【备战】高考数学 精讲巧解分类攻克3
备战2024高考数学二轮复习讲义第3讲-割补思想在立体几何中的应用
第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。
割补法重在割与补，巧妙对几何体过几何图形实割与补，变整体的为局部，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观。
割补法在立体几何中体现的主要的题型就是几何体的切等问题。
【应用一】割的思想在多面体的体积及几何体的内切球中的运用割的思想主要体现两种题型：一是求复杂几何体的体积、表面积等问题，此类问题通过割把复杂的几何体割成几个简单的几何体。
二是求几何体内切球的半径、体积等问题。
此类问题主要是通过球心与几何体的各点割成锥，然后运用等积法求半径。
【例1.1】已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．【例1.2】【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【思维提升】以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P －ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13△ABC ·r ＋13S△PAB·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ；第三步：解出r ＝3V P －ABC S O －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3VS 表．秒杀公式(万能公式)：r ＝3V S 表【例1.3】（2023·河北唐山·统考三模）（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体)EF ABCD -．底面长方形ABCD 中3BC =，4AB =，上棱长2EF =，且EF 平面ABCD ，高（即EF 到平面ABCD 的距离）为1，O 是底面的中心，则（）A ．EO 平面BCF【变式1.1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图①，在平行四边形ABCD中，AB ===ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P 处（如图②），=PC P BCD -的内切球半径为______.【变式1.2】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知一正四面体棱长为4，其内部放置有一正方体，且正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，则正方体在转动过程中占据的空间体积最大为__________．【变式1.3】（2022·江苏通州·高三期末）将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ′－BD －C ，设三棱锥A ′－BDC 的外接球和内切球的半径分别为r 1，r 2，球心分别为O 1，O 2.若正方形ABCD 的边长为1，则21r r =________；O 1O 2＝__________.【应用二】补的思想在立体几何中几何体外接球中的应用解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．2．记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为a，球的半径为R.①对于正方体的外接球，2R；②对于正方体的内切球，2R＝a；③对于球与正方体的各棱相切，2R.（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则2R=.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．构造法在定几何体外接球球心中的应用（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体【例2.1】（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB=BD，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【思维提升】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2．)，秒杀公式：R 2＝a 2＋b 2＋c 24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例2.2】（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==，则其外接球的体积为______.【思维提升】棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2222R a b c =++(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【变式2.1】（2023·湖南邵阳·统考三模）三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，4,223,PA AC AB AC AB ===⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为__________.【变式2.2】已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．【变式2.3】已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为()A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【变式2.4】(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()．A．62πD．6π8πB．64πC．6巩固练习1、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．2、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）A．1233++D．63+C．633+B．12433、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，4EF=，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（）A．22πB．42πC．82πD．2π3A ．18B ．275、正四面体的各条棱长都为．6、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________．7、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．8、（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥-P ABC 的棱长均为4，先在三棱锥-P ABC 内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。
2021-2022年高考数学精英备考专题讲座 第三讲数列与不等式 第三节 不等式选讲 文
2021年高考数学精英备考专题讲座第三讲数列与不等式第三节不等式选讲文不等式选讲是一个选考内容,纵观近年关于课程标准的高考试题,含绝对值不等式的试题常以选做题的形式出现,属于中档偏易题.最值与恒成立问题是高考的常考点,不等式的证明常与数列相结合,考查数学归纳法、放缩法等技能方法,属于中高档题,甚至是压轴题,难度一般控制在之间.考试要求：⑴理解绝对值及其几何意义.①绝对值不等式的变式：.②利用绝对值的几何意义求解几类不等式：①；②；③.⑵了解不等式证明的方法：如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.题型一含绝对值不等式例（xx全国课标卷理科第24题）设函数,其中.（Ⅰ）当时，求不等式的解集（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值。
点拨：⑴解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.⑵可考虑采用零点分段法.解：（Ⅰ）当时，可化为,由此可得或,故不等式的解集为或.( Ⅱ) 由的此不等式化为不等式组或即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故.易错点：⑴含绝对值的不等式的转化易出错；⑵不会运用分类讨论的数学思想,去掉绝对值符号.变式与引申：若，求证： .题型二 不等式的性质例.⑴设,则的最小值是( ).A. B. C. D.⑵设且,求的最大值.点拨：⑴观察分母能发现其和为,则添加可配凑成21111()()()ab a a b ab a a b a ab a a b --++=++-+,再利用基本不等式求解；⑵观察已知条件,可将所求式子转化为,再利用基本不等式求解.(1)【答案】D 解：22111111()()()()224ab a a b ab a a b ab a a b a a ab ab ab a a b ---++=-+++=++-+≥+=,当且仅当,时等号成立.如取,满足条件.选D.（2）∵,∴221()]222y x ++. 又2222113()()22222y y x x ++=++=,∴,即 易错点：忽视基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”条件. 变式与引申2：已知,且,求证:.题型三 不等式的证明例3 已知,且,求证：.点拨：由,得,,.可使问题得证.解：∵ ,∴,2211121242a b ab +=-≥-⋅=,, ∴2222221111()()4a b a b a b a b+++=++++.易错点：⑴易出现2222211111()()42()48a b a b ab a b a b ab+++=++++≥++≥的错误；⑵忽视基本不等式中等号成立的条件.变式与引申3： 是和的等比中项，则的最大值为( ).A. B. C. D.题型四 不等式与函数的综合应用例4已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈.当时.求证：.点拨：本题中所给条件并不足以确定参数,的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以用 、来表示,,因为由已知条件有,,可使问题获证.证明：由1(1),(1)[(1)(1)]2f a b c f a b c b f f =++-=-+⇒=--，从而有 11||[(1)(1)](|(1)||(1)|)22b f f f f =--≤+-,∵,∴1||(|(1)||(1)|)12b f f ≤+-≤. 易错点：⑴不会用、来表示、、及其它们的和差关系式,从而解题思路受阻；⑵不能灵活运用绝对值,对问题进行转化.变式与引申4：设二次函数，函数的两个零点为.（1）若求不等式的解集；（2）若且，比较与的大小．本节主要考查：⑴不等式的性质(基本不等式与柯西不等式)应用；⑵含绝对值不等式的解法； ⑶逆求参数取值范围；⑷函数方程思想、分类讨论思想、转化化归思想以及比较法、分析法、综合法等数学思想方法.点评：⑴运用不等式性质解有关问题时,要随时对性质成立的条件保持高度警惕,避免错误发生；⑵应用绝对值不等式解题时,要注意绝对值不等式中等号成立的条件；解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,主要思路有：①利用绝对值的几何意义；②零点分段讨论；③平方转化；④借助图象直观获解.⑶利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式选讲的重点考查内容之一,解题中常用技巧是注意创设应用基本不等式的条件,合理地拆分项或配凑因式,即把已知式子转化成基本不等式和柯西不等式的模型.在应用求最值时,“一正、二定、三相等”三个条件不可缺一. ⑷证明不等式的常用方法：①比较法,即作差比较法与作商比较法；②综合法—-由因导果；③分析法---执果索因；④放缩法,常出现在与数列和式有关的不等式证明中,运用时应注意观察“放与缩”的方向和“放与缩”的量的大小,把握好放缩的“度”,熟记一些常用放缩技巧和放缩的结构形式. ⑸不等式作为工具,常与函数、导数、数列、解析几何结合在一起,有着广泛的应用,应给予关注.习题3-31.(xx 陕西文科第3题)设，则下列不等式中正确的是 （ ）（A ） （B ）（c ） (D)2．不等式的解集是( ).A. B. C. D.3．不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为( ).A. B. C. D.4.(xx 年山东卷文科第16题）.已知()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .5.设,是大于的常数,若的最小值是,则的值等于______.【答案】当且仅当1112,3,,,632y x z x x y z =====即时,等号成立.变式与引申3：选B解：由条件可知,用三角代换设,,则3cos 32sin()a b αααϕ+=+=+∴选B.变式与引申4：（1）由题意知，当时，不等式 即为.当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为.（2）()()()(1)a x m x n x m x m ax an --+-=--+ 且，∴∴， 即．习题3-3对任意实数恒成立,则,解得或.故.4.【答案】2【解析】因为函数()log (23)a f x x x b a =+-<<在（0，上是增函数， (2)log 22log 230,a a f b a b b =+-<+-=-<(3)log 33log 340a a f b a b b =+->+-=->， 即.5.【答案】 解：21cos 1cos ()(cos 1cos )12(1)16a a a t t t t a -++-≥++=.∴.。
高三数学题型解析与解题技巧
高三数学题型解析与解题技巧一、整式与多项式整式是由数字和字母的乘积组成的代数式。
多项式是由若干整式相加（减）而成，其中每一项的指数都是整数且不能为负数。
常见的多项式有一次多项式（线性函数）、二次多项式（抛物线函数）等。
解题技巧：1. 合并同类项：将多项式中相同字母的幂指数相等的项合并为一个项。
2. 因式分解：利用公式、公因式提取法等将多项式分解为多个因式的乘积，便于进一步求解。
3. 奇偶性判断：当多项式为偶函数时，可通过观察奇偶性简化运算。
4. 带入法：对于未知数较多的多项式，可以选取一组合适的数值带入进行计算，通过观察计算结果寻找规律。
5. 用图象表示：对于具有几何意义的多项式，可以通过作图来解决问题，直观且便于理解。
二、函数与方程函数是自变量与因变量之间的对应关系，可以用图象、表格或公式等方式表示。
方程是含有未知数的等式，解方程就是求出使方程成立的未知数的值。
解题技巧：1. 函数求值：将给定的自变量带入函数中，计算出对应的因变量的值。
2. 函数图象分析：观察函数的图象，判断函数的单调性、极值、拐点等特点。
3. 方程变形：通过等式的性质，将方程转化为更简单的形式，便于求解。
4. 代入法：将已知条件代入方程，求解未知数的值。
特别是当方程中含有多个未知数时，通过代入可以逐步求解。
5. 图象与方程联系：对于给定的方程，可以将其转化为函数的形式，并通过观察图象的特点来解决问题。
三、几何与三角函数几何是研究空间中点、线、面及其相关性质和变换的学科。
三角函数是以角度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
解题技巧：1. 几何图形性质运用：根据几何图形的性质和变换规律，运用相应的几何定理和定律进行推导和求解。
2. 利用比例关系：在几何问题中，通过建立几何图形间的比例关系，可用于求解未知量。
3. 三角函数的运用：根据三角函数的定义和性质，运用三角函数的相关公式进行计算和推导。
4. 角度变换：根据角度的三角函数值或三角函数值的比较关系，进行角度的相互转化。
数学高三年级第三节课突破难题的解题技巧
数学高三年级第三节课突破难题的解题技巧随着高三年级的到来，数学作为一门重要的学科，对于学生来说，解题技巧将起到至关重要的作用。
在高三数学学习中，难题是避免不了的。
本文将探讨一些突破难题的解题技巧，帮助同学们在解决数学难题时更加得心应手。
一、慎重审题解决数学难题前，首先要仔细审题。
有时候，题目会隐藏关键信息，只有通过仔细审题才能发现。
理解题目的要求，弄清题目中的条件、数据和问题，是解决难题的第一步。
同时，要学会提炼问题的本质，将复杂问题简化为易于理解和解答的形式。
二、合理组织思路在解决数学难题时，合理组织思路至关重要。
可以尝试使用思维导图、表格、图形等工具，将问题拆分为多个小问题，并找出它们之间的联系。
将复杂难题分解为若干个简单易解的子问题，并逐步推进，最终解决整个难题。
三、积累和应用基本解题方法数学是一门重视基本知识和基本解题方法的学科。
在解决高三数学难题时，我们可以通过积累和灵活应用基本解题方法，提高解题速度和准确性。
例如，代数方程的解法、函数图像的变化规律、三角函数的性质等等，都是解决数学难题的基础。
掌握这些基本知识和解题方法，将会事半功倍。
四、多角度思考问题数学难题往往有多种解题思路和方法。
为了突破难题，我们可以从不同的角度思考问题。
在解题过程中，可以尝试逆向思维、对称思维、类比思维等，以拓宽思路，找到问题的多种解答方法。
多角度思考问题，可以激发创造力，提高解题能力。
五、勤于归纳总结在解决数学难题的过程中，我们应该勤于归纳总结。
解题方法、答题技巧、易错点等，都需要在解题后进行总结。
可以将解题过程中的关键步骤、易错点整理成笔记，方便日后回顾和复习。
通过反复总结与应用，不断提升解题水平。
六、多练习、多实践数学难题的解题技巧需要通过多练习和实践来熟练掌握。
在课外时间，可以多做一些相关的练习题，挑战自己的解题能力，并及时纠正错误。
此外，还可以组织小组讨论或与同学们共同解题，相互交流解题思路，拓宽解题视野。
数学高考备考：常见难题攻克方法
数学高考备考：常见难题攻克方法数学高考备考过程中，同学们往往遇到一些难题，这些难题成为备考路上的瓶颈。
为了帮助大家更好地攻克这些难题，本文整理了数学高考备考中常见难题的攻克方法，希望对大家有所帮助。
1. 函数与导数（1）导数的计算解决导数计算问题，关键在于熟练掌握基本导数公式，以及常见函数的导数。
此外，要注意导数的运算法则，包括和、差、积、商的导数计算。
（2）函数单调性及极值分析函数的单调性及极值，首先要确定函数的定义域。
然后，通过导数判断函数的单调性，求出函数的极值点。
最后，结合函数的图像，分析函数的单调性和极值。
（3）函数图像的变换函数图像的变换包括平移、缩放、翻折等。
解决这类问题，要熟悉函数图像的基本性质，掌握图像变换的规律。
2. 立体几何（1）空间向量空间向量是解决立体几何问题的有力工具。
要熟练掌握空间向量的基本运算，包括向量的加减、数乘、点乘、叉乘等。
此外，还要掌握向量垂直、平行的判断方法。
（2）几何体的性质熟悉各种几何体的性质，如球的直径、表面积、体积；棱柱、棱锥的侧面积、底面积、体积等。
解决立体几何问题，要灵活运用几何体的性质。
（3）空间角和距离空间角包括线线角、线面角、面面角。
解决空间角问题，要熟练运用向量工具，求出角的大小。
空间距离问题，可通过建立坐标系，利用距离公式求解。
3. 解析几何（1）直线与圆的位置关系分析直线与圆的位置关系，可利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系。
要熟悉直线与圆相交、相切、相离的判断方法。
（2）圆锥曲线解决圆锥曲线问题，要熟悉椭圆、双曲线、抛物线的性质。
主要包括焦点、准线、顶点、弦长、通径等。
（3）参数方程和极坐标方程掌握参数方程和极坐标方程的互化方法，以及它们在解决实际问题中的应用。
4. 概率与统计（1）概率计算熟悉概率的基本计算公式，包括古典概率、条件概率、独立事件的概率等。
解决概率问题，要分析事件的性质，选择合适的概率公式。
（2）统计量计算掌握均值、方差、标准差、中位数、众数等统计量的计算方法。
高考数学教材复习全国版破解难点优质课(三)最值、范围、证明问题(5课件)
点为 H,过点 E 且与 OP 垂
建立△MAP 的面积关于 k 的函数,最后利用基本
直的直线交直线 AH 于点
不等式求最值.
M,求△MAP 面积的最大值.
图 Y3-1
课堂考点探究
例 1 [2018·济南二模] 如图 Y3-1,已知离心
率为
2
的椭圆
2
2 2
C: 2 + 2 =1(a>b>0)经过点
圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(2,0)时,R=2,所以当圆 P 的半径最长时,其方程为
(1)求 C 的方程;
(x-2)2+y2=4.【关键 1:利用椭圆定义及圆与圆的位置关系
(2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直 确定圆的方程】
线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3.【关
调性法;(5)三角换元法;(6)导数法等.
课堂考点探究
案例
【基本不等式法】[2014·全国卷
Ⅰ] 已知点 A(0,-2),椭圆
x2 y2
E: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为
a
b
3
,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF
2
2 3
的斜率为 ,O 为坐标原点.
3
(1)求 E 的方程;
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交
(1 + 2 ) -41 2 =
为线段 AB 的中点,
1
2 1+ 2
所以|AP|= |AB|= 2 ,
2
2 +1
(2)若点 E 关于 x 轴的对称
【高考数学解题方法篇】用分类讨论法解决的几种常见综合题型-高考数学热点专题(全国通用)(原卷版)
用分类讨论法解决的几种常见综合题型（高考数学）在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法．分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点．分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用.题型一：由概念、法则、公式引起的讨论【例1】（1）(2023·江苏金陵中学高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x <22x －2－1，x ≥2 若f (2－a )＝1，则f (a )等于A ．－2B ．－1C ．1D ．2（2）(2023·山东省实验中学高三模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .若点P 运动到(1,3)处，则此时切线l 的方程为____________；【方法点拨】数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论． (2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论． (3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论思路引导母题呈现【跟踪训练】1.（2023·四川省成都第七中学高三模拟）已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A ．8 B ．10 C ．16 D ．322.（2023·天津南开中学高三模拟）函数y =R ，则实数m 的取值范围是________．题型二：由参数变化引起的分类讨论【例2】(2023·湖南长沙长郡中学高三模拟)讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．【方法点拨】几种常见的由参数变化引起的分类与整合 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题． (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等． (5)直线与圆锥曲线位置关系的分类． 【跟踪训练】1.（2023·武汉华中师范大学第一附属中学高三模拟）已知函数f (x )＝ln x －a x .若f (x )在[1，e ]上的最小值为32，求实数a 的值．题型三：由图形位置或形状引起的分类讨论【例3】（1）(2023·北京人大附中高三模拟)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )A ．833B ．43C ．239D ．43或833(2)设点A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是________．【方法点拨】图形位置或形状的变化中常见的分类(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线分类讨论． (2)求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同分类讨论．(3)相关计算中，涉及图形问题时，常按图形的位置不同，大小差异分类讨论． 【跟踪训练】1．（2023·重庆南开中学高三模拟）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________．2．（2023·河北衡水中学高三模拟）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，则a 的值为________．1．分类讨论的原则 (1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 2．分类讨论的本质与思维流程(1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整”．方法总结(2)分类讨论的思维流程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．模拟训练一、单选题1．（2023·陕西·西安中学模拟预测）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（2023·吉林省实验中学模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=xa(x>0)，g(x)=log ax的图象可能是（）A．B．C．D．．若PA mPB=＋3()2-PC(m为常数B．3C．乐清市知临中学模拟预测）已知集合A＝(2)若，证明：。
高考数学 精讲巧解分类攻克3
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设抛物线y2=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足.如果直线AF 的斜率为,那么|PF|=( )A ．B ．8C ．D ． 16【答案】B2．设斜率为22的直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点，且这两点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A ． 33 B ．21 C ．22 D ．31 【答案】C3．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为( ) A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12-【答案】D4．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．340x y ±= B ．350x y ±= C ．540x y ±= D ．430x y ±=【答案】D5．设()00,M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是( ) A ．(2,)+∞ B ．(4,)+∞C ．(0,2)D ．(0,4)【答案】A6．若方程13122=+--m y m x 表示双曲线，则实数 m 的取值范围是( )A ．1<mB ． 1>mC ．13>-<m m 或D ． 13<<-m【答案】C7．抛物线的中心在原点，焦点与双曲线2222143x y -=的右焦点重合，则抛物线的方程为( )A ．227y x =B ．247y x =C ．210y x =D ．220y x =【答案】D8．已知21,F F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221,1B ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,221 C ． ()21,1+ D ． ()+∞+,21【答案】C9．若抛物线24y x m=的焦点与椭圆22173x y +=的左焦点重合，则m 的值为( )A ．-12B ．12C ．-2D ．2【答案】A10．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是( )A ．25 B ．5 C.215 D ．10【答案】B11．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是( )A ．25 B ．5C ．215 D ．10【答案】B12．设双曲线且斜率为1的直线，交双曲线的两渐近线于A 、B 两点，若2，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在A B C △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以AB ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = 【答案】213- 14．若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的____________条件。
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备战2014高考数学精讲巧解分类攻克3一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设抛物线y2=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足.如果直线AF 的斜率为,那么|PF|=( )A ．B ．8C ．D ． 16【答案】B2．设斜率为22的直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点，且这两点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A ． 33 B ．21 C ．22 D ．31 【答案】C3．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为( ) A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12-【答案】D4．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．340x y ±= B ．350x y ±= C ．540x y ±= D ．430x y ±=【答案】D5．设()00,M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是( ) A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(0,2)D ．(0,4)6．若方程13122=+--m y m x 表示双曲线，则实数 m 的取值范围是( )A ．1<mB ． 1>mC ．13>-<m m 或D ． 13<<-m【答案】C7．抛物线的中心在原点，焦点与双曲线2222143x y -=的右焦点重合，则抛物线的方程为( )A．2y = B．2y = C ．210y x =D ．220y x =【答案】D8．已知21,F F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221,1 B ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,221 C ． ()21,1+ D ． ()+∞+,21【答案】C9．若抛物线24y x m=的焦点与椭圆22173x y +=的左焦点重合，则m 的值为( ) A ．-12 B ．12C ．-2D ．2【答案】A10．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是( )A ．25 B ．5 C.215 D ．10【答案】B11．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是( )A ．25 B ．5C ．215 D ．10【答案】B12．设双曲线且斜率为1的直线，交双曲线的两渐近线于A 、B 两点，若2，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在A B C △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以AB ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = 【答案】213- 14．若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的____________条件。
【答案】充分不必要条件15．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ,过F 倾斜角为060的直线l 交抛物线于,A B 两点,直线l 绕抛物线的准线在空间内逆时针旋转090,则线段AB 扫过的曲面的面积为____________. 【答案】49π16．已知点F 是抛物线241x y =的焦点，P 为抛物线上任一点，)2,2(A ，则||||PF PA +的最小值为____________. 【答案】3三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在平面直角坐标系xOy 中,已知点(1,0),(1,0)A B -,动点C 满足条件:△ABC 的周长为2+记动点C 的轨迹为曲线W. (1)求W 的方程；(2)曲线W 上是否存在这样的点P:它到直线1x =-的距离恰好等于它到点B 的距离？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 (1)设C(x,y),∵22,22AC AB BC AC BC ++=+∴+=> ∴由椭圆的定义知,动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点,长轴长为的椭圆(除去与x 轴的两个交点).2221,1a c b a c ∴==∴=-=∴W:221,(0)2x y y +=≠ (2)假设存在点P 满足题意,则点P 为抛物线x y 42=与曲线W:221,(0)2x y y +=≠的交点， 由⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(124222y y x x y 消去y 得:0282=-+x x 解得423,42321--=-=x x （舍去）由423-=x代人抛物线的方程得4232-±=y所以存在两个点4,和4,-满足题意.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，右准线方程为x =（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值.【答案】 (Ⅰ）由题意，得2a cc a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,a c ==， ∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=(Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩得22220x mx m ---=（判别式0∆>）, ∴12000,22x x x m y x m m +===+=, ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上， ∴()2225m m +=，∴1m =±.19．已知椭圆22:1364x y C +=,斜率为13的直线l 交椭圆C 于,A B 两点,且点(P 在直线l 的上方,(1)求直线l 与x 轴交点的横坐标0x 的取值范围; (2)证明:PAB ∆的内切圆的圆心在一条直线上.【答案】(1)(0x ∈(2)1202012,362PA PB x x x k k x x x +=⎧⎪==⎨-⋅=⎪⎩又同理0PA PB k k ∴+=,又点P 在直线l 的上方,故APB ∠的角平分线是平行于y轴的直线,故PAB ∠的内切圆圆心在直线x =上. 20．已知抛物线上的两点、满足>,其中点坐标为，是原点。
(Ⅰ）求四边形的面积的最小值； (Ⅱ）求点的轨迹方程。
【答案】（Ⅰ）由，知A 、P 、B 三点共线，设该直线方程为y=kx+1,由,得，，，又OAMB是平行四边形，所以四边形OAMB 是3。
==因为k=0，S 取最小值2。
〔Ⅱ〕设M （x,y ）所以点M 的轨迹方程是21．已知椭圆过定点A(1,0)，焦点在x 轴上，且离心率e 满足．(I ）求的取值范围; (II ）若椭圆与的交于点B,求点B 的横坐标的取值范围;(Ⅲ）在条件（II ）下,现有以A 为焦点，过点B 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为M(m,0)，求实数m 的取值范围．【答案】（I ）由于椭圆过定点A(1,0)，于是a=1，c=.∵ ，∴.(Ⅱ)解方程组，得.∵，∴.(Ⅲ)设抛物线方程为：.又∵，∴.又,得.令.∵内有根且单调递增,∴∴故.22．已知顶点在原点, 焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程.【答案】依题意可设抛物线方程为：ax y =2（a 可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB ；则可设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）联立⎩⎨⎧+==122x y ax y 得01)4(42=+-+x a x即4421a x x --=+ 4121=x x 15]1)44[(5]4))[(1(2212212=---=-++=a x x x x k AB 得：a=12或-4所以抛物线方程为x y 122=或x y 42-=。