北京市海淀区人大附中分校2019-2020学年高一下学期期末数学测试题
2019-2020学年北京师大附中高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京师大附中高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数y＝sin4x，x∈R的最小正周期为（）A．2πB．πC．D．3．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④5．已知向量，满足||＝2，||＝1，•＝，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．﹣6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝15，b＝5，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（）A．BD1∥GH B．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD18．函数f（x）＝A sin x（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP⊥OQ，则A＝（）A．3B．C．D．1二、填空题共10小题，每小题4分，共40分．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sinα等于．10．设向量、的长度分别为4和3，夹角为60°，则||＝．11．函数f（x）＝3sin x的最大值为．12．设α是第一象限角，sinα＝，则tanα＝．cos2α＝．13．设向量＝（0，2），＝（，1），则•＝；向量，的夹角等于．14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，B＝60°，A＝45°，则b＝，△ABC的面积是．15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cos A ＝．16．已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x在区间[0，m]上单调递增，则实数m的最大值是．17．已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为；设点P （3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是．18．已知a，b是异面直线．给出下列结论：①一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α；②一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α；③一定存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α；④一定存在平面α，使直线a⊥平面α，直线b⊥平面α．则所有正确结论的序号为．三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．.19．已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．20．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的对称中心的坐标；（Ⅲ）求函数f（x）在的区间[﹣，]上的最大值和最小值．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝﹣．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）如果b＝3，求c的值；（Ⅲ）如果c＝2，求sin B的值．22．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅲ）证明：BD⊥CE．23．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE ⊥AD，DC＝DE．（Ⅰ）求证：AD⊥CE；（Ⅱ）求证：BF∥平面CDE；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．24．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，﹣cos x），设函数f（x）＝•（+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若函数g（x）＝f（x）﹣k，，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选：B．2．函数y＝sin4x，x∈R的最小正周期为（）A．2πB．πC．D．【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可．解：函数y＝sin4x，x∈R的最小正周期为：＝．故选：C．3．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：将函数y＝sin2x，向左平移个单位长度，可得y＝sin2（x+），即sin2（x+）＝．故选：C．4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【分析】利用直线与直线的平行直线与平面的垂直关系判断选项的正误即可．解：①平行于同一个平面的两条直线互相平行也可以相交也可能异面直线；所以①不正确；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行也可能相交；所以②不正确；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；正确；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．满足直线与平面垂直的性质定理，正确．故选：D．5．已知向量，满足||＝2，||＝1，•＝，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．﹣【分析】根据平面向量的夹角公式计算即可．解：设向量，的夹角为θ，则θ∈[0，π]，由||＝2，||＝1，•＝，所以cosθ＝＝＝，所以向量，的夹角为θ＝．故选：C．6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝15，b＝5，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】由正弦定理求出sin C的值，可得C＝60°或120°．再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可这个三角形的形状．解：∵△ABC中，已知B＝30°，c＝15，b＝5，由正弦定理，可得：＝，∴解得：sin C＝，可得：C＝60°或120°．当C＝60°，∵B＝30°，∴A＝90°，△ABC是直角三角形．当C＝120°，∵B＝30°，∴A＝30°，△ABC是等腰三角形．故△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选：D．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（）A．BD1∥GH B．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD1【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．解：对于A，由图形知BD1与GH是异面直线，∴A错误；对于B，由题意知BD与EF也是异面直线，∴B错误；对于C，平面EFGH与平面ABCD是相交的，∴C错误；对于D，平面EFGH∥平面A1BCD1，理由是：由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1．故选：D．8．函数f（x）＝A sin x（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，若OP⊥OQ，则A＝（）A．3B．C．D．1【分析】由题意，△OPQ是直角三角形，过P，Q作x轴的垂线，利用勾股定理求解QP，OP，OQ，建立关系可得A的值．解：函数f（x）＝A sin x（A＞0），周期T＝2π，可得：P（，A），Q（）．连接PQ，过P，Q作x轴的垂线，可得：QP2＝4[A2+]，OP2＝A2+]，OQ2＝A2+]，由题意，△OPQ是直角三角形，∴QP2＝OP2+OQ2，即2A2+π2＝，解得：A＝故选：B．二、填空题共10小题，每小题4分，共40分．9．若角α的终边经过点P（1，2），则sinα等于．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解：∵角α的终边经过点P（1，2），则sinα＝＝，故答案为：．10．设向量、的长度分别为4和3，夹角为60°，则||＝．【分析】首先对要求的向量的模平方，变为已知向量的平方和数量积之和，代入模长和夹角，求出结果，注意最后要对求得的结果开方．解：∵、的长度分别为4和3，夹角为60°，∴＝16+4×3×cos60°+9＝31∵||＝＝＝，故答案为：11．函数f（x）＝3sin x的最大值为3．【分析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果．解：当x＝2k（k∈Z）时，函数的最大值为3．故答案为：312．设α是第一象限角，sinα＝，则tanα＝．cos2α＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα的值，根据二倍角的余弦函数公式即可求解cos2α的值．解：∵α是第一象限角，sinα＝，∴cosα＝＝，∴tanα＝＝＝．∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2＝．故答案为：，．13．设向量＝（0，2），＝（，1），则•＝2；向量，的夹角等于．【分析】直接根据数量积的定义以及夹角的计算公式即可求解结论．解：因为向量＝（0，2），＝（，1），故||＝2；||＝＝2；故•＝0×+2×1＝2；向量，的夹角θ满足cosθ＝＝＝；因为θ∈[0，π]⇒θ＝，故向量，的夹角等于．故答案为：2，．14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，B＝60°，A＝45°，则b＝，△ABC的面积是．【分析】由已知利用正弦定理可求b的值，根据三角形内角和定理可求C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：若a＝2，B＝60°，A＝45°，则由正弦定理，可得：b＝＝＝，可求C＝180°﹣A﹣B＝75°，可得△ABC的面积S△ABC＝ab sin C＝×sin75°＝sin（45°+30°）＝（+）＝．故答案为：，．15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cos A ＝．【分析】由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案．解：在△ABC中，cos A＝＝＝，故答案为：．16．已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x在区间[0，m]上单调递增，则实数m的最大值是．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可．解：f（x）＝+sin2x＝sin（2x+）+，当0≤x≤m时，≤x≤2m+，∵f（x）在区间[0，m]上单调递增，∴2m+≤，得m≤，即m的最大值为，故答案为：．17．已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为（3，﹣2）；设点P（3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是（1，3）．【分析】第一空：根据题意，设C的坐标为（x，y），求出向量与的坐标，由共线向量的坐标表示方法可得（2，﹣4）＝2（x﹣2，y），计算可得x、y的值，即可得答案；第二空：由P的坐标计算可得、的坐标，由向量数量积的计算公式可得•＝（﹣3）×（﹣1）+（4﹣t）×（﹣t）＜0，且（﹣3）×（﹣t）≠（﹣1）×（4﹣t），解可得t的取值范围，即可得答案．解：根据题意，设C的坐标为（x，y），又由点A（0，4），B（2，0），则＝（2，﹣4），＝（x﹣2，y），若，则有（2，﹣4）＝2（x﹣2，y），则有2＝2（x﹣2），﹣4＝2y，解可得x＝3，y＝﹣2，则C的坐标为（3，﹣2），又由P（3，t），则＝（﹣3，4﹣t），＝（﹣1，﹣t），若∠APB是钝角，则•＝（﹣3）×（﹣1）+（4﹣t）×（﹣t）＜0，且（﹣3）×（﹣t）≠（﹣1）×（4﹣t），解可得1＜t＜3，即t的取值范围为（1，3）；故答案为：（3，﹣2）；（1，3）18．已知a，b是异面直线．给出下列结论：①一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α；②一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α；③一定存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α；④一定存在平面α，使直线a⊥平面α，直线b⊥平面α．则所有正确结论的序号为②③．【分析】假设①④结论正确，推出矛盾结论判断①④错误，根据线面位置的性质关系判断②③．解：（1）假设①正确，则存在直线a′⊂平面α，使得a∥a′，又b⊥α，故b⊥a′，∴b⊥a，显然当异面直线a，b不垂直时，结论错误，故①错误；（2）设异面直线a，b的公垂线为m，平面α⊥m，且a，b均不在α内，则a，b均与平面α平行，故②正确；（3）在直线b上取点A，显然过点A有无数个平面均与直线a平行，故③正确；（4）假设④正确，则由a⊥α，b⊥α可得a∥b，显然这与a，b是异面直线矛盾，故④错误．故答案为：②③．三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．.19．已知函数f（x）＝sin（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由已知可求f（）＝sin＝即可得解；（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式即可求解；（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求解．解：（Ⅰ）由于函数f（x）＝sin（2x﹣），可得f（）＝sin（2×﹣）＝sin ＝；（Ⅱ）f（x）的最小正周期T＝＝π；（Ⅲ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．20．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的对称中心的坐标；（Ⅲ）求函数f（x）在的区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可（Ⅱ）根据三角函数的对称性进行求解（Ⅲ）求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可．解：（Ⅰ）f（x）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），则f（x）的最小正周期T＝，（Ⅱ）由2x+＝kπ，k∈Z，得x＝kπ﹣，k∈Z，即f（x）的对称中心的坐标为（kπ﹣，0），k∈Z．（Ⅲ）当﹣≤x≤时，﹣≤2x+≤，则当2x+＝时，函数取得最大值，最大值为2sin＝2，当2x+＝﹣时，函数取得最小值，最小值为2sin（﹣）＝2×（﹣）＝﹣1．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝﹣．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）如果b＝3，求c的值；（Ⅲ）如果c＝2，求sin B的值．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数公式以及C为三角形的内角，可得出sin C的值；（Ⅱ）由余弦定理可得c；（Ⅲ）由正弦定理求出sin A，进而求出cos A，根据大边对大角确定cos A的符号，再根据三角形内角和为π，以及两角和与差的正弦公式得出答案．解：（Ⅰ）在△ABC中，cos C＝﹣，且sin2C+cos2C＝1，则sin C＝±，又sin C＞0，故sin C＝．（Ⅱ）∵a＝2，b＝3，∴cos C＝﹣＝＝，解得c2＝16，故c＝4．（Ⅲ）∵，∴，解得sin A＝，又c＞a，则cos A＝，sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝×（﹣）+×＝．22．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅲ）证明：BD⊥CE．【分析】（Ⅰ）推导出CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．（Ⅱ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．（Ⅲ）推导出BD⊥AC，BD⊥PA，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥CE．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，∴CD∥AB，∵CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB．（Ⅱ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，∴O是AC中点，∵E是PA的中点．∴OE∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE．（Ⅲ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，∴BD⊥AC，BD⊥PA，∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面ACE，∵CE⊂平面ACE，∴BD⊥CE．23．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE ⊥AD，DC＝DE．（Ⅰ）求证：AD⊥CE；（Ⅱ）求证：BF∥平面CDE；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．【分析】（I）由AD⊥DE，AD⊥CD可得AD⊥平面CDE，故而AD⊥CE；（II）证明平面ABF∥平面CDE，故而BF∥平面CDE；（III）取CE的中点P，BE的中点Q，证明CE⊥平面ADPQ即可得出平面ADQ⊥平面BCE．解：（Ⅰ）由底面ABCD为矩形，知AD⊥CD．………………（1分）又因为DE⊥AD，DE∩CD＝D，………………所以AD⊥平面CDE．………………又因为CE⊂平面CDE，所以AD⊥CE．………………（Ⅱ）由底面ABCD为矩形，知AB∥CD，又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．………………同理AF∥平面CDE，又因为AB∩AF＝A，所以平面ABF∥平面CDE．………………又因为BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE．………………（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q（即BE的中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．…证明如下：取CE的中点P，BE的中点Q，连接AQ，DP，PQ，则PQ∥BC．由AD∥BC，得PQ∥AD．所以A，D，P，Q四点共面．………………由（Ⅰ），知AD⊥平面CDE，所以AD⊥DP，故BC⊥DP．在△CDE中，由DC＝DE，可得DP⊥CE．又因为BC∩CE＝C，所以DP⊥平面BCE．………………又因为DP⊂平面ADPQ所以平面ADPQ⊥平面BCE（即平面ADQ⊥平面BCE）．即线段BE上存在点Q（即BE中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．………24．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，﹣cos x），设函数f（x）＝•（+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若函数g（x）＝f（x）﹣k，，其中k∈R，试讨论函数g（x）的零点个数．【分析】（1）通过向量的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数的最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可．（3）求出函数在时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数．解：（1）函数f（x）＝•（+）＝（sin x，cos x）•（sin x+cos x，0）＝sin2x+sin x cos x＝+＝．所以函数的最小正周期为：π．（2）因为函数，由，即，所以函数的单调增区间为：．（3），，所以，，函数g（x）＝f（x）﹣k＝﹣k，，其中k∈R，当k＜0或时，零点为0个；当时函数有两个零点，当或0≤k＜1时，函数有一个零点；。
北京市人大附中2019-2020学年高一下学期期末考试试题（解析版）
北京市人大附中2019-2020学年高一下学期期末考试试题（解析版）北京市人大附中2019-2020学年高一下学期期末考试试题一、选择题1.下列物理量属于矢量的是（）A. 电场强度B. 电势能C. 电流强度D. 电势差AA．电场强度既有大小又有方向，是矢量，选项A正确；B．电势能只有大小无方向，是标量，选项B错误；C．电流强度有大小也有方向，但是电流合成时不符合平行四边形定则，所以电流是标量，选项C错误；D．电势差只有大小无方向，是标量，选项D错误。
2.如图所示，真空中有两个静止的点电荷，Q1为正、Q2负，正电荷比负电荷多，分别固定在x轴的坐标为x1=0和x2=6cm的位置上，关于它们产生的电场，下列说法正确的是（）A. 在x坐标0~6cm之间，有一处电场强度为0B. 在x6cm的x轴上，有一处电场强度为0C. 在x轴的负半轴，有一处电场强度为0D. 在x轴以外，有一处电场强度为0BA．在x坐标0~6cm之间，两个点电荷在该区域产生的场强方向均向右，则合场强不可能为零，即没有电场强度为0的位置，选项A错误；B．在x6cm的x轴上，正电荷在该区域产生的场强方向水平向右，负电荷在该区域产生的场强方向水平向左，又因为正电荷电荷量较大，且离该区域较远，则该区域有一处电场强度为0，选项B正确；C．在x轴的负半轴，离电荷量较大的正电荷较近，而离电量较小的负电荷较远，则没有电场强度为0的点，选项C错误；D．两电荷在x轴以外的位置形成的场强方向夹角不可能是180°，则合场强不可能为零，选项D错误。
3.如图所示为某静电场中电场线与等势线分布示意图，由图可知（）A. A点电势比B点高B. A点场强比B点大C. 将一个正电荷q由A移动到B，电势能减小D. AB两点之间的电势差UAB为正BAD．沿电场线电势逐渐降低，则A点电势比B点低，AB两点之间的电势差UAB为负值，选项AD错误；B．A点电场线较B点密集，则A点场强比B点大，选项B正确；C．将一个正电荷q由A移动到B，电场力做负功，则电势能增加，选项C错误；4.下列说法正确的是（）A. 串并联组合电路中其中一个电阻增大而其他电阻不变时，总电阻增大B. 把一根均匀导线等分成等长的两段，则每部分的电阻率也变为原来的一半C. 电容器所带的带电量越多，说明它的电容越大D. 电动势的单位跟电压的单位一样，都是伏特，所以电动势就是电压AA．串并联组合电路中其中一个电阻增大而其他电阻不变时，总电阻增大，选项A正确；B．导体的电阻率与导体的材料有关，与长度无关，选项B错误；C．电容器的电容与内部结构有关，与带电量无关，选项C错误；D．电动势单位跟电压的单位一样，都是伏特，但是电动势是非静电力做功问题，电压是静电力做功问题，两者有本质的不同，选项D错误。
人大附中分校 2019～2020 学年度第二学期期末练习
（Ⅱ）求证：平面 EFMN 平面 PAC ；
（Ⅲ）设
DM DP
=
，当
为何值时四棱锥
M
EFDC
的体积等于1，求 的值.
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19.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD 135 ，侧面 PAB 底面 ABCD ，PA AB , AB AC PA 2 , E, F 分别为 BC, AD 的中点，
过 EF 的平面与面 PCD交于 M , N 两点.
（Ⅰ）求证： EF //MN ；
.
3
15. 已知菱形 ABCD 中，AB=2， BAD 60（如图 1 所示），将菱形 ABCD 沿对
角线 BD 翻折，使点 C 翻折到点 C1
的位置（如图 2 所示），点 E，F 分 别是 AC1，BD 的中点，则 ① EF // AB ；
② EF AC1 ；
图1
图2
③ AC1 平面 BDE ；
⑤ f (x) 在区间[2 ,2 ] 上有 9 个零点
其中所有正确的编号是（ ）
A. ①③
B. ②④
C. ④⑤ D. ③⑤
10. 如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在半圆
弧岸边上取点 C ， D ， E ，满足 AOD DOE 2AOC ，在扇形 AOC 和四边
3,
则
sin sin
cos cos
12.已知 为第四象限角，则
1 cos 2 sin
1 cos 2 cos
13.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 的终边按逆时
针方向旋转 后经过点 (1, 3) ，则 sin ______________. 4
北京海淀人大附2024届高一数学第二学期期末统考试题含解析
北京海淀人大附2024届高一数学第二学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U A C B =（ ）A ．{}11x x -<< B ．{}23x x -<< C ．{}23x x -≤<D ．{}21x x x ≤->-或2．若α是第四象限角，则πα-是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知角α的终边上有一点P （sin23π，cos 23π），则tanα=（ ）A ．BC ．D4．在ABC 中，1cos 2A =-，BC =ABC 的外接圆半径为（ ）A ．1B ．2C D ．5．已知函数()ln(1)f x x =+，()g x kx =（*k N ∈），若对任意的(0,)x t ∈（0t >），恒有2()()f x g x x -<，那么k 的取值集合是（ ） A ．{1}B ．{2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}6．一个钟表的分针长为 10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是( ) A ．353πB ．1753πC ．3153πD ．1756π7．已知等差数列{}n a 中，若261,5a a =-=-，则7S =（ ）A ．-21B ．-15C ．-12D ．-178．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22ax bx > C ．22a b >D ．33x xa b > 9．在边长为(a 2)a >的正方形内有一个半径为1的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为35，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）A ．235a B ．225a C ．25a D ．35a10．设0,0a b >>，且4a b +=，则a bab+的最小值为 （ ） A ．8 B ．4C ．2D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019_2020学年北京海淀区北京市八一学校高一下学期期末数学试卷-学生用卷
cos
B.
−
1 9
− 2 =（ ）． C. 1
9
D. 5
3
7、设→，→是向量，则“ → = → ”是“ → + → = → − → ”的（ ） ． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直 立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为
中，∠
为钝角，
= 2，
=
2，
=
，
6
为
延长线上一点，且
(1) 求∠ 的大小． (2) 求 ， 的长．
18、如图在三棱柱 − 1 1 1中，侧棱垂直于底面， 分别是 1 1， 的中点．
⊥ ， 1=
= 2，
= 1， ，
(1) 求证：平面 ⊥平面 1 1． (2) 求证： 1 //平面 ． (3) 求三棱锥 − 的体积．
A. sin 53°
2sin 47°
B. 2sin 47°
sin 53°
C. tan 26.5°tan 73.5°
tan 47°
D. sin 26.5°sin 73.5°
sin 47°
9、已知向量→ ≠ →， → = 1，满足：对任意 ∈ ，恒有 → − → ⩾ → − → ，则（ ）． A. → ⊥ → B. → ⊥ → − → C. → ⊥ → − → D. → + → ⊥ → − →
15、已知函数 ( ) = sin 2 ，任取 ∈ ，记函数 ( )在区间[ , + 1]上的最大值为 ，最小值 为 ，记ℎ( ) = − ．则关于函数ℎ( )有如下结论：
①函数ℎ(
)为偶函数；②函数ℎ(
北京市人大附中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(word版,含答案)
C. D.
五、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）
24.正方体 ，点P在正方形ABCD及其内部运动，则点P满足条件________时，有 .
25.已知锐角 ，同时满足下列四个条件中的三个：① ；② ；③ ；④ .则这三个条件是________（只填写序号）， 的面积是________
20.【答案】B
21.【答案】A
22.【答案】C
23.【答案】B
五、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）
24.【答案】点 在线段 上
25.【答案】①.①②③②.
26.【答案】1
27.【答案】
28.【答案】
29.【答案】
三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）
16.【答案】（1）见解析；（2）见解析
17.【答案】（1） ， ，（2）
18.【答案】（1）证明见解析；（2） 与BD不可能垂直，证明见解析
19.【答案】（1） ；（2）
四、选择题（共4小题，每小题5分、共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）
A. B. 3 C. 6 D. 9
23.设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在 处的离散曲率为 其中 为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 遍历多面体 的所有以 为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体)，若它们在各顶点处的离散曲率分别是 ，则 的大小关系是
A.直角三角形B.等腰直角三角形
C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形
10.如图，E是正方体 棱 的中点，F是棱 上的动点，下列命题中：①在平面 内总存在与平面BEF平行的直线；②直线 和直线EB为异面直线；③四面体EBFC的体积为定值.其中正确命题个数是（）
2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题及答案
绝密★启用前2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案：B2．向量(,)a m n =，向量(1,2)b =，(1,1)c =，若向量()a c b +∥，且a c ⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．19答案：B∵(1,1)a c m n +=++且()a c b +∥， ∴2(1)1m n +=+①， ∵a c ⊥， ∴0m n +=②，由①②得13m =-，13n =，∴11,33a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1||3a ⎛⎫=-= ⎪3．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD ．答案：D∵外接球体积为36π，设半径为R ， 则24π36π3R =，3R =， 又∵正方体的外接球直径为其体对角线，∴设正方体的棱长为a 26R ==，即a =．4．在ABC △中，若2a =，b =30A =︒，则B 为（ ）．A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒【考点】HP ：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B ．【解答】解：由正弦定理可知sin sin a bA B=，∴1sin 2sin 2b A B a ===， ∵(0,180)B ∈︒，∴60B ∠=︒或120︒． 故选B ．5．在下列函数中，最小值是2的是（ ）．A ．22x y x=+B ．0)y x => C ．1sin sin y x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．77x x y -=+【考点】7F ：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A ，x 正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B ，2y ，，即0x=时取等号，但0x>，故错误；选项C，∵π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin(0,1)x∈，∴1sin2siny xx=+≥，当且仅当1sinsinxx=，即sin1x=时取等号，但sin(0,1)x∈，取不到1，故错误；选项D，177727x x xxy-=+=+≥，当且仅当177xx=即0x=时取等号，故正确．故选：D．6．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，则cos C=（）．A．725B．725-C．725±D．2425【考点】HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sin B，cos B，然后利用平方关系式求出cos C的值即可．【解答】解：因为在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，所以8sin5sin5sin210sin cosB C B B B===，所以4cos5B=，B为三角形内角，所以π0,4B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．π2C<．所以3sin5B=．所以4324sin sin225525C B==⨯⨯=，7cos25C==．故选：A．7．如图所示，C、D、A三点在同一水平线上，AB是塔的中轴线，在C、D两处测得塔顶部B处的仰角分别是α和β，如果C 、D 间的距离是a ，测角仪高为b ，则塔高为（ ）．C 1A.b a a a +-)sin(sin sin ββB ．cos cos cos()a αββα-C ．cos cos cos()a b αββα+-D ．sin sin sin()a αββα-【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】分别在BCD △、ABD △这两个三角形中运用正弦定理，即可求解． 【解答】解：在BCD △中，sin sin CD BDCBD C=∠∠，∴sin()sin BDαβαα=-，即sin sin()a BD αβα=-，在ABD △中，sin sin AB BDADB A=∠∠，∴sin sin90AB BDβ=︒， 即sin sin sin sin()a AB BD αββαβ==-⋅，则塔高为b a a a +-)sin(sin sin ββ，故选：A ．8．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（）A 120︒B 90︒C 60︒D 30︒答案：B9．在△ABC 中，若sin sin a A b B =，则△ABC 的形状一定是（）A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 钝角三角形答案：B10.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 （A ）25（B ）45（C ）5 （D ）25答案C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2019_2020学年北京海淀区清华大学附属中学高一下学期期末数学试卷-学生用卷
过点 作 ⊥ ， 交 于点 ，故 为 中点，
∴可知 =
2 + 2 = 16 + 2，
∴ 最小时， 最小，
∵=
2 + 2 = 42 + 22 = 2 5，
= 5，
∴ 最小时， ， ， 共线，
故 = − = 2 5 − 5 = 5，
∴
= 16 +
2 = 16 +
2
15 =
21．
故选 A．
11 、【答案】 12;
故选 A．
=
1 2
×
4
×
1
×
1 2
=
1，
4 、【答案】 A;
【解析】 若复数 = + i 为纯虚数，
则 = 0， ≠ 0，
则“ = + i 为纯虚数”是“ = 0”的充分条件，
但若 = 0， = 0，
则不能推出 = + i 为纯虚数，
∴“ = + i 是纯虚数”为“ = 0”的充分不必要条件．
故选 A．
17、在△ 中，cos
(1) 求 的大小．
=
1，
7
= 8，
= 7．
(2) 若 是 的中点，求 的长．
18、2020 年居家学习期间，我校开展了“书香月”主题读书活动，现从高一高二各随机抽取 10 名同学，调查其在“书香月”的阅读量（单位：本），得到数据用茎叶图记录如下：
(1) 现已知高一学生共有 600 人，试估计高一学生的总阅读量为多少本．
5 、【答案】 D;
【解析】
由题意可得：
(
)
=
3，
5
(
)
=
2，