中国人民大学附属中学2018届高三三模数学理试题无答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟(三)数学(理)试题+Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)本试卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ⋂=A. ()2,+∞B. []2,4C. (]1,3D. (]2,42.设i 为虚数单位，给出下面四个命题：1:342p i i +>+；()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =；()()23:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点；41:2i p z i +=+的虚部为15i . 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.564．已知函数()fx x =的值域为A ，且,a b A∈，直线()()2212x y x a y b +=-+-=与圆有交点的概率为A ．18B ．38 C. 78 D. 145．一条渐近线的方程为43y x =的双曲线与抛物线2:8C y x =的一个交点为A ，已知AF =(F为抛物线C 的焦点)，则双曲线的标准方程为A ．2211832x y -=B ．2213218y x -= C ．221916x y -=D ．2291805y x -= 6．如图，弧田由圆弧和其所对弦围成，《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即弧田面积12=(弦×矢+矢2)．公式中“弦”指圆弧所对的线段，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述的经验公式计算弧田面积与实际面积存在误差，则圆心角为3π，弦长为1的弧田的实际面积与经验公式算得的面积的差为A ．18- B ．1168πC ．1623π+- D ．525-7．已知()()322101210223nn x d x x x a ax a x a=+-=+++⋅⋅⋅+⎰，且，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为 A ．823B ．845C ．965-D ．8778．已知函数()()s i n 2c o s 2,0,66f x x x x f x k ππ⎛⎫⎡⎤=++∈= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，有两个不同的根12,x x ，则()12f x x k ++的取值范围为A．⎡⎣ B． C．⎭ D．)9.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．2018201722⨯- B ．2018201822⨯+ C. 2019201822⨯-D ．2019201722⨯+10．已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A ，该点也在抛物线()220x py p =>上，若抛物线与圆()()()222:120C x y rr -+-=>有公共点P ，且抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则圆C 上的点到抛物线的准线的距离的最小值为 A．3B. 3C ．3D．311．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．2143π B ．1273π C.1153π D ．1243π12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()32123f x x ax bx =+++，()()''24f x f x +=-，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为A ．[)64ln3,++∞B ．[)5ln5,++∞ C.[)66ln6,++∞ D ．[)4ln 2,++∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年重庆市高三三模考试三诊考试数学(理)试题含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}()|,,2A x x a B =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥ B ．2a > C ．2a ≤ D ．2a <2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足21iz z =+，则z =（ ） A ．2155i -- B ．2155i + C ．2i + D ．2i - 3.设命题:,2ln 2x p x Q x ∃∈-<，则p ⌝为（ ）A ．,2ln 2x x Q x ∃∈-≥B ．,2ln 2x x Q x ∀∈-<C ．,2ln 2x x Q x ∀∈-≥D ．,2ln 2x x Q x ∀∈-= 4. 已知随机变量()22,XN σ，若()()1121P X a P X a ≤-+≤+=，则实数a =（ ）A ． 0B ．1 C. 2 D ．45.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中,A B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为 （ ）A ．12B ． 24 C. 36 D ．486. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M N 、两点，与抛物线的准线交于P Q 、两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是（ ） A．．．37. 已知实数,x y 满足不等式组20x y x a x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的2倍，则a =（ ）A ．34 B ．56 C. 65 D ．438. 《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.根据该问题设计程序框图如下，若输入103,97a b ==，则输出n 的值是（ ）A ． 8B ． 9 C. 12 D ．169.一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为32π，则侧视图中的x 的值为 （ ）A ． 6B ． 4 C. 3 D ．210. 已知圆O 的方程为221x y +=，过第一象限内的点(),P a b 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若8PO PA =，则a b +的最大值为（ ）A ．3B ．．611. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径的圆M 与双曲线C 相交于,A B 两点，其中O 为坐标原点，若1AF 与圆M 相切，则双曲线C 的离心率为（ ）A B D 12. 已知函数()32413327f x x x x =+++，等差数列{}n a 满足：()()()129911f a f a f a +++=，则下列可以作为{}n a 的通项公式的是（ ）A ．173n - B ．2333n - C. 452n- D ．49n - 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.函数()22cos sin cos 1f x x x x =+-的最大值是 ．14.已知0a >，且102a x ⎛ ⎝的展开式中常数项为5，则a = ．15.在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以PE 为折痕将PEB ∆翻折为PEB '∆，点B '恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE = ．16.已知点I 为ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===，若AI xAB yAC =+，则x y += ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，A 为锐角，且()224sin 5cos sin cos 2422A A A A ππ⎛⎫⎫--=+ ⎪⎪⎝⎭⎭.（1）求A ；（2）若1,AC ABC =∆BC 边上的高.18. 从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在0.30.5的概率为110. （1）求,a b 的值；（2）若某大学A 专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考A 专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对A 专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学A 专业的调查，记抽到的学生中视力在1.1 1.3的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19.如图，三棱柱111ABCA B C 中，011111,,60AC B A AB AA BAA ⊥=∠=. （1）求证：ABC ∆为等腰三角形；（2）若平面BAC ⊥平面11ABB A ，且AB CB =，求二面角11A CC B --的正弦值.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点与抛物线2y =的焦点重合.（1）求椭圆的C 的方程；（2）设点P 为圆22:2x y Γ+=上任意一点，过P 作圆Γ的切线与椭圆C 交于,A B 两点，证明：以AB 为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标. 21.已知函数()()1ln f x x a x a R x=+-∈. （1）若直线1y x =+与曲线()y f x =相切，求a 的值； （2）若关于x 的不等式()2f x e≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=. （1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1M ，直线l 与曲线C 交于不同的两点,P Q ，求MP MQ +的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-+.（1）当3a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}|2x x ≤-，求实数a 的值.试卷答案一、选择题1-6: DACCBA 7-12: BBCBCA 二、填空题13.214. 13 15. 278 16. 23三、解答题 17.解：（1）)1sin 4sin 1sin sin 223AA A A A π+=+⇒=⇒=； （2）1sin 42S bc A c ===， 由余弦定理有：2222cos 13a b c bc A a =+-=⇒= 由面积公式有：1213S ah h =⇒=. 18.解：（1）0.20.10.50100b b a ⨯=⇒=⇒=； （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，概率为：()()321553338810300,15656C C C P P C C ξξ======， ()()12353333881512,35656C C C P P C C ξξ======，所以其分布列如下：则()568E ξ==. 19.解：（1）设AB 中点为D ，连接1,CD DA ，又设2AB =，则11,12AD AA ==， 又因为11cos 2BAA ∠=，所以1AB DA ⊥， 又因为11111,CA A B CA DA ⊥，所以11A B⊥面1CDA ，所以11AB CD ⊥，又因为CD 为中线，所以ABC∆为等腰三角形；（2）设以AB 中点D 为原点，分别以1,,DA DA DC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()(()(110,0,0,,,1,0,0,D A C B C --，故()()(110,3,3,1,3,0,1,0,CACC CB =-=-=-，设面11ACC 的法向量()1111,,n x y z =，则有()1111103,1,10n x =⇒=-=⎪⎩，同理得：面1BCC 的法向量()23,1,1n =-，设所求二面角为θ，则12123cos 5n n n n θ==，故4sin 5θ=.20.解：（1）由题意有：221263c e x y a c ⎧==⎪⇒+=⎨⎪=⎩； （2）由对称性，猜测该定点为()0,0O ，设该切线方程为y kx b =+， 则有2222d b k ==⇒=+，联立方程有：()22222214260163y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，()()()222212121212211366021OA OB x x y y k x x kb x x b b k k =+=++++=--=+，所以OA OB ⊥，即原点以在AB 为直径的圆上.21.解：（1）()2022111111a x ax f x x a x x x a x --'=--==⇒=-⇒-=， 则有：()00000001ln 1ln 10f x x a x x x x x =+-=+⇒-+=， 令()()1ln 1101h x x x h x x x'=-+⇒=-=⇒=， 则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 又因为()10h =，所以011x a =⇒=-； （2）令()12ln l x x a x x e=+--，则原命题等价于()0l x ≥恒成立， 又()221x ax l x x --'=，设20000110,x ax a x x --==-， 则()l x 在()00,x 上单减，在()0,x +∞上单增，故只需()()00000001120,ln l x l x x x x x x e⎛⎫≥=+--- ⎪⎝⎭，令()()21121ln 1ln m x x x x m x x x x e x ⎛⎫⎛⎫'=+---⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()m x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()10m m e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即11,a e e e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.22.解：（1）22cos sin 11,sin8cos 8x y y x ρθρθρθθ+=⇒+==⇒=；（2）考虑直线方程1x y +=，则其参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线方程有：22118102t ⎛⎫-=⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭，则有12MP MQ t t +=+=23.解：（1）()33,3323,3x x f x x x x x -≥⎧=-+=⎨+<⎩结合函数图像有：[)0,x ∈+∞；（2）由题意知()202f a -=⇒=或6a =-，经检验，两种情况均符合题意，所以2a =或6a =-.。
2018人大附三模物理高清Word版(官方校对)
中国人民大学附属中学2018届高三考前热身练习理科综合能力测试（物理部分） 2018.5.2913．各种不同频率范围的电磁波按频率由大到小的排列顺序是 A ．γ 射线、紫外线、可见光、红外线 B ．γ 射线、红外线、紫外线、可见光 C ．紫外线、可见光、红外线、γ 射线D ．红外线、可见光、紫外线、γ 射线14．如图所示是小明同学画的几种人造地球卫星轨道的示意图，视地球为均匀质量的球体，其中 a 卫星的轨道平面过地轴，b 卫星轨道与地轴夹角为一锐角，c 卫星轨道为与地轴垂直的椭圆。
则 A ．三个卫星都不可能是地球同步卫星 B ．各轨道运行的卫星的速度大小始终不变 C ．如果各卫星质量相等，它们的机械能也相等 D ．c 卫星在远地点的速度可能大于第一宇宙速度15．如图所示，小芳在体重计上完成下蹲动作，下列反映体重计示数随时间变化的t F 图像可能正确的是16．如图所示是某种频率的光常温下从真空向介质入射时几种介质对真空的折射率，由表中数据结合相关知识可以知道A ．这种光在玻璃中的速度大于在水中的速度B ．这种频率的光用同一装置在水中进行双缝干涉实验观测的条纹间距大于在空气中观测的条纹间距C ．光密介质的密度一定大于光疏介质密度D ．这种频率的光从水晶射入空气比从水射入空气更容易发生全反射ABC D17．在均匀介质中坐标原点O 处有一波源做简谐运动，其表达式⎪⎭⎫⎝⎛=t y 2sin 5π，它在介质中形成的简谐横波沿x 轴正方向传播，某时刻波刚好传播到m x 12=处，形成的波形图象如图所示，则A ．这一列波的波速等于s m /12B ．M 点在此后第3s 末的振动方向沿y 轴正方向C ．波源开始振动时的运动方向沿y 轴负方向D ．此后M 点第一次到达m y 5=处所需时间是2s18．如图，M 为半圆形导线框，圆心为M O ；N 是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为N O ；两导线框在同一竖直面（纸面）内；两圆弧半径相等；过直线M O N O 的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。
人大附中2018届高三模拟考试理科数学试题
9．[2018·赣州模拟]如图所示，为了测量 A ， B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测， A ， B 分别在 D 处的北偏西 15 、北偏东 45 方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向， A 在 C 处的北偏西 60 方向，则 A ， B 两处岛屿间的距离为（ ）
A． 20 6 海里
B． 40 6 海里
C． 20 1 3 海里 D．40 海里
10．[2018·衡水金卷]若函数 y f x 图像上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则对称 点 A, B 为函数 y f x 的“孪生点对”，且点对 A, B 与 B, A 可看作同一个“孪生点
2, x 0 对”．若函数 f x 3 恰好有两个“孪生点对”，则实数 a 的值 2 x 6 x 9 x 2 a, x 0
为（ A．0
） B．2 C．4 D．6
3
x2 y 2 11． [2018·渭南质检]已知 F1 ，F2 分别为双曲线 C ： 2 2 1 (a 0, b 0) 的左、 右焦点， a b
第Ⅰ卷
一 、选 择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在 每小题给出的四个 选项中 ，只 有一项是符合题目要求的． 1．[2018·菏泽期末]已知 z 1 3i 2i ，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内所对应的点位 于（ ） B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ）
A．第一象限
B．20 步，60 步
7．[2018·常德期末]一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这 个几何体的外接球的体积为（ ）
人大附三模理综
中国人民大学附属中学2018届高三考前热身练习理科综合能力测试2018.5.29注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间150分钟.2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题纸密封线内的规定位置.3．请将全部答案在答题纸的对应位置上完成，答在试卷上无效.4．考试结束后，只交答题纸.5．可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16第一部分（选择题共120分）本部分共20 小题，每小题6分，共120分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1．二锅头作为京酒的代表，已有八百多年的历史。
以下关于酿造二锅头的叙述中，正确的是A．酵母菌能发酵产生酒精含量为52%的产品B．可用划线法测定发酵接种所用菌液的浓度C．酿酒时的环境温度不会影响酿酒进程D．选用菌种的种类和比例会影响酒的品质2．下列关于细胞内代谢活动和ATP的叙述，不正确的是A．大肠杆菌在核糖体上合成蛋白质需要线粒体提供ATPB．根毛细胞依靠主动转运从土壤中吸收K+时需要ATPC．乳酸杆菌在细胞溶胶进行厌氧呼吸时产生ATPD．蓝藻在细胞溶胶中进行碳反应的过程中不产ATP3．水稻种子在萌发过程中，赤霉素（GA）含量上升，引起α-淀粉酶等多种酶的合成，促进种子的萌发，该过程的信号调控过程如下图。
下列说法错误的是A．GA促进α-淀粉酶合成，水解淀粉以满足种子萌发需求B．GA只能与细胞核中的GA受体结合，从而发挥调控作用C．GA-GA受体复合物引起酶S与D蛋白结合，并促进其水解D．M蛋白可以启动某些GA生理反应相关基因的转录4．在退化荒丘上建成的塞罕坝林场是我国荒漠化治理的典范。
为更好的管理、利用林木资源，科研人员研究了不同砍伐强度对塞罕坝林场落叶松人工林的林木生物量影响，结果如下表所示。
下列相关叙述中错误的是A ．应采用样方法调查不同龄组各砍伐强度下的生物量B ．各龄组的林木生物量随砍伐强度的变化趋势基本一致C ．适当砍伐改变了落叶松种群的水平结构，减少了竞争D ．适度砍伐可以实现经济效益和生态效益的统一5．青霉素酰化酶能对青霉素进行加工，是抗生素生产的关键酶。
2018年北京市民大附中高考数学三模试卷(理科)-教师用卷
2018年北京市民大附中高考数学三模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|x−1x−3≤0}，B={x|x>2}，则A∩B=()A. (2,3)B. (2,3]C. [1,+∞)D. [1,2)【答案】A【解析】解：集合A={x|x−1x−3≤0}={x|1≤x<3}，B={x|x>2}，则A∩B={x|2<x<3}=(2,3)．故选：A．解不等式化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.“a>0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的()A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数，所以f′(x)=3x2+a≥0，所以a≥0，显然，a>0则有函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数，函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数，a可以为0，所以“a>0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的充分而不必要条件．故选：B．求出导数，由题意求出a的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可．此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，导数的应用，是一道基础题．3.复数z满足：(z−i)(2−i)=5；则z=()A. −2−2iB. −2+2iC. 2−2iD. 2+2i【答案】C【解析】解：：(z−i)(2−i)=5；∴z=i+52−i =i+5(2+i)(2−i)(2+i)=2+2i，则z=2−2i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入的a值均为4，输出s的值为160，则输入n的值为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得x=3，k=0，s=0，a=4s=4，k=1不满足条件k>n，执行循环体，a=4，s=16，k=2不满足条件k>n，执行循环体，a=4，s=52，k=3不满足条件k>n，执行循环体，a=4，s=160，k=4由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为160，可得：4>n≥3，所以输入n的值为3．故选：B．模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意可得4>n≥3，即可得解输入n的值．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．5.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=−2x上，则cos2α=()A. −35B. ±35C. 35D. −45【答案】A【解析】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=−2x 上，∴tanα=−2，则cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−41+4=−35，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．6. 在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是直线BN 上的一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( )A. 2B. −1C. 14D. 54【答案】B【解析】解：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵B ，P ，N 三点共线， m +2=1，∴m =−1． 故选：B ．根据向量的加减运算法则，通过AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，把AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，可得m 的值． 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．7. 已知x ，y 满足{x ≥0x +y ≥0x −y ≤k(k 为常数)，若z =x −2y 最大值为8，则k =( )A. 3B. 4C. −3D. 163【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图：由{x −y =k x+y=0，解得A( k2，−k2)， 将z =x −2y 转化为：y =12x −z2， 显然直线过A( k2，−k2)时，z 最大， z 的最大值是：k2+k =8，解得：k =163，故选：D ．由目标函数z =x −2y 的最大值为8，画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值．如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程(组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．8. 过直线l ：y =2x +a 上的点作圆C ：x 2+y 2=1的切线，若在直线l 上存在一点M ，使得过点M 的圆C 的切线MP ，MQ(P,Q 为切点)满足∠PMQ =90∘，则a 的取值范围是( ) A. [−10,10] B. [−√10,√10] C. (−∞,−10]∪[10,+∞) D. (−∞,−√10]∪[√10,+∞) 【答案】B【解析】解：圆C ：x 2+y 2=1，圆心为：(0,0)，半径为1， ∵在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，MQ(P,Q 为切点)满足∠PMQ =90∘， ∴在直线l 上存在一点M ，使得M 到C(0,0)的距离等于√2，∴只需C(0,0)到直线l ：y =2x +a 的距离小于或等于√2， 故√1+4≤√2，解得−√10≤a ≤√10，故选：B ．由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C(0,0)到直线l 的距离小于或等于√2，再由点到直线的距离公式得到关于a 的不等式求解．本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于√2是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2+y 2=1，曲线C 2的参数方程为{x =√2−t y =t(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为______． 【答案】(1,π4)【解析】解：曲线C 1的方程为x 2+y 2=1， 曲线C 2的参数方程为{x =√2−t y =t (t为参数)．∴曲线C 2的普通方程为x +y −√2=0，联立{x 2+y 2=1x +y −√2=0，得x =√22，y =√22，∴ρ=√(√22)2+(√22)2=1，θ=π4，∴曲线C 1与C 2的交点的极坐标为(1,π4). 故答案为：(1,π4).曲线C 2的参数方程消去参数，得曲线C 2的普通方程为x +y −√2=0，联立{x 2+y 2=1x +y −√2=0，得x =√22，y =√22，由此能求出曲线C 1与C 2的交点的极坐标．本题考查两个曲线的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10. 已知等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1=2，a 1，a 2，a 4是等比数列{b n }的前三项，则等差数列{a n }的公差d =______，等比数列{b n }的前n 项S n =______ 【答案】2；2n+1−2【解析】解：由a 1=2，a 1，a 2，a 4是等比数列{b n }的前三项，得a 22=a 1a 4，即(2+d)2=2(2+3d)，解得d =2． ∴a 2=a 1+d =4，则数列{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2．故答案为：2；2n+1−2．由已知列式求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前n 项和公式求等比数列{b n }的前n 项S n ．本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质及前n 项和，是中档题．11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面中有______个直角三角形，侧面中所有直角三角形的面积是______ 【答案】3；4+√2【解析】解：四棱锥的直观图如图所示：S −ABCD ，是正方体的一部分，其中△SAB ，△SAD ，△SBC 是直角三角形；共有3个．正方体的棱长为2，所以3个直角三角形的面积和为：12×2×2+12×2×2+12×1×2√2=4+√2．故答案为：3；4+√2．利用三视图画出直观图，判断直角三角形的个数，求出面积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12. 已知a =2∫x 10dx ，函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x +π4)+a 图象的对称中心可以是______【答案】(kπ2−5π12,1)，k ∈π【解析】解：由图象值A =2，周期T =4×(π3−π12)=4×3π12=π， 即2πω=π，则ω=2， 则f(x)=2sin(2x +φ)， ∵f(π12)=2sin(2×π12+φ)=2， ∴sin(π6+φ)=1，即π6+φ=2kπ+π2，则φ=2kπ+π3， ∵|φ|<π2，∴当k =0时，φ=π3，则f(x)=2sin(2x+π3)，a=2∫x10dx=2×12x2| 01=1，则y=f(x+π4)+a=f(x+π4)+1=2sin[2(x+π4)+π3]+1=2sin(2x+5π6)+1，由2x+5π6=kπ得x=kπ2−5π12，k∈Z，即函数的对称中心为(kπ2−5π12,1)，k∈Z，故答案为：(kπ2−5π12,1)，k∈Z根据条件先求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式以及三角函数的对称性的求解，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．13.某单位安排甲乙丙等5人从星期一到星期五值班，每人值班1天，每天值班1人，其中甲不值周一，乙不值周二，且甲和丙在相邻的两天值班，则不同的安排方案有______种(用数学作答)．【答案】34【解析】解：根据题意，甲和丙在相邻的两天值班，则分4种情况讨论：①，甲和丙安排在周一二值班，由于甲不值周一，则只有甲值周二，丙值周一这1种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的3天值班，有A33=6种情况，此时有1×6=6种安排方法；②，甲和丙安排在周二三值班，则甲丙的安排方法有A22=2种，将剩余的3人全排列，安排在剩下的3天值班，有A33=6种情况，此时有2×6=12种安排方法；③，甲和丙安排在周三四值班，则甲丙的安排方法有A22=2种，乙不值周二，则乙有2种情况，将剩余的2人全排列，安排在剩下的2天值班，有A22=2种情况，此时有2×2×2=8种情况，④，甲和丙安排在周四五值班，则甲丙的安排方法有A22=2种，乙不值周二，则乙有2种情况，将剩余的2人全排列，安排在剩下的2天值班，有A22=2种情况，此时有2×2×2=8种情况，则一共有6+12+8+8=34种；故答案为：34．根据题意，由于甲和丙在相邻的两天值班，据此分4种情况讨论：①，甲和丙安排在周一二值班，②，甲和丙安排在周二三值班，③，甲和丙安排在周三四值班，④，甲和丙安排在周四五值班，分别求出每一种的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查分类计数原理，分类讨论要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．14.设函数f(x)={2x,x<a−x3+3x,x≥a．(1)若a=0，则f(x)的最大值是______(2)若f(x)有最大值，则a的取值范围是______【答案】2；a ≤1【解析】解：函数f(x)={2x,x <a −x 3+3x,x≥a． (1)a =0时，f(x)={2x,x <0−x 3+3x,x≥0， 则f′(x)={2,x <0−3x 2+3,x≥0，当0<x <1时，f′(x)>0，此时函数为增函数， 当x >1时，f′(x)<0，此时函数为减函数， 当x <0时，f(x)<0；∴x =1时，f(x)取得最大值为2； (2)f′(x)={2x,x <a −3x 2+3,x≥a， 令f′(x)=0，则x =±1，若f(x)有最大值，则{2a ≤2a≤1，或{2a ≤−a 3+3a a>1，解得：a ≤1或a ∈⌀； ∴a 的取值范围是a ≤1． 故答案为：(1)2，(2)a ≤1．(1)a =0时，讨论f(x)的图象与性质，求出f(x)的最大值；(2)利用导数研究f(x)的单调性，求出f(x)有最大值时a 的取值范围．本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知acos(B −C)−acos(B +C)=2√3bsinCcosA(Ⅰ)求角A(Ⅱ)若△ABC 的周长为8，外接圆半径为√3，求△ABC 的面积． 【答案】(本小题满分13分)解：(Ⅰ)∵acos(B −C)−acos(B +C)=2√3bsinCcosA ，∴a(cosBcosC +sinBsinC −cosBcosC +sinBsinC)=2√3bsinCcosA ， ∴2asinBsinC =2√3bsinCcosA ，∴由正弦定理可得：sinAsinBsinC =√3sinBsinCcosA ， ∵sinB >0，sinC >0， ∴sinA =√3cosA ，∴tanA =√3，由A ∈(0,π)， 可得：A =π3．(Ⅱ)∵△ABC 的周长为8，外接圆半径为√3， ∴根据正弦定理asinA =2R 得，√32=2√3，解得a =3，∴b +c =5，平方可得b 2+c 2+2bc =25， ∵又由余弦定理可得：9=b 2+c 2−bc ， ∴9=b 2+c 2−bc =25−3bc ，解得：bc =163，∴S △ABC =12bcsinA =12×163×√32=4√33．【解析】(Ⅰ)由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求tanA 的值，结合A 的范围即可得解A 的值．(Ⅱ)由已知根据正弦定理可求a ，由已知可得b 2+c 2+2bc =25，由余弦定理进而可得bc 的值，根据三角形面积公式即可计算得解．此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．16. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位：台)，并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(1)求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数； (2)从乙型号的10个销售数据中任取两个数据，记其中大于等于30的数据有X 个，求X 的分布列和数学期望E(X)(3)若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值(只需写出结论)【答案】解：(1)根据茎叶图，得甲组数据的平均数为10+10+18+14+22+25+27+30+41+4310=24，由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5．(2)X 的可能取值为0，1，2乙型电视机销售数据中有5个数据大于等于30.P(X =0)=∁52∁102=29，P(X =1)=∁51∁51∁102=59，P(X =2)=∁52∁102=29．所以X 的分布列为 X 012P295929X 的数学期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．(3)当b =0时，s 2达到最小值达到最小值．【解析】(1)根据茎叶图，利用平均数的计算公式可得得甲组数据的平均数，即可得出由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数．(2)X 的可能取值为0，1，2.利用超几何分布列的计算公式及其性质即可得出． (3)当b =0时，s 2达到最小值达到最小值．本题考查了茎叶图的性质、超几何分布列的性质、随机变量的数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 在三棱柱A′B′C′−ABC 中，A′A =5，AB =4，A′B =AC =3，AC ⊥BC ，cos∠A′AC =35 (1)求证：面A′C′CA ⊥面A′BC(2)求二面角C −A′A −B 的余弦值；(3)若E ，F 分别为棱A′B′，′BC 上的点，A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且EF//面A′C′CA ，求λμ的最大值．【答案】证明：(1)∵在三棱柱A′B′C′−ABC 中，A′A =5，AB =4，A′B =AC =3，AC ⊥BC ，cos∠A′AC =35， ∴A′C =√AA ′2+AC 2−2×AA ′×AC ×cos∠A ′AC =√25+9−2×5×3×35=4， 在△A′AC 中，A′A 2=AC 2+A′C 2，∴A′C ⊥AC ， ∵AC ⊥BC ，A′C ∩BC =C ，∴AC ⊥面A′BC ，∵AC ⊂面A′C′CA ，∴面A′C′CA ⊥面A′BC ．解：(2)∵A′A =5，AB =4，A′B =3，∴A′B ⊥AB ，∵AC ⊥面A′BC ，∴A′B ⊥AC ，又∵AC ∩AB =A ，∴A′B ⊥面ABC ， 如图过点B 作AC 的平行线建立坐标系， AC ⊥BC ，AB =4，AC =3，∴BC =√7，∴C(√7,0,0)，A(√7,3，0)，A′(0,0，3)，B′(−√7,−3,3)，设面A′AC 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√7,−3,3)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，0)， ∴{n ⃗ ⋅AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√7x +3y −3z =0n⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3y =0，令z =7，得n⃗ =(3,0，√7)， 设面A′AB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√7,−3,3)，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(√7,3，0)， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√7x +3y −3z =0m⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√7x +3y =0，令y =−√7，得m ⃗⃗⃗ =(3,−√7,0)，设所求二面角为α，则|cosα|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=916，而α∈(0,π2)， ∴二面角C −A′A −B 的余弦值cosα=916．(3)∵A ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF⃗⃗⃗⃗⃗ =μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设E(x 1,y 1,z 1)，F(x 2,y 2,z 2)，∴{(x 1,y 1,z 1−3)=λ(−√7,−3,0)(x 2,y 2,z 2)=μ(√7,0,0)，∴E(−√7λ,−3λ,3)，F(3√7,0，0)，∴EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√7+√7λ,3λ,−3)，n ⃗ =(3,0，√7)， 由EF//面A′C′CA ，得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，∴3(√7μ+√7λ)−3√7=0， ∴λ+μ=1，而λ，μ∈(0,1)， ∴λμ≤(λ+μ2)2=14，∴λμ的最大值为14，此时λ=μ=12．【解析】(1)求出A′C =4推导出A′C ⊥AC ，AC ⊥面A′BC ，由此能证明面A′C′CA ⊥面A′BC ．(2)推导出A′B ⊥AB ，A′B ⊥AC ，从而A′B ⊥面ABC ，过点B 作AC 的平行线建立坐标系，利用向量法能求出二面角C −A′A −B 的余弦值．(3)推导出EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√7+√7λ,3λ,−3)，n ⃗ =(3,0，√7)，由EF//面A′C′CA ，得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，由此能求出λμ的最大值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两数值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18. 如图，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为A(0,1)，离心率为√22．(I)求椭圆C 的方程； (II)若过点A 作圆M ：(x +1)2+y 2=r 2(圆M 在椭圆C 内)的两条切线分别与椭圆C 相交于B ，D 两点(B,D 不同于点A)，当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【答案】解：(Ⅰ)∵e =c a=√1−b 2a 2=√22，由题设知{b =1b 2a 2=12⇒{b =1a =√2． 故所求椭圆C 的方程是x 22+y 2=1．(Ⅱ)：设切线方程为y =kx +1，则有，化简得|1−k|√1+k 2=r ，即(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0设两条切线分别的斜率分别为k 1，k 2，于是k 1，k 2是方程(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0的两实根，故k 1⋅k 2=1．设直线BD 的方程为y =mx +t ，由{x 2+2y 2=2y=mx+t得(1+2m 2)x 2+4tmx +2t 2−2=0， ∴x 1+x 2=−4mt1+2m 2，x 1x 2=2t 2−21+2m 2，又k 1k 2=y 1−1x 1⋅y 2−1x 2=1，即(mx 1+t −1)(mx 2+t −1)=x 1x 2⇒(m 2−1)x 1x 2+m(t −1)(x 1+x 2)+(t −1)2=0，⇒(m 2−1)2(t 2−1)1+2m 2+m(t −1)−4mt 1+2m 2+(t −1)2=0，⇒t =−3．∴直线BD 过定点(0,−3)【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b 即可求解椭圆C 的方程．(Ⅱ)设切线方程为y =kx +1，则有(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0，设两条切线分别的斜率分别为k 1，k 2，于是k 1，k 2是方程(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0的两实根，故k 1⋅k 2=1．设直线BD 的方程为y =mx +t ，由{x 2+2y 2=2y=mx+t 得(1+2m 2)x 2+4tmx +2t 2−2=0，又k 1k 2=y 1−1x 1⋅y 2−1x 2=1，即(mx 1+t −1)(mx 2+t −1)=x 1x 2⇒(m 2−1)x 1x 2+m(t −1)(x 1+x 2)+(t −1)2=0，求得t ，推出直线BD 过定点．本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题，考查转化思想以及计算能力．19. 已知函数f(x)=e x (x −1)(x ∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)在x =1处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数g(x)=f(x)−m(x −1)2零点的个数．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=xe x ，∴f′(1)=e ，切点为(1,0)，则切线方程为y −0=e(x −1)，即ex −y −e =0．(Ⅱ) 函数g(x)=f(x)−m(x −1)2零点的个数即是方程f(x)−m(x −1)2=0根的个数，等价于两个函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数加1． ℎ′(x)=e x (x−2)(x−1)2，当x ∈(−∞,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−∞,1)上单调递减；当x ∈(1,2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1,2)上单调递减；当x ∈(2,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(2,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)在(1,+∞)上有最小值为ℎ(2)=e 2.其图象为：当m ∈(−∞,0)或m =e 2时，函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数为1；当m ∈[0,e 2)时，函数ℎ(x)=e xx−1与函数y =m 图象交点的个数为0；当m ∈(e 2,+∞)时，曲函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数为2．综上所述，当m ∈(e 2,+∞)时，时，函数g(x)有三个零点；当m ∈(−∞,0)或m =e 2时时，函数g(x)有两个零点；当m ∈[0,e 2)时时，函数g(x)有一个零点．【解析】(Ⅰ)f′(x)=xe x ，可得f′(1)=e ，切点为(1,0)，利用点斜式即可得出． (Ⅱ) 函数g(x)=f(x)−m(x −1)2零点的个数即是方程f(x)−m(x −1)2=0根的个数，等价于两个函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数加1.ℎ′(x)=e x (x−2)(x−1)2，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、函数零点、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20. 已知曲线C ：xy =1，过C 上一点A 1(x 1,y 1)作斜率k 1的直线，交曲线C 于另一点A 2(x 2,y 2)，再过A 2(x 2,y 2)作斜率为k 2的直线，交曲线C 于另一点A 3(x 3,y 3)，…，过A n (x n ,y n )作斜率为k n 的直线，交曲线C 于另一点A n+1(x n+1,y n+1)…，其中x 1=1，k n =−x n +1x n 2+4x n (x ∈N ∗) (1)求x n+1与x n 的关系式；(2)判断x n 与2的大小关系，并证明你的结论；(3)求证：|x 1−2|+|x 2−2|+⋯+|x n −2|<2．【答案】解：(1)由已知过A n (x n ,y n )斜率为−x n +1x n 2+4x n 的直线为y −y n =−x n +1x n 2+4x n (x −x n )， 直线交曲线C 于另一点A n+1(x n+1,y n+1)所以y n+1−y n =−x n +1x n 2+4x n (x n+1−x n )(2分) 即1x n+1−1x n =−x n +1x n 2+4x n (x n+1−x n )，x n+1−x n ≠0， 所以x n+1=x n +4x n +1(n ∈N ∗)(4分) (2)解：当n 为奇数时，x n <2；当n 为偶数时，x n >2(5分)因为x n −2=x n−1+4x n−1+1−2=−x n−1−2x n−1+1，(6分) 注意到x n >0，所以x n −2与x n−1−2异号由于x 1=1<2，所以x 2>2，以此类推，当n =2k −1(k ∈N ∗)时，x n <2；当n =2k(k ∈N ∗)时，x n >2(8分)(3)由于x n >0，x n+1=x n +4x n +1=1+3x n +1，所以x n ≥1(n =1,2，3，)(9分)所以|x n+1−2|=|x n −2x n +1|=|x n −2||x n +1|≤12|x n −2|(10分) 所以|x n −2|≤12|x n−1−2|≤122|x n−2−2|≤⋯≤12n−1|x 1−2|=12n−1(12分) 所以|x 1−2|+|x 2+2|+⋯+|x n −2|≤1+12+(12)2+⋯+(12)n−1=2−(12)n−1<2(14分)【解析】(1)过A n (x n ,y n )斜率为−x n +1x n 2+4x n 的直线为y −y n =−x n +1x n 2+4x n (x −x n )，A n+1在直线上，化简即可求x n+1与x n 的关系式；(2)利用(1)的结论，分当n 为奇数时，判断x n <2；当n 为偶数时，判断x n >2，然后推理证明的结论；(3)利用x n+1=x n+4x n+1=1+3x n+1，再利用放缩法，推出|x n−2|≤12n−1，再证明|x1−2|+|x2−2|+⋯+|x n−2|<2．本题考查直线的斜率，不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．。
北京市中国人民大学附属中学2019届高三数学下第三次调研考试试题理
∵AB＝AA1＝4，AM＝A1B1＝2，
`∴BM＝AB1＝2 5.
AB·AM 4 5
设 AB1∩BM＝N，则 AN＝
＝.
BM 5
65 ∴B1N＝AB1－AN＝ .
14.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai （ i 1,2,3,4 ），此四边形内任一点 P 到
-3-
精品文档，欢迎下载！
第
i
条边的距离记为
hi
（
i 1,2,3,4
）， 若
a1 a2 a3 a4 k 1234
，则
h1
2h2
3h3
4h4
2S k
．类比以上性质，体积为 V
-7-
精品文档，欢迎下载！
(1)证明 取 AA1 的中点 M，连接 BM，PM， ∴PM∥AD∥BC，∴BM⊂平面 PBC. ∵AA1⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD，∴AA1⊥BC， ∵ABCD 是正方形，∴AB⊥BC， 又 AB⊂平面 ABB1A1，AA1⊂平面 ABB1A1，AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面 ABB1A1，∵AB1⊂平面 ABB1A1， ∴BC⊥AB1. ∵AB＝AA1＝4，∠BAM＝∠B1A1A＝90°， AM＝B1A1＝2， ∴△ABM≌△A1AB1，∴∠MBA＝∠B1AA1， ∵∠BAA1＝∠B1A1A＝90°，∴∠MBA＋∠BAB1＝90°， ∴BM⊥AB1， ∵BM⊂平面 PBC，BC⊂平面 PBC，BM∩BC＝B， ∴AB1⊥平面 PBC.
y2
sin
3
,
f
( )
y1
y2
sin
sin
3
3
sin
6
Q 0 , 2
26
2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品
x2
5． 已知实数 x、y 满足约束条件 y 2 ，则 z 2 x 4y 的最大值为 （
）．
xy6
A．24
B
．20
C
．16
D
． 12
6．已知向量 | a | 10,| b | 12 , 且 a b 60 ，则向量 a 与 b 的夹角为（
）
A． 600
B
． 1200
C
．1350
D
．150 0
7．下列命题错误的是（
17. （本小题满分 14 分）
18. （本小题满分 14 分） 1
P
E
D C
O
A
B
19. （本小题满分 14 分）
20. （本小题满分 14 分）
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试 ( 理科 ) 数学试题参考答案
一、选择题 : （本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．） 1．D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算．
20．（本小题满分 14 分） 设 { an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列， 且 a1 b1 1 ，a3 b5 21 ，
a5 b3 13
（Ⅰ）求 { an} ， { bn} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an bn
的前 n 项和 Sn ．
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试
）
A．命题“若 m 0 ，则方程 x2 x m 0 有实根”的逆否命题为： “若方程
x2 x m 0 无实根，则 m 0 ”。
B．“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件。
C．命题“若 xy 0 ，则 x, y 中至少有一个为零”的否定是： “若 xy 0，则 x, y 都 不为零”。 D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ；则 p 是 : x R ，均有 x2 x 1≥ 0 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
人大附中2018届高三数学（理科）三模
2018.5.28 一、选择题（每小题5分，共40分）
1.已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞- B.[1,1]- C.[1,)+∞ D.(,1][1,)-∞-+∞
2.若1==a b ，(2)+⊥a b a ，则向量a 与b 的夹角为（ ）
A.30︒
B.60︒
C.120︒
D.150︒
3.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为8，则图中判断框内①处可以填（ ）
A.4k >
B.4k ≥
C.4k <
D.4
k ≤
4.如图，一个空间几何体的三视图均是直角边为1的等腰直角三角形，那么这个几何体的表面积为（ ）
A.1
6
5.“0a b +=”的充分不必要条件是（ ）
A.a b =-
B.22a b =
C.11
0a b
+= D.1a b e e ⋅=
6.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，小强问数学细菌将病毒全部杀死至少需要（ ） A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟
7.若双曲线22122:1(0)x y C b a a b -=>>与22
222:1y x C a b
-=的离心率分别为1e 和2e ，则下列说法正
确的是（ ） A.2212e e = B.
2
212
11
1e e += C.1C 与2C 的渐近线相同 D.1C 与2C 的有8个公共点 8.如图，点P 在边长为1的正方形的边上，从原点O 出发，沿逆时针方向作速度为1的匀速运动，记点P 的运动时间为x ，点P 到原点O 的距离为()f x ，小强数学则关于函数()f x 的描述正确的是（ ）
A.()f x 为偶函数
B.()f x 恰有一个零点
C.()f x 的最小正周期是4
D.
()f x 在[6,7]上单调递增
二、填空题（每小题5分，共30分）
9.若
21a i i
i ai
+-=
-，则实数a 的值为_______. 10.若曲线C 的极坐标方程满足()()ρθρπθ=+，则曲线C 关于_______对称.（请填写具体的
对称中心或对称轴）
11.已知点(,)P x y 满足条件10,210,3,x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则点P 到原点O 的最大距离为_______.
12.函数()[sin()sin ][sin()sin ]66
f x x x x x ππ
=+++-的最小正周期为_______，
最大值为______. 13.从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，
要求服务队中至少有1名女生，共有_______种不同的选法.（用数字作答）
14.“现代五项”是由现代奥林扑克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c （a b c >>，且,,a b c N *∈），每位选手各项得分之和为最终得分.在一次比赛中，只有甲、乙、丙三人参加了“现代五项”，甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名.则a =_______，游泳比赛的前三名是______.小强数学
三、解答题（共80分）
15.（本题13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2c =，3
C π
=.
（I ）若ABC ∆a ；
（II ）若4
3
a =，求sin B .
16.（本题13分）有一款击鼓小游戏规则如下:每盘游戏都需需要要诺鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得50分,没有出现音乐则扣除150分(即获得一150分).设每次击鼓出现音乐的概率为1
2
,且各次击鼓出现音乐相互独立.
（I ）玩一盘游戏,至少出现一次音乐的概率是多少? （II ）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （III ）许多玩过这款游戏的人都发现,玩的盘数越多,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析其中的道理.
17.（本题14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，SAD 为正三角形.侧面SAD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为棱AD 、SB 的中点. （I ）求证：//AF 平面SEC ；
（II ）求证：平面ASB ⊥平面CSB ；
（III ）在棱SB 上是否存在一点，使得BD ⊥平面MAC ？若存在，求BM
BS
的值；若不存在，请说明理由.
18.（本题14分）已知椭圆22
22:1(0)x y W a b a b
+=>>
焦点为顶点的四边形的周长为（I ）求椭圆W 的标准方程及焦点坐标；
（II ）过椭圆W 的长轴上的任意一点（不含端点）作x 轴的垂线，交椭圆于A 、B 两点,过椭圆上不同于点A 、B 的任意一点P ，作直线PA 、PB 分别交x 轴于M 、N 两点.证明：点M 、N 的横坐标之积为定值.
19.（本题13分）已知函数2()ln f x x ax x =--+在点(1,(1))f 处的切线斜率为负值. （I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：12()()32ln 2f x f x +>-.
20（本题13分）若无穷数列{}n a 满足：1a 是正实数，当2n ≥时，
{}1121max ,,,n n n a a a a a ---=⋅⋅⋅，则称{}n a 是“Y -数列”.已知数列{}n a 是“Y -数列”.
（I ）若11a =，写出4a 的所有可能值；
（II ）证明：{}n a 是等差数列当且仅当{}n a 单调递减；
（III ）若存在正整数T ，小强数学对任意正整数n ，都有T n n a a +=，证明：1a 是数列{}n a 的最大项.。