精品解析：北京市人大附中2019-2020学年高一(10月份)段考数学试题(一)(原卷版)
人大附中2019-2020学年上学期高一数学必修一模块试题
高一数学 期中&必修1试题 第1页 共4人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学 必修1模块考核试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷 （共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 一、选择题（每题5分，共40分）1．设集合{}|32X x x =∈-<<Z ，{}|13Y y y =∈-≤≤Z ，则XY =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．||x y x=与1y =B ．y =1y x =-C ．2x y x=与y x =D ．321x xy x +=+与y x =3．下列函数中，在区间()0,2上是增函数的是（ ）A ．1y x =-+B ．245y x x =-+C ．y =D ．1y x=4．命题“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ，都有20x < B ．不存在x ∈R ，使得20x < C ．存在0x ∈R ，使得200x ≥D ．存在0x ∈R ，使得200x <5．已知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则高一数学 期中&必修1试题 第2页 共4页1[()]3f f =（ ）A ．13-B ．13 C ．23- D ．236．已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．如下图，是吴老师散步时所走的离家距离（y ）与行走时间（x ）之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）8．已知集合523M x x ⎧⎫=∈--⎨⎬⎩⎭R 为正整数，则M 的所有非空真子集的个数是（ ）A ．30B ．31C ．510D ．511二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9．方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为__________．10．已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________．11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 12．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a的取值范高一数学 期中&必修1试题 第3页 共4页围是__________．13．几位同学在研究函数()1xf x x=+()x ∈R 时给出了下面几个结论： ①函数 的值域为 ；②若 ，则一定有 ； ③ 在 是增函数；④若规定 ，且对任意正整数n 都有： ，则()1n xf x n x=+对任意 恒成立．上述结论中正确结论的序号为__________．14．函数()2241f x x x =-+，()2g x x a =+，若存在121,[,2]2x x ∈，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．设全集是实数集R ，{}2|2730A x x x =-+≤，{}2|0B x x a =+<. （1）当4a =-时，求AB 和A B ； （2）若()A B B =R ð，求实数a 的取值范围.16．已知二次函数()()22,f x x bx c b c =++∈R .（1）已知()0f x ≤的解集为{}|11x x -≤≤，求实数,b c 的值； （2）已知223c b b =++，设1x 、2x 是关于x 的方程()0f x =的两根，且()()12118x x ++=，求实数b 的值；（3）若()f x 满足()10f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间()3,2--，()0,1内，求实数b 的取值范围.高一数学 期中&必修1试题 第4页 共4页17．已知函数4()f x x x=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）指出该函数在区间(0,2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数()()(),05,0,0f x x g x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，当[]1,x t ∈-时()g x 的取值范围是[)5,+∞，求实数t 的取值范围.（只需写出答案）Ⅱ卷 （共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 18．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：则方程[()]1g f x x =+的解集为（ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,2,319．已知()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，且在(4,0]-上是增函数，()(3)f a f <，则a的取值范围是（） A ．()3,3-B．()(),33,-∞-+∞ C ．()4,3-- D ．()()4,33,4--20．已知函数2()25f x x ax =-+在[1,3]x ∈上有零点，则正数．．a 的所有可取的值的集合为（ ）A ．7[,3]3B ．)+∞C ．D ．(五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）高一数学 期中&必修1试题 第5页 共4页21．已知函数()f x =则函数()f x 的最大值为__________，函数()f x 的最小值点为__________．22．关于x 的方程()()g x t t =∈R 的实根个数记为()f t ． （1）若()1g x x =+，则()f t =__________；（2）若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a ∈R ，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是__________．23．对于区间[]()a b a b <，，若函数()y f x =同时满足：① ()f x 在[]a b ，上是单调函数；② 函数()y f x =，[]x a b ∈，的值域是[]a b ，， 则称区间[]a b ，为函数()f x 的“保值”区间.（1）写出函数2y x =的一个“保值”区间为__________；（2）若函数()2(0)f x x m m =+≠存在“保值”区间，则实数m 的取值范围为__________．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数. （1）若函数()[]f x x =，求()1.2f ，()1.2f -的值；（2）若函数()()122x x f x x +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦R ，求()f x 的值域； （3）若存在m ∈R 且,m ∉Z 使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是Ω函数,若函数()af x x x=+是Ω函数，求a 的取值范围.高一数学 期中&必修1试题 第6页 共4页人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学练习& 必修1模块考核试卷答案20191108一卷一、选择题（每题5分，共40分）1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．C 二、填空题（每题5分，共30分） 9．(){}3,7- 10．{}1,1- 11．30 12．()3,0- 13．①②③④ 14．[5,0]-三、解答题（每题10分，共30分）15． 解：（1）因为1|32A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，-------------------1‘ 当4a =-时，{}|22B x x =-<<--------------------2‘所以1|22AB x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭-------------------------3‘{}|23A B x x =-<≤----------------------------4‘（2）1|32A x x x ⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭或ð----------------------5‘ 因为()AB B =ð，所以B A ⊆ð------------------6‘当B =∅即0a ≥时，满足B A ⊆ð-----------------7‘ 当B ≠∅即0a <时，-----------------------------8‘12≤，解得104a -≤<-----------------------9‘高一数学 期中&必修1试题 第7页 共4页综上，实数a 的取值范围为1,+4⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭---------------10‘ 16． 解：（1）法1：由题可知：-1，1为方程220x bx c ++=的两个根，-------------------1’所以，120,120.b c b c -+=⎧⎨++=⎩- -----------------------2’解之得：0,1b c ==-. ------------------------3‘法2：由题可知：-1，1为方程220x bx c ++=的两个根，-------------------1’由韦达定理，得-112-11bc +=-⎧⎨⨯=⎩，--------------2‘解之得：0,1b c ==-. ------------------------3‘（2）因为223c b b =++，()220f x x bx c =++=，所以222230x bx b b ++++=因为1x 、2x 是关于x 的方程222230x bx b b ++++=的两根， 所以22448120b b b ∆=---≥即32b ≤--------------------4‘ 所以12212223x x b x x b b +=-⎧⎨=++⎩----------------------------------5‘因为()()12118x x ++=，所以12127x x x x ++=，所以22237b b b -+++=----------6‘ 所以24b =，所以2b =或2b =-，因为32b ≤-，所以2b =-----------------------7‘ （3）因为()10f =，所以12c b =----------------------8‘设()()()2211g x f x x b x b x b =++=++--，则有高一数学 期中&必修1试题 第8页 共4页()()()()30200010g g g g ->⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪>⎩-------------------------------------------9‘ 解得1557b <<，所以b 的取值范围为15,57⎛⎫⎪⎝⎭.---------------------------10‘ 17． 解：（1）因为函数4()f x x x=+的定义域为 所以()(),00,x ∈-∞+∞时，()(),00,x -∈-∞+∞，（或写“函数4()f x x x=+的定义域关于原点对称”） 因为4()()f x x f x x-=--=-， 所以()f x 是奇函数.----------------------------------------------3‘（2）函数()f x 在区间(0,2]上是减函数；----------------------------------------------4’证明：任取(]12,0,2x x ∈，且1202x x <<≤-------------------------------------------5’()()()()121212124x x x x f x f x x x ---=-----------------------------------------------------6’ 因为1202x x <<≤所以220x ≥>，120x >>，所以124x x >，所以1240x x -<--------------------7’ 又因120x x -<，120x x >所以()()()()1212121240x x x x f x f x x x ---=>，所以()()12f x f x >----------------------------------------------------------------------------8‘高一数学 期中&必修1试题 第9页 共4页所以函数()f x 在区间(0,2]上是减函数. （3）实数t 的取值范围为[]0,1--------------10‘二卷四、选择题（每题6分，共18分） 18．C 19．D 20．C五、填空题（每题6分，共18分）21．3,1- 22．1，（1，+∞） 23．[01]，，311044⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，， 六、解答题（本题共14分）24． 解：（Ⅰ）()1.21f = --------------------------2分()1.22f -=- --------------------------4分 （Ⅱ）方法1：因为11222x x +-=， 所以，只可能有两种情况：（1）存在整数t ，使得1122x x t t +≤<<+，此时122x x t +⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()0f x =； （2）存在整数t ，使得122x x t +<≤，此时11,22x x t t +⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1f x =. 综上，()f x 的值域为{0,1}. --------------------------------------------------------------9分 方法2：高一数学 期中&必修1试题 第10页 共4页------------------9‘（Ⅲ） 当函数()af x x x=+是Ω函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾.若0a <，由于都在(0,)+∞单调递增，故()f x 在(0,)+∞上单调递增， 同理可证：()f x 在(,0)-∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形，所以此时()af x x x=+不是Ω函数. 当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，高一数学 期中&必修1试题 第11页 共4页因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，所以2[][]([]1)m a m m <<+.当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，所以2[][]([]1)m a m m >>+.记[]k m =, 综上，我们可以得到：a 的取值范围为0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+}. -------14分。
2019-2020学年北京人大附中高一分班考数学试题含解析
2019年人大附中新高一分班考试数学试题真题一､选择题(本大题共17小题，共34分)1. 小雨利用几何画板探究函数()a y x b x c =--图象，在他输λ一组,,a b c 的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（ ）A. 0,0,0a b c >>= B. 0,0,0a b c <>=C. 0,0,0a b c >== D. 0,0,0a b c <=>【答案】B 2. 大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如33235,37911=+=++，3413151719,=+++⋯若3m 分裂后，其中有一个奇数是103，则m 的值是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B3. 如图，AB 是半圆O 直径，按以下步骤作图：（1）分别以,A B 为圆心，大于AO 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接OP 与半圆交于点C ；（2）分别以,A C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点Q ，连接OQ 与半圆交于点D ；（3）连接,,,AD BD BC BD 与OC 交于点E .根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD 平分ABC ∠；②//BC OD ；③CE OE =；④2AD OD CE =⋅；所有正确结论的序号是（ ）的A. ①②B. ①④C. ②③D. ①②④【答案】D 4. 图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟.若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，9号车厢才会运行到最高点？（ ）A. 10B. 20C. 152D. 452【答案】B 5. 某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用.已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘览车，回程有10人搭乘缆车.若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？（ ）参观方式缆车费用去程及回程均搭乘缆车300元单程搭乘缆车，单程步行200元A. 16B. 19C. 22D. 25【答案】A 6. 如图，坐标平面上有一顶点为A 的抛物线，此拋物线与方程式2y 的图形交于B C ､两点，ABC 为正三角形.若A 点坐标为()3,0-，则此拋物线与y 轴的交点坐标为何?（ ）A. 90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 270,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,9 D. ()0,19【答案】B7. 如图的七边形ABCDEFG 中，,AB ED 的延长线相交于O 点.若图中1,2,3,4∠∠∠∠的外角的角度和为220 ，则BOD ∠的度数为何？（ ）A. 40B. 45C. 50D. 60【答案】A 8. 如图，菱形ABCD 的边长为10，圆O 分别与AB AD ､相切于､E F 两点，且与BG 相切于G 点.若5AO =，且圆O 的半径为3，则BG 的长度为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C9. 桌面上有甲､乙､丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出，则原本甲､乙两杯内的水量相差多少毫升？（ ）A. 80B. 110C. 140D. 220【答案】B10. 如图，坐标平面上，二次函数24y x x k =-+-的图形与x 轴交于､A B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且0k >.若ABC 与ABD △的面积比为1:4，则k 值为何？（ ）A. 1B. 12C. 43D. 45【答案】D 11. 如图的ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，､E F 在AB 上，直线AG 分别交DE BC ､于M N ､两点.若90,4,3,1B AB BC EF ∠==== ，则BN 的长度为何?（ ）A. 43 B. 32 C. 85 D. 127【答案】D12. 图(一)､图(二)分别为甲､乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图.若甲､乙两班学生的投进球数的众数分别为a b ､；中位数分别为c d ､，则下列关于a b c d ､､､的大小关系，何者正确？（ ）A. ,a b c d>> B. ,a b c d ><C. ,a b c d<> D. ,a b c d<<【答案】A 13. 如图的六边形是由甲､乙两个长方形和丙､丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲､乙的面积和等于丙､丁的面积和.若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）A. 12 B. 35 C. 2 D. 4-【答案】D14. 如图的矩形ABCD 中，E 点在CD 上，且AE AC <.若P Q ､两点分别在AD AE ､上，:4:1AP PD =，:4:1AQ QE =，直线PQ 交AC 于R 点，且Q R ､两点到CD 的距离分别为q r ､，则下列关系何者正确？（ ）A. ,q r QE RC <=B. ,q r QE RC<<C. ,q r QE RC== D. ,q r QE RC=<【答案】D 15. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT 手机与搭配一个号码的两种方案.此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费，若小洁每个月的通话费均为x 元，x 为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？（ ）甲方案乙方案号码的月租费(元)400600MAT 手机价格(元)1500013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 600【答案】C 16. 如图的矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，有一圆过,,C D E 三点，且此圆分别与,AD BC 相交于,P Q 两点.甲､乙两人想找到此圆的圆心O ，其作法如下：(甲)作DEC ∠的角平分线L ，作DE 的中垂线，交L 于O 点，则O 即为所求；(乙)连接,PC QD ，两线段交于一点O ，则O 即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列判䉼何者正确？（ ）A. 两人皆正确B. 两人皆错误C 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【答案】A17. 如图，正六边形ABCDEF 中，P Q ､两点分别为,ACF CEF △△的内心.若2AF =，则PQ 的长度为何？（ ）.A. 1B. 2C. 2- D. 4-【答案】C 二､填空题(本大题共3小题，共9分)18. 如图，正方形ABCD 的边长是3,,P Q 分别在,AB BC 的延长线上，BP CQ =，连接,AQ DP 交于点O ，并分别与,CD BC 交于点,F E ，连接AE .下列结论：①AQ DP⊥②2OA OE OP=⋅③AOD OECFS S = 四边形④当1BP =时，1an 136t OAE ∠=其中正确结论的序号是__________.【答案】①③④19. 在等边ABC 中，M N P ､､分别是边AB BC CA ､､上的点(不与端点重合)，对于任意等边ABC ，下面四个结论中：①存在无数个MNP △是等腰三角形；②存在无数个MNP △是等边三角形；③存在无数个MNP △是等腰直角三角形；④存在一个MNP △在所有MNP △中面积最小.所有正确结论的序号是__________.【答案】①②③20. 如图，在Rt ABC 中，90C = ∠，记,x AC y BC AC ==-，在平面直角坐标系xOy 中，定义(),x y 为这个直角三角形的坐标，Rt ABC 为点(),x y 对应的直角三角形.有下列结论：①在x 轴正半轴上的任意点(),x y对应的直角三角形均满足AB =；②在函数2019(0)y x x=>的图象上存在两点边,P Q ，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函2(2020)1(0)y x x =-->图象上的任意一点P ，都存在该函数图象上的另一点Q ，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数22020(0)y x x =-+>的图象上存在无数对点,(P Q P 与Q 不重合)，使得它们对应的直角三角形全等.所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④三､解答题(本大题共9小题，第21-26题每题6分，第27-29题，每题7分，共57分)21. 如图，AM 是ABC 的中线，D 是线段AM 上一点(不与点A 重合)//DE AB 交AC 于点,//F CE AM ，连结AE.的（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若BH AC ⊥，且BH AM =.①求CAM ∠的度数；②当4FH DM ==时，求DH 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）①30°；②22. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和M ，给出如下定义：若M 上存在两个点,A B ，使AB =2PM ，则称点P 为 的“美好点”.（1）当 M 半径为2，点M 和点O 重合时.①点()()()1232,0,1,1,2,2P P P -中， O 的“美好点"是__________.②若直线2y x b =+上存在点P 为 O 的“美好点”，求b 的取值范围；（2）点M 为直线y x =上一动点，以2为半径作M ，点P 为直线4y =上一动点，点P 为 M 的“美好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围.【答案】（1）①P 1和P 2；②b （2）2≤m ≤6.23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过T e 外一点P 引它的两条切线，切点分别为,M N ，若60≤ 180MPN ∠< ，则称P 为T e 的环绕点.（1）当 O 半径为1时，①在()()()1231,0,1,1,0,2P P P 中，O 的环绕点是__________.②直线2y x b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若线段AB 上存在 的环绕点，求b 的取值范围；（2）T e 的半径为1，圆心为()0,t ，以(0)m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在T e 的环绕点，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）①P 1，P 3；②1b ≤＜或1b ≤-＜；（2）-2<t ≤4.24. 在平面直角坐标系xOy 中，我们称横从坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(),A p q 、()(),B m n m n ≤满足关于x 的多项式2x px q ++能够因式分解为()()x m x n ++，则称点B 是A 的分解点.例如()3,2A 、()1,2B 满足()()23212x x x x ++=++，所以B 是A 的分解点.（1）在点()15,6A 、()20,3A 、()32,0A -中，请找出不存在分解点的点__________；（2）点P 、Q 在纵轴上（P 在Q 的上方），点R 在横轴上，且点P 、Q 、R 都存在分解点，若PQR 面积为6，请直接写出满足条件的PQR 的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点D 在第一象限内，D 是C 的分解点，请探究OCD 是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D 的坐标；若不可能，请说明理由.【答案】（1）2A ；（2）答案见解析；（3）OCD 不可能为等腰三角形，理由见解析.25. 已知关于x 的一元二次方程2104x bx c ++=（1）21c b =-时，求证：方程一定有两个实数根.（2）有甲､乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b ，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c ，利用列表法或者树状图，求b c ､的值使方程2104x bx c ++=两个相等的实数根的概率.【答案】（1）证明见解析；（2）16.26. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线():10l y kx k =-≠与函数(0)m y x x=>的图象交于点()3,2A .（1）求,k m 的值；（2）将直线l 沿y 轴向上平移(0)t t >个单位后，所得直线与x 轴，y 轴分别交于点,P Q ，与函数y =(0)m x x>的图象交于点C .①当2t =时，求线段QC 的长.②若23QC PQ<<，结合函数图象，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）1,6k m ==；（2）①；②12t <<.27. 在平面直角坐标系xOy 中，拋物线2224y x ax a a =-+-+顶点为A ，点,B C 为直线3y =上的两个动点(点B 在点C 的左侧)，且3BC =.（1）求点A 的坐标(用含a 的代数式表示)；（2）若ABC 是以BC 为直角边的等腰直角三角形，求拋物线的解析式；（3）过点A 作x 轴的垂线，交直线3y =于点D ，点D 恰好是线段BC 三等分点且满足3BC BD =，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围.【答案】（1）(),4A a a -；（2）2(2)6y x =++或2(4)y x =-；（3）1a =或25a <≤.28. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，点C 关于直线AB 的对称点为D ，连接,BD CD ，过点B 作//BE AC 交直线AD 于点E .（1）依题意补全图形；（2）找出一个图中与CDB △相似的三角形，并证明；（3）延长BD 交直线AC 于点F ，过点F 作FH //AE 交直线BE 于点H ，请补全图形，猜想,,BC CF BH 之间的数量关系并证明.【答案】（1）答案见解析；（2）与CDB △相似的三角形是ABE △，证明见解析；（3）作图见解析；22BH FC BC CF ⋅=+，证明见解析.29. 新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与A 有公共点，则称几何图形G 的叫A 的关联图形，特别地，若A 的关联图形G 为直线，则称该直线为A 的关联直线.如图，M ∠为A 的关联图形，的直线l 为A 的关联直线.（1）已知 O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线22y x =+；②直线3y x =-+；③双曲线2y x=，是O 关联图形的是__________（请直接写出正确的序号）；（2）如图1，T e 的圆心为()1,0T ，半径为1，直线:l y x b =-+与x 轴交于点N ，若直线l 是T e 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围；（3）如图2，已知点()0,2B 、()2,0C 、()0,2D -，I 经过点C ，I 的关联直线HB 经过点B ，与I 的一个交点为P ；I 的关联直线HD 经过点D ，与I 的一个交点为Q ；直线HB 、HD 交于点H ，若线段PQ 在直线6x =上且恰为I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围.【答案】（1）①③；（2）11b +≤≤；（3）60h -≤<或02h <≤.的。
北京市人大附中2020-2021学年高一(10月份)段考数学试题(一)
二、填空题
9．已知全集 ，集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是______.
10．设集合 ，集合 ，那么“ ”是“ ”的__条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．
11．方程 的解集为______________.
12．一元二次不等式 的解集是 ，则 的值是________
设 是集合 的具有题设性质的子集个数.
集合 的具有题设性质的子集可分为两类：第一类子集包含元素 ，这样的子集有 个（即每个 的这种子集与 的并集，以及 ）；第二类子集不包含 ，这样的子集有 个.
于是，有 .
显然， （即 ）
.
A．
B．
C．
D．
8．（2017北京西城二模理8）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（ ）
参考答案
1．D
【分析】
先求解集合 ，即可确定 与 的关系．
【详解】
解： ， ， ，
又 ， ， ．
故选：D.
2．B
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【详解】
命题 是全称命题，则 为 ，
故选：B.
3．B
【解析】
试题分析：因为 ， ， ,所以 ， ,所以 ．
考点：集合间的基本运算．
4．A
【分析】
14．3
【分析】
运用新定义，逐个验证，即可得到结论．
北京市海淀区中国人民大学附属中学2020-2021学年高一10月月考数学试卷(解析版)
故选：B.
【点睛】本题主要考查求集合中元素的个数，涉及分式不等式的解法，属于基础题型.
3.已知函数 的值域是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先求出每段函数的值域，再求其并集可得函数的值域
【详解】当 时， ，
当 时， ，即 ，
所以函数 的值域是 ，
故选：A
4. 是命题“ ， ”为真命题的
【详解】 时， 成立；但是 时， 不一定成立，所以充分而不必要条件序号是①；
时， 不一定成立；但是 时， 一定成立，所以必要而不充分条件序号是②；
时， 成立； 时， 一定成立，所以充要条件序号是④；
时， 不一定成立，例如： ； 时， 不一定成立，例如 ，所以既不充分也不必要条件序号是③.
故答案为：①；②；④；③.
10.已知函数 是定义在 上的单调函数，若对任意的 ，都有 ，则 的值是
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【详解】试题分析：∵对任意 ，均有 ，且 在 上单调，∴ ， ， 为常数，又∵ ，∴ ，故选B．
考点：1．复合函数；2．函数的性质．
【方法点睛】本题主要考察函数的解析式与函数单调性的，已知复合函数 的表达式，求 可用换元法，根据条件中对任意 ，以及 在 上单调，均有 ，从而可知 为一固定常数，从而求解．
（3）已知函数 ，当 时 的取值范围是 ，求实数 的取值范围．（只需写出答案）
【答案】（1）4；（2）函数 在区间 ， 上是减函数，证明见解析；（3） ， ．
【分析】（1）利用对勾函数的图象的单调性得解；
（2）函数 在区间 ， 上是减函数，利用函数单调性的定义证明；
（3）结合对勾函数的图象直接写出实数 取值范围.
2024北京人大附中高三10月月考数学
2024北京人大附中高三10月月考数 学命题人：薛坤 陈佳杰 审题人：杨良庆 吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则AB =（ ）A ．()2,4−B ．[)0,4C ．[]0,1D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（ ）A ．()1f x x=B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()xxf x e e −=−3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A ．bB C ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（ ） A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π35．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（ ） A ．()0,10 B ．()1,10C ．()()0,110,+∞ D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（ ）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D=，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg 20.3010=） A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b>”是“2256a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（ ）A ．12±B．2± C．2±D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______． 13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1； ②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴． 其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ．（1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ． 17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−>< ⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值； （2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值．①5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分） 已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程； （2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 20．（本小题15分） 已知函数()()2xf x exx =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−． （1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由； （3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−； 进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N “10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。
北京市人大附中2019-2020学年高一(10月份)段考数学试题(一)
北京市人大附中2019-2020学年高一（10月份）段考数学试题（一）学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 设集合，，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．2. 设命题，则为（）A．B．C．D．3. 全集，集合，，则等于（）A．B．C．D．4. 下列表示图形中的阴影部分的是（）A．B．C．D．5. 若a，，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6. ，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是（）A．B．C．或D．或7. 定义符号函数sgn x＝则当x∈R时，不等式x＋2＞(2x －1)sgn x的解集是( )A．B．C．D．8. （2017北京西城二模理8）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题9. 已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是______.10. 设集合，集合，那么“”是“”的__条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．11. 方程的解集为______________.12. 一元二次不等式的解集是，则的值是________13. 关于x的方程的解集中只含有一个元素,______.14. 设集合，，，，，，在上定义运算“”为：，其中为被4除的余数，，，1，2，3，4，5．则满足关系式的的个数为__．三、解答题15. 已知全集，集合，.（1）用列举法表示集合与；（2）求及.16. 已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围.17. 已知关于x的方程的两根为，，试问：是否存在实数m，使得，不等式都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由.18. 已知集合.求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1.。
北京市人大附中2019-2020学年第一学期高一10月份段考数学试卷(一) 含答案
C. m>5 t!X: m<3 D. m二巧成m运3
「1 (x>o)
7.定义符号两部（sgnx ＝ 斗 O(x cc O) ，则不等式x+2> ( 2x - 1）银川的解集是（
1-l(x<o)
. {xi － 3＋...／否 ＜x＜二�主}，
一τ－
4
、 {xfx＜寸 -3+-.l二':1'二:1 ｝
B. ｛巾＞· 3叫否 ）
儿持有 8 股票的股民人数是（
A. 7
B. 6
c. 5Biblioteka D. 4A. {2, 4, 7, 8} B.φ
C. {l, 3, 5, 6} D. {2, 4, 6, 8}
4.下列衣示图巾的阳Ht部分的足（
A. CAUC）「1 (BUC)
B. (Aυβ） n (AUC)
C. (AUE）们（βUC)
D. (AUE) nc
5. t::1.知。，bεR，则卡列命题i正确的是（
A. -H: a>b，则a2>b2
B. -h:Iαl>b, Y！川 a2>b2
c. 若α＞lbl，贝jl a2>b2
D.若a*lbl，贝I] a2 :;z!:b2
6. p：如－ ml<1, q: x2 - 8x+ 12<0, JI. q 是p的必要不允分条件，则 m 的取伯范罔是（
A. 3<m<5
B. 3运mζ5
A. :lxε R,x -x 十 一 二 O 4
B. :lxE R,x x+ <0 4
c. :lxε R,x -x+-:::;O
4
D. 't!xε R,x -x+- <0 4
2019-2020学年北京市人大附中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年北京市人大附中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.命题“∃x0∈R，x02+x0+4>0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+x+4≥0B. ∃x0∈R，x02+x0+4>0C. ∃x0∈R，x02+x0+4<0．D. ∀x∈R，x2+x+4≤02.已知直线和平面，则能推出的是()A.B.C.D.3.已知中，内角所对边长分别为，若，则的面积等于()A. B. C. D.4.如图，B，C，D是地平面内一条直线上的三点，从塔顶A测得地面C，D两点的俯角分别为60°和30°.若CD=100m，则塔高等于()A. 50mB. 100mC. 50√2mD. 50√3m5.三棱锥D−ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，若AE//CD，AB=CD=AE=2，则三棱锥D−ABC与三棱锥E−ABC的公共部分构成的几何体的体积为()A. √39B. √33C. 13D. √36.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出的是()A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，7.△ABC的三个内角A，B，C所对的分别为a，b，c，若cosAcosB =ba=√2，则角C的大小为()A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°8.三棱锥P−ABC的底面是等腰三角形，∠C=120°，侧面是等边三角形且与底面ABC垂直，AC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A. 12πB. 20πC. 32πD. 100π9.下列四种说法中，错误的个数是()①A={0,1}的子集有3个；②命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是：“不存在x0∈R，2x0>0；③函数f(x)=e−x−e x的切线斜率的最大值是2；④函数y=sin(−2x+π3)的单调增区间是[−kπ−π12,−kπ+5π12](k∈Z)．A. 1B. 2C. 3D. 410.设是一条直线，，，是不同的平面，则下列说法不正确的是()A. 如果，那么内一定存在直线平行于B. 如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于C. 如果，，，那么D. 如果，与，都相交，那么与，所成的角互余二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）11.在△ABC中，a=2，b=√3，c=1，则最小角为______ 度．12.在△ABC中，a2+b2+ab=c2，则∠C=______．13.如图，AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于D，已知BC=1，AB=√3，则AD=______14.在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为．15.在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）16.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求异面直线BC与PD所成的角．17. 如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函<φ<π)，x∈[−3,0]的图象，且图象的最高点为数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,π2B(−1,3√2)；赛道的中间部分为√3千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧DE⏜．(1)求ω，φ的值和∠DOE的值；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积最大时θ的值．18. 设函数y=f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，y=f′(x)是y=f(x)的导函数，若g(x)=f(x)+√3f′(x)为奇函数，且对任意的x∈R有g(x)≤2．(1)求g(x)的表达式．(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=tanBtanA =g(−π2)，求△ABC的面积最大值．19. 如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点．(1)求证：BG//平面PDE；(2)求证：AD⊥PB；(3)在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：D解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x02+x0+4>0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+4≤0”．故选：D．利用特称命题的否定是全称命题写出经过即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2.答案：C解析：本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．解：存在一条直线b，a//b，且b//α，则a//α或a⊂α，故A错误；存在一条直线b，a⊥b，且b⊥α，则a//α或a⊂α，故B错误；存在一个平面β，a⊂β，且α//β，则由平面与平面平行的性质知a//α，故C正确；存在一个平面β，a//β，且α//β，则a//α或a⊂α，故D错误．故选：C．3.答案：B解析：试题分析：由正弦定理知，将带入得，解得，所以，故是等边三角形，从而，故选B．考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式．4.答案：D解析：根据等腰三角形和直角三角形的知识即可求出．本题考查了解三角形的问题，属于基础题．解：从塔顶A测得地面C，D两点的俯角分别为60°和30°，CD=100m，∴∠D=30°，∠DAC=30°，∠ACB=60°∴AC=CD=100，∴AB=ACsin60°=100×√32=50√3，故选：D．5.答案：B解析：本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．设AD∩CE=F，三棱锥D−ABC与三棱锥E−ABC的公共部分为三棱锥F−ABC，由此能求出三棱锥D−ABC与三棱锥E−ABC的公共部分构成的几何体的体积．解：∵三棱锥D−ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，AE//CD，AB=CD=AE=2，∴如下图所示三棱锥D−ABC与三棱锥E−ABC的公共部分为三棱锥F−ABC，∵底面ABC是边长为2的等边三角形，∴S△ABC=12×2×2×sin60°=√3，∵AD∩CE=F，∴F到平面ABC的距离d=12AE=1，∴三棱锥D−ABC与三棱锥E−ABC的公共部分构成的几何体的体积：V F−ABC=13×S△ABC×d=13×√3×1=√33．故选：B．6.答案：C解析：在A选项中还有的可能；在B选项中还有的可能；在C选项中必有；在D 选项中还有的可能.故正确答案为C．考点：空间直线、平面的位置关系．7.答案：C解析：解：由正弦定理得，cosAcosB =ba=sinBsinA，则sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=180°，得A=B或A+B=90°，因为ba=√2，所以A+B=90°，则C=180°−(A+B)=90°，故选：C．根据正弦定理化简cosAcosB =ba，由二倍角的正弦公式得到A、B的关系，再结合条件和内角和定理求出角C．本题考查正弦定理，内角和定理，以及二倍角的正弦公式，注意三角形的边角关系的应用．8.答案：B解析：本题考查三棱锥的外接球表面积的求法，考查三棱锥及其外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．由题意画出图形，设出三角形ABC外接圆的圆心G，由已知结合正弦定理求得CG，再设出三角形PAB的外接圆的圆心，作相交线得到三棱锥的外接球的球心，解三角形求得三棱锥的外接球的半径，则答案可求．解：如图，在等腰三角形ABC中，由∠C=120°，得∠ABC=30°，又AC=2，设G为三角形ABC外接圆的圆心，则ACsin∠ABC =2sin30∘=2CG，∴CG=2，再设CG交AB于D，可得CD=1，AB=2√3，则DG=1，在等边三角形PAB中，设其外心为H，则BH=PH=23PD=2，过G作平面ABC的垂线，过H作平面PAB的垂线，两垂线相交于O，则O为该三棱锥的外接球的球心，则半径R=OB=√4+1=√5，∴该三棱锥的外接球的表面积为4π×(√5)2=20π．故选：B．9.答案：D解析：解：对于①，A={0,1}的子集个数为：22=4，故①错误；对于②，命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是：“对任意的x0∈R，2x0>0，故②错误；对于③，∵f′(x)=−e−x−e x=−(1e x+e x)≤−2(当e x=e−x时，即x=0时，等号成立)，∴函数f(x)=e−x−e x的切线斜率的最大值是−2，故③错；对于④，函数y=sin(−2x+π3)=−sin(2x−π3)，令2kπ+π2≤2x−π3≤3π2，可解得函数的单调增区间为[kπ+5π12,kπ+11π12]，k∈Z，故④错；故选：D．①根据一个非空集合子集的个数公式进行求解；②根据命题否定的定义，进行求解；③利用导数研究直线的斜率，再利用均值不等式进行求解；④运用−α的诱导公式，再令2kπ+π2≤2x−π3≤3π2，可求解．此题主要考查命题的真假判断与应用，是一道基础题，考查的知识点比较全面；10.答案：D解析：试题分析：对于A，，说明这两个平面必相交，设其交线为，任意直线且，由平面的基本性质可知，所以由线面平行的判定定理可判定，正确；对于B，假设且，则由面面垂直的判定定理可得，这与条件不垂直于相矛盾，假设不正确，故B 也正确；对于C，如下图(1)，设，在平面内取一点，作于点，于点，则由面面垂直：的性质可得，而，所以，由线面垂直的判定定理可得，故C选项正确；对于D，这是不成立的，如下图(2)的长方体，设，分别记平面、平面为，记直线为，则与平面所成的角分别为，而，故，，故D选项不正确，选D．考点：1.空间中的平行、垂直问题；2.线面角．11.答案：30解析：本题考查余弦定理求三角形的内角，属基础题．由题意可得C为最小角，由余弦定理可得cos C，由三角形内角的范围可得．解：∵在△ABC中a=2，b=√3，c=1，∴c为最小边，C为最小角，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =√32，由三角形内角范围可得最小角C=30°故答案为：3012.答案：23π解析：解：在△ABC中，a2+b2+ab=c2，由余弦定理可知，cosC=−12，C是三角形内角，所以C=23π．故答案为：23π．直接利用余弦定理，求出C的余弦值，然后求出C的大小．本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．13.答案：√2解析：解：∵AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∴∠ABC=90°，又∵BC=1，AB=√3，∴AC=2R=2，故⊙O的半径为1又∵，∠ABC的平分线与⊙O相交于D，∴∠ABD=45°=12∠AOD∴∠AOD=90°∴AD=√2故答案为：√2由已知中AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于D，已知BC=1，AB=√3，根据圆周角定理及其推论，我们易求出圆的半径及∠AOD的度数，解△AOD即可得到答案．本题考查的知识点是圆周角定理及其推论，勾股定理，其中根据圆周角定理及其推论，求出圆的半径及∠AOD的度数，是解答本题的关键．14.答案：3π解析：本题考查球与多面体的组合体及球的表面积，由已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则它的外接球与以这三条侧棱分别为长宽高的正方体的外接球相同，求出半径，然后代入公式计算即可．解：三棱锥P−ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，而正方体的对角线的长√12+12+12=√3，∴球的直径是√3，球的半径为√32，∴球的表面积：4π×(√32)2=3π．故答案为3π．15.答案：平面ABC、平面ABD解析：解：连接AM并延长，交CD于E，连接BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由EMMA =ENNB=12得MN//AB，。
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2019-2020学年北京市人大附中高一（上）段考数学试卷（一）（10月
份）
一、选择题（8小题，共40分）
1. 设集合2{|2}M x R x
=∈，1a =，则下列关系正确的是（ ） A. a M
B. a M ∉
C. {}a M ∈
D. {}a M 2. 设命题2
1:,04
p x R x x ∀∈-+，则p ⌝为（ ） A. 2
1,04x R x x ∃∈-+ B. 21,04
x R x x ∃∈-+< C. 21,04x R x x ∃∈-+ D. 21,04x R x x ∀∈-+< 3. 全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,3,5S =，{}3,6T =，则U U C S C T ⋂等于（ ）
A. ∅
B. {}2,4,7,8
C. {}1,3,5,6
D. {}2,4,6,8 4. 下列表示图形中的阴影部分的是（ ）
A. ()()A
C B C B. ()()A B A C C. ()()A B B C
D. ()A B C 5. 若a ，b R ∈，则下列命题正确
的是（ ） A. 若a b >，则22a b >
B. 若a b >，则22a b >
C. 若a b >，则22a b >
D. 若a b ≠，则22a b ≠ 6. :1p x m -<，2:8120q x x -+<，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是（ ）
A. 35m <<
B. 35m
C. 5m >或3m <
D. 5m 或3m
7. 定义符号函数sgn x ＝1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩
则当x ∈R 时，不等式x ＋2＞(2x －1)sgn x 的解集是( )
A. 33{|}44
x x +--<<
B. 3{|}4
x x +-<
C. {|x x <
D. {|3}x x << 8. 【2017北京西城二模理8】有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一 支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
二、填空题（6小题，共30分）
9. 已知全集U R =，集合(,0)A =-∞，{1,3,}B a =--，若()U C A B φ⋂≠，则实数a 的取值范围是______.
10. 设集合{|03}M x x =<，
集合{|02}N x x =<，那么“a M ∈”是“a N ∈”的__条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．
11. 方程()22242x x x x +++=的解集为______________.
12. 一元二次不等式220
ax bx ++>解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则+a b 的值是________ 13. 关于x 的方程()()()221k x x x x x -=--的解集中只含有一个元素,k =______.
14. 设集合0{S A =，1A ，2A ，3A ，4A ，5}A ，在S 上定义运算“⊕”为：j i k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，i ，0j =，1，2，3，4，5．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为__．
三、解答题
15. 已知全集{0,1,2,3,4,5,6}U =，集合{|14}A x N x =∈<≤，2{|320}B x R x x =∈-+=.
（1）用列举法表示集合A 与B ；
（2）求A B 及()U C A B .
16. 已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有实数根.
（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m 的值； （2）若两根均大于1，求实数m 的取值范围.
17. 已知关于x 的方程220x ax --=的两根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m
，使得[1,a ∀∈，[1,1]t ∀∈-不等式2121m tm x x ++≥-都成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，说明理由.
四、附加题
18. 已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1.。