2016年春季学期新版北师大版七年级数学下册第三章变量之间的关系单元复习导学案2
新北师大版七年级数学下册第三章《变量之间的关系》单元复习题含答案解析 (25)
一、选择题（共10题）1.随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t(h)的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是( )A．B．C．D．2.下列关系中，y不是x的函数的是( )A．y=∣x∣B．y=x C．y=−x D．y=±x3.王强从家门口骑摩托车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到点B，最后走下坡路到达单位，所用的时间与路程的关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是( )A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．18分钟4.甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距660米，二人同时出发，走了24分钟时，由于乙距离景点近，先到达等候甲，甲共走了30分钟也到达了景点与乙相遇．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是( )A．甲的速度是70米/分B．乙的速度是60米/分C．甲距离景点2100米D．乙距离景点420米5.已知菱形的面积为10，对角线的长分别为x和y，则y关于x的函数图象是( )A．B．C．D．6.某兴趣小组做试验，如图，将一个装满水的啤酒瓶倒置，并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出，那么该倒置的啤酒瓶内水面高度ℎ与水流出的时间t之间的函数图象大致是( )A．B．C．D．7.嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了同样售价的x支笔，还买了单价为5元的三角尺两幅，用y（元）表示琪琪花的总钱数，那么y与x之间的关系式应该是( )A．y=1.5x+10B．y=5x+10C．y=1.5x+5D．y=5x+58.如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF，一动点P从点A出发沿着A→B→C→D→E方向匀速运动，最后到达点E．运动过程中△PEF的面积(S)随时间(t)变化的图象大致是( )A．B．C．D．9.小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4min上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小明与家的距离s（单位：m）与他所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发7min时与家的距离为1200m，从上公交车到他到达学校共用10min，下列说法：①小明从家出发5min时乘上公交车；②公交车的速度为400m/min；③小明下公交车后跑向学校的速度为100m/min；④小明上课没有迟到．其中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．410.2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是( )A．B．C．D．二、填空题（共7题）11.已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是．12.某长途汽车站对旅客携带行李收费的收费方式作了如下说明：行李重量40千克以内（含40千克），不收费；超过40千克时，每超过1千克，收费2元．行李费y(元）与行李重量x（千克）之间的函数关系式为．13.学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．乙回到学校用了分钟．14.实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为x cm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别是10cm，10cm，y cm(y≤15)，当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是．15.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点，同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2s，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系如图，给出以下结论；① a=8；② b=92；③ c=123．其中正确的是．16.圆周长C与圆的半径r之间的关系为C=2πr，其中变量是，常量是．17.周末小明匀速步行从家赶往学校参加植树活动，出发30分钟后，发现忘带植树工具，于是马上掉头往回走，速度比之前每小时提高了1千米（仍保持匀速步行），同时小明打电话给爸爸，请爸爸帮他把植树工具送过来，从小明开始打电话到爸爸出门一共用了4分钟，爸爸的速度与小明提速后的速度相同．两人相遇后，小明接过工具立即赶往学校，爸爸则转身回家，两人速度均保持不变，爸爸在回家途中用了10分钟吃早餐，当爸爸到家时小明刚好到达学校，两人相距的路程y（千米）与小明从家出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明从家到学校途中步行的总路程是千米．三、解答题（共8题）18.如图，矩形ABCD的边AB=6cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直线，设PB=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y关于x的函数关系式．19.一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题．(1) 农民自带的零钱是多少？(2) 若降价前y，x满足y=kx+b，试求y与x之间的关系式．(3) 由表达式你能看出降价前每千克的土豆价格是多少吗？20.如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．(1) 此变化过程中，是自变量，是因变量．(2) 甲的速度是千米/时，乙的速度是千米/时．(3) 路程为150千米，甲行驶了小时，乙行驶了小时．(4) 分别写出甲乙两人行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（小时）的关系式（不要求写出自变量的取值范围）S甲=S乙=．21.如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．(1) 根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．(2) 当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．22.如图，Q是AB⏜与弦AB所围成图形的外部的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PQ交AB⏜于点C．已知AB=6cm，设P，A两点间的距离为x cm，P，C两点间的距离为y1cm，Q，C两点间的距离为y2cm．小石根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：(1) 按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm012345 5.406y1/cm 4.63 3.89 2.61 2.15 1.79 1.630.95y2/cm 1.20 1.11 1.040.99 1.02 1.21 1.40 2.21(2) 在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3) 结合函数图象，解决问题：当C为PQ的中点时，PA的长度约为cm．23.如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D．点Q是四边形ABCD内一定点，点P是线段AB上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，连接QM．小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1=AP的每一个确定的值，θ=∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如下表所示：x1=AP012345θ=∠QMPα85∘130∘180∘145∘130∘小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在−2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：根据以上材料，回答问题：(1) 表格中α的值为．(2) 如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．①在这个函数关系中，自变量是，因变量是；（分别填入x1和x2）②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；③根据画出的函数图象，当AP=3.5时，x2的值约为．24.如图，在△ABC中，AB=8cm，点D是AC边的中点，点P是边AB上的一个动点，过点P作射线BC的垂线，垂足为点E，连接DE．设PA=x cm，ED=y cm．小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1) 通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm012345678y/cm 3.0 2.4 1.9 1.8 2.1 3.4 4.2 5.0（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3) 结合画出的函数图象，解决问题：点E是BC边的中点时，PA的长度约为cm．25.从甲城向乙城打长途电话，通话时间不超过3分钟收费2.4元，超过3分钟后每分钟加收1元，写出通话费用y（元）关于通话时间x（分）的函数关系式，如果通话10.5分钟，需要多少话费？（本题中x取整数，不足1分钟按1分钟计算）答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】当t=0时，极差y2=85−85=0；当0<t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为85−42=43；当10<t≤20时，极差y2随t的增大保持不变，为43；当20<t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为140−42=98．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系2. 【答案】D【知识点】函数的概念3. 【答案】B【解析】从家到学校：平路是2千米，用3分钟，则从单位到家门口走平路仍用3分钟；从A到B是上坡，路程是1千米，时间是5−3=2分钟，则速度是：12千米/分钟从B到单位的一段是下坡，路程是6−3=3千米，时间是3分钟，则下坡的速度是1千米/分钟，则从单位到家门口需要的时间是：3 1 2+11+3=10（分钟）．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系4. 【答案】D【解析】开始甲，乙两人相距660米，由图可知，前24分钟甲，乙两人相相距的路程在逐渐缩小．24分钟时，乙到达景点，此时甲、乙两人相距420米之后甲又走了6分钟与乙相遇，∴甲的速度=4206−70（米/分）甲总共走了30分钟，∴甲距景点30×70=2100米，由前24分钟甲、乙两人相距660来缩小到420米，得(甲的速度−乙的速度)×24=660−420，得乙的速度=60米/分，乙总共走了24分钟，∴乙距景点60×24=1440米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系5. 【答案】Dxy，【解析】由题可知：10=12(x>0)．所以y=20x故选D．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系6. 【答案】A【解析】该倒置的啤酒瓶内水面高度ℎ变化的过程分为两段，其变化规律为先慢后快，因为水匀速流出，所以表现在图象上为两条首尾相接的线段．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系7. 【答案】A【解析】依题意得：笔单价为9÷6=1.5元，琪琪花的总钱数为x支笔和两幅三角板的总价和，∴y=1.5x+10．【知识点】解析式法8. 【答案】B【解析】动点P从点A出发沿着A→B→C→D→E方向匀速运动，∴可知三角形PEF的面积可分为四个步骤进行图象的描绘，分别为AB，BC，CD，DE，∴答案为B．【知识点】图像法9. 【答案】D【解析】公交车的速度为(3200−1200)÷(12−7)=400(m/min)，故②正确；小明从家出发乘上公交车的时间为7−(1200−400)÷400=5(min)，故①正确；坐公交车的时间为12−5=7min，跑向学校的时间为10−7=3min，因为3<4，所以小明上课没有迟到，故④正确．小明下公交车后跑向学校的速度为(3500−3200)÷3=100(m/min)时，故③正确．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系10. 【答案】D【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系二、填空题（共7题）11. 【答案】t=20v【知识点】解析式法12. 【答案】y ={0,0≤x ≤40,2x −80,x >40.【知识点】解析式法13. 【答案】 40【解析】由图象可得，甲的速度为：2400÷60=40（米/分钟）， 乙的速度为：2400÷24−40=60（米/分钟）， 则乙回到学校用了：2400÷60=40（分钟）． 【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系14. 【答案】 y =6x+105(0<x ≤656) 或 y =120−15x2(6≤x <8)【知识点】解析式法15. 【答案】①②③【解析】甲的速度为：8÷2=4(m/s )；乙的速度为：500÷100=5(m/s )；b =5×100−4×(100+2)=92(m )；5a −4×(a +2)=0， 解得 a =8，c =100+92÷4=123(s )， ∴ 正确的有①②③．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系16. 【答案】C ，r ；2π【知识点】函数的概念17. 【答案】296【解析】小明从家出发时速度为 20.5=4 千米/小时，小明返回速度为 (4+1)=5 千米/小时 小明返回 4 分钟，即115小时，小明爸爸才出门且速度与小明返回速度一样 5 千米/小时，设小明与爸爸相遇用时 t （爸爸出门到相遇）， 2−5×115=(5+5)t ， t =16 小时，相遇后爸爸吃早餐用时 10 分钟，即 16 小时，爸爸返回家中用时 5t 5=16 小时，小明刚好到达学校，则小明返回拿工具再去学校过程中用时为：1 15+16+16+16=1730，总路程S=2+1730×5=2+176=296千米．故小明从家到学校途中步行总路程为296干米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系三、解答题（共8题）18. 【答案】因为在Rt△ABP中，∠APB+∠BAP=90∘且∠APQ=90∘，所以∠APB+∠CPQ=90∘，所以∠BAP=∠CPQ，又∠B=∠C=90∘，所以△ABP∽△PCQ，所以PB:CQ=AB:PC，则xy =68−x，所以y=−16x2+43x(0<x<8)．【知识点】性质与判定综合（D）、解析式法19. 【答案】(1) 5元．(2) y=0.5x+5．(3) 0.5元．【知识点】解析式法、用函数图象表示实际问题中的函数关系20. 【答案】(1) 时间t；路程S(2) 503；50(3) 9；3(4) 503t；50t−200【解析】(2) 甲的速度=1006=503km/h，乙的速度=50km/h．(3) 路程150千米/时，150÷503=9（小时），150÷50=3（小时），即甲行驶了 9 小时，乙行驶了 3 小时． (4) S =503t ，S =50t −200．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系、自变量与函数值、解析式法21. 【答案】(1) 由图象可知，蓄电池剩余电量为 35 千瓦时汽车已行驶了 150 千米． 1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060−35=6 千米．(2) 设 y =kx +b (k ≠0)，把点 (150,35)，(200,10) 代入， 得 {150k +b =35,200k +b =10.∴{k =−0.5,b =110.∴y =−0.5x +110，当 x =180 时，y =−0.5×180+110=20，答：当 150≤x ≤200 时，函数表达式为 y =−0.5x +110，当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量为 20 千瓦时．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系、行程问题22. 【答案】(1) 3.20 (2) (3) 5.58 【知识点】图像法23. 【答案】(1) 50∘ (2) ①x 1；x 2；②③−1.87．【知识点】列表法、函数的概念、图像法24. 【答案】(1) 2.7(2)(3) 6.8【知识点】图像法、列表法25. 【答案】当0<x≤3时，y=2.4；当x>3时，y=2.4+(x−3)=x−0.6，把x=11代入y=x−0.6得：y=11−0.6=10.4．答：如果通话10.5分钟，需要10.4元话费．【知识点】解析式法、分段函数。
新北师大版七年级数学下册第三章《变量之间的关系》单元复习题含答案解析 (14)
一、选择题（共10题）1.甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度V1和V2(V1<V2)，甲用一半的路程使用速度V1，另一半的路程使用速度V2，乙用一半的时间使用速度V1，另一半的时间使用速度V2，关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析，其中横轴t表示时间，纵轴S表示路程，其中正确的图示分析为( )A．图（1）B．图( 1)或图( 2)C．图( 3)D．图( 4)2.甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．则下列说法正确的是( )A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．跑步过程中，两人相遇一次C．起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D．乙在跑前300米时，速度最慢3.下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是( )A．B．C．D．4.一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是( )A．32B．34C．36D．385.如图，在△ABC中，AB=AC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在N不与点C重合)，且MN=12MN从左至右的运动过程中，设BM=x，△BMD和△CNE的面积之和为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．6.圆周长公式c=2πr中，下列说法正确的是( )A．r是自变量，2，π，c是常量B．π，r是自变量，2为常量C．c，r为变量，2，π为常量D．c为变量，2，π，r为常量7.2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是( )A．B．C．D．8.已知，A市到B市的路程为260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M 地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回A市，同时甲车以原来 1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车所用时间x（小时）之间的函数图象，下列四种说法：①甲车出发时的速度是60千米时；②乙车的速度是96千米/时；③乙车返回时y与x的函数关系式为y=−96x+384；④甲车到达B市时乙已返回A市2小时20分钟．其中正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个9.如图①，点P从长方形ABCD的顶点A出发沿A→B→C以2cm/s的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，△APD的面积y(cm2)随运动时间x(s)变化而变化的函数关系图象，则长方形ABCD的面积为( )A．36cm2B．48cm2C．32cm2D．24cm210.某校在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是( )A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10 mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8 mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5 mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2 mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2 mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内二、填空题（共7题）11. 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x （单位：min ）之间有如下关系：（其中0≤x ≤30）．提出概念所用时间(x )257101213141720对概念的接受能力(y )47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映了变量是 ， 是自变量， 是因变量；（2）当提出概念所用时间是 10 min 时，学生的接受能力是 ；（3）根据表格中的数据，你认为提出概念 分钟时，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间 x 在 范围内，学生的接受能力逐步增强，当时间 x 在 范围内，学生的接受能力逐步降低．12. 一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校．小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲．妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半．小玲继续以原速度步行前往学校．妈妈与小玲之间的距离 y （米）与小玲从家出发后步行的时间 x （分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为 米．13. 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用 45 分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为 60 千米/时，两车之间的距离 y （千米）与货车行驶时间 x （小时）之间的函数图象，如图所示，现有以下 4 个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为 100 千米/时；②甲、乙两地之间的距离为 120 千米；③图中点 B 的坐标为 (334,75)；④快递车从乙地返回时的速度为 90千米/时，其中正确的是 （填序号）．14.甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：①乙队率先到达终点；②甲队比乙队多走了126米；③在47.8秒时，两队所走路程相等；④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢．所以正确判断的序号是．15.已知函数f(x)=√x+6，那么f(−2)=．16.两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的有．(填序号)①小红的运动路程比小兰的长；②两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇；③当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D；④在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径．17.已知A，B两地相距20千米，某同学步行由A地到B地，速度为每小时4千米，设该同学与B地的距离为y千米，步行的时间为x小时，则y与x之间的函数解析式为．三、解答题（共8题）18.等腰三角形的周长为16cm，设它的底边长为x cm，腰长为y cm．(1) 写出y关于x的函数解析式；(2) 求这个函数的定义域；(3) 当y=5时，求x的值．19.一销售员向某企业推销一种该企业生产必需的物品，若企业要40件，则销售员每件可获利40元，销售员（在不亏本的前提下）为扩大销售量，而企业为了降低生产成本，经协商达成协议，如果企业购买40件以上时，每多要1件，则每件降低1元．(1) 设每件降低x(元）时，销售员获利为y（元），试写出y关于x的函数关系式；(2) 当每件降低20元时，问此时企业需购进物品多少件？此时销售员的利润是多少？20.甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示；乙慢跑所行的路程s（千米）关于时t(0≤t≤60)．间t（分钟）的函数解析式为s=112(1) 在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象；(2) 乙慢跑的速度是每分钟千米；(3) 甲修车后行驶的速度是每分钟千米；(4) 甲、乙两人在出发后，中途 分钟时相遇．21. 如图①表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．(1) 设北京时间为 x （时），首尔时间为 y （时），若 0≤x ≤12，求 y 关于 x 的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）．北京时间7:30 2:50首尔时间 12:15 (2) 如图②表示同一时刻的英国伦敦（夏时制）时间和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦（夏时制）时间为 7:30，那么此时韩国首尔时间是多少？22. 如图，在 △ABC 中，∠ABC =90∘，∠C =40∘，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A顺时针旋转 50∘ 至 ADʹ，连接 BDʹ．已知 AB =2 cm ，设 BD 为 x cm ，BDʹ 为 y cm ． 小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）(1) 通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3y/cm 1.7 1.3 1.10.70.9 1.1(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3) 结合画出的函数图象，解决问题：线段BDʹ的长度的最小值约为cm；若BDʹ≥BD，则BD的长度x的取值范围是．23.阅读下面的材料：如果函数y=f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)是增函数；（2）若x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)是减函数．例题：证明函数f(x)=6x(x>0)是减函数．证明：设0<x1<x2，f(x1)−f(x2)=6x1−6x2=6x2−6x1x1x2=6(x2−x1)x1x2，∵0<x1<x2，∴x2−x1>0，x1x2>0．∴6(x2−x1)x1x2>0．即f(x1)−f(x2)>0．∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)−6x(x>0)是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f(x)=2x−1x2(x<0)，例如f(−1)=2×(−1)−1(−1)2=−3，f(−2)=2×(−2)−1(−2)2=−54．(1) 计算：f(−3)=；(2) 猜想：函数f(x)=2x−1x2(x<0)是函数（填“增”或“减”）；(3) 请仿照例题证明你的猜想．24.某固体物质在受热熔解过程中物质温度T（∘C）与时间t（s）的关系如图，其中A阶段物质为固态，B阶段物质为固液共存态，C阶段物质为液态．(1) 物质温度上升速度最快的是阶段，最慢的是阶段．(2) 若物质的温度是60∘C，那么时间t（s）的变化范围是．(3) 请写出A阶段物质温度T（∘C）与时间t（s）的函数关系式．25.在疫情期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系，乙表示旧设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系：(1) 由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了天；(2) 求新、旧设备每天分别生产多少万个口罩？(3) 在生产过程中，x为何值时，新旧设备所生产的口罩数量相同．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】由题意得：甲在一半路程处将进行速度的转换，4个选项均符合，乙在一半时间处将进行速度的转换，函数图象将在t1处发生弯折，只有（1）（2）（4）符合，再利用速度不同，所以行驶路程就不同，两人不可能同时到达目的地，故（4）错误，故只有（1）（2）正确．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系2. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系3. 【答案】C【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，A，B，D 选项中，都是一一对应关系，而C选项不满足函数的定义．【知识点】函数的概念4. 【答案】C【解析】由图象可知，进水的速度为：20÷4=5(L/min)，出水的速度为：5−(35−20)÷(16−4)=3.75(L/min)，第24分钟时的水量为：20+(5−3.75)×(24−4)=45(L)，a=24+ 45÷3.75=36．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系5. 【答案】B【知识点】图像法6. 【答案】C【知识点】函数的概念7. 【答案】D【解析】根据题意可知，库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的图象为先水平，再逐渐下降，最后为0．故选D．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系8. 【答案】B【解析】①前2小时甲车行驶80km，=40km/h；∴v=802②乙车总行驶路程为80×2=160km，总行驶时间为4−2−13=53h，∴v=16053=96km/h；③ ∵乙车速度为96km/h，∴乙返回时的直线k=−96，将(4,0)代入y=−96x+b得y=−96x+384；④ CD段甲车速度为40×1.5=60km/h，S=260−80=180km，∴t甲=18060=3h，乙车返回所用时间：t乙=8096=56h，3−56=136h，∴甲到达乙返回2h10min．∴②③正确．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系9. 【答案】C【解析】由题图可得AB=2×2=4(cm)，BC=(6−2)×2=8(cm)，所以长方形ABCD的面积是4×8=32(cm)，故选C．【知识点】图像法10. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系二、填空题（共7题）11. 【答案】学生对概念的接受能力与老师提出概念的时间（单位：min）之间的关系；老师传授概念的时间；学生对概念的接受能力；10min；59.9；2∼13min；14∼20min【知识点】列表法12. 【答案】200【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系13. 【答案】①③④【解析】设快递车出发时的速度为m千米/时，到由图象得3(m−6)=120，解得m=100，①正确；甲、乙两地之间的距离大于120千米，②错误；点B的横坐标是快递车返回的时刻：3×4560=334(h)，纵坐标是此时货车到乙地的距离：120−34×60=75(km)，∴点B的坐标为(334,75)，③正确；设快递车从乙地返回是的速度为n千米/时，则(414−334)(n+60)=75，解得n=90，④正确．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系14. 【答案】③④【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系15. 【答案】2【知识点】解析式法16. 【答案】④【解析】①由图可知，速度相同的情况下，小红比小兰提前停下来，时间花的短，故小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；②两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；③当小红运动到点D的时候，小兰也在点D，故本选项不符合题意；④当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t=9.682=4.48．故本选项正确．故答案为：④．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系17. 【答案】y=20−4x【知识点】解析式法三、解答题（共8题）18. 【答案】(1) 依题意得2y+x=16，∴2y=16−x，∴y=8−12x，∴y关于x的函数解析式为y=8−12x．(2) ∵2y>x，2y=16−x，∴2x<16，∴x<8，∵ x >0， ∴ 0<x <8，∴ 这个函数的定义域为 0<x <8．(3) 当 y =5 时，8−12x =5，∴ −12x =−3，∴ x =6．【知识点】解析式法、实际问题中的自变量的取值范围19. 【答案】(1) y =(40−x )(40+x )=1600−x 2．(2) 当降低 20 元时，需购进 40+20=60 (件) 此时销售员的利润 y =1600−202=1200（元）．【知识点】解析式法20. 【答案】(1) 略 (2) 112 (3) 320(4) 24【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系21. 【答案】(1) 从题图①看出，同一时刻，首尔时间比北京时间多 1 小时， 所以 y 关于 x 的函数表达式是 y =x +1，0≤x ≤12． 填表如下：北京时间7:3011:152:50首尔时间8:3012:153:50(2) 设伦敦（夏时制）时间为 t 时，则北京时间为 (t +7) 时， 结合（1）可得，韩国首尔时间为 (t +8) 时，所以当伦敦（夏时制）时间为 7:30，韩国首尔时间为 15:30． 【知识点】解析式法22. 【答案】(1) 0.9 (2) 如图所示． (3) 0.7；0≤x ≤0.9【知识点】列表法、图像法23. 【答案】(1) −79(2) 减(3) 证明：设x1<x2<0，f(x1)−f(x2)=2x1−1x12−2x2−1x22=(x2−x1)[2x1x2−(x1+x2)](x1x2)2，∵x1<x2<0，∴x2−x1>0，x1x2>0，x1+x2<0，∴(x2−x1)[2x1x2−(x1+x2)](x1x2)2>0，即f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)=2x−1x2(x<0)是减函数，猜想得证．【解析】(1) 计算：f(−3)=2×(−3)−1(−3)2=−79．(2) 由（1）知，f(−3)=−79，当x=−2时，f(−2)=2×(−2)−1(−2)2=−54，∵−3<−2<0，f(−3)>f(−2)，∴猜想：函数f(x)=2x−1x2(x<0)是减函数．【知识点】解析式法24. 【答案】(1) C；B(2) 20≤t≤50(3) T=3t（0≤t≤20）．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系、正比例函数解决实际问题25. 【答案】(1) 2．(2) 新设备：4.8÷1=4.8（万个/天），乙设备：16.8÷7=2.4（万个/天），∴甲设备每天生产4.8万个口罩，乙设备每天生产2.4万个口罩．(3) ① 2.4x=4.8，解得x=2；② 2.4x=4.8(x−2)，解得x=4．∴在生产过程中，x为2或4时，新旧设备所生产的口罩数量相同．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系。
北师大版七年级数学下册第三章 变量之间的关系(考点讲解)(含解析)
第三章 变量之间的关系【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系. 3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4．能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系,并进行简单的预测. 【考点总结】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量.特别说明：一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量. t 是自变量,s 是因变量. 要点二、用表格表示变量间关系借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值,这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平方表等. 要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =）,我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系,但较抽象,不是所有的变量之间都能列出关系式. 要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量,用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势,而且对于一些无法用关系式表达的变量,图象可以充当重要角色. 【例题讲解】类型一、常量、自变量与因变量例1、根据心理学家研究发现,学生对一个新概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （分钟）之间有如表所示的关系：（1）上表中反映的两个变量之间的关系,哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是多少分钟时,学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系,得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．【详解】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量,其中“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是13分钟时,学生的接受能力最强达到59.9；（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系,理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．【训练】某公交车每月的支出费用为4000元,每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数x与每月利润y分别是变量和变量；（2）观察表中数据可知,每月乘客量达到人以上时,该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000人时,每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数,每月利润；（2）2000人；（3）4000元【分析】（1）根据函数的定义即可求解；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,即可求解；（3）有表中的数据推理即可求解．【详解】解：（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数是自变量,每月利润是因变量；故答案为：每月的乘车人数,每月利润；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,故答案为：2000；（3）有表中的数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1000元,当每月的乘车人数为2000人时,利润为0元,故每月乘车人数为4000人时,每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．【点睛】本题考查了根据表格与函数知识,正确读懂表格,理解表格体现变化趋势是解题关键．类型二、用表格表示变量间关系例2、一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用时间t表示时间,v表示速度,那么随着t的变化,v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒,v的变化情况相同吗？在哪个时间段内,v增加的最快？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．【答案】（1）时间与速度；时间；速度；（2）0到3和4到10,v随着t的增大而增大,而3到4,v随着t的增大而减小；（3）不相同；第9秒时；（4）1秒．【分析】（1）根据表中的数据,即可得出两个变量以及自变量、因变量；（2）根据时间与速度之间的关系,即可求出v的变化趋势；（3）根据表中的数据可得出V的变化情况以及在哪1秒钟,V的增加最大；（4）根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,再根据时间与速度的关系式即可得出答案．【详解】解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系,时间是自变量,速度是因变量；（2）如果用t 表示时间,v 表示速度,那么随着t 的变化,v 的变化趋势是0到3和4到10,v 随着t 的增大而增大,而3到4,v 随着t 的增大而减小；（3）当t 每增加1秒,v 的变化情况不相同,在第9秒时,v 的增加最大； （4）由题意得：120千米/小时=12010003600⨯（米/秒）,由33.328.9 4.4-=,且28.924.2 4.7 4.4-=>, 所以估计大约还需1秒．【点睛】本题主要考查函数的表示方法,常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量,然后结合图表得到问题的答案即可．【训练】某路公交车每月有x 人次乘坐,每月的收入为y 元,每人次乘坐的票价相同,下面的表格是y 与x 的部分数据．x /人次500 1000 1500 2000 2500 3000 … y /元1000200040006000…（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）请将表格补充完整．（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元,如果该路公交车每月的利润要达到10000元,则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润=收入-支出费用）【答案】（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量；（2）表格见解析；（3）7000人次． 【分析】（1）根据表格即可得出结论；（2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元,即可得出结论； （3）先求出每增加1人次乘坐,每月的收入就增加2元,然后求出总收入即可求出结论； 解：（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量． （2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元, 表格补充如下：÷=（元）（3）10005002()÷（人次）4000+100002=7000答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次【点睛】此题考查的是变量与常量的应用,掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．类型三、用关系式表示变量间关系例3.按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数,用y来表示可坐人数．①题中有几个变量？②你能写出两个变量之间的关系吗？【答案】①有2个变量；②能,函数关系式可以为y=4x+2．【解析】试题分析：①根据变量和常量的定义可得结果；②由图形可知,第一张餐桌上可以摆放6把椅子,进一步观察发现：多一张餐桌,多放4把椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2．试题解析：①观察图形：x=1时,y=6,x=2时,y=10；x=3时,y=14；…可见每增加一张桌子,便增加4个座位,因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．故可坐人数y=4x+2,故答案为：有2个变量；②能,由①分析可得：函数关系式可以为y=4x+2．【训练】已知,如图,在直角三角形ABC中,∠ABC＝90°,AC＝10,BC＝6,AB＝8．P是线段AC上的一个动点,当点P从点C向点A运动时,运动到点A停止,设PC＝x,△ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．【答案】y＝﹣125x+24．【分析】过点B作BD⊥AC于D,则BD为AC边上的高．根据△ABC的面积不变即可求出BD；根据三角形的面积公式得出S△ABP＝12AP•BD,代入数值,即可求出y与x之间的关系式．【详解】如图,过点B作BD⊥AC于D．∵S△ABC＝12AC•BD＝12AB•BC,∴BD＝8624105 AB BCAC⋅⨯==；∵AC＝10,PC＝x,∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x,∴S△ABP＝12AP•BD＝12×（10﹣x）×245＝﹣125x+24,∴y与x之间的关系式为：y＝﹣125x+24．【点睛】此题考查直角三角形的面积求法,列关系式的方法,能理解图形中三角形的面积求法得到高线BD的值是解题的关键.类型四、用图象表示变量间关系例4、巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体,到达起点后小明做了一会准备活动,朱老师先跑．当小明出发时,朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息,解答下列问题：(1)在上述变化过程中,自变量是______,因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒,小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时,求小明距起点的距离是多少米？【答案】(1)t,s；(2)2,6；(3)小明距起点的距离为300米．【分析】解析(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答【详解】解：(1)在上述变化过程中,自变量是t,因变量是s；(2)朱老师的速度420200110＝2(米/秒),小明的速度为42070＝6(米/秒)；故答案为t,s；2,6；(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t,解得t＝50(s),则50×6＝300(米),所以当小明第一次追上朱老师时,小明距起点的距离为300米．【点睛】此题考查一次函数的应用,解题关键在于看懂图中数据【训练】如图是甲、乙两人同一地点出发后,路程随时间变化的图象．（1）此变化过程中, 是自变量, 是因变量；（2）甲的速度乙的速度（大于、等于、小于）；（3）6时表示；（4）路程为150km,甲行驶了小时,乙行驶了小时；（5）9时甲在乙的（前面、后面、相同位置）；（6）乙比甲先走了3小时,对吗？.【答案】（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 【解析】试题分析：（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量,路程是因变量；（2）甲走6小时行驶100千米,乙走3小时走100千米,则可得到他们的速度的大小；（3）6时两图象相交,说明他们相遇；（4）观察图形得到路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）观察图象得到t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些；（6）观察图象得到甲先出发3小时后,乙才开始出发.试题解析：解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象,则t是自变量,s是因变量；（2）甲的速度是100÷6=503千米/小时,乙的速度是100÷3=1003千米/小时,所以甲的速度小于乙的速度；（3）6时表示他们相遇,即乙追赶上了甲；（4）路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些,所以9时甲在乙的后面；（6）不对,是乙比甲晚走了3小时.故答案为（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 考点：函数的图象.【训练】根据图回答下列问题.(1)图中表示哪两个变量间的关系?(2)A、B两点代表了什么?(3)你能设计一个实际事例与图中表示的情况一致吗?【答案】（1）时间与价钱；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元【解析】试题分析：认真分析表中数据再结合身边的事例即可得到结果.（1）图中表示时间与价钱的关系；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元考点：本题考查的是函数的图象点评：解答本题的关键是读懂图象,得到图象的特征及规律,再根据这个规律解决问题.。
新教材【北师大版】七年级下册数学：第三章-变量之间的关系-章末复习(含答案)
（新教材）北师大版精品数学资料期末复习(三) 变量之间的关系01 知识结构本章知识是学习函数的基础，要求掌握表示变量之间关系的三种方法，学会分析变量之间的关系，并能进行简单的预测．02 典例精讲【例1】 下面的表格列出了一个试验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b 与下降高度d 的关系，下面能表示这种关系的式子是(C )A ．b ＝d 2B ．b ＝2C ．b ＝d2D ．b ＝d ＋25【思路点拨】 这是一个用图表表示的关系，可以看出d 是b 的2倍，即可得关系式．【方法归纳】 利用表格表示两个变量之间关系，其对应值清晰明了，但它们之间的关系不够明朗，要结合数据加以分析才能发现潜在的规律．从表示自变量与因变量的表格中辨识自变量与因变量，一般第一栏为自变量，第二栏为因变量．【例2】 下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序(D )①一辆汽车在公路上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系)；②向锥形瓶中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系)；③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系)；④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系)． A ．①②④③ B ．③④②① C ．①④②③ D ．③②④①【思路点拨】 观察图象的走势，并与实际情景相联系是解决此题的关键．【方法归纳】 解决此类题重在观察图象并对图象上的数量关系和走势进行分析，抓住图象的转折点，这些转折点往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．【例3】 如图所示，圆柱的高为10 cm ，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化．(1)在这个变化过程中，圆柱的底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量；(2)请你求出圆柱的体积V(cm 3)与圆柱的底面半径R(cm )之间的关系式； (3)R 的值能为负值吗？为什么？(4)当圆柱的底面半径从2 cm 变化到5 cm 时，圆柱的体积变化了多少？(最后结果保留π)【思路点拨】 (1)题目中有两个变量，主动变化的量是圆柱的底面半径，随之变化的是圆柱的体积；在(2)中，根据圆柱的体积＝底面积×高即可求出V 与R 之间的关系式；由于R 为圆柱的底面半径，所以(3)中R 不能为负值；在(4)中，分别求出R 1＝2 cm 和R 2＝5 cm 时圆柱的体积，其差值即为体积的变化量． 【解答】 (2)因为圆柱的体积＝底面积×高，所以V ＝πR 2×10＝10πR 2.(3)因为R 为圆柱的底面半径，所以R>0，因此R 不能为负值．(4)因为10πR 22－10πR 21＝10π·52－10π·22＝10π·(52－22)＝210π，所以圆柱体积增加了210π cm 3. 【方法归纳】 当变量之间的关系以图形形式表示时，可根据图形特点寻找有关变量的等量关系．然后根据等量关系列出关系式．值得注意的是，为使实际问题有意义，在求出变量之间的关系式后，要根据具体的题目要求，确定自变量的取值范围． 03 整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．小亮以每小时8千米的速度匀速行走时，所走路程s(千米)随时间t(小时)的增大而增大，则下列说法正确的是(C ) A ．8和s ，t 都是变量 B ．8和t 都是变量 C ．s 和t 都是变量 D ．8和s 都是变量2．已知三角形ABC 的面积为2 cm 2，则它的底边a(cm )与底边上的高h(cm )之间的关系为(D ) A ．a ＝4h B ．h ＝4a C ．a ＝h 4 D ．a ＝4h3．对关系式的描述，不正确的是(D )A ．x 看作自变量时，y 就是因变量B ．x ，y 之间的关系也可以用表格表示C ．x 在非负数范围内，y 的最大值为2D ．当y ＝0时，x 的值为－24．如图所示y ＝2－x 是某市某天的气温随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(C )A ．这天15时气温最高B ．这天3时气温最低C ．这天最高气温与最低气温的差是13℃D ．这天有两个时刻气温是30℃5．2017年1月4日上午，小华同学接到通知，他的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x ，录入字数为y ，下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是(C )6则表中a 的值为(B )A ．21.5B ．20.5C ．21D ．19.57．一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x 表示注水时间，用y 表示浮子的高度，则用来表示变量y 与x 之间关系的选项是(B )8．(衡阳中考)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分钟)之间的关系，根据图象，下列信息错误的是(A )A ．小明看报用时8分钟B ．公共阅报栏距小明家200米C ．小明离家最远的距离为400米D ．小明从出发到回家共用时16分钟9．贝贝利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：那么，当输入数据8 A.861 B.863 C.865 D.86710．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分)，则变量S 与t 的大致图象为(A )二、填空题(每小题4分，共20分)11．圆的周长C 与圆的半径r 之间的关系式为C ＝2πr ，其中常量是2，π.12．一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)之间的关系式是h ＝20－4t .13．如图是某个计算y 值的程序，若输入x 的值是32，则输出的y 值是12.14．(义乌中考)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的图象，则小明回家的速度是每分钟步行80米．15．下面由小木棒拼出的系列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成，请写出第n 个图形中小木棒的根数S 与n 的关系式S ＝3n ＋1．三、解答题(共50分)16．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y(元)与印刷数量x(张)之间关系如表：(1)(2)从上表可知：收费y(元)随印刷数量x(张)的增加而增大； (3)若要印制1 000张宣传单，收费多少元？解：(1)上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系，印刷数量是自变量，收费是因变量． (3)由上表可知：印刷数量每增加100张，收费增加15元，所以每张的价格是0.15元． 所以收费y(元)与印刷数量x(张)之间的关系式为y ＝0.15x. 当x ＝1 000时，y ＝0.15×1 000＝150(元)． 故要印制1 000张宣传单，收费150元．17．(10分)青春期男、女生身高变化情况不尽相同，下图是小军和小蕊青春期身高的变化情况．(1)上图反映了哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？(2)A，B两点表示什么？(3)小蕊10岁时身高多少？17岁时呢？(4)比较小军和小蕊青春期的身高情况有何相同与不同．解：(1)反映了身高随年龄的变化而变化的关系，自变量是年龄，因变量是身高．(2)A点表示小军和小蕊在11岁时身高都是140厘米，B点表示小军和小蕊在14岁时身高都是155厘米．(3)小蕊10岁时身高130厘米，17岁时身高160厘米．(4)相同点：进入青春期，两人随年龄的增长而快速长高，并且在11岁和14岁时两人的身高相同；不同点：11岁至14岁间小蕊的身高变化比小军的快些，14岁后小军的身高变化比小蕊的快些．18．(10分)如图所示，在△ABC中，底边BC＝8 cm，高AD＝6 cm，E为AD上一动点，当点E从点D沿DA向点A运动时，△BEC的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？(2)若设DE长为x(cm)，△BEC的面积为y(cm2)，求y与x之间的关系式．解：(1)ED长度是自变量，△BEC的面积是因变量．(2)y与x的关系式为y＝4x.19．(10分)新成药业集团研究开发了一种新药，在试验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示．当儿童按规定剂量服药后：(1)何时血液中含药量最高？是多少微克？(2)A点表示什么意义？(3)每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长？解：(1)服药后2小时血液中含药量最高，最高是4微克．(2)A点表示血液中含药量为0.(3)有效期为5小时．20．(10分)如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的长方形菜园ABCD，设与墙平行的篱笆AB的长为x m，菜园的面积为y m2.(1)试写出y与x之间的关系式；(2)当AB 的长分别为10 m 和20 m 时，菜园的面积各是多少？解：(1)因为与墙平行的篱笆AB 的长为x m ， 所以长方形的另一边长为60－x2 m ，则长方形的面积为60－x2·x m 2.所以y 与x 之间的关系式为： y ＝60－x 2·x ＝－12x 2＋30x. (2)当x ＝10时，y ＝－12×102＋30×10＝250(m 2)；当x ＝20时，y ＝－12×202＋30×20＝400(m 2)．21．(12分)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x(h )，两车之间的距离为y(km )，图中的折线表示y 与x 之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为900km ； (2)请解释图中点B 的实际意义； (3)求慢车和快车的速度．解：(2)图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4 h 时，慢车和快车相遇． (3)由图象可知，慢车12 h 行驶的路程为900 km ， 所以慢车的速度为90012＝75(km /h )．当慢车行驶 4 h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900 km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为9004＝225(km /h )，所以快车的速度为225－75＝150(km /h ).。
北师版七下数学第三章变量之间的关系章末复习
北师大版七年级数学下册
本章知识结构
变量
常量
变 量
有关概念 自变量
之
因变量
间
的 关
列表法
系
表达方式 关系式法
图象法
知识点一 常量与变量
➢ 变量：在某一变化过程中，不断变化的量 叫做变量.
➢ 常量：在变化过程中数值始终不变的量叫 做常量.
例1 汽车以 m 千米/时从甲地驶向乙地，若甲、 乙两地相距 s 千米，当汽车行驶了 x 小时后，距离 乙地还有 y 千米，在这个问题中，常量是_m__、__s_， 变量是__x_、__y_，其中自变量是___x__，因变量是 ___y__.
562.5 cm3
知识点四 用图象表示变量间的关系
➢ 对于在某一变化过程中的两个变量，用横 轴上的点表示自变量，纵轴上的点表示因 变量.
例5 我们熟知的龟兔赛跑的故事：骄傲的兔
子比赛途中睡了一觉，结果输掉了比赛。能反映
这场比赛中路程 S 与时间 t 的关系的是（ B ）
S
终点
S
S
S
终点
终点
终点
t A
底面半径 x/cm 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 y/cm3 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个 是自变量哪个是因变量？
上表反映了易拉罐底面半径和用铝量的 关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为 因变量.
（3）根据表中的数据，你认为易拉罐的底面半 径为多少时比较合适？说说你的理由.
易拉罐底面半径为 2.8 cm 时比较合适，此时 铝用量最少，成本低 .
知识点三 用关系式表示变量间的关系
北师大版七年级下第三章变量之间的关系全章导学案
3.1用表格表示的变量间的关系导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间相依关系的例子.2、能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并能根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测.【重点难点】重点：能从表格中发现变量之间存在的关系，并能用自己的语言描述出来难点：通过具体情境理解变量、自变量与因变量的概念，并能运用变量之间的思想描述我们所生活的世界中的变化. 知识概览图变量⎭⎬⎫⎩⎨⎧因变量自变量用表格表示两个变量之间的关系新课导引在现实生活中，我们通过观察可以知道许多量都与另外一个量或几个量有着密切的联系．如在行程问题中，路程与时间、速度的关系；在图形的周长、面积问题中，圆的周长、面积与半径的关系等．教材精华知识点1 常量与变量在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．例如在圆的面积公式S ＝2r π中，圆周率π是保持同一数值的量，即常量，而半径r 和面积S 可以取不同的数值，所以r 和S 就是变量．【拓展】常量与变量往往是相对的，相对于某个变化过程．比如s ，v ，t ，三者之间，在不同的研究过程中，作为变量与常量的“身份”是可以相互转换的．知识点2 自变量与因变量在客观世界中，存在着各种各样的量，这些量几乎都是变化着的．例如在路程确定的情况下，不同运动员的奔跑速度决定他们各自所用的时间，所用的时间受速度的制约，所用时间随速度的变化而变化．我们就说速度是自变量，时间是因变量．(1)在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，受其他变量的影响而发生变化的量是因变量．(2)自变量和因变量是相对的，在某个变化过程中是自变量，而在另一个变化过程中可能是因变量．知识点3 借助表格表示两个变量的关系我们可以借助表格表示因变量随自变量的变化而变化的情况，反映两个变量之间的关系，并从表格上获取一些信息，或对某些问题作出相关的预测．例如，表1是我国体育健儿在几届奥运会上所获奖牌总数的情况．表1我们可以把统计表1叫做是一个反映两个变量之间关系的表格，其中时间(年)是自变量，奖牌总数是因变量．课堂检测基本概念题1、下列各题中，哪些量在发生变化?其中的自变量与因变量各是什么?(1)用总长为60 m的篱笆围成一个边长为l(m)，面积为S(m2)的长方形场地；(2)正方形的边长是3，若边长增加x，则面积增加y．基础知识应用题2、小红帮助母亲预算4月份的用电量，小红记录了4月初连续8天每天早上电表显示的读数，列成的表格如下：（1)这个表格反映哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)4月5日早上电表的读数是多少?(3)这个月的前5天共用电多少?(小红家每天只在晚上用电) (4)估计在4月9日早上电表的读数是多少； (5)估计4月份的总用电量．3、某商店出售一种瓜子，数量x 与售价C 之间的关系如下表：表内售价栏中的0．05是塑料袋的价钱． (1)试用含x ，的代数式表示C ；(2)若一位顾客购买350克瓜子，请你帮他计算一下应付多少元钱．探索创新题4、下表记录了我国几个城市在夏季某月某日的最高气温．这不是表示两个变量之间关系的表格．请你根据影响气温的主要因素，把这个表格改为一个在一定程度上表示两个变量之间关系的表格，并回答下列问题．(1)自变量和因变量各是什么?(2)随着自变量逐渐变大，因变量的变化趋势是什么?体验中考1、（09·吉林）小敏家距学校1200米，某天小敏从家里出发骑自行车上学，开始她以每分钟V1米的速度匀速行驶了600米，遇到交通堵塞，耽搁了3分钟，然后以每分钟V2米的速度匀速前进一直到学校(V1<V2)，你认为小敏离家的距离y与时间x之间的关系图象大致是图6-1中的( )学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、【解析】变量比较容易找，关键是自变量的找法，审清题意，先找出发生变化的 那一个量．解：(1)边长l ，面积S 都在发生变化，其中l 是自变量，S 是因变量． (2)增加的边长x ，增加的面积y 都在发生变化，其x 是自变量，y 是因变量．2、【解析】(1)在表示变量之间关系的表格中，第一行是自变量的数值，第二行是因变量的数值．(2)表格中同一列上的两个数是自变量与因变量的一组对应值．(3)由于每天早上记录电表读数，所以要想知道5天共用了多少电，应该用第6天的读数减去第1天的读数．(4)为了估计第9天电表的读数，应该知道每天大约用多少电．(5)可以根据前7天的用电量估计这个月的用电量．【解题方法】 (1)所给表格实质上是反映了用电天数与用电量之间的关系．(2)上面估计4月份的用电量实际上是利用了求平均数的方法，也可以用其他方法求．解：(1)这个表格反映日期与电表读数这两个变量之间的关系，日期是自变量，电表读数是因变量．(2)4月5日早上电表的读数是35千瓦时．(3)39—21＝18，即这个月的前5天共用电18千瓦时． (4)估计4月9日早上电表的读数为49或50．(5)(46—21)÷7×30≈107(千瓦时)．3、【解析】 因在表中C 这一栏中的数是两部分的和，所以先看“+”号前的部分与x 的关系：==20080.110090.0…＝10009元，也就是说每卖1000克瓜子，售价为9元，因此，得前一部分是x 10009，再加上0．05，得C ＝x 10009+0．05． 解：(1)由图表可知每100克瓜子售价0．90元，所以每1000克售价9元．故C ＝x 10009+0．05． (2)当x = 350时，C ＝x 10009+0．05＝⨯10009350+0．05＝3．20(元)．答：这位顾客应付3．20元钱。
新北师大版七年级数学下册第三章《变量之间的关系》单元复习题含答案解析 (46)
一、选择题（共10题）1.甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是( )A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点2.对圆的周长公式C=2πr的说法正确的是( )A．C，r是变量，π，2是常量B．π，r是变量，2是常量C．r是变量，2，π，C是常量D．C是变量，2，π，r是常量3.用每张长6cm的纸片，重叠1cm粘贴成一条纸带，如图，纸带的长度y(cm)与纸片的张数x之间的函数关系式是( )A．y=6x−1B．y=6x+1C．y=5x+2D．y=5x+14.如果某函数的图象如图所示，那么y随x的增大而( )A．增大B．减小C．不变D．有时增大有时减小5.如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度ℎ与时间t之间的关系的图象是( )A．B．C．D．6.如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为( )A．B．C．D．7.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是( )A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元C．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元D．9月份该厂利润达到200万元8.下列函数中y不是x的函数的是( )B．y=x C．y=−x D．y2=x A．y=1x9.下列图象中，y是x的函数的是( )A．B．C．D．10.如图，是一种古代计时器--“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）( )A．B．C．D．二、填空题（共7题）11.星期天，小明上午8:00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8:45小明离家的距离是千米．12.物体自由下落的高度ℎ（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是ℎ=4.9t2，在一次实验中，一个物体从490m高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为s．13.已知某地的地面气温是20∘C，如果每升高1000m气温下降6∘C，则气温t(∘C)与高度ℎ(m)的函数关系式为．14.某商店售货时，在进价基础上加一定利润，其数量x与售价y如下表所示：数量x(千克)1234⋯则售价y与数量x之间的函数关系式售价y(元)8+0.416+0.824+1.232+1.6⋯为．15.一天学生小明早上从家去学校，已知小明家离学校路程为2280米（小明每次走的路程），小明从家匀速步行了10.5分钟后，爸爸发现小明的一科作业忘带，爸爸立刻拿起小明忘带的作业匀速跑步追赶小明，追上小明后爸爸立即将作业交给小明，小明继续以原速向学校行走（假定爸爸将作业交给小明的时间忽略不计），爸爸将作业带给小明后，原地接了2分钟的电话后，立即以更快的速度匀速返回家中．小明和爸爸两人相距的路程y（米）与小明出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则爸爸到达家时，小明与学校相距的路程是米．16.若f(x)=2x2+x，g(x)=3x−1，则f(2)⋅g(−1)=．17.经科学家研究，蝉在气温超过28∘C时才会活跃起来，此时边吸树木的汁液边鸣叫，如图是某地一天的气温变化图象，在这一天中，听不到蝉鸣的时间是小时．三、解答题（共8题）18. 已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：底面半径x (cm ) 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0用铝量y (cm 3) 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5(1) 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2) 当易拉罐底面半径为 2.4 cm 时，易拉罐需要的用铝量是多少？(3) 根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由． (4) 粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．19. 将长为 30 cm ，宽为 10 cm 的长方形白纸按图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为 3 cm ．(1) 求 5 张白纸黏合后的长度；(2) 设 x 张白纸黏合后的总长度为 y cm ，写出 y 与 x 之间的关系式，并求 x =20 时 y 的值及 y =813 时 x 的值；(3) 设 x 张白纸黏合后的总面积为 S cm 2，写出 S 与 x 之间的关系式，并求 x =30 时 S 的值及 S =5430 时 x 的值．20. 中国联通在某地的资费标准为包月 186 元时，超出部分国内拨打 0.36 元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准．时间/分12345⋯电话费/元0.360.72 1.08 1.44 1.8⋯(1) 这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？(2) 如果用 x 表示超出时间，y 表示超出部分的电话费，那么 y 与 x 的表达式是什么？ (3) 如果打电话超出 25 分钟，需付多少电话费？(4) 某次打电话的费用超出部分是 54 元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？21. 希望中学学生从 2018 年 12 月份开始每周喝营养牛奶，单价为 2 元/盒，总价 y 元随营养牛奶盒数 x 变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子．22. 小明从 A 地出发向 B 地行走，同时晓阳从 B 地出发向 A 地行走，小明、晓阳离 A 地的距离y（千米）与已用时间x（分钟）之间的函数关系分别如图中l1，l2所示．(1) 小明与晓阳出发几分钟时相遇？(2) 求晓阳到达A地的时间．23.小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y=1x2的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现请你来完成：(1) 函数y=1x2的定义域是；(2) 下表列出了y与x的几组对应值：x⋯−2−32m−34−1212341322⋯y⋯144911694416914914⋯表中m的值是；(3) 如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象；(4) 结合函数y=1x2的图象，写出这个函数的性质：．（只需写一个）24.小南一家到某度假村度假，小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发，爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村，（取东西的时间忽略不计），如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图，请根据图回答下列问题：(1) 图中的自变量是 ，因变量是 ，小南家到该度假村的距离是 km ．(2) 小南出发 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为 km/h ，图中点 A 表示 ． (3) 小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是 km ．25. 某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收 1 元印制费，另需收取所有印制材料的制版费 1500 元；乙印刷厂提出：每份材料收 2.5 元印制费，不收制版费． 设该电视机厂在同一个印刷厂一次印刷的数量为 x 份 (x >0)．(1) 根据题意填表：一次印刷数量(份)3005001500⋯甲印刷厂花费(元) 2000 ⋯乙印刷厂花费(元)1250⋯(2) 设在甲印刷厂花费 y 1 元，在乙印刷厂花费为 y 2 元．分别求 y 1，y 2 为关于 x 的函数解析式；(3) 根据题意填空：①若电视机厂在甲印刷厂和在乙印刷厂一次印制宣传材料的数量相同，且花费相同，则该电视机厂在同一个印刷厂一次印制材料的数量为 份； ②印制 800 份宣传材料时，选择 印刷厂比较合算；③电视机厂拟拿出 3000 元用于印制宣传材料，在 印刷厂印制宣传材料可以多一些．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系2. 【答案】A【知识点】常量、变量3. 【答案】D【知识点】解析式法4. 【答案】A【知识点】图像法5. 【答案】D【解析】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度ℎ与时间t之间的关系分为两段，先慢后快，所以D选项是正确的．【知识点】图像法6. 【答案】B【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系7. 【答案】B【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系8. 【答案】D中，y是x的函数，故此选项不合题意；【解析】A．y=1xB．y=x中，y是x的函数，故此选项不合题意；C．y=−x中，y是x的函数，故此选项不合题意；D．y2=x中，y不是x的函数，故此选项符合题意．【知识点】函数的概念9. 【答案】D【知识点】函数的概念10. 【答案】B【解析】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、D；由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项；所以B选项正确．故选：B．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系二、填空题（共7题）11. 【答案】1.5【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系12. 【答案】10【解析】当ℎ=490时，4.9t2=490，∴t=±10，∵t≥0，∴t=10，答：有一个物体从490m高的建筑物上自由落下，到达地面需要10s．【知识点】解析式法13. 【答案】t=−0.006ℎ+20【解析】∵每升高1000m气温下降6∘C，∴每升高1m气温下降0.006∘C，∴气温t(∘C)与高度ℎ(m)的函数关系式为t=−0.006ℎ+20．【知识点】解析式法14. 【答案】y=8.4x【知识点】解析式法15. 【答案】270【解析】由题意知，图形的纵坐标表示为两人相距的路程，横坐标表示为小明的出发时间，从0∼10.5分钟时，小明自己走，爸爸还没有出发，∴小明的速度v1=630÷10.5=60米/分钟，从10.5∼21分钟时，爸爸开始从家出发，并在时间t=21分钟时追上小明，∴此时小明的路程为：60×21=1260米，∴爸爸的速度为v2=1260÷(21−10.5)=120米/分钟，设爸爸返回时的速度为v，根据题意得，4v+60×6=920，∴v=140米/分钟，∴等爸爸送完作业返回家时所用时间为21×60÷140=9分钟，∴等爸爸到家小明总用时：21+9+2=32，∴此时小明与学校相距的距离为：2280−32×60=360米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系16. 【答案】−40【知识点】解析式法17. 【答案】12【解析】图象不超过28∘C的时间是10−0=10，24−22=2，10+2=12小时，故答案为：12．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系三、解答题（共8题）18. 【答案】(1) 易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量．(2) 当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm3．(3) 易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低．(4) 当易拉罐底面半径在1.6∼2.8cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8∼4.0cm间变化时，用铝量随半径的增大而增大．【知识点】函数的概念、列表法19. 【答案】(1) 30×5−4×3=138cm．(2) y=27x+3（x为正整数），当x=20时，y=543；当y=813时，x=30．(3) S=270x+30（x为正整数），当x=30时，S=8130；当S=5430时，x=20．【知识点】一次函数的应用20. 【答案】(1) 国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量．(2) 由题意可得：y=0.36x．(3) 当x=25时，y=0.36×25=9（元），即如果打电话超出25分钟，需付186+9=195（元）的电话费．=150（分钟）．(4) 当y=54时，x=540.36答：小明的爸爸打电话超出150分钟．【知识点】解析式法、函数的概念21. 【答案】y=2x；常量：2；变量：x，y；自变量：x；y是x的函数．【知识点】函数的概念、常量、变量22. 【答案】(1) 由图象可得，小明的速度为4÷30=215（千米/分钟），1.6÷215=1.6×152=12（分钟），即小明与晓阳出发12分钟时相遇；(2) 晓阳的速度为：(4−1.6)÷12=0.2（千米/分钟），4÷0.2=20（分钟），即晓阳到达A地用时20分钟．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系23. 【答案】(1) x≠0的实数(2) −1(3) 图（略）；(4) 图象关于y轴对称【解析】(4) 图象在x轴的上方；在对称轴的左侧函数值y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧函数值y随着x的增大而减小；函数图象无限接近于两坐标轴但永远不会和坐标轴相交等．【知识点】函数关系式为分式的自变量的取值范围、图像法、自变量与函数值24. 【答案】(1) 时间t；距离s；60(2) 1；60；2.5小时后小南和妈妈离家距离为50千米(3) 30或45【解析】(1) 图中一共两个变量：时间、距离，其中自变量是时间t，因变量是距离s．由图可知，距离家最远的位置为度假村，距离为60km．(2) 爸爸出发的晚，由图可知晚出发1小时，爸爸第一次到达度假村时，时间为2小时，即爸爸走了1个小时，爸爸的速度为60÷1=60(km/h)．点A表示2.5小时后小南和妈妈离家距离为50千米．(3) 由图象可知，爸爸第一次去时，当小南与爸爸相遇时，离家的速度是30km，爸爸往回返时，两个相距20千米，小南速度；60÷3=20(km/h)，20÷(60+20)=14(h)，=15(km)．60×1460−15=45(km)，综上，当小南与爸爸相遇时，离家的距离约是30km或45km．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系、自变量与函数值25. 【答案】(1) 1800；3000；750；3750；(2) 由题意可得，y1=x+1500，y2=2.5x；(3) 1000；乙；甲【解析】(1) 由题意可得，当印制300份材料时，甲印刷厂的花费为：300×1+1500=1800（元），乙印刷厂的花费为：300×2.5=750（元），当印制1500份材料时，甲印刷厂的花费为：1500×1+1500=3000(元)，乙印刷厂的花费为：1500×25=3750（元）．(3) ①由题意可得，x+1500=2.5x，解得，x=1000，故答案为：1000；②当x=800时，y1=1500+800=2300，y2=2.5×800=2000，∵2300>2000，∴选择乙家印刷厂，故答案为：乙；③当y=3000时，选择甲印刷厂时，3000=x+1500，得x=1500，选择乙印刷厂时，3000=2.5x，得x=1200，∵1500>1200∴电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，在甲印刷厂印制宣传材料可以多一些，故答案为：甲．【知识点】列表法、方案问题。
新北师大版七年级数学下导学案第三章变量之间的关系知识点
第三章变量之间的关系【知识点一】用表格表示变量之间的关系（一）理解变量和常量1、我们生活的世界里有许多量，有些是变化的，有些是不变的，数值不变的量，我们称之为___________ .数值发生变化的量，我们称之为____________ 。
请找出下列哪些量是变邕哪些是变疑？1）圆柱的高h为10厘米，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中__________ 是变疑，_________ 是常量。
2）圆的周长C随着半径R的变化而变化，圆的周长公式是________________________ ，其中是变量，________ 是常量。
（二）理解自变量和因变量1、在某一变化过程中，一般有两个变量，一个是在一定范围内主动发生变化的,称之为.列一个是随着_ 量的变化而变化的,称之为________________________________ o请你找出下列哪些量是自变疑，那些疑是因变量？1）圆柱的高h为10厘米，当圆柱的底而半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中__________ 是自变量，__________ 是因变量。
2）骆驼被称为“沙漠之舟”，时间的变化会引起它体温的变化，在这一变化过程中，是自变量，________ 是因变呈:。
3）你给远在外地的叔叔打电话，电话费随时间的变化而变化，在这一变化过程中，是自变量，________ 是因变量。
4）某水果店橘子的售价为2.5元/千克，买a千克橘子共用去S元钱：答：_____ 是常量，a与S是 ________ ，其中a是______ , S是_______ 。
5）小军以240米/分的速度在操场上练习长跑，t分钟内奔跑的路程为s米。
6）科学研究表明，一个年龄在10~50岁的人，每天所需要的睡眠时间H （h）可用公式表示为H= （110-N） /10,英中N代表这个人的年龄；（三）用表格表示变量之间的关系，并对变化趋势进行初步预测1、用表格可以表示因变量与自变虽:的一组对应值，这种表示变量之间关系的方法叫做表楂上表反映的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？（2）如果用t表示时间，h表示水位，随着t的逐渐增大，h的变化趋势是什么？（3） t每增加4h, h的变化情况相同吗?（4）请你估计一下28h时，河水水位是多少?规律总结：表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示 ________ ，第二行表示 _______ ，从表格中可以发现_________ 随________ 变化存在一泄规律一一或者增加或者减少或者呈现规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测。
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第三章变量之间的关系§3．1 小车下滑的时间学习目标：通过分析小车在斜坡上下滑时高度与时间数据之间的联系，使学生体会小车下滑时间随着高度变化而变化，从而了解变量、自变量和因变量的意义，了解可以用列表示两个变量之间的关系，培养学生分析问题的能力与归纳思维的能力。
学习重点：能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。
学习难点：对表格所表达的两个变量关系的理解。
一、预习（一）、预习书P96~P97（二）、思考：什么是变量？什么是自变量？什么是因变量？（三）、预习作业：1（1）表中反映了哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表中的数据，你认为老师在第____分钟提出观念比较适宜？说出你的理由．二、学习过程：（一）要点引导1、在一个变化过程中数值保持不变的量叫做______可以取不同数值的量叫做______，如果一个量随着另外一个量的变化而变化，那么把这个量叫做______，另一个量叫做______．2、本节是通过______形式来表示两个变量之间的关系的．（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？（4）估计当h=110时，t的值是多少，你是怎样估计的？变式：一辆小汽车在高速公路上从静止到启动（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒钟内，v的增加最大？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？（三）拓展：1、如图，是一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层；第二层每边两个点；第三层每边有三个点，依此类推：（1）填写下表：（2）每层点数是如何随层数的变化而变化的？所有层的总点数是如何随层数的变化而变化的？（3）此题中的自变量和因变量分别是什么？（4）写出第n层所对应的点数，以及n层的六边形点阵的总点数；（5）如果某一层的点数是96，它是第几层？（6）有没有一层，它的点数是100？为什么？2、下表是明明商行某商品的销售情况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价（单位：元）（1（2）每降价5元，日销量增加多少件？请你估计降价之前的日销量是多少？（3）如果售价为500元时，日销量为多少？（四）回顾小结：总结本节所学的知识，从表格中获取信息；用表格表示变量之间的关系；对变化趋势进行预测。
§3．2 用关系式表示的变量间的关系学习目标：1、经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。
2、能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。
3、能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
学习重点：1、找问题中的自变量和因变量。
2、根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。
学习难点：根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。
一、预习 （一）、预习书：P100~P101 （二）、思考：确定关系式的步骤？ （三）、预习作业：1、会议厅共有30排座位，第一排有20个座位，后排每排比前一排多一个座位． （1）你知道第九排有多少个座位吗？第26排呢？ （2）每排的座位数y 可用排数x 来表示吗？ （3）可不可能某一排的座位数是52？为什么？二、学习过程： （一）要点引导 1、通过表格可表示两个变量之间的关系，本节中利用_______也可表示两个变量之间的关系． 2、确定关系式的步骤：先找出题目中关于________与________的相等关系，再用________的代数式表示________3、半径为R 的圆面积S=________，当R=3时，S=________方法小结：1、涉及到图形的面积或体积时，写关系式的关键是利用面积或体积公式写出等式；2、一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边；3、已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，千万不要代错了．（二）例题例1、如图，ABC 底边BC 上的高是6厘米，当三角形的顶点C 沿底边所在直线向点B 运动时，三角形的面积发生了变化． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果三角形的底边长为x （厘米），那么三角形的面积y （厘米2）可以表示为_________（3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从____厘米2变化到____厘米2A CB 1C 2C 3C 84 x变式1、 如图，已知梯形的上底为x ，下底为8，高为4． （1）求梯形面积y 与x 的关系；（2）用表格表示，当x 从3到7（每次增加1）时，y 的相应值； （3）当x 每增加1时，y 如何变化？ （4）当y=50时，x 为多少？（5）当x=0时，y 等于多少？此时它表示的是什么？例2、将若干张长为20cm 、宽为10cm 的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm ． （1）求4张白纸粘合后的总长度；（2）设x 张白纸粘合后的总长度为ycm ，写出y 与x 之间的关系式；（3）并求当x=20时，y 的值变式2、 声音在空气中传播的速度y （米/秒）与气温x C之间有如下关系：33315y x =+ （1）在这一变化过程中，自变量是________、因变量是________； （2）当气温15x C = 时，声音速度y=________米/秒；（3）当气温22x C = 时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地约相距________米；（三）拓展1、如图，在Rt ABC ∆中，已知90C ∠= ，边AC=4cm ，BC=5cm ，点P 为CB 边上一动点，当点P 沿CB 从点C 向点B 运动时，APC ∆的面积发生了变化．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？（2）如果设CP 长为xcm ，APC ∆的面积为2ycm ，则y 与x 的关系可表示为__________； （3）当点P 从点D （点D 为BC 的中点）运动到点B 时，则APC ∆的面积从______2cm 变到______2cm（四）回顾小结：自变量和因变量之间的关系；根据关系式找出与自变量相应的因变量的数值。
§3．3 用图象表示的变量间关系学习目标：1、经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系。
2、结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
3、能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。
学习重点：结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
并能从图象中获取变量之间关系的信息，学习难点：能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。
一、预习（一）、预习书：P103~P105（二）、思考：用图像表示变量之间的关系时，水平方向的数轴（横轴）上的点表示什么？，竖直方向的数轴上的点表示什么？（三）、预习作业：1、如图，是某地某年月平均气温随时间变化的图像．请回答下列问题：（1）二月份平均气温是______C ，十月份平均气温______C ；（2）这一年中，月平均气温最高的是______月，温度大约是______C ；（3）月平均最高气温与最低气温大约相差______C（4）月平均最高气温为10C 的月份是______月，它可能是______季节；（5）上述变化中，自变量是______，因变量是______；（6）估计明年一月份的平均气温会低于0C 吗？二、学习过程：（一）要点引导1、图像是表示________之间关系的一种方法，它的特点是更________、更________地反映了因变量随自变量变化的情况．2、用图像表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示________，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示________（二）例题例1、某山区今年６月中旬的天气情况是：前５天小雨，后５天暴雨，那么反映该地区某河流水位变化的图像大致是（）A B C D变式1、为节约用水，利民学校冲厕水箱经改造后，当水箱水满后就按一定的速度放掉水箱的一半水，随后立即按一定的速度注水，等水箱的水满后，又立即按一定的速度放掉水箱一般的水，下面的图像可以刻画水箱的存水量v（立方米）与放水或注水时间t（分钟）之间的关系的是（）A B C D例2、新成药业集团研究开发了一种新药，在实验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示．当儿童按规定剂量服药后：（1）何时血液中含药量最高？是多少微克？（2）A点表示什么意义？（3）每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长？（4）你建议该儿童首次服药后几小时再服药？为什么？变式2、如图，是表示某天小明上学从家到学校时，离家的距离与时间的关系的图像。
（1）小明从家到学校有多远？他一共用了多长时间到校？（2）中途小明停下来子啊路边的商店买了一些练习本，图中那一段曲线表示这一过程？（3）你能想象小明从离家到第4min时的情况吗？（三）拓展1、王大爷带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价出售一些后，又降价出售，售出土豆的千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图所示。
根据图像回答下列问题： （1）王大爷自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？ （3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？2、如图中的折线ABC 是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的关系的图像。
（1）通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？ （2）通话多少分钟以内，所支付的电话费不变？（3）如果通话3分钟以上，电话费y （元）与时间t （分钟）的关系式是 2.5(3)y t =+-，那么通话4分钟的电话费是多少元？（四）回顾小结 图象是表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。
§3．4 速度的变化学习目标：通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图中分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理解，进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力。
学习重点：通过速度随时间变化的实际情境，能分析出变量之间关系。
学习难点：现实中变量的变化关系，判断变化的可能图象。
一、预习 （一）、预习书：P107~ P108 （二）、思考：每一个图像反映了什么样的变化过程？ （三）、预习作业：1、如图，是某人骑自行车的行驶路程s （千米）与行驶时间t （时）的函数图像，下列说法不正确的是（ ） A.从0时到3时，行驶30千米 B.从1时到2时匀速前进 C.从1时到2时原地不动D.从出发地到1时与从2时到3时的行驶速度相同二、学习过程：（一）要点引导1、观察右图回答下列问题：（1）a 代表物体从____________开始____________运动；（2）b 代表物体________________运动；（3）c 代表物体________________运动；（4）a 表示的速度________d 表的速度（填“>”、“=”或“<”） 2、观察右图回答下列问题： （1）a 代表物体____________运动；（2）b 代表物体____________；（3）c 代表物体______运动直至回到______； （二）例题例1、汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的。