2011年全国高中数学联赛考前冲刺卷(19)
专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(1)
（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案一 试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 。
2. 在ABC ∆中，若2AB = ，3AC = ，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且A O AB BC λμ=+ ，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 。
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。
如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。
5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。
8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。
二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。
2011年全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试,附详细解答)
2011年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。
2011年全国高中数学联赛四川初赛试题及答案
2011年全国高中数学联赛四川初赛试题一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、双曲线12222=-by a x 的左、右准线l 1、l 2将线段F 1F 2三等分（其中1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率e 等于（ ）．A 、26 B 、3 C 、233 D 、32 2、已知三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，R d c b a ∈,,,(), 命题p ：)(x f y =是R 上的单调函数；命题q ：)(x f y =的图像与x 轴恰有一个交点．则p 是q 的（ ） A 、充分但不必要条件 B 、必要但不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为ξ，则随机变量ξ的数学期望ξE 的值为（ ）A 、31 B 、94C 、32 D 、14、函数x x x f 3245)(-+-=的最大值为（ ）A 、3B 、3C 、32D 、33 5、如图，边长为2的正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的面成60°角，M 、N分别是线段AC 和BF 上的点，且FN AM =， 则线段MN 的长的取值范围是A 、]2,21[ B 、[1,2] C、 D、6、设数列}{n a 为等差数列，数列}{n b 满足：11a b =，322a a b +=，6543a a a b ++=，……，若2lim3=∞→n b nn ，则数列}{n a 的公差d 为（ ）A 、21B 、1C 、2D 、4二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、已知实数x 满足6|52||12|=-++x x ，则x 的取值范围是 ．8、设平面内的两个非零向量a 与b 相互垂直，且1||=b ，则使得向量b m a +与b m a )1(-+互相垂直的所有实数m 之和为 ．9、记实数等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70,103010==S S ，则=40S ．10、设x 为实数，定义⎡⎤x 为不小于x 的最小整数，例如⎡⎤4=π，⎡⎤3-=-π．关于实数x 的方程⎡⎤21213-=+x x 的全部实根之和等于 ． 11、已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→nnn b a lim．12、已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知0>m ，若函数mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值．14、已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 的值．15、抛物线2y x =与过点(1,1)P --的直线l 交于1P 、2P 两点． （I ）求直线l 的斜率k 的取值范围； (II) 求在线段12PP 上满足条件12112PP PP PQ +=的点Q 的轨迹方程．16、已知m 为实数，数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足：m a S n n n +⨯-=33489，且364≥n a 对任何的正整数n 恒成立．求证：当m 取到最大值时，对任何正整数n 都有16331<∑=nk kk S ．2011年全国高中数学联赛四川初赛试题详细解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、双曲线12222=-by a x 的左、右准线l 1、l 2将线段F 1F 2三等分（其中1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率e 等于（ ）．A 、26 B 、3 C 、233 D 、32 解：由题意得ca c 2232⨯=，解得3=e ． 故答案选B ．2、已知三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，R d c b a ∈,,,(), 命题p ：)(x f y =是R 上的单调函数； 命题q ：)(x f y =的图像与x 轴恰有一个交点． 则p 是q 的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 解：选A ．3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为ξ，则随机变量ξ的数学期望ξE 的值为（ ）A 、31 B 、94C 、32D 、1解：942743)0(=⨯==ξP , 942743)1(=⨯==ξP ,912713)2(=⨯==ξP , 于是32291194094=⨯+⨯+⨯=ξE . 故答案选C ．4、函数x x x f 3245)(-+-=的最大值为（ ）A 、3B 、3C 、32D 、33 解：法一：()f x 的定义域为85≤≤x ，由0324525332432423521)(=-⋅----=--+-='xx x x xx x f ，解得423=x ． 因为3)5(=f ，32)423(=f ，3)8(=f ，于是32)423()(max ==f x f ． 故答案选C ．法二：()f x 的定义域为85≤≤x ，12)85)(31()8351()(22=-+-+≤-⋅+-⋅=x x x x x f当且仅当3815xx -=-，即423=x 时，()f x 取到最大值32．故答案选C ．5、如图，边长为2的正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的面成60°角，M 、N 分别是线段AC 和BF 上的点，且FN AM =， 则线段MN 的长的取值范围是A 、]2,21[ B 、[1,2] C、 D、解：过点M 作MH//BC 交AB 于H ，则AM AHAC AB=， 又AM=FN ，AC=FB ，∴FN AHFB AB=，∴NH//AF ， ∴NH ⊥AB ，MH ⊥AB ，∴∠MHN=60°． 设AH=x (0≤x ≤2)，则MH=x ，x NH -=2， ∴MN ==1)1(32+-=x∴ 21≤≤MN ．选答案选B ．6、设数列}{n a 为等差数列，数列}{n b 满足：11a b =，322a a b +=，6543a a a b ++=，……，若2lim3=∞→n b nn ，则数列}{n a 的公差d 为（ ）A 、21B 、1C 、2D 、4 解：n n n n n n n n a a a b +-+-+-+++=2)1(22)1(12)1( ][22)1(12)1(n n n n n a a n+-+-+=])12)1((2)1([211d n n n a d n n a n -+-++-+=)2(221d n d a n+-= 于是22)2(21lim lim 213==+-=∞→∞→d d n d a n b n n n ，解得4=d ．故答案选D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、已知实数x 满足6|52||12|=-++x x ，则x 的取值范围是 ． 解：因为6|)25()12(||52||12|=-++≥-++x x x x ， 等号成立当且仅当0)52)(12(≤-+x x ，即2521≤≤-x ．故答案填]25,21[-． 8、设平面内的两个非零向量a 与b 相互垂直，且1||=b ，则使得向量b m a +与b m a )1(-+互相垂直的所有实数m 之和为 ．解：由于])1([)(0b m a b m a -+⋅+==22)1(b m m b a a -+⋅+)1(||2m m a -+=， 即22||a m m --=0，所以由根与系数的关系知符合条件所有实数m 之和为1．故答案填1．9、记实数等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70,103010==S S ，则=40S ． 解：记101S b =，10202S S b -=，20303S S b -=，30404S S b -=设q 为{}n a 的公比，则4321,,,b b b b 构成以10q r =为公比的等比数列， 于是)1(10)1(7022132130r r r r b b b b S ++=++=++==即062=-+r r ，解得2=r 或3-=r （舍去），故150)1(103240=+++=r r r S ．故答案填150.10、设x 为实数，定义⎡⎤x 为不小于x 的最小整数，例如⎡⎤4=π，⎡⎤3-=-π．关于实数x 的方程⎡⎤21213-=+x x 的全部实根之和等于 ． 解：设Z k x ∈=-212，则412+=k x ，432113+++=+k k x ，于是原方程等价于1432-=⎥⎥⎤⎢⎢⎡+k ，即14322-≤+<-k ，从而27211-≤<-k ，即45--=或k ． 相应的x 为47,49--．于是所有实根之和为4-．故答案填4-．11、已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→nnn b a lim ．解：由条件3)31(n n n b a +=+知3)31(n n n b a -=-，于是])31()31[(321],)31()31[(21n n n n n n b a --+=-++=， 故n n n n n nn n b a )31()31()31()31(3lim lim --+-++⨯=+∞→+∞→3)3131(1)3131(13lim =+--+-+⨯=+∞→nnn ． 故答案填3．12、已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．解：如图，因为SA=SB=SC ，所以S 在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，即AB 的中点H ，同理O 点在平面ABC 上的射影也是△ABC 的外心H ，即在等边△SAB 中，求OH 的长，其中OA=OB=OS ． 显然，332323131=⨯⨯==SH OH三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知0>m ，若函数mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值．解：令mx t -=100，则m t x 2100-=， （5分）∴4100)2(110022mm m t m t m t y ++--=+-=， ∴当2m t =时，y 有最大值4100m m +，即4100)(mm m g +=． （10分） ∴10410024100)(=⨯≥+=mm m m m g ， （15分） 等号当且仅当20=m 时成立，∴当20=m 时，)(m g 有最小值10． （20分）14、已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 的值．解：422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+=42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= （5分）令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=πx x x t ，则1cos sin 22-=t x x ，从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f （10分） 令]2,1[2∈=t u ，由题意知12)1()(2++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5.当01=-m 时，12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5，故1=m 符合条件； （15分） 当01>-m 时，5122)2()(max =+⨯>≥g u g ，矛盾！ 当01<-m 时，512)(≤+<u u g ，矛盾！综上所述，所求的实数1=m ． （20分）15、抛物线2y x =与过点(1,1)P --的直线l 交于1P 、2P 两点． （I ）求直线l 的斜率k 的取值范围； (II) 求在线段12PP 上满足条件12112PP PP PQ +=的点Q 的轨迹方程． 解：（I ）直线l 的方程为1(1)y k x +=+，与抛物线方程2y x =联立得21(1)y x y k x ⎧=⎨+=+⎩，消去y 得2(1)1x k x =+-，即2(1)0x kx k ---=， 由2()4(1)0k k ∆=-+->，解得2k >-+或2k <-- （5分） （II ）设Q 点坐标为(,)x y ，1P 点坐标为11(,)x y ，2P 点坐标为22(,)x y ， 则12x x k +=，12(1)x x k ⋅=--，又1P 、2P 、Q 都在直线l 上，所以有1(1)y k x +=+，111(1)y k x +=+，221(1)y k x +=+， 由12112PP PP PQ +=得化简得12112|1||1||1|x x x +=+++ （10分）又121212(1)(1)1(1)120x x x x x x k k ++=+++=--++=>，点Q 在线段12PP 上，所以121,1,1x x x +++同号．则12112111x x x +=+++ 因此121212122122x x x x kx x x k +++-=-=+++ ①， 232(1)1(1)122k k y k x k k k --=+-=⋅+-=++ ②， 由①得221x k x -=+代入②得22321122221x x y x x x --+==--++,即210x y -+=， （15分）又因为2k >-+或2k <--412x k =-+的取值范围是11x <<且1x ≠-，因此点Q 的轨迹方程是210x y -+=（11x <且1x ≠-）． （20分）16、已知m 为实数，数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足：m a S n n n +⨯-=33489，且364≥n a 对任何的正整数n 恒成立．求证：当m 取到最大值时，对任何正整数n 都有16331<∑=nk kk S ．证明：当1=n 时，由m a a +-=48911得)4(81m a -=， 当1≥n 时，m a S n n n +⨯-=33489，m a S n n n +⨯-=+++11133489，∴n n n n a a a 338898911⨯--=++，即nn n a a 336491⨯+=+， （5分） ∴)3932(9393211n n n n a a ⨯+=⨯+++ ∴119)332(3932-⨯+=⨯+n n n a a ， 即n n n m a 39329)316(278⨯-⨯-= （10分） 由条件知，36439329)316(278≥⨯-⨯-n n m 对任何正整数n 恒成立， 即n n m 3193291364)316(278⨯+⨯≥-对任何正整数n 恒成立， 由于n n 3193291364⨯+⨯在1=n 时取最大值27963193291364=⨯+⨯， 于是2796)316(278≥-m ，解得34≤m ． 由上式知道m 的最大值为34． （15分）当34=m 时，n n n a 3929932⨯3-⨯=， 于是34334)39329932(89+⨯-⨯-⨯=n n nn S )13)(13(34]134)3(3[3412--=+⨯-⨯=+nn n n ，所以∑∑=+=--=n k kk knk k k S 111)13)(13(3433)131131(8311---=+=∑k n k k 1632183)131131(831=⨯<---=+n ． （20分）。
2011年全国高中数学联赛加试试题参考答案与评分标准
………………10 分
注意到，若 i, j 固定，则显然至多有一个 k 使得①成立．因 i < j ，即 i 有 j −1 种选法，
故 g j (r) ≤ j −1． 同样地，若 j, k 固定，则至多有一个 i 使得①成立．因 k > j ，即 k 有 n − j 种选法，故
g j (r) ≤ n − j ．从而
又因为 Q 为 BD 的中点，所以 ∠CQB = ∠DQF ． 又 ∠AQB = ∠DQF ，所以 ∠AQB = ∠CQB ．
………………40 分
2011 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）答案第 1 页（共 4 页）
二、（本题满分 40 分）证明：对任意整数 n ≥ 4 ，存在一个 n 次多项式
i = m +1
即第 2 行至第 3 行、第 m +1列至第 n 列组成一个“好矩形”，从而至少有 2 个小方格不是“坏
格”，矛盾．
类似地，也不存在 m, n, 0 ≤ m < n ≤ 9 ，使 S m + Tm ≡ S n + Tn (mod10) ． …………30 分
因此上述断言得证．故
9
9
9
∑ ∑ ∑ S k ≡ Tk ≡ (S k + Tk ) ≡ 0 +1+ 2 +L + 9 ≡ 5(mod10) ，
f (x) = (x +1)(x + 2)L(x + n) + 2 ，
①
………………10 分
将①的右边展开即知 f (x) 是一个首项系数为 1 的正整数系数的 n 次多项式．
下面证明 f (x) 满足性质（2）．
对任意整数 t ，由于 n ≥ 4 ，故连续的 n 个整数 t +1, t + 2,L, t + n 中必有一个为 4 的倍数，
《全国高中数学联赛真题暨答案(2011-202
−−→ AF1
·
−−→ AF2
+
−−→ BF1
·
−−→ BF2
=
0,
则
|AB| |F1F2|
的值为
．
3.
设a
>
0，函数 f (x)
=
x+
100 x
在区间 (0, a] 上的最小值为 m1，在区间 [a, +∞) 上的
最小值为 m2，若 m1m2 = 2020，则 a 的值为 .
4.
设z
为复数，若
z−2 z−i
为实数（i 为虚数单位），则 |z + 3| 的最小值为
.
5. 在 △ABC 中，AB = 6，BC = 4，边 AC 上的中线长为 √10，则 sin6 A + P − ABC 的所有棱长均为 1，L, M, N 分别为棱 P A, P B, P C 的中点，则该 正三棱锥的外接球被平面 LM N 所截的截面面积为 ．
2011 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2020 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2020 年全国高中数学联赛二试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2019 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2019 年全国高中数学联赛一试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2016 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2016 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2015 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2015 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2014 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2014 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2013 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2013 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 2012 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 2012 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 2011 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 2011 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
2011年全国高中数学联赛试题参考答案
2011年全国高中数学联赛试题参考答案D8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nnnnnn tattata∈n(N)*．（1）求数列}{na的通项公式；（2）若0>t，试比较1+n a与n a的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l与椭圆C：143622=+yx交于BA,两点（如图所示），且)2,23(P在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB，求△PAB的面积．yxOPAB2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a xa x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)91⨯的小方m⨯nnm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个1≤1,31(≤≤≤格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。
2011年全国高中数学联赛预赛试题
2011年全国高中数学联赛预赛试题文昌中学数学组： 何立果一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为_________．2. 设数列{}n a 满足1231231,4,9,,4,5,...n n n n a a a a a a a n ---====+-=，则2011a = .3. 不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切R x ∈成立，则实数a 的取值范围为 .4. 已知定义在正整数集上的函数()f n 满足以下条件：(1) ()()()f m n f m f n mn +=++，其中,m n 为正整数；(2) 6(3)f =.则(2011)f = .5. 方程1220112011x ---=一共有 个解. 6. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .7. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线2y x =()22≤≤-x 绕y 轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 .8. 计算：111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.10．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)3-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．11．（本小题满分20分）数列01,,...,,...n a a a 满足0120,1,0a a a ===，当3n ≥时有0122(...)1n n a a a a n -=+++-. 证明：对所有整数3n ≥，有10n n a >.。
2011年全国高中数学联赛试题及标准答案
2０11年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。