直线系、圆系方程

合集下载

圆和直线联立△公式

圆和直线联立△公式圆和直线联立△公式在几何学中，圆和直线联立△公式是指在平面直角坐标系中，已知一个圆和一条直线的方程，求解它们的交点，并进一步计算出△（三角形）的面积和周长。

以下是与该公式相关的几个公式及其解释说明：1. 圆的方程圆的方程通常采用标准式表示：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2其中 (a, b) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。

2. 直线的方程直线的方程常见的有两种形式：斜截式和一般式。

斜截式斜截式方程表示为：y = kx + b其中 k 是斜率，b 是 y 轴截距。

一般式一般式方程表示为：Ax + By + C = 0其中 A、B、C 是常数，A 和 B 不同时为零。

3. 圆和直线联立已知圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，直线的方程为Ax + By + C = 0，我们将两个方程联立，求解它们的交点。

求解交点将直线方程中的 y 替换为(kx + b)，并代入圆的方程，得到一个关于 x 的二次方程。

解这个二次方程，可以得到两个不同的 x 值，分别代入直线方程，求出对应的两个 y 值，即得到两个交点的坐标。

计算△的面积已知两个交点的坐标 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们可以通过距离公式计算出三个边的长度（a、b、c），然后利用海伦公式计算出三角形的面积：s = (a + b + c)/2area = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s 是周长的一半，area 是三角形的面积。

计算△的周长已知两个交点的坐标 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们可以通过距离公式计算出三个边的长度（a、b、c），然后将三个边长相加，得到三角形的周长。

示例示例一：已知圆的方程(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，直线的方程2x +3y - 5 = 0。

1. 求解交点将直线方程中的 y 替换为(kx + b)，并代入圆的方程，得到二次方程：(x-2)^2 + (2x+3-5)^2 = 25解这个二次方程，得到两个不同的 x 值：x1 = 0, x2 = 4。

第九章第二节第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

第二节圆与方程[考纲要求]1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b) 半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝D2＋E2－4F2点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：(1)当F ＝0时，圆过原点.(2)当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上.(3)当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点.(4)当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A 版教材P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________．答案：(x －2)2＋y 2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________．答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________．答案：x 2＋y 2－2x ＝0直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点d ＞rd ＝rd ＜r2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard .[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|. [谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C．相离D．随a的变化而变化解析：选B∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k＝43，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|2＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝2 2.答案：2 2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提醒]涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).[小题练通]1.[人教A版教材P133A组T9]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋(－1)2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选A两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.[课时跟踪检测]1．(2019·广西陆川中学期末)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是()A ．内含B ．外离C ．外切D ．相交解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25，圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝9，两圆的圆心距为(2＋1)2＋(2＋4)2＝35，两圆的半径为r 1＝5，r 2＝3，满足r 1＋r 2＝8＞35＞2＝r 1－r 2，故两圆相交．故选D.2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25B ．x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17D ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16解析：选A 由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得|a －2|2＝a 2＋(5－2)2－7，解得a ＝0或a ＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.3．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B.62 C.32或－32D.62或－62解析：选D 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1. 因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D. 4．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B.－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 6．(2019·西安联考)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5解析：选C 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)， ∴此直线恒过定点P (3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为(2－3)2＋(2－1)2＝2，所截得的最短弦长为222－(2)2＝22，故选C.7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C 设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C. 8．(2018·唐山二模)圆E 经过A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)三点，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝r 2，a 2＋(0＋1)2＝r 2，a 2＋(0－1)2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.9．(2018·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：选C因为圆C的圆心的坐标C(6,8)，所以OC的中点坐标为E(3,4)，所求圆的半径|OE|＝32＋42＝5，故以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.10．(2018·荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是() A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选B∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.11．(2019·厦门质检)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4解析：选A由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A.12．(2019·孝义一模)已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∵圆O的半径为1，∴|OP|＝2，∵原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为2，∴符合条件的点P只有一个，故选B.13．(2019·北京东城联考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k ＝1”是“|AB|＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离d ＝11＋k 2，则|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2＝2k 21＋k 2，当k ＝1时，|AB |＝2 12＝2，即充分性成立；若|AB |＝2，则2k 21＋k 2＝2，即k 2＝1，解得k ＝1或k ＝－1，即必要性不成立，故“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，故选A.14．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝⎛⎭⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x －y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝015．(2018·枣庄二模)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________________．解析：∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a,2－a )，∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离，即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，圆M 的半径为|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝216．(2019·天津联考)以点(0，b )为圆心的圆与直线y ＝2x ＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．解析：由题意设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧1＋(3－b )2＝r 2，|－b ＋1|5＝r ，解得⎩⎨⎧b ＝72，r ＝52.∴该圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝54. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝5417．(2019·丹东联考)经过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆的半径是________．解析：易知圆心在线段AC 的垂直平分线y ＝－2上，所以设圆心坐标为(a ，－2)，由(a －1)2＋(－2－3)2＝(a －4)2＋(－2－2)2，得a ＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r ＝(1－1)2＋(－2－3)2＝5. 答案：518．(2019·镇江联考)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r (r ＞0)． ∵x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50， ∴其圆心为(－5，－5)，半径为5 2.∵两圆相切于原点O ，且圆C 过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，(a ＋5)2＋(b ＋5)2＝52－r ，(0－a )2＋(－6－b )2＝r 2，解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝32， ∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18。

直线与圆方程知识总结

直线与圆方程知识总结一、坐标法 1．点和坐标成立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y)成立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式设两点的坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，那么两点间的距离特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： (1)当x 1=x 2时(两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴)，那么 |P 1P 2|=|y 2－y 1|(2)当y 1=y 2时(两点在x 轴上或两点连线平行于x 轴)，那么 |P 1P 2|=|x 2－x 1|3．线段的定比分点(2)公式：分P 1(x 1，y 2)和P 2(x 2，y 2)连线所成的比为λ的分点坐标是公式二、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x 轴相交时，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．当直线和x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．因此直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜∴当k ≥0时，α=arctank ．(锐角) 当k ＜0时，α=π－arctank ．(钝角)(3)斜率公式：通过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为2．直线的方程(1)点斜式已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，那么其方程为：y －y 0=k(x －x 0) (2)斜截式已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，那么其方程为：y=kx ＋b (3)两点式已知直线过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，那么其方程为：(4)截距式已知直线在x ，y 轴上截距别离为a 、b ，那么其方程为：(5)参数式已知直线过点P(x 0，y 0)，它的一个方向向量是(a ，b)，v(cos α，sin α)(α为倾斜角)时，那么其参数式方程为|P P |=12()()x x y y 212212-+-(1)P P P P P PP P P PP P P P =P P P P 12121212112定义：设点把有向线段分成和两部分，那么有向线段和的数量的比，就是点分所成的比，通常用λ表示，即λ，点叫做分线段为定比λ的定比分点．PPP 2当点内分时，λ＞；当点外分时，λ＜．P P P 0P P P 01212x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-1212111λλλλλ≠()特殊情况，当是的中点时，λ，得线段的中点坐标P P P =1P P 1212x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121222率，直线的斜率常用表示，即αα≠π．k k =tan ()2k =y (x x )212--y x x 121≠y y y y x x x ----121121=x (x x )12≠x a yb +=1则其参数式方程为为参数，特别地，当方向向量为x x at y y bt =+=+⎧⎨⎩00(t )x x t y y t =+=+⎧⎨⎩00cos sin αα为参数(t )这时，的几何意义是，→→t tv =p p |t|=|p p|=|p p|000(6)一样式 Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为0)． (7)特殊的直线方程①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a ，y 轴的方程是x=0． ②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b ，x 轴的方程是y=0．3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1≠b 2．(2)重合：当l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1=b 2，当l 1和l 2是(3)相交：当l 1，l 2是斜截式方程时，k 1≠k 24．点P(x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C=0的位置关系：5．两条平行直线l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0，l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0间6．直线系方程具有某一一起属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x ，y 之外，还含有特定的系数(也称参变量)．确信一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的进程中往往先依照一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再依照另一个条件来确信其中的参变量．(1)共点直线系方程：通过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0，其中λ是待定的系数．在那个方程中，不管λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，因此它不表示l 2．当λ=0时，即得A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，现在表示l 1．(2)平行直线系方程：直线y=kx ＋b 中当斜率k 必然而b 变更时，表示平行直线系方程．与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C=0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ=0．若是在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待按时，可选用直线系方程来求解．7．简单的线性计划(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线Ax ＋By ＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部份．(2)线性计划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性计划问题，例如，z=ax ＋by ，其中x ，y 知足以下条件：求z 的最大值和最小值，这确实是线性计划问题，不等式组(*)是一组对变量x 、y 的线性约束条件，z=ax ＋by 叫做线性目标函数．知足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．三、曲线和方程 1．概念当和是一般式方程时，≠l l 12A A B B CC 121212=一般方程时，A A B B CC 121212==当，是一般式方程时，≠l l 12A A B B 2212①斜交交点：的解到角：到的角θ≠夹角公式：和夹角θ≠A x B y C A x B y C k k k k k k k k k k k k 11122222112121221121200110110++=++=⎧⎨⎩=-++=-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪l l l l 1tan ()tan ||()②垂直当和有叙截式方程时，－当和是一般式方程时，＋l l l l 1212121212k k =1A AB B =0⎧⎨⎩Ax By C =0P ()Ax By C 0P 0000＋＋在直线上点的坐标满足直线方程＋＋≠在直线外．⇔⇔l l 点，到直线的距离为：P(x y )d =|Ax +By +C|0000l A B 22+的距离为：．d =|C C |12-+A B22A xB yC 0(0)A x B y C 0(0)A x B x C 0(0)111222nn n ＋＋≥或≤＋＋≥或≤……＋＋≥或≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪(*)在选定的直角坐标系下，若是某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解成立了如下关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解(一点不杂)； (2)以方程f(x ，y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点(一点不漏)．这时称方程f(x ，y)=0为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，假设设点M 的坐标为(x 0，y 0)，那么用集合的观点，上述概念中的两条能够表述为：以上两条还能够转化为它们的等价命题(逆否命题)：为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)． 2．曲线方程的两个大体问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：①建系，设点：成立适当的坐标系，用变数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标； ②立式：写出适合条件p 的点M 的集合p={M|p(M)}； ③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)=0； ④化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式； ⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方式简称“五步法”，在步骤④中假设化简进程是同解变形进程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，那么步骤⑤可省略不写，因为现在所求得的最简方程确实是所求曲线的方程．(2)由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)； ②求截距：③讨论曲线的范围； ④列表、描点、画线．3．交点求两曲线的交点，确实是解这两条曲线方程组成的方程组．4．曲线系方程过两曲线f 1(x ，y)=0和f 2(x ，y)=0的交点的曲线系方程是f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)=0(λ∈R)．四、圆 1．圆的概念平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2．圆的方程(1)标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2．(a ，b)为圆心，r 为半径．专门地：当圆心为(0，0)时，方程为x 2＋y 2=r 2(2)一样方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，无轨迹．(3)参数方程以(a ，b)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为专门地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为3．点与圆的位置关系(1)M P (x y )Q P Q (2)(x y )Q M P Q P 0000∈，∈，即；，∈∈，即．⇒⊆⇒⊆(1)(x y )Q M P (2)M P (x y )Q 0000，；，．∉⇒∉∉⇒∉显然，当且仅当且，即时，才能称方程，P Q Q P P =Q f(x y)=0⊆⊆方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y y ()==⎧⎨⎩00x 方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y x ()==⎧⎨⎩00y 配方()()x D y E D E F+++=+-22442222当＋－＞时，方程表示以－，－为圆心，以为半径的圆；D E 4F 0()22D ED E F 2212422+-当＋－时，方程表示点－，－D E 4F =0()22D E 22x a r y b r =+=+⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()x r y r ==⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．4．直线与圆的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C=0和圆C ：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，那么5．求圆的切线方式(1)已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．①假设已知切点(x 0，y 0)在圆上，那么切线只有一条，其方程是过两个切点的切点弦方程．②假设已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，那么设切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③假设已知切线斜率为k ，那么设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，这时必有两条切线．(2)已知圆x 2＋y 2=r 2．①假设已知切点P 0(x 0，y 0)在圆上，那么该圆过P 0点的切线方程为x 0x ＋y 0y=r 2．6．圆与圆的位置关系已知两圆圆心别离为O 1、O 2，半径别离为r 1、r 2，那么(1)d r (2)d =r (3)d r 点在圆外＞；点在圆上；点在圆内＜．⇔⇔⇔d Aa Bb C A B=+++||22．(1)0d r (2)=0d =r (3)0d r 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞或＜；相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△或；相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜或＞．⇔⇔⇔x x y y D x x E y y F 0000220=+++++=()()．当，在圆外时，＋＋＋＋表示(x y )x x y y D(x )E(y )F =0000000++x y22②已知圆的切线的斜率为，圆的切线方程为±．k y =kx r k 2+1(1)|O O |=r r (2)|O O |=|r r |(3)|r r ||O O |r r 12121212121212两圆外切＋；两圆内切－；两圆相交－＜＜＋．⇔⇔⇔。

直线系与圆系方程

直线系方程、圆系方程1、证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. （1,1）.2、求证：无论m 取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标.3、不论k 为何实数，直线（2k ﹣1）x ﹣（k+3）y ﹣（k ﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是．)3,2(4、求证：不论a, b 为何实数，直线(2a+b)x+(a+b)y+a －b=0均通过一定点，并求此定点坐标。

5、已知点()00,y x P 是直线0:=++C By Ax l 外一点，则方程()000=+++++C By Ax C By Ax 表示（） A.过点P 且与垂直的直线 B.过点P 且与平行的直线C.不过点P 且与垂直的直线D.不过点P 且与平行的直线【答案】D6、求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程．4y =或34130x y +-=．7、求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.x-2y=0或5x+5y+4=08、求经过两条直线01032=+-y x 和0243=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x 的直线方程. 【答案】0232=-+y x .9、经过两条直线082=-+y x 和012=+-y x 的交点，且平行于直线0734=--y x 的直线方程.【答案】0634=--y x .10、经过两直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C11、直线l 经过08320543=+-=-+y x y x 和的交点，与)5,4()3,2(-B A 两点的距离相等，求直线l 的方程。

y=(-1/3)x+(5/3)或x=11、求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。

直线和圆的方程怎么联立

直线和圆的方程怎么联立直线和圆是几何学中的基本图形，它们之间的关系在解决问题时非常重要。

如何联立直线和圆的方程，可以通过以下步骤来进行。

假设我们要解决的问题是找到直线和圆的交点坐标。

1.建立直线的方程直线的方程可以用一般式表示，即Ax + By + C = 0。

其中，A、B、C分别是直线的系数。

如果我们已经知道直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以通过以下公式计算出直线的系数：A = y2 - y1B = x1 - x2C = x2y1 - x1y22.建立圆的方程圆的方程有多种表示方法，其中一种常用的是标准式，即 (x - h)² + (y - k)² = r²。

其中，(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

如果我们已经知道圆心的坐标和半径，那么可以直接将这些值代入方程中。

3.将直线的方程代入圆的方程将直线的方程中的x和y分别代入圆的方程，得到一个关于未知数的二次方程。

解这个二次方程，即可求出直线和圆的交点坐标。

求解二次方程可以使用求根公式或者配方法。

4.求解交点坐标根据求解的二次方程，可得到交点的横坐标x和纵坐标y。

这两个坐标就是直线和圆的交点的坐标。

通过以上步骤，我们可以联立直线和圆的方程，并求出它们的交点坐标。

这样的求解方法在几何学中应用广泛，可以帮助我们解决直线和圆相关的问题。

下面是一个具体的例子来说明如何联立直线和圆的方程：假设有一条直线L，它通过点(1, 2)和(3, 4)，要求找到直线L和圆C的交点坐标。

1.建立直线的方程通过点(1, 2)和(3, 4)可以计算出直线的系数： A = 4 - 2 = 2 B = 1 - 3 = -2 C = 3×2 - 1×4 = 2所以直线L的方程为：2x - 2y + 2 = 02.建立圆的方程假设圆C的圆心坐标为(0, 0)，半径为2。

将这些值代入圆的标准方程中，得到圆C的方程：x² + y² = 43.将直线的方程代入圆的方程将直线L的方程中的x和y分别代入圆C的方程，得到一个关于未知数的二次方程：(2x - 2y + 2)² + y² = 44.求解交点坐标解这个二次方程，可以得到直线L和圆C的交点坐标。

直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围：斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

第2章直线和圆的方程(复习课件)

2
A． 2 ，6
B． 4 ，8
D． 2 2 ，3 2
C． 2 ，3 2
【答案】A
【解析】直线 x y 2 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点
A 2,0 ,B 0, 2 ,则 AB 2 2
2
y2 2 上
点 P 在圆（x 2）
得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y
＋4)2＝10.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，
则圆心为(a，b)，半径r＝ 10，
圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝
−
2
.
由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得
4
所以所求圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－5＋3(3x－2y－3)＝0，
20
即 x ＋y ＋8x－ 3 y－9＝0.
2
2
归纳总结
两圆的公共弦问题
(1)若圆C1 ：x2 ＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2 ＋D2x＋E2y＋F2
＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
归纳总结
4.圆的方程
宋老师数学精品工作室
典例4
已知圆的半径为 10，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．
[解析]
法一：设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.
设与直线x＋3y－5＝0垂直的边所在的直线方程为3x－y＋C2＝0.

直线与圆交点圆系方程

直线与圆交点的圆系方程
过直线与圆相交点AB的圆系方程,为什么是x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0
用集合论来证明就可以了,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0这个方程满足圆的一般方程,所以这个方程描述的是一个圆,而且所有同时满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0,AX+BY+C=0的点（即交点）一定满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,因为0+λ*0=0,所以,它们的交点在这个方程确定的圆上（属于这个方程描述的集合）.但是,对于不满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0和AX+BY+C=0的点,也可以满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,这些点就是这个圆上不是两个交点的其他点.我再举个例子,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）^2=0 ,这个方程描述的就是过直线和圆交点的椭圆（包括虚椭圆）.对于任意的若干个方程组,每个方程组含有若干个方程,它们的交集空间大都可以通过构造,含于满足条件特征空间之中.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

直线系、圆系方程 1、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x，0y）的直线系方程：00()()0AxxByy（A,B不同时为0）.

例1求过点(14)P，圆22(2)(3)1xy的切线的方程．

分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为(1)(4)0AxBy（其中AB，不全为零），

则整理有40AxByAB，

∵直线l与圆相切，∴圆心(23)C，到直线l的距离等于半径1，故222341ABABAB，整理，得(43)0AAB，即0A（这时0B），或304AB．

故所求直线l的方程为4y或34130xy．点评：对求过定点（0x，0y）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程

为:00()()0AxxByy，注意的此方程表示的是过点00()Pxy，的所有直线（即直线系），应用

这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．

练习：过点(14)P，作圆22(2)(3)1xy的切线l，求切线l的方程．

解：设所求直线l的方程为(1)(4)0AxBy（其中AB，不全为零），则整理有40AxByAB，

∵直线l与圆相切，∴圆心(23)C，到直线l的距离等于半径1，故222341ABABAB，整理，得(43)0AAB，即0A（这时0B），或304AB．

故所求直线l的方程为4y或34130xy． 2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l：1110AxByC（11,AB不同时为0）与m：2220AxByC（22,AB不同时为0）

交点的直线系方程为：111222()0AxByCAxByC（R，为参数）.

例2求过直线：210xy与直线：210xy的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0xyxy，当直线过原点时，则1=0，则=－1，此时所求直线方程为：20xy；

当所求直线不过原点时，令x=0，解得y=12，令y=0，解得x=121，由题意得，12=121，解得13，

此时，所求直线方程为：5540xy. 综上所述，所求直线方程为：20xy或5540xy. 3、求直线系方程过定点问题例3证明：直线10mxym(m是参数且m∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10xmy,

∵m∈R,∴1010xy，解得，1x，1y， ∴直线10mxym(m是参数且m∈R)过定点（1,1）. （特殊直线法）取m=0，m=1得，1y，20xy，联立解得，1x，1y，将（1,1）代入10mxym检验满足方程， ∴直线10mxym(m是参数且m∈R)过定点（1,1）. 点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于,xy的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.

一、常见的圆系方程有如下几种：

1、以(,)ab为圆心的同心圆系方程：222()()(0)xayb 与圆22yx＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22yx＋Dx＋Ey＋＝０

2、过直线Ax＋By＋Ｃ＝０与圆22yx＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22yx＋Dx＋Ey＋Ｆ＋（Ax＋By＋Ｃ）＝０（Ｒ） 3、过两圆1C:22yx＋111FyExD＝0，2C:22yx＋222FyExD＝０交点的圆系方程为：22yx＋111FyExD＋（22yx＋222FyExD）＝0（≠-１，此圆系不含2C:22yx

＋222FyExD＝０）

特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．

注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C，可等价转化为过圆1C和两圆公共弦所在直线交点的

圆系方程:22111121212[()()()]0xyDxEyFDDxEEyFF

二、圆系方程在解题中的应用：

1、利用圆系方程求圆的方程：例求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。

例１、求经过两圆22yx＋3x－y－2＝０和2233yx＋2x＋y＋１＝０交点和坐标原点的圆

的方程．解：方法3：由题可设所求圆的方程为：

（22yx＋3x－y－2）＋（2233yx＋2x＋y＋１）＝０

∵ （0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋＝０．从而＝２故所求的圆的方程为：0)1233(2)23(2222yxyxyxyx

即 2277yx＋7x＋y＝０。

练习：求经过两圆x2+y2+6x4=0和x2+y2+6y28=0的交点,并且圆心在直线xy4=0上的圆的方程. 1解:构造方程x2+y2+6x4+λ(x2+y2+6y28)=0 即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy(4+28λ)=0

此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)

13,13(

当该圆心在直线xy4=0上时,即.7,04

1313



得

∴所求圆方程为x2+y2x+7y32=0

2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：

例2（1）：求过两圆225xy和22(1)(1)16xy的交点且面积最小的圆的方程。

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

解：圆225xy和22(1)(1)16xy的公共弦方程为22110xy

过直线22110xy与圆225xy的交点的圆系方程为 2225(2211)0xyxy，即2222(1125)0xyxy

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(,)必在公共弦所在直线22110xy上。即22110，则114

代回圆系方程得所求圆方程22111179()()448xy

例２（2）;求经过直线l：2x＋y＋4＝０与圆Ｃ：22yx＋2x－4y＋1＝０的交点且面积最小

的圆的方程．解：设圆的方程为：22yx＋2x－4y＋1＋（2x＋y＋4）＝０

即22yx＋yx)4()1(2＋（1＋4）＝０则

54)58(45)41(4)4()1(4412222r，当＝58

时，2r最小，从而圆的面积最小，

故所求圆的方程为：2255yx＋26x－12y＋37＝０

练习： 1．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零） 2．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零）

3．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上）

4．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到x轴的距离等于半径）

3、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆2260xyxym与直线230xy相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，

求实数m的值。分析：此题最易想到设出1122(,),(,)PxyQxy，由OPOQ得到12120xxyy，利用设而不求的思想，

联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OPOQ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线230xy与圆2260xyxym的交点的圆系方程为：

226(23)0xyxymxy，即

22(1)2(3)30xyxym………………….①