直线与圆常见公式结论

直线与圆常见公式结论
1、斜率公式 2121
y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2、直线的五种方程（熟练掌握两点和截距式、一般式）
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．
（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
112121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 点法式和点向式在求直线方程时较直观.
3、两条直线的平行和垂直
(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.
(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222
||A B C l l A B C ⇔
=≠；11112222A B C l l A B C ⇔==与重合 ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 4、到角公式和夹角公式
1l 到2l 的角公式 (1)2121
tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,
12120A A B B +≠).
夹角公式 (1)2121
tan |
|1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12
211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2
π. 当12121210k k A A B B =-+=或时，直线12l l ⊥，直线l 1到l 2的角及l 1及l 2的夹角都是2
π.
5、四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．
6、点到直线的距离
d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 7、两条平行线：1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=与之间的距离是：
d =. 8、点(,)P u v 关于点(,)Q s t 的对称点的坐标为：(2,2)s u t v --.特别地，点(,)P u v 关于原点的对称点的坐标为：(20,20)u v ⨯-⨯-，即(,)u v --.
9、直线0Ax By C ++=关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2)(2)0A u x B v y C -+-+=.
直线0Ax By C ++=关于原点、x 轴，y 轴对称的直线的方程分别为：()()0A x B y C -+-+=，
()0Ax B y C +-+=，()0A x By C -++=.
10、直线0Ax By C ++=关于直线,x u y v ==对称的直线的方程分别为：
(2)0A u x By C -++=，(2)0Ax B v y C +-+=.
11、曲线(,)0f x y =关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2,2)0f u x v y --=.
12、点(,)P s t 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标为：22
0(2As By C s A A B ++=-⨯+， 22
02)As By C t B A B ++=-⨯+.特别地，当||||0A B =≠时，点(,)P s t 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标为：(,)Bt C As C A B
++--.点(,)P s t 关于x 轴、y 轴，直线x u =，直线y v =的对称点的坐标分别为：(,),(,),(2,),(,2)s t s t u s t s v t ----.
13、圆的四种方程
（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ
=+⎧⎨
=+⎩.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).
14、 圆系方程
(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是
1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程
是22
()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．
(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的
系数．
15、点与圆的位置关系
点00(,)P x y 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若d = d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.
16、直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 其中22B A C
Bb Aa d +++=.
17、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;
条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;
条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;
条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;
无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .
18、圆的切线方程
(1)已知圆22
0x y Dx Ey F ++++=．
①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022
D x x
E y y x x y y
F ++++
++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点00(,)P x y 的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
(2)已知圆222
x y r +=．
①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k
的圆的切线方程为y kx =±。