2005年湖南省数学竞赛试卷

2005年湖南省数学竞赛试卷考生注意：1.本试卷共三大题（19个小题），全卷满分150分。

2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。

3.解题书写不要超出装订线。

4.不能使用计算器。

一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．命题甲：10031002≠≠y x 或；命题乙：2005≠+y x ，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．如果圆222n y x =+至少覆盖函数nxx f πsin3)(=的一个最大点和一个最小点，则正整数n 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （ ）A ．43B ．32C ．53D ．109 4．对于,R x ∈ 函数)()2()2(x f x f x f =-++，则它是周期函数，这类函数的最小正周 期是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．125．函数)(x f y =的图象为C ，而C 关于直线1=x 对称的图象为1C ，将1C 向左平移1个单后得到的图象为2C ，则2C 所对应的函数为（ ）A ．)(x f y -=B ．)1(x f y -=C ．)2(x f y -=D ．)3(x f y -=6．当b a ,是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是（ ）A ．2)1()1)(1(abab b b a a +>++B ．2)22()1)(1(ba b a b b a a +++>++C ．b a b a b a b a ++>++222233D ． 223322b a b a b a b a -->--7．记xyy x A xy )1)(1(22--=，若abc c b a =++，则ab ac bc A A A A ++=的值为（ ）A ．3B ． 3-C ． 4D ．4-8．某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （ ） A ．17043 B ．17044 C ．17045 D ． 170469．若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条 对角线贯穿的小长方体的个数是 （ ） A ．64 B ．66 C ．68 D ．7010．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为 （ ）A ．1B ． nC ．21+n D ． 21-n 二、填空题：(本小题共4小题，每小题6分，共24分，把答案填在题中横线上)11．设R x ∈，对于函数)(x f 满足条件35)1(242-+=+x x x f ，那么对所有的R x ∈，=-)1(2x f _______________;12．一张坐标纸对折一次后，点)4,0(A 与点)0,8(B 重叠，若点)8,6(C 与点),(n m D 重叠， 则=+n m _______________;13．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为______; 14．集合X 中的元素是正整数，且有性质：若X x X x ∈-∈12,则，这样的集合X 共有 _____________个。

三、解答题：（本大题5小题，共66分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 15．（本小题满分12分）数列}{n a 满足nn n n n a b N n a a a a +=∈+==+11,,,21211， n n n n b b b P b b b S 2121,=+++=，试求n n S P +2的值。

16．（本小题满分12分）已知D 是面积为1的三角形ABC ∆的 边AB 上的任意一点，E 是 边AC 上任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点，设 ,,,z DE DF y AC AE x AB AD ===且21=-+x z y ，试求三角形BDF 的面积的最大值。

A17．（本小题满分12分）过点)4,223(+P 作一条直线和轴轴、y x 分别相交于N M 、两点，试求MN ON OM -+的最大值。

（其中O 为坐标原点）18．（本小题满分16分）若正数c b a ,,满足b a c c a b c b a +-+=+求证4117-≥+c a b19．（本小题满分14分）从岳阳到郴州的快速列车包括起始和终点共有六站，将这六站分别记为A,B,C,D,E,F,有一天张兵和其他18位旅客乘同一车厢离开岳阳，这些人中有些是湖北人，其他的是湖南人，认识所有同车厢旅客的张兵观测到：除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢上的湖南人的数目与下车旅客的数目相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢。

张兵又进一步观测到，当火车离开车站B 时，车厢内有12名旅客；当火车离开车站D 时，还有7名旅客在这一车厢内；当他准备在F 站下车时，还有5名旅客在这一车厢内。

试问开始时火车的这一节车厢有多少湖北人，有多少湖南人？且在旅途中这些数目如何变化？2005年湖南省数学竞赛试卷（参考答案）一、选择题1． B 提示：从原命题的等价命题逆否命题来考虑 2． B 提示：因为nxx f πsin3)(=为奇函数，图象关于原点对称，所以圆222n y x =+只要覆盖)(x f 的一个最值点即可，令2ππ=nx，解得)(x f 距原点最近的一个最大点)3,2(n P ，由题意222)3()2(+≥nn 得正整数n 的最小值为2 3．C 提示：由222,422c b a b c a +==+，消去b 得c a 53=，所以53==a c e 4．D 提示：将2-x 代替式中的x ，则有)2()4()(-=-+x f x f x f 于是)4()2(--=+x f x f ，可得)()6(x f x f -=+，所以)()12(x f x f =+5．B 提示：)2(:1x f y C -=,)1()]1(2([:2x f x f y C -=+-= 6. B 提示：当5,1==b a 时，4.10)1)(1(=++b b a a ，而1049100)22(2>=+++b a b a 7．C 提示：令3===c b a ，则答案为48．A 提示：设第n 辆车装货物n a 箱，由题意得：200551a a a ==，200262a a a ==…实际象以4为周期的数列，答案为1704393442004=+⨯ 9．B 提示：由2，3，5的最小公倍数为30，由2，3，5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2。

3。

5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿国的小长方体的个数应为3的倍数，故答案为B 10．C 提示：当n =2时，打开柜门需要的次数为23，故答案为C 或已知每一位学生打开柜门的概率为n1，所以打开柜门次数的平均数（即数学期望）为2111211+=⨯++⨯+⨯n n n n n ，故答案为C 二、填空题：11．用换元法可得9)1(242-+=-x x x f 12．可解得对称轴方程为62-=x y ，由2168,6)6(28-=---+=+m n m n 得2,7,6.7==n m ，所以8.14=+n m13．3242a π，提示：可把正四面体变为正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22于是球的半径为a 42，3242a V π= 14．63个 提示：记}6),7,5(),8,4(),9,3(),10,2(),11,1{(=Y ，故满足条件的集合为63126=-个三、解答题： 15．解：因为N n a a a a n n n ∈+==+,,21211，所以)1(,01+=>>>++n n n n n a a a a a 所以11121111++++-=-==+=n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b ， 1132212121++=⋅⋅⋅==n n n n n a a a a a a a b b b P ， 1132212112)11()11()11(++-=-++-+-=+++=n n n n n a a a a a a a b b b S ，故2)12(1211=-+=+++n n n n a a S P16．解：连结BE ，则三角形BDF 的面积为y x z yS x z S x z zS S ABC ABE BD E BD F )1()1()1(-=-=-==∆∆∆∆由均值不等式，得81]3)1([)1(3=+-+≤-y x z y x z ，当且仅当21,1=-+=-=x z y y x z 即21===z y x 时等号成立，所以三角形BDF 的面积的最大值为81。

17．解：过点)4,223(+P 作一圆与x 轴、y 轴分别相切于点A 、B ，且使点)4,223(+P在优弧AB 上，则圆的方程为9)3()3(22=-+-y x ，于是过点)4,223(+P 作圆的切线和x 轴、y 轴分别相交于11,N M 两点，圆为11N OM Rt ∆的内切圆，故61111=-+N M ON OM若过点P 的直线MN 不和圆相切，则作圆的平行于MN 的切线和x 轴、y 轴分别相交于00,N M 两点，则60000=-+N M ON OM 由折线00MNN M 的长大于00N M 的长及切线长定理，得MN NN ON MM OM MN ON OM --+-=-+)()(00006)]([)(000000000000=-+≤++-+-+=N M ON OM NN MN M M N M N M ON OM所以，MN ON OM -+的最大值为6。

18．证明：由条件，有cb ab ac c a b +++=+，令z a c y c b x b a =+=+=+,,； 则2,2,2xz y c z y x b y z x a -+=-+=-+=，从而原条件可化为： ,1411++≥++≥-+++=+yx zy z x z y x z x z y z y x 令,t z y x =+则14+≥t t ，解得21712171-≤+≥t t 或，故41172122-≥-=-+=+t z z y x c a b 19．解：由条件得在B 站有7人下车，即19个旅客中有7个湖南人，在E 站有2人下车，即在D —E 途中有2位湖南人，C —D 中至少有2位湖南人，在D 站至少有2人下车，所以C 站后车厢内至少有9个人，又因为22712>-，所以B —C 途中至少有3个湖南人，因此经过C 站后车厢内至多9人，故经过C 站后车厢内有9人综上所述，AB 段有7个湖南人，12个湖北人，B 站有4个湖南人，3个湖北人；C 站有1个湖南人，2个湖北人下车，D 站有2个湖北人下车，E 站有2个人下车。