§2.1二次函数所描述的关系
二次函数所描述的关系
二次函数所描述的关系引言二次函数是一种常见的数学函数形式，由形如y=ax2+bx+c的方程所描述。
其中a、b和c是实数常数，并且a eq0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的曲线，它在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，探讨二次函数图像的性质，以及二次函数在现实世界中的应用。
二次函数的基本形式二次函数是一种以x的二次幂为最高次的多项式函数。
其基本形式是y=ax2+bx+c，其中a、b和c分别是函数的系数。
•当a>0时，二次函数的图像开口朝上，称为正向开口的二次函数。
•当a<0时，二次函数的图像开口朝下，称为负向开口的二次函数。
二次函数的图像通常是一条平滑的曲线，关于 $x = -\\frac{b}{2a}$ 对称。
二次函数图像的性质二次函数的图像具有一些重要的性质，包括顶点、对称轴、开口方向和零点等。
1.顶点：二次函数的顶点表示图像的最高点或最低点。
顶点坐标可以通过 $x = -\\frac{b}{2a}$ 计算得出，并且x的值表示对称轴的位置，y的值表示函数的最大值或最小值。
2.对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和垂直于x轴的直线得出的。
对称轴的方程是 $x = -\\frac{b}{2a}$，它将图像分成两个对称的部分。
3.开口方向：二次函数的开口方向由系数a的符号决定。
当a>0时，图像开口朝上；当a<0时，图像开口朝下。
4.零点：二次函数的零点是函数曲线与x轴交点的横坐标值。
零点可以通过求解方程ax2+bx+c=0得到。
当方程有两个不同的实数解时，图像与x轴交于两个点；当方程有一个实数解时，图像与x轴相切；当方程无实数解时，图像与x轴没有交点。
二次函数的应用二次函数在现实世界中有着广泛的应用，以下是其中几个常见的应用领域：物理学二次函数的图像可以描述一些物体的运动轨迹。
例如，抛体运动的高度和时间之间的关系可以用二次函数来表示。
初中九年级数学 §2、1_二次函数所描述的关系
y=100(x+1)²=100x²+200x+100
思索归纳
二次函数
y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
y是x的函数吗？ y是x的一次函数？是反比例函数？
有何 特点
定义：一般地,形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠
0)
的函数叫做x的二次函数.
思索归纳
(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
小结 拓展 回 味 无 穷
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整 式,自变量x的最高次数是二次
作业
课本P36页习题2.1
第1,2题;
有信心 的人,可以 化渺小为伟 大,化平庸 为神奇.
同学们再见
随堂练习 在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
怎么(1）y=3(x（-1是)²）+1
判 (3) s=3-2t ²
断
（是）
1 (2) y x
（不是）x
1 (4) y x2 x
? (5)y=(x+3)²-x²
（不是）
（不是）
(6) v=10πr²
（是）
随堂练习
知道就做别客气
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
二次函数
y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
二次函数的关系
第二章 二次函数§2.1 二次函数所描述的关系学习目标:1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.学习重点:1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.学习难点:经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 学习方法:讨论探索法.学习过程:【例1】 函数y=（m ＋2）x 22 m ＋2x －1是二次函数，则m= ．【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【例3】正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式．【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n 个图中，第一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数表达式（不要求写出自变量n 的取值范围）；（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值；（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？课堂小结：课后练习:1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．2．当m 时，y=（m －2）x 22 m 是二次函数．3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．4．已知：一等腰直角三角形的面积为S ，请写出S 与其斜边长a 的关系表达式，并分别求出a=1，a=2，a=2时三角形的面积．5．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=21mv 2（m 为定值）． （1）若物体质量为1，填表表示物体在v 取下列值时，E 的取值：（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E 扩大为原来的多少倍？课后反思：。
北师大版九年级数学下册2.1二次函数所描述的关系导学案
，c
m
时，是正比例函数. .
3.若 y (m2 1) xm
是二次函数，则 m=
4.下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2＋bx＋c (a≠0)模型的是( ).
A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系； B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数 随年份的变化关系； C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号 弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)； D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
第 1 页 /共 5 页
，它的二次项系数为 一次项系数为 ，常数项为 .
,自我评价：小Fra bibliotek长评价：第 2 页 /共 5 页
合作探究一：
某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验 估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，且增 加的橙子树最多不得超过 20 棵. (1)问题中的变量是 其中 是自变量， 和 . 是因变量.
2
．
m4
(m 2) x 3 . 当 m
为何值时，y 为二次函数？当 m 为何值时，y 为一次函 数？
课后作业：
课本第 39 页，习题 2.1，知识技能，1；问题解决，3.
教师评价： 补案：
第 5 页 /共 5 页
3、 (15 分)下列各式中，y 是 x 的二次函数的是(
A. xy=x2-1；B.x2+y-2=0；C. y2-ax=-2；D. x2-y2+1=0. 4、 (15 分)某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出
达标 检测：
时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装 每提高 1 元售价，销量就减少 5 套.则每天销售利润 y 与售价 x 的函数表达式为 5、 (40 分)已知函数 y (m 3) xm
二次函数所描述的关系
§2.1 二次函数所描述的关系学习目标：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间的关系的体验。
2、理解并掌握二次函数的概念。
3、能够利用尝试求值的方法解决实际问题。
4、能够表示简单变量之间的二次函数关系。
学习重点：理解并掌握二次函数的概念 学习难点：表示简单变量之间的二次函数关系学习过程：一、复习旧知，温故知新1、设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应。
那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2、正比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 ， 反比例函数表达式为 。
3、08922=+-x x 是 方程，化为一元二次方程一般形式为 ，它的二次项系数为 ， 一次项系数为 ，常数项为 。
二、创设情境，引入新知探究：利用已经学过的知识解决下列问题；探究1、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(1)问题中有哪些变量？自变量是 ，因变量是 。
(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树,这时平均每棵树结 个橙子。
(3)如果果园橙子的总产量为y 个，写出y 与x 之间的关系式 。
想一想：在上述问题中，使果园橙子的总产量最多，要增种多少棵橙子树呢？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况。
根据表中的数据作出猜测：探究2、某商场销售一批T 恤衫，在一段时间内，单价15元时，销售量是500件，市场调查发现，单价每降低1元，就多销售出100件。
请你分析：(1)在这一问题中有哪些变量？自变量是 ，因变量是 。
(2)假设单价降低x 元，那么每件T 恤衫的单价是 元,这时的销售量为 件。
(3)请写出销售额y （元）与x （元）之间的函数关系式 。
三、合作探究，发现新知Y/个 1413 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X/棵【探索发现，同伴交流】（1）从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征？（2）仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？（3）你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看。
2.1 二次函数所描述的关系教学案1
1【学习目标】1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验；2、能够表示简单变量之间的二次函数关系；3、能够利用尝试求值的方法解决实际问题。
【学习重点】表示简单变量之间的二次函数关系【学习难点】利用尝试求值的方法解决实际问题【学习过程】一、课前准备1、一次函数的表达式为 ，正比例函数的表达式为 ， 反比例函数表达式为 。
2、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。
现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
请问种多少棵树才能达到30000个的总产量？你能解决这个问题吗？ （请列出方程，不用计算）二、自主学习活动一1、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。
现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
（1）假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（2）如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式。
2、设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。
如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y （元）的表达式（不考虑利息税）。
依题意，一年后的本息和是 ，此即为第二年的本金，则可得=y活动二1、一般地，形如 （ ）的函数叫做x 的二次函数。
其中，x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2、下列函数中，y 是x 的二次函数的是( )A 、B 、C 、D 、 x y 1=2321x y +-=12－x y =2532+-=x x y2 3、设正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式y=4、设圆的半径为r ，面积为S ，则S 与r 之间的函数关系式S=三、课堂练习1、下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、2、正方形的边长是2cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加ycm 2，则y 与x 的函数关系式为3、已知x x a y 2)1(2+-=是二次函数，那么a 的取值范围是______________4、已知函数42)2(－m x m y -=是y 关于x 的二次函数，则m 的值是5、某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件。
初中数学知识归纳二次函数的基本关系与计算
初中数学知识归纳二次函数的基本关系与计算二次函数是初中数学中的重要知识点之一。
它是指形式为f(x) =ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a不等于0。
本文将对二次函数的基本关系和计算进行归纳总结。
一、基本关系1. 零点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其零点是使得f(x) = 0的x值。
二次函数的零点可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法求得。
2. 顶点：二次函数的图像是一个抛物线，抛物线的顶点是其最高（或最低）点。
顶点的x坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，y坐标则是将x坐标代入函数中得到。
3. 对称轴：二次函数的图像是关于其对称轴对称的。
对称轴的方程为x = -b / (2a)。
4. 开口方向：二次函数的a的值决定了其开口方向。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
二、计算方法1. 函数值计算：给定二次函数的表达式和x的值，可以通过将x的值代入函数中计算得到对应的y值。
例如，计算f(x) = 2x^2 + 3x + 1在x = 2处的函数值，只需将x = 2代入函数中，得到f(2) = 2(2)^2 + 3(2) +1 = 15。
2. 相反数计算：对于二次函数f(x)，若已知f(a) = b，则可以通过解方程ax^2 + bx + c = 0求得x的值。
若已知一个二次函数的两个零点x1和x2，可以求得该二次函数的因式分解形式为a(x - x1)(x - x2)。
3. 过点求二次函数：已知二次函数过某个点(x1,y1)，可以通过代入点坐标求解得到函数的表达式。
例如，过点(1,4)且开口向上的二次函数，可以设为f(x) = ax^2 + bx + c，代入点坐标得到4 = a(1)^2 + b(1) + c。
4. 函数图像绘制：对于给定的二次函数，可以通过绘制其函数图像来更直观地理解其性质和特点。
首先可以计算出函数的零点、顶点、对称轴等重要信息，然后绘制出相应的图像。
初中数学知识点精讲精析 二次函数所描述的关系
2·1二次函数所描述的关系1. 函数：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应的就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.2. 二次函数定义：一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数. 注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零.最简单形式的二次函数－2(0)y ax a =≠.（1）关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.1.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．【解析】(1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有(x ＋100)棵树，平均每棵树就会少结5x 个橙子，则平均每棵树结(600－5x )个橙子．(3)如果果园橙子的总产量为y 个，则y ＝(x ＋100)(600－5x )＝－5x 2＋100x ＋60000．2.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．【解析】设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y (元)的表达式(不考虑利息税)．本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．一年后的本息和为(100＋100x ·1)＝100(1＋x )．再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金．y ＝100(1＋x )＋100(1＋x )x ×1＝10O (1＋x )＋100(1＋x )x＝100(1＋x )(1＋x )＝100(1＋x )2＝100x 2＋200x ＋100．3.若y ＝(m 2＋m)m m x -2是二次函数，求m 的值．分析：根据二次函数的定义，只要满足m 2＋m ≠0，且m 2－m ＝2，y ＝(m 2＋m )m mx -2就是二次函数．【解析】由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+．，2022m m m m 解，得⎩⎨⎧-==-≠≠，或，或1210m m m m ∴m ＝2．故若y ＝(m 2＋m )m m x -2是二次函数，则m 的值等于2。
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(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
抓住机遇 展示自我
判断：下列函数是否为二次函数，如果是， 指出其中常数a.b.c的值. 2 3 x (1) y＝1— (2)y＝x(x－5) 3 1 (3)y＝ x2－ x＋1
2
2
(4) y＝3x(2－x)＋ 3x2
2
1 (5)y＝ 2 3x 2 x 1
60 - a)=a(30-a) 2
=30a-a² = -a²+30a .
是二次函数.
拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一 个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一 条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
1
y = (60-x-4)(x-2)
1
1
x
3
牛刀小试
例3.已知二次函数
y=-5x²+100x+60000, y=100x²+200x+100.
y是x的反比例函数吗？
定义：一般地,形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做x的二次函数.
思索归纳 y=-5x²+100x+60000, y=100x²+200x+100.
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
y 2( x 1) 4
2
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4 （2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？
x取任意实数
结束寄语
书山有路勤为径, 学海无涯苦作舟, 黑发不知勤学早, 白首方悔读书迟.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自 变量? 哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园 共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少 个橙子? (100+x)棵 (600-5x)个
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么 请你写出y与x之间的关系式． y= (100+x) (600-5x) =-5x2+100x+60000
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)² =100x² +200x+100.
思索归纳
二次函数
有 何 特 点 y? 是x的函数吗？y是x的一次函数吗？
3.能把一个二次函数化为一
般形式，并能确定其中的
a、b、c的值。
想一想
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树， 每一棵树平均结600个橙 子。现准备多种一些橙子 树以提高产量，但是如果 多种树，那么树之间的距 离和每一棵树所接受的阳 光就会减少．根据经验估 计，每多种一棵树，平均 每棵树就会少结5个橙子。
图象法
温故知新
函数知多少
变量之间的关系 函 数
反比例函数 一次函数 y=kx+b (k≠0) y= k (k为常数，k≠0)
x
正比例函数 y=kx(k≠0)
双曲线
直线
二次函数
学习目标：
1.经历探索和表示二次函数的过程，获 得用二次函数表示变量之间关系的体验。 2.能够判断一个函数是否是
二次函数。
(6) y＝ x 2 5x 6 (8)y＝ax2＋bx＋c
(7)y＝ x4＋2x2－1
分别说出下列二次函数的二次项系数、 一次项系数和常数项：
(1) y x 1
2
(2) y 3 x 7 x 12
2
(3) y 2 x(1 x)
知识的升华
已知函数 y ( k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
想一想 银行的储蓄利率 是随时间的变化而变 化的,也就是说，利 率是一个变量.在我 国,利率的调整是由 中国人民银行根据国 民经济发展的情况而 决定的.
问题二
亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就 是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由 中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
温故知新
复习： 1、什么是函数？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每 一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x 的 函数。
2、什么叫做一次函数？ 形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
k 3、什么叫做反比例函数？ 形如y= (k为常数，k≠0) x
4、函数有哪些表示方法？ 解析法 列表法
2 2
k 0 k 解（1）根据题意得 k 0
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
2
(2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠ 1时 y是x的二次函数
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地 面积S(m² )与矩形一边长a(m)之间的关系是 什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
解：S=a(