综合能力提升
-5-
4.线性规划的相关概念及其解法
(1)线性规划的相关概念
名称 目标函 数 约束条 件 可行解 可行域 最优解 线性规 划问题 意义 欲求最大值或最小值的函数 目标函数中的变量所要满足的不 等式组 满足约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值 的可行解 在线性约束条件下,求线性目标函 数的最大值或最小值问题
������ 距 的最值间接求出 ������ ������ ������
z 的最值.要注意:当 b>0 时,y
������ ������ ������ ������
������ 轴上的截距 取 ������ ������ ������
最大值时,z 也取最大值;y 轴上的截距 取最小值时,z 也取最小值. 当 b<0 时,y 轴上的截距 取最大值时,z 取最小值;y 轴上的截距 取 最小值时,z 取最大值. ③求:求出使 z 取最值的点的坐标及 z 的最值; ④答:得到答案.
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y),所有 这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解 集.
2020版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6_3二元一次不等式(组)与简单的线性规划课件文新人教A版
(1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次 最多？
57x0＋x＋5y6≥0y3≤0，600， 解 (1)由已知，x，y 满足x≤2y，
答案 D
3．(方向 3)已知实数 x，y 满足约束条件2y≥x－x，y≥0， y≥－x＋b，
若 z＝2x＋y 的
最小值为 3，则实数 b＝( )
A．49
B．32 C．1
D．34
解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示。
由 z＝2x＋y 得 y＝－2x＋z，平移直线 y＝－2x，由图 可知当直线 y＝－2x＋z 经过点 A 时，直线 y＝－2x＋ z 的截距最小，此时 z 最小，为 3，即 2x＋y＝3。由
在通过求直线的截距bz的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b>0 时， 截距bz取最大值时，z 也取最大值；截距bz取最小值时，z 也取最小值；当 b<0 时，截距bz取最大值时，z 取最小值；截距bz取最小值时，z 取最大值。
一、走进教材
x－3y＋6≥0，
1．(必修 5P86 练习 T3 改编)不等式组x－y＋2<0
方向 3：含参数的线性规划问题 【 例 4 】 (2019·山 西 八 校 联 考 ) 若 实 数 x ， y 满 足 不 等 式 组
x－y＋2≥0， x＋2y－4≥0， 2x＋y－5≤0，
且 z＝3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为 5，则 a＝________。
解析 设 z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中 阴影部分所示，
答案 23，25
目标函数不是直线形式时，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常 见代数式的几何意义主要有：
最新人教版A版高三数学(理)高考一轮复习6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教学设计及答案
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题简单的线性规划(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识点一 二元一次不等式(组)表示的平面 区域易误提醒 画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式为ax ＋by ＋c >0(a >0)．必备方法 确定二元一次不等式表示平面区域的方法：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在直线的同一侧，反之在直线的另一侧．[自测练习]1．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0，表示的平面区域是( )解析：x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及右下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分．故不等式组表示的平面区域为选项B 所示部分． 答案：B2．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：平面区域如图所示．解⎩⎨⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.答案：C知识点二 线性规划中的基本概念易误提醒 线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函取得最值的点不一定只有一个，也可能有无多个，也可能没有．[自测练习]3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7,23]B ．[8,23]C ．[7,8]D ．[7,25]解析：画出不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函取到最小值，解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函取到最大值，解方程组⎩⎨⎧x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23，故选A.答案：A4．已知点P (x ，y )满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤1，x －y －1≤0，目标函z ＝x ＋ay (a <0)的最大值和最小值之和为0，则a 的值为( )A ．－32B ．－2C ．－1D ．－12解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，A (1,0)，B (2,1)，C (1,1)，当z ＝x ＋ay 过点A ，B ，C 时，z 的值分别为1,2＋a,1＋a .∵a <0，∴z min ＝1＋a .①当2＋a >1，即a >－1时，z max ＝2＋a ，∴2＋a ＋1＋a ＝0，a ＝－32(舍去)；②当2＋a ≤1，即a ≤－1时，z max ＝1，∴1＋1＋a ＝0，a ＝－2，符合条件，故选B.答案：B考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域|1．(2016·济南模拟)不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.答案：B2．(2015·高考重庆卷)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则m >－1.由⎩⎨⎧ x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m,1＋m )．由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m .因为S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1＋m －⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋23m ＝13(m ＋1)2＝43，所以m ＝1或m ＝－3(舍去)，故选B.答案：B3．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x ≥1，y ≥1，2x ＋y ≤10，B ＝{(x ，y )|3x －y －11＝0}，则A ∩B 中元素的个为( )A ．0B ．1C ．2D ．无解析：由题意作出集合A 表示的平面区域如图中阴影部分所示，在同一直角坐标系中作出集合B 表示的直线，观察图形可知，两集合的交集为一条线段，故A ∩B 中的元素有无个．答案：D确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．常选(1,0)或(0,1)点．考点二 线性目标函的最值及应用|线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代和几何的双重形式，多与函、平面向量、列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函的最值． 2．求非线性目标函的最值． 3．求线性规划中的参． 4．线性规划的实际应用． 探究一 求线性目标函的最值1．(2015·高考全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z＝x ＋y 的最大值为________．解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12处，z 取得最大值，且z max ＝32.答案：32探究二 求非线性目标函的最值2．(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A (1,3)处，yx 取得最大值3.答案：3探究三 求线性规划中的参值或范围3．(2015·高考山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，作出过点D (0,4)的直线，由图可知，目标函在点B (2,0)处取得最大值，故有a ×2＋0＝4，解得a ＝2.答案：B4．已知实x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函z ＝y －ax (a ∈R )取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：如图所示，当a ≤0时，直线y ＝ax ＋z 知在点(1,3)不可能取得最大值，则当a >0时，目标函z ＝y －ax 要在(1,3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a >1，故选A.答案：A探究四 线性规划的实际应用5．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析：根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.答案：D1．求目标函的最值的三个步骤：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，解目标函的意义． 2．常见的目标函有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函的最值常将函z ＝ax ＋by 转为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.20.转思想在非线性目标函最值问题中的应用【典例】变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．[思维点拨] 点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12表示点(x ，y )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．[解](1)由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎨⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29. (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.∴2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝ －3－5 2＋ 2－2 2＝8.∴16≤z ≤64.[方法点评] (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用转思想与形结合的思想方法，给目标函赋予一定的几何意义．(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．[跟踪练习] (2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A.94B.47C.34D.12解析：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO ＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34，故选C.答案：CA 组 考点能力演练1．(2016·唐山期末)设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：变量x ，y 满足的区域如图阴影部分所示：目标函z ＝2x ＋3y 在点(2,1)处取得最小值7，故选A. 答案：A2．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2 B.13 C.12D ．1解析：作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1，故选D.答案：D3．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：不等式⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a－b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件⎩⎨⎧0≤a ≤1，－1≤b ≤1，0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1，故选B.答案：B4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(0,4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a >0，b >0，∴ab ∈(0,4]，故选B.答案：B5．已知实x ，y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.答案：D6．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．解析：由目标函z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝ 3.答案： 37．已知实x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．解析：目标函w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92.答案：928．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．解析：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．答案：279．已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，求z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围．解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40解析：作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函经过点(0,3)时，z 取得最大值18.答案：C2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．答案：B3．(2015·高考广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6D.315解析：作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线y ＝－32x ＋z2经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎨⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝45，此时，z min ＝3×1＋2×45＝235.答案：B4．(2014·高考安徽卷)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：45．(2015·高考北京卷)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________．解析：由题意，目标函z＝2x＋3y的可行域为△ABC边界及其内部(如图所示)，令z＝0，即2x＋3y＝0，平移直线2x＋3y＝0至目标函的可行域内，可知当2x＋3y＝z过点A(2,1)时，z取得最大值，即z max＝2×2＋3×1＝7.答案：7。
高三数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件.ppt
求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为( )
A．31 200 元 B．36 000 元
C．36 800 元 D．38 400 元
x＋y≤21， 36x＋60y≥900， 解析：设需 A，B 型车分别为 x，y 辆(x，y∈N)，则 x，y 需满足y－x≤7， x∈N，y∈N，
A．4 650 元 B．4 700 元 C．4 900 元 D．5 000 元
2x＋x＋y≤y≤1129，， 解析：设当天派用甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，由题意得10x＋6y≥72，
0≤x≤8，x∈N 0≤y≤7，y∈N。
设每天的利润为 z 元，则 z＝450x＋350y。
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画出可行域如图阴影部分所示。
□ (4)可行解：满足 4 ___线__性__约__束__条__件_____的解(x，y)。 □ 可行解
(5)可行域：所有 5 __________的集合。
□ (6)最优解：使 6 目__标__函__数__取得最大值或最小值的可行解。
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3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)作出目标函数的等值线；
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(2)由题意作出xx＋≥1y≤，3 所表示的区域如图阴影部分所示， 作直线 2x＋y＝1，因为直线 2x＋y＝1 与直线 x＝1 的交点坐标为(1，－1)，结合 题意知直线 y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得 a＝12，所以 a＝12。 答案：(1)D (2)B
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►名师点拨 线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略 (1)求线性目标函数的最值。线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边 界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将 坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。 (2)由目标函数的最值求参数。求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一 是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定 最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子， 通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数。
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(3)掌握一种方法——数形结合法， 这是解决线性规划问题的 最基本的方法，其实质就是利用数形结合思想解决最值问题． (4)注意一个综合——线性规划问题与其他知识模块的综合， 熟练利用相关知识进行运算，将问题转化为简单的线性规划问 题，这也是 2014 年高考命题的趋势．
考 点
互 动 探 究
核心突破 · 导与练
当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
→ → → (2)设点 P(x，y)，由AP＝λAB＋μAC，得(x－1，y＋1)＝λ(2,1)
【思路启迪】 (1)①不等式组表示的平面区域是各个不等式 所表示的平面点集的交集， 因而是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分，但要注意是否包含边界．②整点是指横、纵坐标均 为整数的点． → → → → (2)将AP、AB、AC的坐标代入AP－y＋5≥0 表示直线 x－y＋5＝0 上及右下方的 点的集合． x＋y≥0 表示直线 x＋y＝0 上及右上方的点的集合， x≤3 表示直线 x＝3 上及左方的点的集合．
x－y＋5≥0， (1)画出不等式组x＋y≥0， x≤3 下列问题： ①指出 x，y 的取值范围． ②平面区域内有多少个整点？
表示的平面区域， 并回答
(2)(2013· 北京卷改编)已知点 A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若 → → → 平面区域 D 由所有满足AP＝λAB＋μAC(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点 P 组成，画出平面区域 D.
(2)二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标系中表示 直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的 平面区域 且不含边界直线，作 图时边界直线画成 虚线，当我们在坐标系中画不等式 Ax＋By＋ C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界 直线画成 实线． (3)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集 的交集，因而是各个不等式所表示平面区域的 公共部分．
2．线性规划中的基本概念
问题探究：可行解与最优解有何关系？最优解是否惟一？ 提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最 优解不一定惟一，有时惟一，有时有多个．
(1)确定一个区域——不等式(组)表示的平面区域的确定， 我们利用线定界、点定域，这是解决线性规划问题的基础． (2)明确一个意义——目标函数的几何意义， 注意本部分知识 与平面解析几何的联系， 利用直线方程中相关参数的几何意义准 确确定目标函数的几何意义，这是解决线性规划问题的关键．
，画出可行域如图中阴影部分所示． ，
|3| 3 5 点 B(3,0)到直线 x－2y＝0 的距离 d＝ ＝ ，点 B，N 之间 5 1＋4 的距离|BN|＝ 5，故阴影部分的面积为 3
考情分析 从近三年的高考试题看，高考对本节的考查以理解和应用为主，难度中等．常 常以选择题、 填空题的形式出现， 考查二元一次不等式组表示的平面区域问题， 如 2013 年山东卷 6 等，以及目标函数的最大值或最小值及范围等，如 2013 年 湖南卷 4、课标卷(Ⅱ)9，陕西卷 13 等．有时也与其他知识交汇综合考查，如 2013 年湖北卷 20 综合考查了正态分布及线性规划的实际应用等． 预测与备考： 2015 年高考对本节内容的考查仍将以求区域面积和目标函数最值 (或取值范围)为主，考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围，题型延 续选择题、填空题的形式，分值约为 5 分．另外备考时应关注斜率和距离最值 的命题趋势.
(对应学生用书 P132)
考点1
不等式组表示的平面区域
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法： (1)直线定界，特殊点定域 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有 等号时直线画成实线．若直线不过原点，特殊点常选取原点；若 直线过原点，则特殊点常选取(1,0)或(0,1)来验证．
(2)同号上，异号下 即当 B(Ax＋By＋C)>0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的上 方，当 B(Ax＋By＋C)<0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的下方．
第 六 篇
不等式
(必修 5 第三章
推理与证明
选修 1－2 第二章)
第三节
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考导航
考纲要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决.
x－1＝2λ＋μ y＋1＝λ＋2μ
＋ μ(1,2) ， 故
λ＝2x－y－3 3 ， 得 －x＋2y＋3 μ＝ 3
， 由
1≤2x－y－3≤2 3 1≤λ≤2,0≤μ≤1 得， －x＋2y＋3 0≤ ≤1 3
，
3≤2x－y－3≤6 即 －3≤x－2y－3≤0
x－y＋5≥0， 所以，不等式组x＋y≥0， x≤3
表示的平面区域如图所示．
5 结合图中可行域得 x∈[－2，3]，y∈[－3,8]．
－x≤y≤x＋5， ②由图形及不等式组知 －2≤x≤3，且x∈Z.
当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点； 当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点； 当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点；
基 础
知 识 回 顾
感悟教材 · 学与思
(对应学生用书 P132)
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中， 直线 Ax＋By＋C＝0 将平面内的所 有点分成三类：一类在直线 Ax＋By＋C＝0 上，另两类分别在直 线 Ax＋By＋C＝0 的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足 Ax ＋By＋C>0，另一侧的半平面的点的坐标满足 Ax＋By＋C<0 .