【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程
高三数学直线与圆知识点复习
高三数学直线与圆知识点复习数学是高中阶段学生最让人头疼的科目之一，而高三阶段的数学更是难度系数加大。
在高三数学课程中，直线与圆是一个非常重要的知识点。
下面我们来复习一下直线与圆的相关知识。
1. 直线方程在平面直角坐标系中，直线可以用一般式或点斜式方程表示。
一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
而点斜式方程则是y - y1 = k(x - x1)，其中(k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
直线方程中的斜率对于直线的性质起着重要作用。
斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线为水平线，斜率不存在表示直线为竖直线。
2. 圆的方程在平面直角坐标系中，圆可以用标准方程表示。
标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
圆的方程中，圆心对圆的性质起着重要作用。
圆心坐标(a, b)表示圆心所在的位置，半径r则决定了圆的大小。
3. 直线与圆的关系直线与圆有着紧密的关系，可以分为以下几种情况：- 直线与圆相切：直线与圆相切表示直线与圆只有一个交点，此时直线的斜率与半径的斜率互为相反数。
- 直线与圆相离：直线与圆相离表示直线与圆没有交点，此时直线的斜率与半径的斜率不相等。
- 直线与圆相交：直线与圆相交表示直线与圆有两个交点。
- 直径：直径是连接圆上任意两点，并且经过圆心的线段。
直径的长度等于圆的半径的两倍。
4. 直线与圆的求解方法当我们遇到直线与圆的相交等问题时，可以通过以下几种方法求解：- 列方程求解：将直线和圆的方程列出，根据方程求解交点的坐标。
- 利用性质求解：根据直线和圆的性质，通过几何推理求解交点的坐标。
5. 直线与圆的应用直线与圆的知识在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确定两条直线是否相交，以确保结构的稳定性。
在电子设备设计中，我们需要确定一条直线是否与一个电子元件的引脚相交，以确保电子元件的正常工作。
直线系、圆系方程
直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第13讲 巧用直线系、圆系方程解题-原卷版
第13讲 巧用直线系、圆系方程解题曲线系也叫曲线族或曲线束,是指具有某种性质的曲线的集合,曲线系方程是指含有参数的二元方程,当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有这些曲线,其中最简单的是具有某种性质的直线方程和圆系方程,介绍如下.1直线系方程(1)与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程为0(Ax By λλ++=为参数).(2)与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程为0(Bx Ay λλ-+=为参数).(3)过直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为 ()()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=(不含2,l λ为参数).2圆系方程(1)过圆22:0O x y Dx Ey F ++++=与直线:0l Ax By C ++=交点的圆系方程为()220(x y Dx Ey F Ax By C λλ+++++++=为参数).(2)过圆221111:0O x y D x E y F ++++=与圆222222:0O x y D x E y F ++++=的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不包括圆2,O λ为参数．当1λ=一时,为一条直线(根轴,即过两圆交点的直线).(3)若()00,x y 表示圆22:0C x y Dx Ey F ++++=上任意一点,则曲线系方程:()()()2222000(x y Dx Ey F x x y y λλ⎡⎤+++++-+-=⎣⎦为参数)表示与C 相切于点()00,x y 的所有圆.巧用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数的值,从而求出需求的结果.典型例题【例1】(1)经过点()3,2的一条动直线分别交x 轴、y 轴于M N 、两点,设Q 为MN 的中点,联结OQ 并延长到P ,使2OP OQ =,求点P 的轨迹方程;(2)求过直线1:5230l x y +-=和2:3580l x y --=的交点P ,且与直线470x y +-=垂直的直线l 的方程.【例2】(1)求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点,且面积最小的圆的方程;(2)求过两圆与22640x y x ++-=与226280x y y ++-=的交点的直线方程和圆心在直线40x y --=上的圆的方程;(3)求圆心在直线0x y +=上,且过两圆2222210240,2280x y x y x y x y +-+-=+++-=交点的圆的方程;(4)求与圆2248150x y x y +--+=切于点()3,6A ,且过点()5,6B 的圆的方程.【例3】(1)判断方程()22241010200(x y kx k y k k ++++++=为参数,1k ≠-表示何种曲线?找出通过定点的坐标;(2)直线系():3cos sin 2A x y αα-+=,直线系A 中能组成正三角形的面积等于 .强化训练1.(1)求经过两直线231,322x y x y -=+=的交点,且平行于直线30y x +=的直线方程;(2)求经过两圆2220x y x y +-+-=与225x y +=的交点,且圆心在直线3410x y +-=上的圆的方程.2.(1)在四边形ABCD 中,对角线AC 平分BAD ∠,在CD 上取一点,E BE 与AC 相交于F ,延长DF 交BC 于G .求证:GAC EAC ∠∠=;(2)已知圆22:2440C x y x y +-+-=,问:是否存在斜率为1的直线l ,使直线l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线l 的方程;若不存在,说明理由.。
高中直线与圆的方程知识点总结
高中直线与圆的方程知识点总结直线与圆的方程在高中数学里就像两颗璀璨的星星，各自闪耀又相互关联。
咱先说说直线的方程吧。
直线在平面直角坐标系里那可是千变万化的。
最常见的斜截式方程y = kx + b，这里的k就像是直线的“坡度”，如果k 越大，直线就越陡峭，就好像爬山的时候，坡度大的路爬起来更费劲呢。
b 呢，是直线在y轴上的截距，就好比是直线这个小火车在y轴这个站台的起始位置。
那要是k = 0呢，直线就变成了一马平川的平地，也就是平行于x 轴的直线了。
还有点斜式方程，知道直线上一点的坐标和它的斜率就能确定这条直线的方程，这就像你知道一个人的起点和他前进的方向，就能知道他的路线一样。
再看看直线之间的关系。
平行的直线啊，它们的斜率相等，就像两条同向行驶而且速度一样的铁轨，永远不会相交。
而垂直的直线呢，它们斜率的乘积是 - 1，这就好比是两个互相制约的力量，一个向上一个向下，形成了一种完美的平衡关系。
说到圆的方程，标准方程(x - a)²+(y - b)² = r²，这里的(a,b)就是圆心的坐标，圆心就像圆这个大家庭的家长，r就是半径，半径就像是这个家庭的活动范围，在这个范围内的点都属于这个圆家族。
圆是一个特别对称的图形，关于圆心对称，不管从哪个方向看，都是那么圆润、和谐。
直线和圆的位置关系可有趣了。
有相交、相切和相离三种情况。
相交的时候，直线就像一个调皮的小孩，闯进了圆的领地，和圆有两个交点，就像小孩在圆里踩了两个脚印。
相切的时候呢，直线就像是圆的守护神，刚好和圆亲密接触于一点，这一点就是切点，多像两个好朋友轻轻地碰了一下手。
相离就比较惨了，直线和圆就像两个互不相干的陌生人，远远地分开，谁也不挨着谁。
那怎么判断直线和圆的位置关系呢？我们可以用圆心到直线的距离d和半径r来比较。
如果d < r，那就是相交，就好像一个小蚂蚁距离一个圆形的蛋糕中心的距离小于蛋糕的半径，那这个小蚂蚁肯定是在蛋糕上啦。
直线系与圆系方程
x2 y2 D1 x E1 y F1 ( x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1 )
圆系方程
常见的圆系方程：
3、 过 直 线 与 圆 的 交 点 的圆 系 方 程 直线 l : Ax By C 0 圆 C : x2 y2 Dx Ey F 0
(3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相 交，则过这两圆交点的圆系方程为
_x_2___y_2___D__x____E__y___F_____(_x__2 __y__2 __D__x____E y F ) 0
此方程不包括直线 l2 m( A1 x B1 y C1 ) n( A2 x B2 y C2 ) 0
此方程包括所有过两直线交点的直线。
【典型例题】
1.已知直线 l :(1 m)x (2 m) y (1 m) 0 ， 求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。
解: 整理该方程得： (x 2y 1) m(x y 1) 0
o
x
过定点的直线系方程
• 如何表示经过两条相交直线交点的直线系方程？
已知直线 l1 : A1x B1y C1 0 ( A12 B12 0) 和直线 l2 : A2x B2 y C2 0 (A22 B22 0) 相交，则过该交点的 直线系方程：
( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0
x2 y2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0
高中数学-直线系、圆系方程2
专题：直线系方程一、直线系方程的概念：具有某种共同性质的所有直线的集合，它们的方程叫直线系方程二、直线系方程1.过定点的直线系：过定点),(00y x P 的直线系方程为：0)()(00=-+-y y B x x A （B A ,为待定系数）或)(00x x k y y -=-（k 为待定系数）注：方程0)()(00=-+-y y B x x A （B A ,为待定系数）包括过点),(00y x P 的所有直线，而方程)(00x x k y y -=-（k 为待定系数）不包括直线0x x =，所以设直线的点斜式方程时要先对直线的斜率存不存在进行讨论2.平行直线系：与直线l ：0=++C By Ax 平行的直线系方程为：0=++m By Ax （其中m 为待定系数，C m ≠）例1.求与直线0143=++y x 平行且过点)2,1(A 的直线l 的方程练习：求与直线0143=++y x 平行横纵截距之和为37的直线l 的方程3.垂直直线系：与直线l ：0=++C By Ax定系数）例2.求与直线0102=-+y x 垂直且过点)1,2(A 的直线l 的方程练习：求与直线0143=++y x 垂直横纵截距之和为1的直的直线l 的方程4.过交点的直线系：若直线1l ：0111=++C y B x A 与直线2l ：0222=++C y B x A 相交于点为),(00y x P 表示过两直线的交点P 的直线系方程，它包括，但不包括直线2l注：过交点P 的直线系方程也可以用方程0)()(222111=+++++C y B x A C y B x A μλ（μλ,为待定系数），它包括过交点P 的所有直线，但此时方程中有两个参数μλ,例3.求过直线1l ：042=+-y x 与直线2l ：02=-+y x 的交点且满足下列条件的直线l 方程（1）过点)1,2(-P ；（2）与直线062=+-y x 平行；（3）与直线0543=+-y x 垂直例4.已知直线l ：0)1()2()1(=++-+-m y m x m ，求证：无论m 取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标例5.已知直线l ：0355=+--a y ax ，（1）求证：无论a 为何值，直线l 总过第一象限，（2）求证：为使直不过第二象限，求a 的取值范围专题：圆系方程一、圆系方程的概念：具有某种共同性质的所有圆叫圆系，它们的方程叫圆系方程二、圆系方程1.同心圆系：以定点),(b a C 为圆心的圆系方程为222)()(r b y a x =-+-（r 为参数，0>r ）2.过直线和圆交点的圆系：已知直线l ：0=++C By Ax 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）若直线l 与圆C 相交，则方程0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ（r 为参数）表示过直线l 与圆C 的交点的圆系方程（2）若直线l 与圆C 相切于点P ，22参数）表示表示与直线l 和圆C 都相切于点P 的圆系方程例1.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值练习：求过直线l ：042=++y x 与圆C ：014222=+-++y x y x 的交点且满足下列条件的圆的方程（1）面积最小（2）圆心在直线012=++y x 上3.与已知圆切于圆上一点的圆系方程：已知点),(b a P 为圆C ：022=++++F Ey Dx y x 上一点，则与圆C 切于点P 的圆系方程为0])()[(2222=-+-+++++b y a x F Ey Dx y x λ（λ为参数，1-≠λ）若1-=λ，则方程0])()[(2222=-+-+++++b y a x F Ey Dx y x λ（λ为参数）表示圆C 在点P 处的切线方程例2.求过点)1,4(-且与圆C ：056222=+-++y x y x 切于点)2,1(B 的圆的方程4.过两圆交点的圆系方程：已知圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和圆2C ：022222=++++F y E x D y x ，则（1）若圆1C 与圆2C 相交于B A ,两点，则方程x D y x F y E x D y x 22211122(+++++++λ 0)22=++F y E （λ为参数，1-≠λ）表示过两圆交点B A ,的圆系方程，它包括圆1C （0=λ时），但不包括圆2C ，当1-=λ时，方程变为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ，表示两圆的公共弦AB 所在的直线方程（2）若圆1C 与圆2C 相切与点P ，则方程y E x D y x F y E x D y x 222211122(++++++++λ 0)2=+F （λ为参数，1-≠λ）表示与圆1C 和圆2C 都相切于点P 的圆系方程，它包括圆1C （0=λ时），但不包括圆2C ，当1-=λ时，方程变为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ，公切线）（3）若圆1C 与圆2C 相离，则方程0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 表示某条与两圆连心线垂直的直线方程例3.求过圆1C ：04622=-++x y x 与圆2C ：028622=-++y y x 的交点且圆心在直线l ： 04=--y x 上的圆C 的方程例 4.已知过圆1C ：016222=+-++y x y x ，圆2C ：0112422=-+-+y x y x ，求两圆的公共弦所在的直线方程例5.已知圆C ：422=+y x 及点)4,3(P ，过P 作圆C 的两条切线PB PA ,，B A ,为切点，求弦AB 所在的直线方程。
高一直线和圆的方程知识点
高一直线和圆的方程知识点在高中数学课程中，直线和圆是两个基本的几何图形。
了解和掌握直线和圆的方程知识点，对于解决几何问题和理解数学概念都非常重要。
本文将介绍高一直线和圆的方程知识点，并通过具体的例子来说明。
一、直线的方程直线是平面上一组点的集合，可以通过不同的方式来表示其方程。
在高一数学中，主要学习两种直线方程：截距式和一般式。
1. 截距式方程截距式方程由直线在坐标轴上的截距表示。
这个方程的形式为：x/a + y/b = 1。
其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距。
通过截距式方程，我们可以直观地了解直线在坐标轴上的截距情况，进而确定直线的位置。
例如，一条直线在x轴上截距为2，在y轴上截距为3，那么它的截距式方程为x/2 + y/3 = 1。
通过这个方程，我们可以知道直线与x轴和y轴的交点分别为(2,0)和(0,3)，并且研究直线的斜率等性质。
2. 一般式方程一般式方程是直线的一种标准表示形式。
它的一般形式为Ax + By + C = 0。
其中A、B和C是常数，A和B不能同时为0。
通过一般式方程，我们可以进行一些直线的运算和性质的验证。
例如，一条直线的一般式方程为2x - 3y + 4 = 0。
通过这个方程，可以得到直线的斜率为2/3，根据斜率的正负以及与坐标轴的交点可以判断直线在平面上的位置。
二、圆的方程圆是平面上一组等距离于圆心的点的集合，圆的方程也有多种形式。
在高一数学中，主要学习直径式和一般式两种圆的方程。
1. 直径式方程直径式方程是圆的一种直观表示方法，通过圆心和半径来表达圆的性质和位置。
直径式方程的一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²。
其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
例如，一个以坐标原点为圆心，半径为5的圆的直径式方程为：x²+ y² = 25。
通过这个方程，可以得知圆与坐标轴的交点和圆在平面上的位置。
直线与圆的方程
直线与圆的方程近些年，高等数学在数学领域中发挥着越来越重要的作用。
其中，直线与圆的方程是高等数学的重要知识点之一。
圆的方程和直线的方程都是用来表示几何图形的。
理解这两个方程，以及如何从一个表达式推导出另一个表达式，对于高等数学的学习都是十分重要的。
一、直线的方程直线是数学中最基本的几何图形，由两个不同的点组成，连接这两个点，即可形成一条直线。
直线的方程一般可以用一元一次方程的形式来表示：y=kx+b。
其中，K是直线斜率，B是截距。
给定任意一个点（x，y）可以推算出斜率K与截距B的值，从而确定直线的方程式。
此外，还可以使用参数方程的形式来表示直线的方程，如：x=at+b，y=ct+d，表示一条直线。
在此方程中，a,b,c,d定了这条直线的方向，t是参数。
二、圆的方程圆是由一系列的点的集合的闭合曲线组成的，其中心点（X0，Y0），是整个圆的中心点，其半径为R。
根据中心点坐标及半径，可以用极坐标系来表示一个圆，即：x = X0 + R*cosθy = Y0 + R*sinθ其中R是圆的半径，θ是弧度，一个圆上任一点坐标都可以用这个方程来表示。
此外，还可以使用标准的圆的方程来表示：(x-X0)+(y-Y0)=R在这个方程中，(X0,Y0)是圆心，R是半径，X,Y是圆上的一点，当X,Y给定时，可以求出该点到圆心的距离，从而确定该点是否在圆上。
三、直线与圆的相交在实际的计算中，有时需要求解直线与圆之间是否相交，以及相交的位置。
这里可以利用直线方程和圆方程来分析，首先用直线方程带入圆方程，并展开来求解。
（x-X0） + (kx+b-Y0) = R令a=k+1，b=2（b-Y0）k-2X0,c=X0+(b-Y0)-R，令f（x）= ax+bx+c，可以得到f（x） = 0解f（x）= 0，可以得到x1和x2，此时，（x1，y1）和（x2，y2）就是直线与圆的交点。
四、总结以上是关于直线与圆方程的介绍，主要介绍了用一元一次方程和参数方程表示直线，用极坐标系和标准圆的方程表示圆，以及求解直线与圆的交点的方法。
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直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。
由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。
利用此结论可得出相关曲线系方程。
一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。
和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，则表示过两圆的交点的直线。
其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。
（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交，则过直线L 与圆C 交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ（Ax ＋By ＋C ）＝0。
例4：求过圆：2x +2y 2x -+2y +1=0与圆：2x+2y +4x 2y -4-=0的交点，圆心在直线：2+50x y -=的例6：求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆01y 4x 2y x =+-++的交点，且过原点的圆方程。
例7：已知圆O ：C 、例8：求过点(14)P -，圆例9：平面上有两个圆，它们的方程分别是x +y =16和x +y －6x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。
解：∵x 2+y 2－6x+8y+24=0⇒(x －3)2+(y+4)2=1∴这两圆是外切∴(x 2+y 2－6x+8y+24)－(x 2+y 2－16)=0⇒3x －4y －20=0∴所求的两圆内公切线的方程为：3x －4y －20=0例10：已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，1.求证：无论m 取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标.2.求过两直线x -2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L 的方程.(1)过点(2,1)(2)和直线3x-4y+5=0垂直.3.过点P （3，1）作曲线C ：x 2+y 2﹣2x=0的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．2x+y ﹣3=0B ．2x ﹣y ﹣3=0C ．4x ﹣y ﹣3=0D ．4x+y ﹣3=04.对于任意实数λ，曲线（1+λ）x 2+（1+λ）y 2+（6﹣4λ）x ﹣16﹣6λ=0恒过定点5.求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝0和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝0交点和坐标原点的圆的方程．6.求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程..)0,2(),3,1(02024.722的圆的方程且过切于求与圆B A y x y x --=---+8.求过两圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程。
9.求经过直线l ：2x ＋y ＋4＝0与圆Ｃ：22y x ＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．10.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 过点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得圆C 与直线x+y+a =0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．11.已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.12.已知圆C ：x 2+y 2+4x ﹣2y+a =0，直线l ：x ﹣y ﹣3=0，点O 为坐标原点．（1）求过圆C 的圆心且与直线l 垂直的直线m 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求实数a 的值．13.已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线相切．（1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线x=8上，过P 点引圆C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试问，直线AB 是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．1.⎪⎭⎫ ⎝⎛25,27 2.（1）x+2y-4=0，（2）4x+3y-6=0；3.解：方程x 2+y 2﹣2x=0①可化为（x ﹣1）2+y 2=1，即曲线C 是一个圆，记圆心为C ．因为PA ，PB 分别切圆C 于A ，B ，所以P ，A ，B ，C 四点在以PC 为直径的圆即x 2+y 2﹣4x ﹣y+3=0②上，两圆公共弦所在直线即为所求，由①﹣②，得直线AB 的方程为2x+y ﹣3=0．故选：A ．4.解：曲线（1+λ）x 2+（1+λ）y 2+（6﹣4λ）x ﹣16﹣6λ=0可化为（x 2+y 2+6x ﹣16）+λ（x 2+y 2﹣4x ﹣6）=0，∴x 2+y 2+6x ﹣16=0且x 2+y 2﹣4x ﹣6=0，可得恒过定点．故答案为：．5.解：由题可设所求圆的方程为：（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０∵（0，0）在所求的圆上，∴有－2＋λ＝０．从而λ＝２故所求的圆的方程为：0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x 即2277y x +＋7x ＋y ＝０。
6.解:构造方程x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x -y -4=0上时,即.7,041313-==-+++-λλλλ得∴所求圆方程为x 2+y 2-x+7y -32=0.02018477,78)0,2(0)1543(202401543)3,1(.72222=-+-+==+++---+=++--y x y x y x y x y x y x A 所以所求圆方程为得，代入。
与已知圆构造圆系的圆的切线为解：过λλ8.解：圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的公共弦方程为22110x y +-=过直线22110x y +-=与圆225x y +=的交点的圆系方程为2225(2211)0x y x y λ+-++-=，即2222(1125)0x y x y λλλ+++-+=依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(,)λλ--必在公共弦所在直线22110x y +-=上。
即22110λλ--+=，则114λ=-代回圆系方程得所求圆方程22111179(()448x y -+-=9.解：设圆的方程为：22y x +＋2x －4y ＋1＋λ（2x ＋y ＋4）＝0即22y x +＋yx )4()1(2-++λλ＋（1＋4λ）＝0则[]5458(45)41(4)4()1(4412222+-=+--++=λλλλr ，当λ＝58时，2r 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：2255y x +＋26x －12y ＋37＝０10.解：（Ⅰ）设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，把点（0，﹣1），（3+，0），（3﹣，0）分别代入，得：，解得D=﹣6，E=8，F=7，∴圆C 的方程为x 2+y 2﹣6x+8y+7=0．（Ⅱ）过直线+0x y a +=与圆226870x y x y +-++=的交点的圆系方程为：22687()0x y x y x y a λ+-+++++=，即22(6)(8)7+0x y x y a λλλ++-+++=①依题意，O 在以AB 为直径的圆上，则圆心68(,)22λλ-+--显然在直线0x y a ++=上，则68022a λλ-+--+=，解之可得+1a λ=，又(0,0)O 满足方程①，07=+a λ，故072=+-a a 无解，故不存在a ，使得OA ⊥OB 。
【参考答案】11.解：（1）证明：l 的方程可化为（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.∵m ∈R ，∴27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径），∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.（2）弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－12，∴l 的方程为2x －y －5=0.12.解：（1）由题意得，C （﹣2，1），k l =1，由m ⊥l 得，k m •k l =﹣1，∴k m =﹣1．∵直线过圆心（﹣2，1），∴直线m 的方程为x+y+1=0．（2）过直线30x y --=与圆22420x y x y a ++-+=的交点的圆系方程为：2242(3)0x y x y a x y λ++-++--=，即22(4)(2)30x y x y a λλλ+++-++-=①依题意，O 在以MN 为直径的圆上，则圆心4+2(,)22λλ+-显然在直线30x y --=上，则423022λλ++---=，解之可得6λ=-，又(0,0)O 满足方程①，则30a λ-=，故18a =-。