2.3.1离散型随机变量的均值与方差-期望值
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.1 离散型随机变量的均值
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自 测 自 评
1．分布列为 ξ P 的期望值为( C ) A．0 B．－1 C．－ 2．设 ξ 的分布列为： 1 1 P 6 又设 η＝2ξ＋5，则 E(η)＝( 7 17 17 32 A. B. C. D. 6 6 3 3 ξ 2 1 6 3 1 3 4 1 3 －1 1 2 0 1 3 1 1 6 1 3 D. 1 2
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每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机 确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数
学期望．
解析：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 件数． (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则－ A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 C2 1 4 3 － P(A)＝1－P( A )＝1－ 2＝1－ ＝ . C6 5 5 (2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 2 P(ξ＝0)＝ 2＝ ， P(ξ＝1)＝ 2＝ ， P(ξ＝2)＝ 2＝ ， P(ξ＝3)＝ 2 C6 3 C6 15 C6 5 C6 2 1 1 ＝ ，P(ξ＝4)＝ 2＝ . 15 C6 15
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(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y)．
解析：(1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得 m＝ . 4 3 5 20 6
2.3.1离散型随机变量的均值(第一课时)
X P
0
1
… …
m
m n m CM CN M n CN
0 n 0 1 n 1 CM CN C C M M N M n n CN CN
（3）二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，若事件A每次发生 的概率都是p，则称事件A发生的次数X服从二项分布.
X P
0 n
0
1
0 n
…
k
…
n
C pq
五、小结巩固
掌握离散型随机变量的均值的概念、性质及计算:
1.离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … …
则称 EX＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xi pi＋… 为X的均值或数 学期望，数学期望又简称为期望． 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
∴ EX=1×P(X=1)＋0×P(X=0) =1×0.7＋0×0.3 =0.7 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 EX=1×p+0× (1-p)=p 于是有 若X服从两点分布，则EX=p
3.两点分布的均值：
若X服从两点分布，则EX=p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚 2 次球的得分X的期望.
2、随机变量ξ的分布列是
.
ξ P
4 0.3
7 a
0.1 b=
9 b
10 0.2
0.4.
Eξ=7.5,则a=
练习二
1.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 （2）E(ξ－Eξ)= 0 . .
2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次 的得分ξ的期望为 ． 这是一个两点分布随机变量的期望
选修2-3：2.3.1离散型随机变量的均值(1)
2. 若X服从两点分布，则EX=p
3.若X～B（n , p），则 E( X ) np
例：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题 选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分 100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生 甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
例题5
根据气象预报,某地区近期有小洪水的概 率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某 工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失 60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设 备,有以下3种方案:
4.例题讲解
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的概率分布； （2）求X的数学期望。 解：(1) X～B（3，0.7）
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.32
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2) E（X） 0 0.33 1 C310.7 0.32 2 C320.72 0.3 3 0.73
例：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项， 其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作 出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲 和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
离散型随机变量的期望及方差
3．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个 面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上 的数之积的数学期望________．
解析：随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,4，P(ξ＝0)＝34，P(ξ＝1)＝19，P(ξ ＝2)＝19，P(ξ＝4)＝316，因此 Eξ＝49.
(1)X的概率分布；
(2)X的数学期望．
解：摸球的情形有以下5种：甲1白，乙2白(0元)；甲1红，乙2 白或甲1白，乙1红1白(10元)；甲1红，乙1红1白(20元)；甲1白，乙 2红(50元)；甲1红，乙2红(60元)．
(1)X的所有可能的取值为0,10,20,50,60， P(X＝0)＝(190)3＝1702090； P(X＝10)＝110×(190)2＋190×11082＝1204030； P(X＝20)＝110×11082＝110800；
[例1] 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记 上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个，ξ表示所取球的标 号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值． [课堂记录] (1)ξ 的分布列为
ξ0 1 2 3 4
P
1 2
P(X＝50)＝190×1102＝10900； P(X＝60)＝1103＝10100； ∴X 的概率分布为
(2)EX＝0×1702090＋10×1204030＋20×110800＋50×10900＋60×10100＝ 3.3(元)．
热点之二 期望与方差的性质及应用 利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算．常用性质 有： (1)EC＝C(C为常数)； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)； (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；
最新人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则称EX=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望.随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平.由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.知识拓展 上述问题推广到一般有：假设随机试验进行了ｎ次，根据X 的分布列，在ｎ次试验中，有p 1n 次出现了x 1，p 2n 次出现了x 2，…，p n n 次出现了x n ，在ｎ次试验中，X 出现的总次数为p 1nx 1＋p 2nx 2＋…＋p n nx n .因此ｎ次试验中，X 出现的平均值=nnx p nx p nx p nn i +++ 221=EX ，即EX=p 1x 1+p 2x 2+…+p n x n .辨析比较 随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值. 二、随机变量函数的数学期望对随机变量X ，若Y=ａX ＋ｂ，其中ａ，ｂ是常数，则Y 是随机变量，且有E(aX+b)=aEX+b.对上述公式，特别地：(1)当a=0时，E （b ）=b ，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当a=1时，E （X ＋b ）=EX ＋b ，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期望与这个常数的和； (3)当b=0时，E(aX)=aEX ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.三、常见的离散型随机变量的均值1.两点分布：若X 服从两点分布，则EX=p.事实上，假设在一次试验中某事件发生的概率为p ，X 是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p ，则有P （X=0）=q ，P （X=1）=p ，可得: EX=0×q ＋1×p=p.2.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即X —B （n,p ），则EX=np.在一次试验中该事件平均发生ｐ次，我们可以猜想，在n 次独立重复试验中，该事件平均发生ｎｐ次，也就是若X —B(n,p)，则Eξ=np.这就是X 的二项分布的期望的特点. 四、离散型随机变量的方差设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则（x i -EX ）2描述了x i (i=1,2,…,n)相对于均值EX 的偏离程度，而DX=∑=-ni iEX x12)(p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度.我们称DX 为随机变量X 的方差.其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差，记作σX.随机变量X 的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX 越小，稳定性越高，波动越小.显然DX≥0，校准差与随机变量本身有相同单位. 辨析比较 随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随着抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容易的增加，样本方差越来越接近于总体方差.联想发散 方差是随机变量另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的.由方差的定义DX=∑=-ni iEX x12)(p i 可知，计算方差DX 必须先求均值EX ，并且由此定义进一步可得到公式DX=EX 2-(EX)2. 随机变量函数的方差当a ，b 均为常数时，随机变量函数η=aξ+b 的方差D(η)=D(aξ+b)=a 2Dξ. 特别地：(1)当a=0时，D （b ）=0，即常数的方差等于0；(2)当a=1时，D(ξ+b)=Dξ，即随机变量与常数之积的方差等于这个随机变量的方差本身； (3)当b=0时，D(aξ)=a 2Dξ，即随机变量与常数之积的方差，等于这常数的平方与这个随机变量方差的乘积.五、两点分布及二项分布的方差1.两点分布：若X 服从两点分布，则DX=p(1-p).证明：由于X 服从两点分布，即P(X=0)=1-p,P(X=1)=p ， ∴EX=p,EX 2=0×(1-p)+1×p=p, ∴DX=EX 2-(EX)2=p-p 2=p(1-p).2.二项分布：若X —B(n,p),则DX=np(1-p).证明：由X —B(n,p)，令q=1-p,则P(x=i)=i n X p i q n-i，∴EX 2=∑=-ni in i qp i22=∑∑∑==--=-=+-ni ni in iin ini i i qip qp i i 0)1()1(+EX=n(n-1)p2)2()2(2222-+--=--∑n n i ni i n qpC+EX=n(n-1)p2∑-=-22n j i n Cp j q (n-2)-j +EX=n(n-1)p 2(p+q)n-2+EX=n(n-1)p 2+EX=n(n-1)p 2+np. ∴DX=EX 2-(EX)2=n(n-1)p 2+np-np 2=np-np 2=np(1-p). 故DX=np(1-p). 问题·探究问题1 如果X —B(n,p)，你能求出x 的均值吗？思路:如果X —B(n,p)，则有P(x=k)=k n C p k(1-p)n-k ，由均值定义有EX=∑=nk k kn p kC0(1-p)n-k ，又由组合数性质有k k n C =n 11--k n C .EX=∑=--nk k n npC111(1-p)n-1-(k-1)=k n k nk k n p p Cnp--=--∑111)1(=np.探究:均值这一概率是建立在分布列的基础之上的，分布列中随机变量X 的一切可能值x i 与对应的概率P （ξ=x i ）的乘积的和就是随机变量X 的均值.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者大有不同，分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平. 问题2 移动公司在某地区共有客户3 000人，若该地区的办事处准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问该办事处能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备多少份礼品？思路:可能来多少人，是一个随机变量，由于每人是否去领奖，相互间是独立的，因而随机变量服从二项分布，用数学期望来反映平均领奖人数，即能说明是否可行.探究:如问题2，我们可以设来领奖的人数为一个随机变量ξ=k(k=0,1,2,…,3 000)，所以P(ξ=k )=kC 3000(0.04)k (1-0.04)3 000-k ，则可以得出ξ—(3 000,0.04)，那么Eξ=3 000×0.04=120（人）＞100（人）.所以办事处不能向每一位客户都发出领奖邀请.若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备120份礼品. 典题·热题例1某份英语竞赛试题共有100道选择题，每题有4个选项，只有一个答案正确.选对得1分，否则得0分.学生甲会其中的20题，学生乙会其中的80题，不会的均随机选择.求甲、乙在这次竞赛中得分的期望.思路分析： 数学期望反映了随机变量取值的平均水平，要求数学期望首先要得到分布列，由题意可知，本题为二项分布问题.解：设甲和乙不会的题的得分分别为随机变量X 和Y ，由题意知X —B(80,0.25)，Y —B(20,0.25)，∴EX=80×0.25=20,EY=20×0.25=5.故甲、乙在这次竞赛中得分的期望分别为40分和85分. 拓展延伸设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为（ ）A.15B.10C.20D.5 思路分析：次品率为P=151150001000 ，且该题服从二项分布，由公式，得EX=nP=150×151=10.故选B. 答案：B方法归纳 通常情况下，在ｎ次独立重复试验中事件发生的次数X 服从二项分布，直接代入公式即可求得期望.例2（2005湖南高考）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （1）求ξ的分布及数学期望；（2）记“函数f(x)=x 2-3ξx ＋1在区间［2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率. 思路分析： （1）写出ξ的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出P （ξ=k ）（ｋ=1,3），写出ξ的分布列，求出Eξ.（2）利用二次函数的单调性求解. 解：（1）分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”.为事件A 1，A 2，A 3.由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+P （321A A A ∙∙）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （1A ）P （2A ）P （3A ）=2×0.4×0.5×0.6=0.24， P （ξ=1）=1-0.24=0.76. 所以ξ的分布列为Ξ 1 3 P0.76 0.24Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48. （2）解法一：因为f(x)=(x-23ξ)2+1-49ξ2, 所以函数f(x)=x 2-3ξx+1在区间［23ξ,+∞）上单调递增，要使f(x)在［2,+∞)上单调递增，当且仅当23ξ≤2,即ξ≤34.从而P(A)=P(ξ≤34)=P(ξ=1)=0.76.解法二：ξ的可能取值为1，3.当ξ=1时，函数f(x)=x 2-3x+1在区间［2,+∞)上单调递增， 当ξ=3时，函数f(x)=x 2-9x+1在区间［2,+∞)上不单调递增. 所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.深化升华 本题主要考查离散型随机变量分布列、数学期望和事件的概率等问题.一般解法是先由题意求出分布列，再由随机变量的数学期望公式代入求解即可.这一知识点应是未来高考中的一个热点.例3（2005全国高考）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01）思路分析： 首先要求出单个坑不需要补种的概率，然后三个坑认为是三次独立重复试验，然后利用公式求解.解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=81， 所以甲坑不需要补种的概率为1-8781=. 3个坑都不需要补种的概率3003)87()81(⨯⨯C =0.670;恰有1个坑需要补种的概率为213)87(81⨯⨯C =0.287;恰有2个坑需要补种的概率为87)81(223⨯⨯C 8=0.041;3个坑都需要补种的概率为0333)87()81(⨯⨯C =0.002.补种费用ξ的分布列为Ξ 0 10 20 30 P 0.670 0.287 0.041 0.002ξ的数学期望为Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.方法归纳 本题主要考查计算随机事件发生概率的能力，包括互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查随机变量、数学期望等知识以及利用概率知识解决实际问题的能力.本题解决的关键有两点：一是单坑是否需要补种的概率；二是独立重复试验.首先，一个坑内的3粒种子是否发芽是独立重复试验，据此可得到单坑需要补种的概率；然后，3个坑是否需要补种也是独立重复试验，据此可得需要补种的坑的数目的分布列.例4交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有完全相同的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖人获利的数学期望.思路分析： 抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中每一个ξ取值时所代表的随机事件的概率值是容易获得的，本题的目标是求参加摸奖的人获利η的数学期望.由ξ与η的关系η=ξ-5，利用公式Eη=Eξ-5可得.解：设ξ为抽到的2个球上的钱数之和，则ξ的取值如下： ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元,1个5元），ξ=10（抽到2个5元）.所以，由题意：P(ξ=2)=452821028=C C ，P(ξ=6)=45162101218=C C C , P(ξ=10)=45121022=C C ，Eξ=2×4516245110451664528=⨯+⨯+，又设η为抽奖者获利可能值，则η=ξ-5. 所以抽奖者获利的期望为：Eη=Eξ-5=57545162-=-=-1.4. 误区警示 要分清是谁获利，不能忽视了条件是先交5元钱才能参加这一抽奖.因此，不能只计算Eξ，最终Eη的结果出现负值，说明摸奖者若重复这种抽奖，平均每摸一次要亏1.4元.例5甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，η，ξ和η的分布列如下：Ξ 0 1 2P106101 103η 012P105 103 102 试对这两名工人的技术水平进行比较.思路分析：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差的大小.解：工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为： Eξ=0×106+1×101+2×103=0.7，Dξ=(0-0.7)2×106+(1-0.7)2×101+(2-0.7)2×103=0.81； 工人乙生产出次品数ξ的期望和方差分别为：Eξ=0×105+1×103+2×102=0.7; Dξ=(0-0.7)2×105+(1-0.7)2×103+(2-0.7)2×102=0.61.由Eξ=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定.深化升华 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中与稳定.即不要误认为均值相等时，水平就一样好，还要看一下相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定.例6设一次试验的成功率为ｐ，进行100次独立重复试验，求当ｐ为何值时，成功次数的标准差的值最大，并求最大值.思路分析： 解决本题的关键就是根据题目所给出的条件，找出几个变量之间的关系. 解：设成功次数为随机变量ξ，由题意可知ξ—B(100,p). 那么σξ=)1(100p p D -=ξ, 即Dξ=100p(1-p)=100p-100p 2.把上式看作一个以ｐ为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，Dξ有最大值为25.所以最大ξD 值为5. 故当21时，成功次数的标准差的最大值为5. 方法归纳 对求离散型随机变量的均值与方差的综合问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布是一些熟知的类型（如两点分布、二项分布等）时，应全面地分析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各随机变量相应的概率.本例中正是利用二项分布快速地得到方差，从而建立了关于ｐ的目标函数，进而求其最值. 此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的
2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法【例1】 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX.解析：由于离散型随机变量的分布列满足 (1)p i ≥0,i=1,2,3,...; (2)p 1+p 2+...+p n + (1)故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+112101)21(2122q q q q 解得 q=1-22 故X 的分布列为∴EX=(-1)×2+0×(2-1)+1×(22-)=-2321++（-2）=1-2 DX=［-1-（1-2)］2×21+（1-2）2×（2-1）+［1-（1-2)］2×(223-)=（2-2）2×21+（2-1）3+2(223-)=2-1温馨提示解本题时，要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即EX=（-1）×21+0×(1-2q)+1×q 2=q 2-21; DX=［-1-(q 2-21)］2×21+(q 2-21)2×(1-2q)+［1-(q 2-21)］2×q 2这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差【例2】 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值.思路分析：根据题意，可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式，所以解本题的关键就是找出几个变量之间的关系.解：设成功次数为随机变量X ，由题意可知X —B （100，p ），那么σX=)1(100p p DX -=，因为DX=100p(1-p)=100p-100p 2（0≤p≤1）把上式看作一个以p 为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，DX 有最大值25.所以DX 的最大值为5，即当p=21时，成功次数的标准差的最大值为5. 温馨提示要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p 的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1. 三、方差的应用【例3】 海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2（单位：s ），根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量. 解：∵EX 1=0,EX 2=0 ∴EX 1=EX 2∵DX 1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5DX 2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2 ∴DX 1＜DX 2由上可知，A 面大钟的质量较好. 温馨提示随机变量X 的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=DX 则体现随机变量取值与其均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X 1、X 2，且EX 1=EX 2或EX 1与EX 2比较接近时，我们常用DX 1与DX 2来比较这两个随机变量，方差值大的，则表明X 较为离散，反之则表明X 较为集中.同样，标准差的值较大，则标明X 与其均值的偏差较大，反之，则表明X 与其均值的偏差较小. 各个击破【类题演练1】若随机事件A 在一次试验中发生的概率为2a.随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.求方差Dξ的最值.解析：由题意得ξ的分布列为∴Eξ=0×(1-2a)+1×2a=2a∴Dξ=(0-2a)2(1-2a)+(1-2a)22a =(1-2a)2a(2a+1-2a) =2a(1-2a)=-4［a-41］2+41 由分布列的性质得0≤1-2a≤1 且0≤2a≤1 ∴0≤a≤21∴当a=41时Dξ最大值为41； 当a=0或21时Dξ的最小值为0.【变式提升1】某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留两位小数）.解析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5. ξ≈1表示一发即中，故概率为 P （ξ=1）=0.8ξ=2，表示第一发未中，第二发命中， 故P （ξ=2）=（1-0.8）×0.8=0.16；ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P （ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032；ξ=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故P （ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.006 4；ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中，4Dξ=(1-1.25)2×0.8+(2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.0064+(5-1.25)2×0.001 6=0.31.【类题演练2】若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p(0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数. （1）求方差Dξ的最大值； （2）求ξξE D 12-的最大值. 解析：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1-p ，从而Eξ=0×（1-p)+1×p=p,Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p -p 2. (1)Dξ=p -p 2=-(p-21)2+41,∵0＜p ＜1, ∴当p=21时，Dξ取得最大值为41. （2）ξξE D 12-=)12(21)(22p p p p p +-=--, ∵0＜p ＜1,∴2p+p1≥22. 当且仅当2p=p1,即p=22时，ξξE D 12-取得最大值2-22.【变式提升2】证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过14.证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p ，则p （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,Eξ=0×(1-p)+1×p=p,Dξ=(1-p)·(0-p)2+p(1-p)2= p(1-p)≤(21p p -+)2=41. 所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41. 【类题演练3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣. 解析：依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环）. E η=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环）.D ξ=（10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1×…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5.D η=（10-5.6）2×0.1+（9-5.6）2×0.1+（8-5.6）2×0.1+…+（5-5.6)2×0.2+（0-5.6）2×0.2=10.24.所以Eξ＜Eη，说明甲的平均水平比乙高，又因为Dξ＜Dη，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好. 【变式提升3】现要从甲、乙两个技工中选派一个参加技术比赛，已知他们在同样的条件下乙根据以上条件，选派谁去合适？解析：Eξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,Eξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考查稳定性.Dξ1=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41;Dξ2=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.因此Dξ1＜Dξ2，所以技工乙波动较大，稳定性较差.综上所述，应选派技工甲去参加比赛.。
最新-2021高中数学选修23课件：第二章23231离散型随机变量的均值 精品
值，是随机变量 X 的一个固有的数字特征，不具有随机
性．
2．离散型随机变量的性质
如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数)也是(离散型)随机变量，且 P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋ b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
解析：(1)错，随机变量 X 的数学期望是一个常量． (2)错，随机变量的均值与样本的平均值是两个不同 的概念． (3)对，E(2X)＝2E(X)＝2×3＝6. 答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1 2
P
1 4
311 848
则 ξ 的均值为( )
A．0
B．－1
法二 由于 Y＝2X－3，
所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
1 4
1 3Leabharlann 1 511 6 20所以
E(Y) ＝
(
－
7)× 14
＋(－
5)×
1 3
＋
(
－ 3)× 15 ＋ ( －
1)×16＋1×210＝－6125.
归纳升华 若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ＝aX＋b，a，b 为常数．一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aX＋b) ＝aE(X)＋b 求 E(ξ)．也可以利用 ξ 的分布列得到 η 的分 布列，关键由 ξ 的取值计算 η 的取值，对应的概率相等， 再由定义法求得 E(η)．
防范措施：在求随机变量取各值的概率时，务必理解
各取值的实际意义，以免失误．另外，可以利用分布列的
n
性质：(1)pi≥0(i＝1，2，3，…，n)，(2) pi＝1 来检验．
高中数学选修2-3精品课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
所以X的分布列为
X 10 20 100 －200
P
3 8
3 8
1 8
1 8
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18. 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P(A1A2A3)＝1－(18)3＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是551112.
且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立.
(1)记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 H ＝ E F ， 于是 P( H )＝P( E )P( F )＝13×25＝125， 故所求的概率为 P(H)＝1－P( H )＝1－125＝1135.
(2) 设 企 业 可 获 利 润 为 X 万 元 ， 则 X 的 可 能 取 值 为
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.
解 X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有 P(X＝10)＝C13×(21)1×(1－21)2＝83， P(X＝20)＝C23×(21)2×(1－21)1＝83， P(X＝100)＝C33×(12)3×(1－12)0＝18， P(X＝－200)＝C03×(21)0×(1－21)3＝81.
1234
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B 队最后所得总分分别为X，Y. (1)求X，Y的分布列； 解 X的可能取值分别为3,2,1,0. P(X＝3)＝23×25×25＝785，
P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2785， P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P(X＝0)＝13×35×35＝235； 根据题意X＋Y＝3，
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解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0
分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次
的得分ξ的期望为
．
0.7 (详细解答过程见课本例1)
这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那
么一般地,若ξ~B(n，p)，则Eξ=?
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ01
…k
…n
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
练习二
练习二
1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从
中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是 1.2 .
2.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 .
（2）E(ξ－Eξ)= 0
E
1 10 1 3 1 0 1
6
2
3
6
.
对你不利!劝君莫参加赌博.
课外思考:
彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色
不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的
规则为：
6个全红 赢得100元
5红1白 赢得50元
4红2白 3红3白 2红4白
赢得20元 输100元 赢得20元
所以,总环数约等于 （4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100. 故100次射击的平均环数约等于
4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32.
一般地,
一般地：
对任一射手,若已知他的所得环数 的分布列，即已
知 P( i)(i 0,1, 2,L ,10), 则可以预计他任意n次射击的
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式： （1）E(aξ+b)=aEξ+b; （2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
思考2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8
元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场 赌博对你是否有利?
2.3.1《离散型随机变量的 均值与方差-期望值》
教学目标
• 1了解离散型随机变量的期望的意义，会根 据离散型随机变量的分布列求出期望．
• ⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及 “若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它 们求相应的离散型随机变量的期望
• 教学重点：离散型随机变量的期望的概念
平均环数是 0 P( 0)1 P( 1)L 10 P( 10) 记为E
我们称 E 为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所 得环数随机变量 所取的平均值。
关于平均的意义,我们再看一个例子,思考:课本第69 页的定价怎样才合理问题?
更一般地
数学期望的定义:
一般地，随机变量 的概率分布列为
L L L L x1 x2
0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选
择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题
个数分别是 和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，
所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验
P p1 p2
xi
pi
xpnn
则称E x1 p1 x2 p2 L xi pi L xn pn
为 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随
机变量取值的平均水平.
根据定义可推出下面两个结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
练习一
思考下面的问题:
某射手射击所得环数 的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.
分析：平均环数=总环数100
由概率可知,在 100 次射击之前,估计得i 环的次数为 P( i)100 .
a( x1 p1 x2 p2 L xn pn ) b( p1 p2 L pn )
aE b
即 E(a b) aE b
练习一 (巩固定义)
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
你动心了吗?
1红5白 赢得50元
6个全白 赢得100元
中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩
的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25． 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的
均值为90分的含义是什么?
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成
绩大约是90分
思考1
思考2
思考1.某商场的促销决策：
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
=np(p+q)n-1=np
期望在生活中的应用广泛,见课本第72页例2.例3
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个
选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选
或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为
• 教学难点：根据离散型随机变量的分布列 求出期望
• 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪
离散型随机变量的均值与方差(一)
复习引入
问题提出
数学期望的 定义
练习一 本课小结
期望应用, 例2.例3
离散型随机变量的均值与方差(一)
前面,我们认识了随机变量的分布列.
设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x2 ,L , xi ,L ,
取每一个值 xi (i 1, 2,L ) 的概率 P( xi ) pi 则称表
L L x1 x2
xi
L L P p1 p2
pi
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列.
对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 征，最常用的有期望与方差.
(巩固定义)
结论一证明 结论二证明
结论1：若 a b, 则 E aE b
Q P( axi b) 所以， 的分布列为
P(
xi
), i
1, 2, 3L
L ax1 b ax2 b
L LL P p1
p2
axipi b
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 L (axn b) pn
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +