北京市中国人民大学附属中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学附加题试题+Word版含解析
北京市丰台区高一数学下学期期末考试试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
丰台区2016—2017学年度第二学期期末练习高一数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 如果，那么下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式的性质，如果，则.本题选择A选项.2. 等比数列中，，，则A. B. 4 C. D. 8【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，成等比数列，则： .本题选择B选项.3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的等于A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】流程图等价于分段函数：，则： .本题选择B选项.点睛：在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．4. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是A. 96B. 128C. 140D. 152【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，底面积为等腰三角形，其中底为6，底边上的高为4，三棱柱的高为8，该几何体的体积为： .本题选择A选项.5. 在△中，角，，的对边分别为，，，且，，则△一定是...A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=ac，化为(a−c)2=0，解得a=c.又B=60°，可得△ABC是等边三角形，本题选择C选项.6. 二次函数的部分对应值如下表：则一元二次不等式的解集是A. B.C. D. ...【答案】C【解析】由题意可知：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为−2,3(a<0)，则ax2+bx+c>0解为−2<x<3，故不等式的解集为{x|−2<x<3}，本题选择C选项.点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．7. 在数列中，，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，数列是首项为，公差的等差数列，则通项公式：，且：，据此可得：本题选择A选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．8. 已知各项均为正数的等比数列中，如果，那么这个数列前3项的和的取值X 围是A. B. C. D.【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则：，当且仅当时等号成立，即这个数列前3项的和的取值X围是.9. 已知n次多项式，在求值的时候，不同的算法需要进行的运算次数是不同的．例如计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法运算，按这种算法进行计算的值共需要9次运算（6次乘法运算，3次加法运算）．现按右图所示的框图进行运算，计算的值共需要次运算．A.B.C.D.【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图表示的是秦九韶算法，由秦九韶算法的特征结合所给多项式的特点可得计算的值共需要2n次运算，其中加法、乘法运算各n次.本题选择B选项.10. 如图，在正方体中，点在正方体表面运动，如果，那么这样的点共有...A. 2个B. 4个C. 6个D. 无数个【答案】C【解析】设点A到直线的距离为，则满足题意的点位于以为轴，以位半径的圆柱上，即满足题意的点为圆柱与正方体的交点，由几何关系可得，交点的个数为个.本题选择C选项.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11. 从某企业生产的某种产品中抽取100件样本，测量这些样本的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85) [85，95)[95，105)[105，115)[115，125]频数 6 26 38 22 8则样本的该项质量指标值落在[105，125]上的频率为_____．【答案】0.3【解析】由频率计算公式可得，样本的该项质量指标值落在[105，125]上的频率为 .12. 函数的最大值是_____．【答案】1...【解析】题中所给的二次函数开口向下，对称轴为，则函数的最大值为： .13. 如图，样本数为的三组数据，它们的平均数都是，频率条形图如下，则标准差最大的一组是_____．【答案】第三组【解析】由题意，标准差越大，数据的波动越大，观察题中所给数据，第一组和第二组均没有波动，则标准差最大的一组是第三组.点睛：D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．14. 已知两条不重合的直线和两个不重合的平面,，给出下列命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．上述结论中，正确结论．．．．的序号是_____（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③【解析】由线面关系逐一考查所给的各个命题：①如果，，那么不一定有，该命题错误；②如果，，那么，该命题正确；③如果，，那么，该命题正确；④如果，，那么不一定有，该命题错误．综上，正确的结论为②③ .15. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离．观察者找到了一个点，从可以观察到点；找到了一个点，从可以观察到点；找到了一个点，从可以观察到点．并测量得到图中一些数据，其中，，，，，，则_____．【答案】【解析】由特殊三角形的特征可得：，在△ABC中应用余弦定理：.16. 数列满足，，其前项和为，则（1）_______；（2）_______．【答案】 (1). 4 (2).【解析】由递推关系可得：，两式做比值可得：，则：，由可得：，...则奇数项、偶数项分别为首项为1，公比为2的等比数列，则：点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. 在△中，角，，的对边分别为，，，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果，求的值及△的面积．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)由正弦定理结合题意可得;(2)由余弦定理结合三角形的面积公式可得.试题解析：（Ⅰ）因为以及，所以，因为所以（Ⅱ）因为以及所以，因为，所以因为，，所以所以.18. 某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生座谈，求每组抽取的学生人数；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值在第几组（只需写出结论）．【答案】（1）;（2）从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生;(3) 第3组.【解析】试题分析：(1)由小长方形面积和为1列方程可得；(2)由分层抽样比可得从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生；...(3)由频率分布直方图计算平均值的特点结合中点值的特征可得随机抽取学生所得测试分数的平均值在第三组.试题解析：（1）因为各组的频率之和为1，，解得（2）由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为．所以，每组抽取的人数分别为：第组：；第组：；第组：．所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生．（3）第3组点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点是棱的中点，，平面平面．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求证：平面；(Ⅲ) 设,试判断平面⊥平面能否成立；若成立，写出的一个值（只需写出结论）．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析(Ⅲ) 不能成立.【解析】试题分析：(1)由题意可得EO// PC，利用线面平行的判定定理可得PC//平面BDE；(2)利用题意证得PC⊥AC,PC⊥BD，结合线面垂直的判定定理即可证得结论；(3)由空间关系可知面面垂直的关系不能成立.试题解析：证明：（Ⅰ）证明：设，连接，因为底面为正方形，所以是的中点，又点是棱的中点，所以EO是的中位线，所以EO// PC因为EO平面，平面，所以PC//平面BDE；（Ⅱ）证明：(法一）在和中，因为，，，所以≌，又点是棱的中点，所以，所以，因为平面平面，平面平面，平面所以平面，所以EO⊥AC,EO⊥BD,因为EO//PC所以PC⊥AC,PC⊥BD,又AC∩BD=O所以PC⊥平面ABCD．（法二）连接PO因为底面ABCD是正方形，所以O是BD的中点，BD⊥AC,又PB=PD,所以PO⊥BD,又PO∩AC=O,PO平面PAC,AC平面PAC所以BD⊥平面PAC又OE平面PAC, 所以BD⊥OE，因为平面平面，平面平面，平面所以平面，所以EO⊥AC,EO⊥BD,因为OE∥PC,所以PC⊥AC,PC⊥BD,又AC∩BD=O所以所以PC⊥平面ABCD．(Ⅲ) 不能成立20. 设数列满足，；数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）把数列和的公共项．．．从小到大排成新数列,试写出，，并证明为等比数列．...【答案】（Ⅰ），; （Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：(1)累加求和可得，结合的通项公式可得(2)由(1)的结论可知，，结合题意和(1)中的结果即可证得数列为等比数列. 试题解析：（Ⅰ）由已知，当时，．又因为，所以数列的通项公式为．因为，所以，两式做差可得，且也满足此式，所以.（Ⅱ）由，，可得，.假设,则.所以,不是数列中的项；，是数列中的第项. 所以，从而.所以是首项为,公比为的等比数列.。
北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末考试高一
北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos A ==. 因为πA B C ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分 由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin b C B c ==………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤， 所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分 当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分 当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分 如果5k a t ==， 当1k =时，5p =；当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =，即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。
2016-2017年北京市101中学高一(下)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年北京市101中学高一（下）期末数学试卷一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4x+3＜0}，N＝{x|3﹣x＞1}，则M∩N＝（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜2}C．∅D．{x|x＜3}2．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90B．100C．180D．3003．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9B．18C．20D．354．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19B．20C．21.5D．235．（5分）在区间[0，2]上随机取一个实数x，若事件“3x﹣m＜0”发生的概率为，则实数m＝（）A．1B．C．D．6．（5分）已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11B．3C．4D．27．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sin x＞sin y D．x3＞y38．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝．则下列结论中正确的个数为（）①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④△AEF的面积与△BEF的面积相等．A．1B．2C．3D．4二、填空题共6小题．9．（5分）已知函数f（x）＝x+﹣3（x＞0），则f（x）的最小值是．10．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．11．（5分）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是．（填序号）①对立事件；②不可能事件；③互斥但不对立事件；④对立不互斥事件．12．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．13．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊆平面β，则下列四个命题：其中正确命题的序号是①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．14．（5分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P的直线上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝．三、解答题共5小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（10分）游乐场推出了一项趣味活动，参加活动者需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶，假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．16．（10分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC ⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．求证：（1）VB∥平面MOC；（2）OC⊥平面VAB．17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．18．（10分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，求证：（1）平面MEN∥平面A1BC；（2）A1C⊥C1D；（3）平面A1EC⊥平面A1CD．19．（10分）已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）当a＝5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2016-2017学年北京市101中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4x+3＜0}，N＝{x|3﹣x＞1}，则M∩N＝（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜2}C．∅D．{x|x＜3}【解答】解：M＝{x|1＜x＜3}，N＝{x|x＜2}；∴M∩N＝{x|1＜x＜2}．故选：B．2．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90B．100C．180D．300【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600＝9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．3．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9B．18C．20D．35【解答】解：初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝2 v＝1×2+2＝4i＝1 v＝4×2+1＝9i＝0 v＝9×2+0＝18i＝﹣1 跳出循环，输出v的值为18．故选：B．4．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19B．20C．21.5D．23【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B．5．（5分）在区间[0，2]上随机取一个实数x，若事件“3x﹣m＜0”发生的概率为，则实数m＝（）A．1B．C．D．【解答】解：解不等式3x﹣m＜0，可得x＜，以长度为测度，则区间长度为，又在区间[0，2]上，∴区间长度为2，在区间[0，2]上随机取一个实数x，若事件“3x﹣m＜0”发生的概率为，可得：，则m＝1．故选：A．6．（5分）已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11B．3C．4D．2【解答】解：由已知得到平面区域如图：设z＝2x+y，则y＝﹣2x+z，由它在y轴的截距最小，得到z最小，解得A（2，1）由图可知当直线过A（2，1）时，z最小，所以最小值为5；故选：B．7．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sin x＞sin y D．x3＞y3【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．取x＝2，y＝﹣1，不成立；B．取x＝0，y＝﹣1，不成立C．取x＝π，y＝﹣π，不成立；D．由于y＝x3在R上单调递增，因此正确故选：D．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝．则下列结论中正确的个数为（）①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④△AEF的面积与△BEF的面积相等．A．1B．2C．3D．4【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：C．二、填空题共6小题．9．（5分）已知函数f（x）＝x+﹣3（x＞0），则f（x）的最小值是4﹣3．【解答】解：函数f（x）＝x+﹣3（x＞0）≥2﹣3＝4﹣3，当且仅当x＝2时，上式取得等号，则f（x）的最小值为4﹣3．故答案为：4﹣3．10．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，．方差＝4．＝2．所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．故答案为2．11．（5分）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是③．（填序号）①对立事件；②不可能事件；③互斥但不对立事件；④对立不互斥事件．【解答】解：根据题意，把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，又事件“乙取得红牌”与事件“丙取得红牌”也是可能发生的，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不是对立事件，故两事件之间的关系是互斥而不对立，故答案为：③12．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为＝；故答案为：．13．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊆平面β，则下列四个命题：其中正确命题的序号是①③①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β，l⊥β，∴l⊥m，故①正确；当α⊥β，l∥β或l⊂β，∴l与m位置关系不确定，故②不正确；当l∥m，则m⊥α，∴α⊥β，故③正确；当l⊥m，则α∥β或α∩β，故④不正确，综上可知①③正确，故答案为：①③14．（5分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P的直线上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝3．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x+y﹣2＝0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，而R′Q′＝RQ，由得Q（﹣1，1）由即R（2，﹣2），则|AB|＝|QR|＝＝3，故答案为：3．三、解答题共5小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（10分）游乐场推出了一项趣味活动，参加活动者需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶，假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）两次记录的数为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个，∴小亮获得玩具的概率为；（Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为；小亮获得饮料的概率为1﹣﹣＝，∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．16．（10分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC ⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．求证：（1）VB∥平面MOC；（2）OC⊥平面VAB．【解答】证明：（1）因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB．又因为OM⊂平面MOC，VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC．（2）因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，平面ABC∩平面VAB＝AB，所以OC⊥平面VAB．17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）＝1，∴a＝0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）＝0.12，由30×0.12＝3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）＝0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）＝0.88＞85%；则x＝2.5+0.5×＝2.9吨18．（10分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，求证：（1）平面MEN∥平面A1BC；（2）A1C⊥C1D；（3）平面A1EC⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）因为M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，所以MN∥A1C，ME∥A1B．又因为MN∩ME＝M，所以平面MEN∥平面A1BC．（2）因为BC⊥平面CDD1C1，C1D⊂平面CDD1∁l，所以BC⊥C1D．又在平面CDD l∁l中，C1D⊥CD1，BC∩CD1＝C，所以C1D⊥平面BCD1A l，又因为A1C⊂平面BCD l A l，所以A1C⊥C1D．（3）连结A1D，取A1D中点F，取A1C中点O，连结AF，OF，OE，则AF⊥A1D．因为CD⊥平面A1AD，AF⊂平面A1AD，所以AF⊥CD，又C1D∩A1D＝D，所以AF⊥平面A1CD，因为OF CD，EA CD，所以OF EA，所以四边形OF AE为平行四边形，所以EO∥AF，所以EO⊥平面A1CD，又EO⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面A1CD．19．（10分）已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）当a＝5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x）＝log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4＝＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．即log2（+a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x＝，若x＝﹣1是方程①的解，则+a＝a﹣1＞0，即a＞1，若x＝是方程①的解，则+a＝2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣＝设1﹣t＝r，则0≤r≤，＝＝，当r＝0时，＝0，当0＜r≤时，＝，∵y＝r+在（0，）上递减，∴r+≥＝，∴＝＝，∴实数a的取值范围是a≥．。
2016-2017学年北京师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2016-2017学年北京师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若实数，满足，则下列不等式一定成立的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:灵活选择方法逐一判断正误.详解：对于选项A,令a=3,b=2,则，所以选项A不一定成立；对于选项B,令a=0,b=-1,则没有意义，所以选项B不一定成立；对于选项C,令a=0,b=-2,则，所以选项C不一定成立；对于选项D,是增函数，因为a>b,所以.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查不等式的基本性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和思维的灵活性.(2)类似这种不等关系真假的判断，方法比较灵活，有的可以举反例，有的可以直接证明，要结合具体题目灵活选择.2．对变量，由观测数据理据得散点图：对变量，有观测数据，的散点图，由这两个散点图可以判断（）．A. 变量与正相关，与正相关B. 变量与正相关，与负相关C. 变量与负相关，与正相关D. 变量与负相关，与负相关【答案】C【解析】试题分析：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y 负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关【考点】散点图3．从甲、乙两个城市分别随机抽取台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】甲的平均数甲= （5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43）=，乙的平均数乙= （10+12+18+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48）=，所以．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙，故选：B．4．执行下面的程序框图，如果输入，那么输出的的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】：由程序框图可顺次得数据如下：，输出为【考点定位】本题考查程序框图的识别与运算，要注意控制变量在运算过程中的作用，题目中较之以前练习过的题目多出一步比较运算，使试题具有一定难度5．公差不为零的等差数列的第项、第项、第项恰好构成等比数列，则它的公比为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为,由等比数列的性质可得，整理可得，6．下列命题中正确的是（）．A. 若两条直线都平行与同一个平面，则这两条直线平行B. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C. 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面D. 若这两条直线垂直于同一个平面，则这两个直线共面【答案】D【解析】（A）平行于同一平面的两条直线相交、平行或异面，故错；（B）当直线垂直于已知平面时，过该直线的无数个平面与已知平面都垂直，故错；（C）该直线可能在平面内，故错；故选D。
2016-2017年北京大学附中荣誉班高一(下)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年北京大学附中荣誉班高一（下）期末数学试卷一、填空题（每空4分，共10空，40分）1．（4分）在△ABC中，，，A＝30°，则边长c＝．2．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n+1，则a2017＝．3．（4分）已知二维直角坐标系中的点A坐标为（a，a2﹣3a+2），a∈R，则A不可能在第象限．4．（4分）由，x＞0的最小值是2，，x＞0的最小值是，，x＞0的最小值是，可以归纳出，x＞0的最小值是．5．（4分）设地球的半径长度为单位1，地球表面上的两点A、B位于北纬45°的纬线圈上，其经度分别为东经150°、西经120°，则这两个点的球面距离为．6．（4分）如图为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为：．7．（4分）对于直线a、b和平面α，以下四个命题中正确的个数为个：①若a∥α，b∥a，则b∥α；②若a⊂α，b∩α＝{A}，则a与b异面；③若a∥b，b⊥α，则a⊥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α．8．（4分）直线ax+9y﹣6＝0与直线x+ay﹣2＝0平行，则a＝．9．（4分）在平面直角坐标系中，动点A到点（0，﹣3）的距离不大于2，则A到原点距离的最大值为．10．（4分）在平面直角坐标系中，已知圆A过直线y＝x和圆x2+y2＝4的交点，且被交点所在的弦在圆A中所对的圆心角为，则圆A的标准方程为．二、解答题（共6题，70分，其中第6题为附加题．只写结果不写过程不得分）11．（12分）设数列{a n}的首项a1＝a≠﹣2，且满足关系：，（1）求a2，a3．（2）设b n＝a2n﹣1+2，证明{b n}为等比数列并求其通项公式．（3）求数列{a n}的通项公式．12．（12分）已知函数的最小值为3．（1）求a的值．（2）解不等式f（x）＞5．13．（12分）已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED ⊥平面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥平面AED．（注意排除重合情况）（2）若BF＝BD＝a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．14．（11分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE ＝2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．15．（13分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝2，BC＝4．E是PD的中点，（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；（2）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．16．（10分）在以下两个题目当中任选1题作答（解答时需注明所选题目）：（1）写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）（2）证明半径已知的球面上两个定点之间所构成的圆弧（圆弧位于已知球表面）中，大圆所对应的劣弧最短．（提示：取倒数、利用锐角θ满足sinθ＜θ＜tanθ证明．此题如果用导数证明将酌情减分）2016-2017学年北京大学附中荣誉班高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每空4分，共10空，40分）1．（4分）在△ABC中，，，A＝30°，则边长c＝2或．【解答】解：∵，，A＝30°，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，∵a＜b，∴30°＝A＜B，可得：B＝60°或120°当B＝60°时，C＝90°，则c＝＝2，当b＝120°时，C＝30°，则c＝a＝．故答案为：2或．2．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n+1，则a2017＝﹣22016．【解答】解：∵S n＝2a n+1，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n+1﹣（2a n﹣1+1），化为：a n＝2a n．﹣1n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为﹣1，公比为2．则a2017＝﹣22016．故答案为：﹣22016．3．（4分）已知二维直角坐标系中的点A坐标为（a，a2﹣3a+2），a∈R，则A不可能在第三象限．【解答】解：令f（a）＝a2﹣3a+2＝﹣，a＞0时，A可以在第一，四象限或在x轴的正半轴上，a＝0时，A在y轴的上半轴上，a＜0时，A在第二象限，故A不可能在第三象限，故答案为：三．4．（4分）由，x＞0的最小值是2，，x＞0的最小值是，，x＞0的最小值是，可以归纳出，x＞0的最小值是．【解答】解：由，x＞0的最小值是＝2，，x＞0的最小值是3＝，，x＞0的最小值是4＝，可以归纳出，x＞0的最小值是（n+1）＝．故答案为：．5．（4分）设地球的半径长度为单位1，地球表面上的两点A、B位于北纬45°的纬线圈上，其经度分别为东经150°、西经120°，则这两个点的球面距离为．【解答】解：设北纬45°纬线圈圆心为M，地球球心为O，∵A，B在北纬45°纬线圈上，∴∠AOM＝∠BOM＝45°，又OM⊥AM，OM⊥BM，∴AM＝BM＝OA＝，∵A，B经度分别为东经150°、西经120°，∴∠AMB＝90°，∴AB＝AM＝1，∴△OAB是边长为1的等边三角形，∴AB的球面距离为×OA＝．故答案为：．6．（4分）如图为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为：．【解答】解：由已知三视图得到几何体是正方体挖去一个圆锥，其中正方体的棱长为2，圆锥的底面直径为2，高为2，由此得到几何体的体积为；故答案为：．7．（4分）对于直线a、b和平面α，以下四个命题中正确的个数为③④个：①若a∥α，b∥a，则b∥α；②若a⊂α，b∩α＝{A}，则a与b异面；③若a∥b，b⊥α，则a⊥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α．【解答】对于①，若a∥α，b∥a，则b与α的位置关系不能确定，故错；对于②，若a⊂α，b∩α＝{A}，当A∈a时，a与b相交，共面，故错对于③，若a∥b，b⊥α，则a⊥α，根据线面垂直的判定可得③正确；对于④，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α．根据线面平行的判定可得④正确：故答案为：③④8．（4分）直线ax+9y﹣6＝0与直线x+ay﹣2＝0平行，则a＝﹣3．【解答】解：由a2﹣9＝0，解得a＝±3．经过验证a＝3时两条直线重合，舍去．∴a＝﹣3．故答案为：﹣3．9．（4分）在平面直角坐标系中，动点A到点（0，﹣3）的距离不大于2，则A到原点距离的最大值为5．【解答】解：由题意，动点A到点（0，﹣3）的距离不大于2，可得方程为x2+（x+3）2≤4，即以点（0，﹣3）为圆心，半径r＝2．圆上一点到原点距离的最大值为：3+2＝5．故答案为：5．10．（4分）在平面直角坐标系中，已知圆A过直线y＝x和圆x2+y2＝4的交点，且被交点所在的弦在圆A中所对的圆心角为，则圆A的标准方程为（x﹣）2+（y+）2＝16或（x+）2+（y﹣）2＝16．【解答】解：由题意，圆A过直线y＝x和圆x2+y2＝4的交点，那么圆心在直线y＝﹣x上，弦长d＝2，设圆心（a，﹣a），被交点所在的弦在圆A中所对的圆心角为，∴r＝4圆心到直线x﹣y＝0的距离d＝＝，解得a＝．半径r＝4．∴得圆A的标准方程为（x﹣）2+（y+）2＝16或（x+）2+（y﹣）2＝16．故答案为：（x﹣）2+（y+）2＝16或（x+）2+（y﹣）2＝16．二、解答题（共6题，70分，其中第6题为附加题．只写结果不写过程不得分）11．（12分）设数列{a n}的首项a1＝a≠﹣2，且满足关系：，（1）求a2，a3．（2）设b n＝a2n﹣1+2，证明{b n}为等比数列并求其通项公式．（3）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：∵数列{a n}的首项a1＝a≠﹣2，且满足关系：，∴a2＝a1+1＝a+1．a3＝2a2＝2（a+1）．（2）证明：n≥2时，b n＝a2n﹣1+2＝2a2n﹣2+2＝2（a2n﹣3+1）+2＝2（a2n﹣3+2）＝2b n﹣1，b1＝a1+2＝a+2≠0．∴{b n}为等比数列，公比为2，首项为a+2．∴b n＝（a+2）•2n﹣1．（3）解：由（2）可得：b n＝a2n﹣1+2＝（a+2）•2n﹣1．∴a2n﹣1＝（a+2）•2n﹣1﹣2，（n≥2）．a2n＝a2n﹣1+1＝a2n﹣1+1＝（a+2）•2n﹣1﹣1，∴a n＝．12．（12分）已知函数的最小值为3．（1）求a的值．（2）解不等式f（x）＞5．【解答】解：（1）f（x）＝x2+＝x2++≥3＝3，当且仅当x＝时取等号，∵f（x）＝x2+的最小值为3，∴3＝3，解得a＝2，（2）∵f（x）＝x2+＞5，∴x3﹣5x+2＞0，∴x3﹣4x﹣x+2＞0，即x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝（x﹣2）（x+1+）（x+1﹣）＞0，即（x﹣2）（x+1﹣）＞0，解得x＞2或0＜x＜﹣1，故不等式的解集为（0，﹣1）∪（2，+∞）13．（12分）已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED ⊥平面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥平面AED．（注意排除重合情况）（2）若BF＝BD＝a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE，∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF＝B，∴面BCF∥面ADE；（2）解：连接AC，AC∩BD＝O，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD＝D，∴AO⊥面BDEF，∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高．由ABCD是菱形，∠BAD＝，得△ABD为等边三角形，由BF＝BD＝a，得AD＝a，AO＝，∴•a2•＝．14．（11分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE ＝2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】解（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB＝DE，∴GF＝AB．∴四边形GF AB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．15．（13分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝2，BC＝4．E是PD的中点，（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；（2）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），E（0，2，1），P（0，0，2）．∴＝（2，0，0），＝（0，4，0），＝（0，0，2），＝（﹣2，0，0），＝（0，2，1），＝（2，4，0）．（1）设平面AEC的法向量＝（x，y，z），令z＝1，则＝（x，y，1）．由即，解得∴＝（1，，1）．平面ABC的法向量＝（0，0，2）．cos＝＝＝．所以二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值是．（2）因为平面AEC的法向量是＝（1，，1），而＝（﹣2，0，0）．所以cosθ＝＝＝﹣．直线CD与平面AEC的正弦值．16．（10分）在以下两个题目当中任选1题作答（解答时需注明所选题目）：（1）写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）（2）证明半径已知的球面上两个定点之间所构成的圆弧（圆弧位于已知球表面）中，大圆所对应的劣弧最短．（提示：取倒数、利用锐角θ满足sinθ＜θ＜tanθ证明．此题如果用导数证明将酌情减分）【解答】选（1）．解：（1）求证：对于正数：a，b，c∈N+，则：，证明：只要证明对于正数：a，b，c∈N+，a3+b3+c3≥3abc成立即可．由于：a3+b3+c3﹣3abc，＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2﹣3abc+c3，＝（a+b+c）[（a+b）2﹣（a+b）c+c2]﹣3ab（a+b+c），＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc），＝（a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]≥0，故：a3+b3+c3≥3abc，所以：＝3，即：．。
(优辅资源)版北京市西城区度第二学期期末考试高一数学试卷
北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1[,)+∞2执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数()f x _______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分13分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.19．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4C =-. （Ⅰ）如果3b =,求c 的值；（Ⅱ）如果c =sin B 的值.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N .吨a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21na nb =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，求实数λ的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数2()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．22．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1, ,25, .nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C 10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin 8a C A c ==. ……………………10分所以cos 8A ==. 因为πABC ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin 4b C Bc ==. ………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a -<<-； ………………………12分当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a-<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分 如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分精品文档试卷如果5ka t==，当1k=时，5p=；当2k≥时，由数列{}na的定义，得1ka-能被5整除，…，得1a p=被5整除；所以当且仅当*15()a p r r==∈N时，5t=. ………………………13分这与题意不符.所以当*15()a r r≠∈N时，数列{}na中最小的数1t=，即符合条件的p值的集合是*{|r r∈N，且r不能被5整除}. …………………14分。
北京市人民大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷【pdf版含解析】
写出判断结果）； （Ⅱ）判断函数 g ( x) ln x 1 是否为 H 函数，并证明你的结论；
x （Ⅲ）证明：对于任意实数 a ， b ，函数 f ( x) b a 都不是 H 函数．
y
三、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分 10 分） 已知全集 U R ，集合 A x ( x 2)( x 3) ≤ 0 ．集合 B x log 2 (5 x) ≤ 2 ， （Ⅰ）求 A ， B ； （Ⅱ）求 (ðU A)∩B ．
1 f x ，观察函数图象可直接得到解集． 2
9． 4
6 点， 16 a 2 ， a 4 ． 图像经过 2 ， 10． 0 ，
11． c b a 12． 1
5 5 1 lg 2lg 2 lg 4 2 1 ． 2 2 2
）
1 1 20．函数 f1 ( x) log 2 x ， f 2 ( x) log 1 x 零点分别为 x1 ， x2 ，则（ 2 2 2
x
x
）
A． 1 x1 x2 2
B． x1 x2 1
C． 0 x1 x2 1
D． x1 x2 ≥ 2
个整数”都是 C 为好子集的充要条件， ∴ z 2 ；最后考虑 y ： 若 y ≥ 2 ，存在含 e 和 y 的三元子集或含有 y 的四元子集为好子集，故 y 1 ． 15． ⑴ A {x 2 ≤ x ≤ 3} ， B {x x ≥1} ⑵ (ðU A)∩B [3, ) ． 16． ⑴ {x x 0}
2016-2017学年北京市东城区高一(下)期末数学试卷
2016-2017学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩（x）高于85分，数学成绩（y）不低于80分，用不等式组可以表示为（）A．B．C．D．2．（3分）在数列{a n}中，a n+1=a n+1，n∈N*，则数列的通项可以是（）A．a n=﹣n+1 B．a n=n+1 C．a n=2n D．a n=n23．（3分）sin43°cos17°+cos43°sin17°的值为（）A．B．C．D．14．（3分）在等差数列{a n}中，已知a3=2，a5+a8=15，则a10=（）A．64 B．26 C．18 D．135．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的s值为（）A．﹣ B．C．2 D．36．（3分）现有八个数，它们能构成一个以1为首项．﹣3为公比的等比数列，若从这八个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）若不等式m＜n与＜（m，n为实数）同时成立，则（）A．m＜n＜0 B．0＜m＜n C．m＜0＜n D．mn＞08．（3分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，AB=120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据≈2.45，sin75°≈0.97）（）A．170米B．110米C．95米D．80米9．（3分）已知{a n}为等比数列，S n为其前n项和．a3﹣a1=15，a2﹣a1=5，则S4=（）A．75 B．80 C．155 D．16010．（3分）甲、乙、丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图所示若s甲，s乙，s丙分别表示他制测试成绩的标准差，则它们的大小关系为（）A．s丙＜s甲＜s乙B．s甲＜s丙＜s乙C．s乙＜s丙＜s甲D．s丙＜s乙＜s甲11．（3分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．12．（3分）已知数列2016，2017，1，﹣2016，﹣2017，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项之和等于（）A．0 B．2016 C．2017 D．4033二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共l8分将答案填在题中横线上．13．（3分）不等式2x2﹣x≤0的解集为．14．（3分）某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x=；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为．15．（3分）小亮开通了一个微信公众号，每天推送一篇文章，通常将阅读量作为微信公众号受关注度的评判标准，为了提升公众号的关注度，进一步了解大家的需求，小亮对之前推送的100篇文章的阅读量进行了统计，得到如下的频率分布直方图：则图中的a=．16．（3分）当x＞0时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是．17．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+S n=1，n∈N*，则a1=；a n=．18．（3分）某共享单车公司欲在某社区投放一批共享单车，单车总数不超过100辆，现有A，B两种型号的单车：其中A型为运动型，成本为500元/车，骑行半小时需花费0.5元；B型车为轻便型，成本为3000元/车，骑行半小时需花费1元．若公司投入成本资金不能超过10万元，且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次，每次不超过半小时（不足半小时按半小时计算），则在该社区单车公司可获得的总收入最多为元．三、解答题：本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3．（1）求∠ADC的大小；（2）求AB的长．20．（7分）已知{a n}为等差数列，a1=﹣12，a5=2a6．（I）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n．（Ⅱ）求使得S n＞14的最小正整数n的值．21．（10分）已知sinα﹣2cosα=0．（I）求tan（α+）的值．（Ⅱ）求的值．22．（10分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；（Ⅱ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a＞b的概率．23．（12分）已知函数f（x），给出如下定义：若f1（x），f2（x），…，f n（x），…（x）），其中均为定义在同一个数集下的函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1n=2，3，4，…，则称f1（x），f2（x），…，f n（x），…为一个嵌套函数列，记为{f n（x）=λf n（x），（x）}，若存在非零实数λ，使得嵌套函数列{f n（x）}满足f n﹣1则称{f n（x）}为类等比函数列．（Ⅰ）已知{f n（x）}是定义在R上的嵌套函数列，若f（x）=+．①求f（2），f2（2），f3（2）．②证{f n（x）﹣}是类等比函数列．（Ⅱ）已知{g n（x）}是定义在（1，+∞）上嵌套函数列．（x）﹣g n（x）|＜|x﹣|．若g（x）=（x+），求证|g n+12016-2017学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩（x）高于85分，数学成绩（y）不低于80分，用不等式组可以表示为（）A．B．C．D．【解答】解：∵语文成绩（x）高于85分，数学成绩（y）不低于80分，∴，故选：A．2．（3分）在数列{a n}中，a n+1=a n+1，n∈N*，则数列的通项可以是（）A．a n=﹣n+1 B．a n=n+1 C．a n=2n D．a n=n2=a n+1，n∈N*，【解答】解：∵a n+1∴a n﹣a n=1，n∈N*，+1∴数列{a n}为公差为1的等差数列，其中A，a n=﹣n+1中，a n+1﹣a n=﹣（n+1）+1+n﹣1=﹣1，不满足，B，a n=n+1中，a n+1﹣a n=（n+1）+1+n﹣1=1，满足，C：为等比数列，不满足，D：a n+1﹣a n=（n+1）2﹣n2=2n+1，不满足，故选：B．3．（3分）sin43°cos17°+cos43°sin17°的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：sin43°cos17°+cos43°sin17°=sin（43°+17°）=sin60°=，故选：C．4．（3分）在等差数列{a n}中，已知a3=2，a5+a8=15，则a10=（）A．64 B．26 C．18 D．13【解答】解：设公差为d，a3=2，a5+a8=15，∴a3+2d+a3+5d=15，解得7d=11，∴a10=a3+7d=2+11=13，故选：D．5．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的s值为（）A．﹣ B．C．2 D．3【解答】解：i=0＜4，s=3，i=1＜4，s=，i=2，s=﹣，i=3＜4，s=3，i=4≥4，输出s=3，故选：D．6．（3分）现有八个数，它们能构成一个以1为首项．﹣3为公比的等比数列，若从这八个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意成等比数列的8个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）7；其中大于8的项有：（﹣3）2，（﹣3）4，（﹣3）6，共3个数这8个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是P=；故选：D．7．（3分）若不等式m＜n与＜（m，n为实数）同时成立，则（）A．m＜n＜0 B．0＜m＜n C．m＜0＜n D．mn＞0【解答】解：∵m＜n与＜（m，n为实数）同时成立，∴只有mn＜0时，=＜0．∴m＜0＜n．故选：C．8．（3分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，AB=120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据≈2.45，sin75°≈0.97）（）A．170米B．110米C．95米D．80米【解答】解：在△ABC中，∠ACB=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理得：，∴AC===40，∴S△ABC=AB•AC•sin∠CAB=≈5703.6，∴C到AB的距离d==≈95．故选：C．9．（3分）已知{a n}为等比数列，S n为其前n项和．a3﹣a1=15，a2﹣a1=5，则S4=（）A．75 B．80 C．155 D．160【解答】解：∵a3﹣a1=15，a2﹣a1=5，由等比数列的通项，可得a1q2﹣a1=15，a1q﹣a1=5，∵a2﹣a1≠0，∴q≠1解得：a1=5，q=2．那么：S4=a1+a2+a3+a4==75．故选：A．10．（3分）甲、乙、丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图所示若s甲，s乙，s丙分别表示他制测试成绩的标准差，则它们的大小关系为（）A．s丙＜s甲＜s乙B．s甲＜s丙＜s乙C．s乙＜s丙＜s甲D．s丙＜s乙＜s甲【解答】解：甲的平均成绩为（7+8+9+10）×0.25=8.5，其方差为S甲2=0.25×[（7﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2]=1.25乙的平均成绩为7×0.3+8×0.2+9×0.2+10×0.3=8.5，其方差为S乙2=0.3×（7﹣8.5）2+0.2×（8﹣8.5）2+0.2×（9﹣8.5）2+0.3×（10﹣8.5）2=1.45丙的平均成绩为7×0.2+8×0.3+9×0.3+10×0.2=8.5，其方差为S丙2=0.2×（7﹣8.5）2+0.3×（8﹣8.5）2+0.3×（9﹣8.5）2+0.2×（10﹣8.5）2=1.05∴S丙2＜S甲2＜S乙2∴S丙＜S甲＜S乙．故选：A．11．（3分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于的概率为P==．故选：C．12．（3分）已知数列2016，2017，1，﹣2016，﹣2017，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项之和等于（）A．0 B．2016 C．2017 D．4033【解答】解：设该数列为{a n}，从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，=a n+a n+2，即a n+1=a n+1+a n+3，则a n+2两式相加，得a n+a n=0，即a n+3=﹣a n，+3=﹣a n+3=﹣（﹣a n）=a n，∴a n+6∴该数列的周期为6，∵a1+a2+a3+a4+a5+a6=2016+2017+1﹣2016﹣2017﹣1=0，∴S2017=336×（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1=0+2016=2016．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共l8分将答案填在题中横线上．13．（3分）不等式2x2﹣x≤0的解集为{x|0≤x≤} ．【解答】解：不等式2x2﹣x≤0化为x（2x﹣1）≤0，且不等式对应方程的两个实数根为x=0或x=，所以该不等式的解集为{x|0≤x≤}．故答案为：{x|0≤x≤}．14．（3分）某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表．已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2．则x=24；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为9．【解答】解：由题意可得=0.2，解得x=24．三班总人数为120﹣20﹣20﹣24﹣20=36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，每个学生被抽到的概率为=，故应从三班抽取的人数为36×=9，故答案为24；9．15．（3分）小亮开通了一个微信公众号，每天推送一篇文章，通常将阅读量作为微信公众号受关注度的评判标准，为了提升公众号的关注度，进一步了解大家的需求，小亮对之前推送的100篇文章的阅读量进行了统计，得到如下的频率分布直方图：则图中的a=0.0015．【解答】解：根据频率和为1知，（0.0004+0.0008+2a+0.002+0.0026+0.0006+0.0004+0.0002）×100=1，解得a=0.0015．故答案为：0.0015．16．（3分）当x＞0时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：当x＞0时，不等式x+≥2=2，当且仅当x=1时取等号，∵不等式x+≥a恒成立，∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]17．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+S n=1，n∈N*，则a1=；a n=．【解答】解：当n=1时，a1+S1=1，解得a1=，∵a n+S n=1，+S n=1，∴S n﹣S n﹣1﹣1，∴2（S n﹣1）=S n﹣1∵S1﹣1=﹣，∴数列{S n﹣1}是以﹣为首项，以为公比的等比数列，∴S n﹣1=﹣，∴a n=故答案为：，18．（3分）某共享单车公司欲在某社区投放一批共享单车，单车总数不超过100辆，现有A，B两种型号的单车：其中A型为运动型，成本为500元/车，骑行半小时需花费0.5元；B型车为轻便型，成本为3000元/车，骑行半小时需花费1元．若公司投入成本资金不能超过10万元，且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次，每次不超过半小时（不足半小时按半小时计算），则在该社区单车公司可获得的总收入最多为120元．【解答】解：根据题意，设投放A型号单车x辆，B型号单车y辆，单车公司可获得的总收入为Z；则有，即，①且Z=2×0.5x+2×y=x+2y，不等式组①表示的平面区域为；分析可得：当x=80，y=20时，Z取得最大值，其最大值Z=80+2×20=120；故答案为：120．三、解答题：本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3．（1）求∠ADC的大小；（2）求AB的长．【解答】解：（1）∵AD=5，AC=7，DC=3，∴cos∠ADC==﹣∴∠ADC=120° …（3分）（2）在△ABD中，∠ADB=60°，AD=5，B=45°由正弦定理：，得AB=．…（6分）20．（7分）已知{a n}为等差数列，a1=﹣12，a5=2a6．（I）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n．（Ⅱ）求使得S n＞14的最小正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}为等差数列，a1=﹣12，a5=2a6．∴﹣12+4d=2（﹣12+5d），解得d=2，∴a n=﹣12+（n﹣1）×2=2n﹣14．S n==n2﹣13n．（Ⅱ）∵S n＞14，∴，且n∈N*，解得n＞14，且n∈N*，∴使得S n＞14的最小正整数n的值为15．21．（10分）已知sinα﹣2cosα=0．（I）求tan（α+）的值．（Ⅱ）求的值．【解答】解：（I）∵sinα﹣2cosα=0，∴tanα=2，∴tan（α+）===﹣3．（Ⅱ）=2cosα•cosα﹣1=cos2α====﹣．22．（10分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；（Ⅱ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a＞b的概率．【解答】解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为（9+11+14+20+31）=17，由此估计A班学生每周平均上网时间17小时；B班样本数据的平均值为（11+12+21+25+26）=19，由此估计B班学生每周平均上网时间较长．（Ⅱ）A班的样本数据中不超过21的数据有3个，分别为：9，11，14，B班的样本数据中不超过21的数据也有3个，分别为：11，12，21，从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，分别为：（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），其中a＞b的情况有（14，11），（14，12）两种，故a＞b的概率P=23．（12分）已知函数f（x），给出如下定义：若f1（x），f2（x），…，f n（x），…（x）），其中均为定义在同一个数集下的函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1n=2，3，4，…，则称f1（x），f2（x），…，f n（x），…为一个嵌套函数列，记为{f n（x）}，若存在非零实数λ，使得嵌套函数列{f n（x）}满足f n（x）=λf n（x），﹣1则称{f n（x）}为类等比函数列．（Ⅰ）已知{f n（x）}是定义在R上的嵌套函数列，若f（x）=+．①求f（2），f2（2），f3（2）．②证{f n（x）﹣}是类等比函数列．（Ⅱ）已知{g n（x）}是定义在（1，+∞）上嵌套函数列．若g（x）=（x+），求证|g n（x）﹣g n（x）|＜|x﹣|．+1【解答】解：（Ⅰ）若f（x）=+．①则f（2）=，f2（2）=f（）=，f3（2）=f（）=．②证明：f（x）﹣=，f2（x）﹣=，f3（x）﹣=．…（x）﹣=[f n（x）﹣]，猜想：{f n（x）﹣}满足f n﹣1即{f n（x）﹣}是类等比函数列．下面用数学归纳法证明：当n=2时，显然满足条件；假设n=k时，满足条件；则f k（x）﹣=，即f k（x）=，（x）=则f k+1f k+1（x）﹣==，（x）﹣]，即f k（x）﹣=[f k+1即n=k+1时，满足条件，故{f n（x）﹣}是类等比函数列．（II）利用数学归纳法证明：|g（x）|=≥=1，当且仅当|x|=1时取等号．依此类推可得：|g n（x）|≥1．（1）当n=1时，g1（x）=（x+），g2（x）=．|g2（x）﹣g1（x）|====×＜=．（2）假设n=k∈N*时，|g k+1（x）﹣g k（x）|＜．则|g k+2（x）﹣g k+1（x）|==|g k+1（x）﹣g k（x）|•＜．∴当n=k+1时也成立，因此|g n+1（x）﹣g n（x）|＜|x﹣|．。
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16 __ ， 61__ ， 1__ 6 ， 6 __1 ， __16 ， __ 61 ，当 __ 中填 1 时，正好把 161 ， 611 ， 116 每个
计算了两遍， 填 6 时，正好把 166 ， 616 ，661 每个计算了两遍，
所以共有
(C
32A
2 2
A
1 6
6) 种情况，
而掷一枚骰子 3次共有 63 216 种结果．
（ ）．
频率 /组距
0.36 0.24 0.16 0.08
12 13 14 15 16 17
舒张压 /kPa
A． 6 【答案】 C
B． 8
C． 12
【解析】图中组距为 1 ，第一、二组频率之和为 0.24 0.16 0.40 ．
∵已知第一、二组共有 20 人，∴总人数为 20 50 ． 0.40
第三组频率为 0.36 ，则第三组人数为 50 0.36 18 ．
22 ．把一个标有数字 __________．
1 6 的均匀骰子扔 3 次，扔出的最大数与最小数差为
5 的概率是
【答案】 5 36
【解析】由题目知最大数为 6 ，最小数只能是 1 ，当第三个数是 2 ， 3 ， 4 ， 5 中的一个时，有
C
23A
2 2
A
1 4
种．当第三个数是
1， 6 中的一个时，有下列六种情况：
设有疗效的有 6 人，则有疗效的人数为 18 6 12 人．
故选 C ．
D． 18
20．如果执行程序框图， 输入正整数 N (N ≥ 2) 和实数 a1 ，a2 ， ，aN ，输出 A ，B ，则（
）．
开始 输入 N，a1,a2,...,aN
k=1,A=a 1,B=a 1
x=a k
是 x>A？
是
否
21．为了考察某校各班参加课外书法小组人数， 从全校随机抽取 5 个班级， 把每个班级参加该
小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为
7 ，样本方差为 4 ，且样本数据互不相同，则样
本数据中的最大值为 __________ ．
【答案】 10
【解析】设样本数据为 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ，
2 21
Байду номын сангаас
所求概率 P
C3A 2A 6 63
6
5． 36
23．如图，在三角形 EBC 中， A 、 D 分别是线段 BE 、 CE 上的点，四边形 BAD B C 75 ， BC 2 ，则线段 AB 的取值范围是 ___________．
ABCD 中，
E
A D
B
C
【答案】 ( 6 2, 6 + 2) 【解析】∵ B C BAD 75 ， ∴ EAD 180 BAD 105 ， E 180
∴ ( x1 7) 2 + (x2 7) 2 + ( x3 7) 2 +( x4 7)2 + ( x5 7) 2 5 4 20 ．
此时， 20 应有 5 个平方数的和组成，且由于样本数据互相不相同，
故至多有两个平方数相等，故 20 0 1 1 9 9 ，
(amax
2
7)
9 ，此时 xmax
10 ．
∴样本数据中的最大值为 10 ．
位： kPa ）的分组区间为 [12,13) ， [13,14) ， [14,15) ， [15,16) ， [16,17) ，将其按从左到右的顺
序分别编号为第一组，第二组，
，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，
已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为
【答案】 C
【解析】对 A ，由于是将实数 a1 ， a2 ， a3 ， ， aN 的值不断赋予给 x ，再将 A 与 x 进行比较，
将其中的较大值再赋予给 A ，这样就保证 A 等于该数组中的最大值．同理，对于 程则相反，这样就保证 B 等于该数组中的最小值． 故选 C ．
B 的运算过
五、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．请将正确的答案填在单体纸上）
B C 30 ,
人大附中高一下学期期末数学附加题（共
7 道题，满分 50 分）
（本卷所有答案直接写在答题纸上） 20170705
四、选择题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的，请将正确的答案填在答题纸上． ）
19．为了研究某药品的疗效， 选取若干名志愿者进行临床试验， 所有志愿者的舒张压数据 （单
A=x
x<B ?
B=x
否
k=k +1
k≥N?
否
是
输出 A,B
结束
A． A + B 为 a1 ， a2 ， ， aN 的和
B． A + B 为 a1 ， a2 ， ， aN 的算术平均数 2
C． A 和 B 分别是 a1 ， a2 ， ， aN 中最大的数和最小的数 D． A 和 B 分别是 a1 ， a2 ， ， aN 中最小的数和最大的数