宁夏银川九中2015届高三上学期第二次月考试题 数学(文)

高三期中考试数学（文科）试卷 第1页(共2页)宁夏银川九中2015届高三上学期第二次月考试题 数学（文） 高三年级数学（文科）试卷 （本试卷满分150分）（注：班级.姓名.学号.座位号一律写在装订线以外规定的地方，卷面不得出现任何标记） 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分）1错误！未指定书签。

．已知集合{}2,0,2A =-，{}220B x x x =--=，则A B ⋂= ( )A ．∅B ．{ 2 }C ．{ 0 }D ．{2-}2错误！未指定书签。

．命题“∀x R ∈，|x |20x +≥”的否．定是( ) A ．∀x R ∈， |x |20x +< B ．∀x R ∈， |x |20x +≤ C ．∃0x R ∈，|0x |200x +< D ．∃0x R ∈，|0x |200x +≥ 3错误！未指定书签。

．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．xey -= B ．3x y = C ．x y ln = D ．=y |x |4错误！未指定书签。

．已知等比数列{}n a 满足14,a =公比1,3q =-，则{}n a 的前10项和等于( )A ．()10613---B ．()101139-- C ．()10313-- D ．()1031+3- 5错误！未指定书签。

．若函数()1()33f x x x x =+>-，则()f x 的最小值为（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66错误！未指定书签。

．设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为A9 B10 C8 D67错误！未指定书签。

．函数2()21log f x x x =-+的零点所在的一个区间是 A. (18，14) B. (14，12) C. (12，1) D. (1，2)8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( ) A ．充分且必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．非充分非必要条件9错误！未指定书签。

．将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点(,0)2π-对称10．已知二次函数()f x 的图象如图所示，则其导函数()f x '的图象大致形状是（ ）.11．直线12y x b =+与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．－12D ．112错误！未指定书签。

．函数2cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式)1()(ln f x f <的解集为（ ） A. ),0(e B. ),1(e C. ),1(e e D. ),1()1,1(e e⋃二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13错误！未指定书签。

．已知2log 0()cos 2 0x x f x x x π>⎧=⎨≤⎩，则11()()22f f +-的值等于 .14错误！未指定书签。

．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向左至少平移 个单位 后，得到的图像解析式为cos y A x ω=．15错误！未指定书签。

．已知数列{}n a 满足 331log 1log ()n n a a n N *++=∈，且 2469a a a ++=，则3579log ()a a a ++的值是 16错误！未指定书签。

．以下命题:①若||||||a b a b ⋅=⋅,则a ∥b ; ②a =(-1,1)在b =(3,4)方向上的投影为15; ③若△ABC 中,a=5,b =8,c =7,则BC ·CA =20; ④若非零向量a 、b 满足||||a b b +=,则|2||2|b a b >+. 所有真命题的标号是______________.高三期中考试数学（文科）试卷 第2页(共2页)三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17．（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求a 的值.18．（本题满分12分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值.19．（本题满分12分）在公差不为零的等差数列{n a }中，32=a ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }的前n 项和为n S ，记nn S b 31=. 求数列}{n b 的前n 项和n T .20．（本题满分12分）设命题p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题q :实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩.(1)若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围;(2)若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.21．（本题满分12分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接CD EC ,． （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）若,21tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）。

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 （1）解关于x 的不等式31≤-+x x ；（2）若关于x 的不等式a x x ≤-+1有解，求实数a 的取值范围．高三期中考试数学（文科）试卷 第3页(共2页)银川九中高三数学（文科）期中考试参考答案二、填空题：13．2- 14． 6π15． 5 16． ①②④三、解答题：17． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求a 的值. （Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c aA bc +-==，……………… 4分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 6分 （Ⅱ）解：因为 cos =B ，(0,π)∈B ，所以 sin B ==， ………………8分 由正弦定理sin sin =a bA B ， ………………11分 得 sin 3sin ==b Aa B.………………12分18．已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值. （Ⅰ）解：2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122x x +=-+ 111sin 2cos 2222x x =-+ π1)42x =-+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.……………… 6分 （Ⅱ）解：由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-.所以π1sin(2)4x --≤ 所以π1)42x -+≤1，即 ()1f x ≤. 当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π()8f -=； 当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=. …………12分 19．在公差不为零的等差数列{n a }中，32=a ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }的前n 项和为n S ，记nn S b 31=. 求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：①设{n a }的公差为d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+=+0)6()2(311211d d a a d a d a ，………3分解得 21=a ，1=d …………………5分 ∴ 1)1(2⨯-+=n a n 即 1+=n a n . …………………6分高三期中考试数学（文科）试卷 第4页(共2页)② .2)1(92)132(32)(3313+=++=+=n n n n a a n S n n)111(92)1(9213+-=+==n n n n S b n n ………………9分)1(92)]111()3121()211[(9221+=+-++-+-=+++=n nn n b b b T n n 故 T n =)1(92+n n. ……………………12分20．设命题p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题q :实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩.(1)若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围;(2)若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a的取值范围.21．已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围.（Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠. 当1a =时，2e (1)()x x f x x-'=. 依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.由于22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x⋅--'==. （1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数. （2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.…………………8分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1xa x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()e xxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)e g x g ==.从而1ea ≥.高三期中考试数学（文科）试卷 第5页(共2页)另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1e a ≥.综上所述，1ea ≥． ………………….12分 22证明：（Ⅰ）如图，连接OC,OA =OB,CA=CB,OC AB ∴⊥OC 是圆的半径，AB ∴是圆的切线． （3分） （Ⅱ）ED 是直径，90,90ECD E EDC ∴∠=︒∴∠+∠=︒又90,,,,BCD OCD OCD OCD BCD E CBD EBC ∠+∠=︒∠=∠∴∠=∠∠=∠又,BC BDBCD BEC BC BE BC ∴∴=⇒∽2.BD BE = （5分） 1tan ,2CD CED BC ∠==BCD ∽1,2BD CD BEC BC EC == （7分）设=BD X ，则=2BC X ，2=BC BD BE 22=+6∴X X X （）（） =2BD ∴…．（9分）=+=2+3=5OA OB BD OD ∴= （10）分23．选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）将点P 43π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标，得(2P ，…………………………（2分） 直线l 的普通方程为1y =+，显然点P 不满足直线l 的方程，所以点P 不在直线l 上．………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点()2cos ,sin Q θθ+，…………………（6分） 点Q 到直线l ：1y =+的距离为d ==…………………（8分） 所以当sin 13θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，min d =， 当sin 13θπ⎛⎫-=⎪⎝⎭时，max d =故点Q 到直线l．………………（10分） 24．选修4－5：不等式选讲。