高中数学圆的方程专题复习
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高一数学辅导资料 内容:圆与方程
本章考试要求
一、圆的方程 【知识要点】
1.圆心为),(b a C ,半径为r 的圆的标准方程为:)0()()(222>=-+-r r b y a x
0==b a 时,圆心在原点的圆的方程为:222r y x =+.
2.圆的一般方程02
2
=++++F Ey Dx y x ,圆心为点,2
2D E ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭,半径2
r =
,
其中0422
>-+F E D
.
3.圆系方程:过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=
交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不含圆2C ), 当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.
【互动探究】
考点一 求圆的方程
问题1. 求满足下列各条件圆的方程:
()1以两点(3,1)A --,(5,5)B 为直径端点的圆的方程是
()2求经过)2,5(A ,)2,3(-B 两点,圆心在直线32=-y x 上的圆的方程;
()3过点()4,1A 的圆C 与直线10x y --=相切于点()2,1B ,则圆C 的方程是?
考点二 圆的标准方程与一般方程
问题2.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆,则a 的取值范围是
考点三 轨迹问题
问题3.点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是
问题4.设两点()3,0A -,()3,0B ,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2,求P 点的轨迹.
二、直线和圆、圆与圆的位置关系
【知识要点】
1.直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式 为△,圆的半径为r ,圆心C 到直线l 的距离为d
则直线与
圆的位置关系满足以下关系:
2.直线截圆所得弦长的计算方法:
利用垂径定理和勾股定理:AB =r 为圆的半径,d 直线到圆心的距离).
0:111221=++++F y E x D y x C 0:222222=++++F y E x D y x C 则两圆的公共弦所在的直线方程是
4.相切问题的解法:
①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解
②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为1-(或一条直线存在斜率,另一条不存在) ③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个,即0=∆来求解.
特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为 . 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为
【互动探究】
考点一 直线与圆的位置关系
问题1:()1已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则
.A l 与C 相交 .B l 与C 相切 .C l 与C 相离 .D 以上三个选项均有可能
()2直线l :1mx y m -+-与圆C :()
2
211x y +-=的位置关系是
.A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 无法确定,与m 的取值有关.
()3过点()1,3P 引圆2244100x y x y +---=的弦,则所作的弦中最短的弦长为
3 / 4
.A 22
.B 4 .C 8 .D 42
()4求圆心为()1,2且与直线51270x y --=相切的圆 .
考点二 直线与圆相切的有关问题
问题2.()1 圆0422=-+x y x 在点)3,
1(P 处的切线方程为
()2过点()2,3P 的圆224x y +=的切线方程是
()3过直线2
20x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线,若两条切线的夹角是60︒,
则点P 的坐标是
考点三 直线与圆相交时的弦长问题
问题3.已知圆C 方程为:422=+y x .直线l 过点()1,2P ,且与圆C 交于A 、B 两点,若23AB =,
求直线l 的方程.
问题4.已知直线l :2830mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=;
()1m R ∈时,证明l 与C 总相交; ()2m 取何值时,l 被C 截得弦长最短,求此弦长.
考点四 圆与圆的位置关系
问题5.()1)圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为 .A 内切 .B 相交 .C 外切 .D 相离
()2(2013重庆)已知圆()()
22
1:231C x y -+-=,
圆()()22
2:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为
.A 524 .B 171 .C 622-.
D 17
问题6.已知圆1C ⊙:222280x y x y +++-=与2C ⊙:22210240x y x y +-+-= 相交于,A B 两点,
()1求公共弦AB 所在的直线方程; ()2求圆心在直线y x =-上,且经过,A B 两点的圆的方程;
【巩固训练】
1.圆2246110x y x y +-++=的圆心和半径分别是