2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标版)
高考-2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B 中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，∈F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2] 10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，∈ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为∈ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC ﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，∈ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1∈BD（1）证明：DC1∈BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F 为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∈BFD=90°，∈ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为∈ABC边AB，AC的中点，直线DE交∈ABC的外接圆于F，G两点，若CF∈AB，证明：（1）CD=BC；（2）∈BCD∈∈GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B 中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p 3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∈z===﹣1﹣i，∈，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，∈F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用∈F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∈∈F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∈|PF2|=|F2F1|∈P为直线x=上一点∈∈故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∈a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∈a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∈a1=﹣8，a10=1，∈a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∈a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）。
【深度解析高考真题】2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5} , B={ （x , y ） |x € A , y € A , x -y € A},则B 中所含元素的个数为（ ）A . 3B . 6C. 8D . 102. （5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 （ ） A . 12 种B . 10 种C. 9 种D . 8 种3.（5分）下面是关于复数z — 的四个命题：其中的真命题为（）,-1+1 P 1： |z| =2, P 2： z 2=2i ,P 3： z 的共轭复数为1+i , P 4： z 的虚部为-1 . (5 分)已知｛a n ｝为等比数列，a 4+a 7=2, a 5a e = - 8,则 a 1+ae=()4. A . P 2, P 3 D . P 3, P 4=1 （a >b >0）的左、右焦点，P 为直线x=—上一点，△ F ^PF 是底角为30°勺等腰三角形，则E 的离心率为（ 12A .B .D•一5. C. P 2, P 4（5分）设F 、A. 7B. 5C.- 5D.- 76. （5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N》2）和实数a1, a2,…,a n,输出A, B,则（）C. A 和B 分别是a i , a 2,…，a n 中最大的数和最小的数 D . A 和B 分别是a i , a 2,…，a n 中最小的数和最大的数7. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为（）/ \//\///\//\ /A . 6B . 9 C. 12 D . 188. （5分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准5A . A+B 为 a i , a 2,…，a n 的和 B •丄为a i , 82,…，a n 的算术平均数线交于点A 和点B , |AB|=4二则C 的实轴长为（ ） A.血 B. 2<29. (5分)已知 3>0,函数 f (x ) =sin11.（5分）已知三棱锥S- ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，△ ABC 是边长 为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2则此三棱锥的体积为（ ）A .B .C.D .461212. （5分）设点P 在曲线尸上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则|PQ|最小值 为（ ） A . 1 - ln2B ..】-_亠；C. 1+1 n2D . :-二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. （5分）已知向量二W 夹角为45°且|扃4 |=\帀,则N | = _________________14. （5分）设x ,y 满足约束条件：•工;则z=x- 2y 的取值范围为 _____________D . 8）在区间［—,n 上单调递减,C. 4( x x --- 4则实数co 的取值范围是（ )rl 丄］ L 25 4 J10. (5分)已知函数f (x ) =1A .B . D . (0, 2］,则y=f （x ）的图象大致为（）jc十応315. （5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000, 502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_____________ .16. ______________________________________________________________ （5 分）数列｛a n｝满足a n+1 + （- 1）n a n=2n- 1,则｛a n｝的前60项和为____ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （12分）已知a，b，c分别为△ ABC三个内角A，B，C的对边，acosO. ；asinC-b - c=0（1）求A;（2）若a=2,A ABC的面积为二求b，c .18 . （12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求 量n (单位：枝，n € N )的函数解析式.(2)花店记录了 100天玫瑰花的日需求量(单位：枝) 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i )若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分 布列、数学期望及方差；(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝? 请说明理由.19. (12分)如图，直三棱柱 ABC- A 1B 1G 中，AC=B DC 」BD(1) 证明：DC 丄BC;(2) 求二面角A 1 - BD- C 的大小.20. (12分)设抛物线C: x 2=2py (p > 0 )的焦点为F ,准线为I , A €C ，已知以1819 20 151310日需求量n14 15 16 17频数10201616,整理得如表: D 是棱AA 的中点,F为圆心，FA为半径的圆F交I于B, D两点；(1) 若/ BFD=90, △ ABD的面积为4伍，求p的值及圆F的方程；(2) 若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.21. (12分)已知函数f (x)满足f (x) =f'( 1) e x「1- f (0) x—x2;(1)求f (x)的解析式及单调区间；(2)若f(I)，求(a+1) b 的最大值.四、请考生在第22, 23, 24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.第6页(共31页)外接圆于F, G两点，若CF// AB,证明:(1) CD=BC(2) ^ GBD.23 .选修4 - 4;坐标系与参数方程已知曲线C i的参数方程是『沪力(©为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是p =2正方形ABCD的顶点都在C2上,且A，B, C, D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，).(1)求点A, B, C, D的直角坐标；(2)设P为C i上任意一点，求I PA 2+| PB 2+| PC 2+l PD 2的取值范围.24.已知函数f (x) =|x+a|+| x —2|①当a=—3时，求不等式f (x)> 3的解集；②f (x)< |x —4|若的解集包含［1, 2］，求a的取值范围.2012年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5} , B={ （x , y ） |x € A , y € A , x -y € A}, 则B 中所含元素的个数为（ ） A . 3B . 6C. 8D . 10【考点】12:元素与集合关系的判断. 【专题】5J:集合.【分析】由题意，根据集合B 中的元素属性对x , y 进行赋值得出B 中所有元素， 即可得出B 中所含有的元素个数，得出正确选项 【解答】解：由题意，x=5时，y=1, 2, 3, 4, x=4 时，y=1, 2, 3, x=3 时，y=1, 2, x=2 时，y=1综上知，B 中的元素个数为10个 故选：D .【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集 合B 中元素的属性，用分类列举的方法得出集合 B 中的元素的个数.2. （5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( ) A . 12 种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.（新课标）B . 10 种C. 9种D . 8种【专题】11:计算题.【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用 分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有 理=2种选法； 第二步，为甲地选两个学生，有C ；=6种选法； 第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有2X 6X 仁12种 故选：A .【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题 意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3. （5分）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（），-1+1P 1： I z| =2， p 2： z 2=2i ，P 3： z 的共轭复数为1+i ， p 4： z 的虚部为-1 . A . P 2，P 3B . P 1，P 2C. P 2，P 4D . P 3，P 4【专题】11:计算题.z 的共轭复数为-1+i ，P 4： z 的虚部为-1，由此能求出结果.力：k 丨二近,P 3： z 的共轭复数为-1+i ， P 4： z 的虚部为-1，= --1M t-l+iX-l-i)【分析】由z 1 - i ，知，=22 (-1-1)-l+iC-1+DM-1)-1-i ，【解答】解：：z 【考点】2K:命题的真假判断与应用;A5：复数的运算.故选：C.【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.2 24. （5分）设F i 、F 2是椭圆E :二—=1 （a >b >0）的左、右焦点，P 为直线 a 2 b 2【考点】K4:椭圆的性质. 【专题】11:计算题.【分析】禾1」用厶F 2PF 是底角为30°的等腰三角形，可得| PF 2| =| F 2F i |，根据P 为 直线x 亠上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率.2【解答】解：•••△ F 2PF 是底角为30°的等腰三角形， ••• | PF =| F 2F i | ••• P 为直线x=上一点2• c 3【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属点，△ F 2PF 是底角为30°勺等腰三角形，则 E 的离心率为（B .C.— D.于基础题.5. （5 分）已知｛a n｝为等比数列，a4+a7=2, a5a6= - 8,则a i+a io=（）A. 7B. 5C.- 5D.- 7【考点】87:等比数列的性质；88:等比数列的通项公式.【专题】11:计算题.【分析】由a4+a7=2,及a5a6=a4a7=- 8可求a4, a7,进而可求公比q,代入等比数列的通项可求a i, a io,即可【解答】解：T a4+a7=2,由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7= - 8二a4=4, a7=- 2 或a4=- 2, a7=4当a4=4, a7=- 2 时，［一一,--a i = - 8, a io=1,a i+a io= —7当a4=- 2, a7=4 时，q3=-2,则a io= - 8, a i=i二a i+a io= —7综上可得，a i+a io=- 7故选：D.【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力.6. （5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N》2）和实数a i, a2,…,a n,输出A, B,则（）X=a^fc=壬十1A. A+B 为a i, a2,…，a n 的和B•丄为a i, a2,…，a n的算术平均数C. A和B分别是a i, a2,…，a n中最大的数和最小的数D. A和B分别是a i, a2,…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7:循环结构.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知: 该程序的作用是求出a i, a2,…，a n中最大的数和最小的数.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a i, a2,…，a n中最大的数和最小的数其中A为a i, a2,…，a n中最大的数，B为a i, a2,…，a n中最小的数故选：C.【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步 分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题.D . 18【考点】L!:由三视图求面积、体积. 【专题】11:计算题.【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积 即可.【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 3;底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形， 此几何体的体积为 V 丄x 丄x 6X 3X 3=9.32故选：B.【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计 算能力.8. （5分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线f=16x 的准 线交于点A 和点B ，|AB|=4二，则C 的实轴长为（ ） A .血B .皿C. 4D . 81,粗线画出的是某几何体的三视C. 12A . 6B . 9【考点】K：圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】设等轴双曲线C: x2- y2=a (a>0), y2=16x的准线l：x=-4，由C与抛物线y2=i6x的准线交于A, B两点，—■；,能求出C的实轴长. 【解答】解：设等轴双曲线C：x2- y2=a2(a>0),y2=16x 的准线l: x=- 4,v C与抛物线y2=16x的准线I: x=- 4交于A, B两点，.；：-|••• A (-4, 2「;)，B (-4,- 2 :；),将A点坐标代入双曲线方程得/=(-4 ) 2-(趴更)2=4,二a=2, 2a=4.故选：C.【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化.9. (5分)已知3>0,函数f (x) =sin ( 3 ——)在区间［—,n上单调递减, 则实数3的取值范围是( )A.环号］B.〔*•却C ° 专〕D. (0 , 2］【考点】HK由y=Asin( 3X©)的部分图象确定其解析式.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】法一：通过特殊值3 =2 3 =1验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果.法二：可以通过角的范围，直接推导3的范围即可.【解答】解：法一：令：3二2=3"^^)丘［赳L 旦■［不合题意排除(D) q q q3二10宀卄号-)€［罟，罟］合题意排除(B) (C)法二： 3 5 斗)Go® <2, @X+牛)€【今3译，兀［今，警】故选：A .【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算 能力.【考点】4N :对数函数的图象与性质；4T :对数函数图象与性质的综合应用.【专题】11:计算题.【分析】考虑函数f (x )的分母的函数值恒小于零，即可排除 A , C,由f (x ) 的定义域能排除D ,这一性质可利用导数加以证明 【解答】解：设’：・：| I 〉：・ 则 g (x ) =€-Its••• g (x )在(-1, 0)上为增函数，在(0, +x)上为减函数 ••• g (x )v g (0) =0得：x > 0 或-1v x v 0 均有 f (x )v 0 排除 A , C,10. (5分)已知函数f (x ) =1则y=f (x )的图象大致为(得:• f (x )又f (X )= 中,，能排除D .Ln(x+l)-x [ln(x+l)-i^O故选：B.【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数 性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11. ( 5分)已知三棱锥S- ABC 的所有顶点都在球 0的表面上，△ ABC 是边长 为1的正三角形，SC 为球0的直径，且SC=2则此三棱锥的体积为(•••高 SD =200= J ,•••△ ABC 是边长为1的正三角形， • S ABC=',1• V 三棱锥 S- ABC =一…：=二. 3436故选：C.A .C.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】11:计算题；5F :空间位置关系与距离. 【分析】根据题意作出图形，禾U 用截面圆的性质即可求出ABC 上的高SD,即可计算出三棱锥的体积.OOi ，进而求出底面设球心为0,过ABC 三点的小圆的圆心为 01,贝U 00丄平面ABC,延长C0交球于点D ,贝U SD 丄平面ABC.C0®= ~2""3"B【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点面ABC的距离.12. (5分)设点P在曲线尸*『上，点Q在曲线y=ln (2x)上，则|PQ|最小值为( )A. 1 - ln2B. 】-_亠C. 1+1 n2D. :-【考点】4R反函数；IT:点到直线的距离公式.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由于函数尸寺J与函数y=ln (2x)互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ的最小值，只要求出函数尸吉/上的点PG, 到直线y=x的距|丄J |离为d --------------的最小值，V2设g (x)丄Jr，禾U用导数可求函数g (x)的单调性，进而可求g (x)的最■Lu小值，即可求.【解答】解：•••函数尸淸与函数y=ln (2x)互为反函数，图象关于y=x对称,I 1 I I 1 1*亠訝函数尸斗』上的点卩他当/)到直线y=x的距离为d ------------ 严—，2 V2设g (x)寺J p(x> 0)，则吕(Q二寺，由/㈤今宀1 > 0 可得x> ln2，由吕'（前二吉/_］<0可得O v x v ln2,•••函数g （x）在（0, ln2）单调递减，在［In2, +*）单调递增,•••当x=ln2 时，函数g（x）min=1 - In2,1-Ln2由图象关于y=x对称得：| PQ|最小值为迫二代（lTnR •故选：B.【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. （5分）已知向量二耳夹角为45°且则区丨=-奁一.【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算；9S:数量积表示两个向量的夹角.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】由已知可得，已* b二|且| | b |CDE 45* = ^^ |匸| ，代入2「1 = . 「—厂「- " =「• I匸=川可求【解答】解：：C ^>=4秽，丨得1=1•b二| 且| |b |UD£45。
2012年全国高考理科数学试题及答案-新课标
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素 的个数为（ ） 【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-【解析】选C1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） 【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） 【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯= （8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ） 【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年全国高考数学试题及答案-新课标
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x ﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x 的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数1201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x ∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D2．（5分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A3．（5分）（2012•新课标）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P 为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（5分）（2012•新课标）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．10．（5分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f （x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B11．（5分）（2012•新课标）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．12．（5分）（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x 对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x 的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x 对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（5分）（2012•新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]15．（5分）（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，∴有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故答案为：1830．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A ﹣）=1，所以A=；（2）S△ABC =bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数1201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝19．（12分）（2012•新课标）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH ⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD ﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD ﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）（2012•新课标）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
2012年全国高考理科数学试题及答案 新课标
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
,B?{(x,y)x?A,y?A,x?y?A}B1,2,3,4,5}?A{中所含元素（则1）已知集合；,的个数为（）3???6))D(B)((C(A)D【解析】选x?5,y?1,2,3,4x?4,y?1,2,3x?3,y?1,2x?2,y?1共10 ，，，个242个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，（2）将名学生分成名教师，12名学生组成，不同的安排方案共有（）每个小组由名教师和10?12?)(D(C)(A)(B)种种种种A【解析】选1212CC?12种甲地由名学生：名教师和422?z的四个命题：其中的真命题为（3）下面是关于复数）（?1?i22?p:zp:zzp:?1i1?i2:z?p的虚部为的共轭复数为4312p,pp,pp,p,pp)(C)B)((A)D(21??3??2C【解析】选22(?1?i)???z?1?i?1?i(?1?i)(?1?i)2p:zz:p?1i?1?iz:p?22:p?z，，的共轭复数为，的虚部为432122yx3aE:??1(a?b?0)Px?FF上一点，（4）设的左、右焦点，是椭圆为直线21222abE?FPF30的等腰三角形，则是底角为）的离心率为（1212??)DA)(((B)(C)??23C【解析】选c33?e)?2c?a??PF?FF?2(?c?PFF30的等腰三角形是底角为122124a2??a2??aa?aa?8?aa?）5（）已知为等比数列，，则，（74n10165????57)((C)(A)D(B)D【解析】选42,a???2a???a?2a?aa??8?a4,aa?a，或76774475447??1?a?a8,4,a??2?a??a?a?107104117?a?a??4?a??8,a1??a?2,a?101074112)?N(N（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数和BA,a,...,a,a）实数，则（，输出n21BA?)(A aa,...,a,为的和n21B?A)B(a,...,a,a为的算术平均数n122BA)C(aa,...,a,分别是中最大的数和最小的数和n21BA)D(a,a,...,a中最小的数和最大的数和分别是n12C【解析】选1）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的（7 ）是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（??9??6)C)D(A)(B)((B【解析】选3该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为1193??3V????6此几何体的体积为232x CC x16y?B,A轴上，的准线交于（8）等轴双曲线与抛物线的中心在原点，焦点在C3AB?4）；则的实轴长为（两点，222??)()D((A)C)(BC【解析】选22224??l:x x(a?0)?ay16C:x??y3)4,2(A?3)24,?B(?于交的准线设2224?2aa?2?4)??(23)4?a??(得：???????sin((,x)?xf())0?，函数上单调递减。
【深度解析高考真题】2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(20200515055823)
2012年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1. （5 分）已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5} , B={ （x , y ） |x € A , y € A , x -y € A}，则 B 中所含元素 的个数为（ ） A. 3B . 6C . 8D . 102. （5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A . 12 种B . 10 种C . 9 种D . 8 种3. （5分）下面是关于复数z= I 的四个命题：其中的真命题为（ ）, P 1： |z| =2, p 2： z 2=2i ,P 3： z 的共轭复数为1+i , p 4： z 的虚部为-1 . A . P 2, P 3B . P 1, P 2C . P 2, P 4D . P 3, P 4g 24. （5分）设F 1、F 2是椭圆E: " ； + [=1 （a >b >0）的左、右焦点，P 为直线上一点，△ F 2PF■a l-h £ 是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A —A.'B 2B.-5. (5分) 已知{a n }为等比数列， a 4+a 7=2, a 5a 6=- 8, 贝 U a 1+a 10=( )A . 7B . 5C .- 5D .- 76. （5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N （N 》2）和实数a 1, a 2,…，a n ,输出A , B ,则（）A . A+B 为 a 1, a 2,…，a n 的和 B^ — 为a 1, a 2,…，a n 的算术平均数C. A 和B 分别是a 1, a 2,…，a n 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是a 1, a 2,…，a n 中最小的数和最大的数7. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，贝吐匕几何体的 体积为（）16. （5分）数列｛a n ｝满足a n +什（-1） n a n =2n - 1,则｛a n ｝的前60项和为 ___ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （12分）已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角A , B , C 的对边，acosG ：asinC- b - c=0 （1） 求 A ;（2） 若 a=2,A ABC 的面积为.「；；求 b , c .（5分）已知三棱锥s- ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2则此三棱锥的体积为（ ）A.-B .二C .D .4rr1212. （5分）设点P 在曲线匚「广上，点 可Q 在曲线y=ln （2x ）上,则| PQ 最小值为（A . 1 - ln2B. h/2(l-ln2)C . 1+l n2D .空题：本大题共4小题，每小题5分.（5分）已知向量；亍夹角为45°且|a|=l,l^^io ，则伍|= __________A . 6B . 9C . 12D . 18 8. （5分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线f=16x 的准线交于点A 和点B , | AB| =4需，贝U C 的实轴长为（ ） A .二B . |A ：〔 C . 4 D . 8 9. （5分）已知3> 0,函数f （x ） =sin （®x ——）在区间［,询上单调递减，则实数 ①的取值范4 2 y>014. ___________________________________________________________________ （5分）x ，y 满足约束条件：、;则z=x- 2y 的取值范围为 ___________________________________ .卫十応315.（5分）某个部件由三个元件按下式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N （1502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ____围是（ ）A4 ■A . B.D . (0, 2]10. （5分）已知函数f （x ）= ，则y=f （x ）的图象大致为（18. (12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n €N)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝) ，整理得如表：日需求量n14151617181920频数1020161615131020. (12分)设抛物线C: /=2py(p>0)的焦点为F,准线为I, A€ C,已知以F为圆心，FA为半径的圆F交I于B，D两点；(1)若/ BFD=90, △ ABD的面积为4近，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.21 . (12 分)已知函数f (x)满足f (x) =f'(1) e x-1- f (0) x•亍x2;(1)求f (x)的解析式及单调区间；(2)若T !■： . ■ ― Z 1 21工十，求(a+1) b的最大值.19. (12分)如图，直三棱柱ABC- A1B1C1中，AC=BC=-AA1，D是棱AA的中点，Dd丄BD(1)证明：DC丄BC;(2)求二面角A1 - BD- C1的大小.四、请考生在第22, 23, 24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. (10分)如图，D, E分别为△ ABC边AB, AC的中点，直线DE交厶ABC的外接圆于F, G 两点, 若CF// AB,证明：(1)CD=BC(2) ^ GBD.23 .选修4 - 4;坐标系与参数方程已知曲线C i的参数方程是厂( ©为参数),以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是p =2正方形ABCD的顶点都在C2上，且A, B, C, D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,—).(1)求点A, B, C, D的直角坐标；(2)设P为C上任意一点，求| PA 2+| PB 2+| PC 2+l PD 2的取值范围.24 .已知函数f (x) =|x+a|+| x —2|①当a=—3时，求不等式f (x)> 3的解集；②f(x)< |x —4|若的解集包含［1, 2］，求a的取值范围.2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析【专题】11:计算题.【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合A={1, 2, 3, 4, 5} , B={ （x, y）|x€ A, y€ A, x-y€ A}，则B 中所含元素的个数为（）A. 3B. 6C. 8D. 10【考点】12:元素与集合关系的判断.【专题】5J:集合.【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x, y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1, 2, 3, 4,x=4 时，y=1, 2, 3,x=3 时，y=1, 2,x=2 时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D.【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数.2. （5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12 种B. 10 种C. 9 种D. 8 种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有「=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有］■ =6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2X6X仁12种故选：A.【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3. （5分）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（）,-1+1P1：|z| =2,p2：z2=2i,P3：z的共轭复数为1+i,P4：z的虚部为-1 .A. P2, P3B. P1, P2C. P2 , P4D. P3, P4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算.【专题】11:计算题.【分析】由z』一_ =- 1 - i，知| ：，「「^ 「P3：z的共轭复数为-1+i, p4：z的虚部为-1，由此能求出结果.【解答】解」z= = =- 1-i，十'厂p 2 ' £= 2 i •）p3：z的共轭复数为-1+i,【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11:计算题.【分析】禾1」用厶F2PF是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F i|，根据P为直线x一上一点, 可建立方程，由此可求椭圆的离心率.【解答】解：•••△ RPF是底角为30°的等腰三角形，••• I PF =| F2F1I••• P为直线X二一上一点2•- '一二二：• •二一二一故选：C.5. （5 分）已知｛a n｝为等比数列，a4+a7=2，a5a6= - 8，则a i+a i0=（）D.- 7【考点】87：等比数列的性质；88:等比数列的通项公式.【专题】11:计算题.【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7= - 8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：••• a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a s=a4a7= - 8•a4=4，a7= - 2 或a4= - 2，a7=4当a4=4，a7=-2时，——丄，--a1 = - 8，a10=1，•a1 +a10= —7当a4=- 2，a7=4 时，q3=-2，贝U a10=- 8，a1=1•- a1 +a10= —7综上可得，a什a10= —7故选：D.【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力.的虚部为-1 ,C.评】本题考查复数的基本概念，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.分）设F i、F2是椭圆E:〔+—=1（a>b>0）的左、右焦点，P为直线x亠上一点，△ F2PF a2b2 2底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）— B.-23c. 丁 D.-解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题.A. 7B. 5C.- 56. （5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N》2）和实数a i, …，a n,输出A, B,B. 丄为a i, a2,…，a n的算术平均数C. A和B分别是a i, a2,…，a n中最大的数和最小的数D. A和B分别是a i, a,…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7:循环结构.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a i, a2,…，a n中最大的数和最小的数.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a i, a2,…，a n中最大的数和最小的数其中A为a i, a2,…，a n中最大的数，B为a i, a2,…，a n中最小的数故选：C.【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题.7. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为i,粗线画出的是某几何体的三视图，贝吐匕几何体的【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】ii:计算题.【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可.【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3;底面三角形斜边长为6,高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V丄丄x 6X 3X 3=9.3 2故选：B.【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力.8. （5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=i6x的准线交于点A和点B,D. i8 体积为（C. i2| AB二血，则C的实轴长为（）9. (5分)已知3>0,函数f (x) =sin (① 一)在区间[——,询上单调递减，则实数①的取值范围是( )A. -一亍B.「一「C 二一「D. (0, 2]【考点】HK由y=Asin 的部分图象确定其解析式.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】法一：通过特殊值3 =2 3 =1验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果. 法二：可以通过角的范围，直接推导3的范围即可.【解答】解：法一：令：」— =「「「+ ———【不合题意排除(D) 二「—— -.二一合题意排除(B) (C)【考点】4N:对数函数的图象与性质；4T:对数函数图象与性质的综合应用.【专题】11:计算题.【分析】考虑函数f (x)的分母的函数值恒小于零，即可排除A, C，由f (x)的定义域能排除D, 这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设:；N +： -■则g' (x)=十14-x••• g (x)在(-1, 0)上为增函数，在(0, +x)上为减函数••• g (x)v g (0) =0•f (x)= v 0得：x>0 或-1v x v0 均有 f (x)v 0 排除A, C,二B. 一：C. 4D. 8点】K：圆锥曲线的综合.题】11:计算题；16:压轴题.析】设等轴双曲线C: x2- y2=a2 (a>0), y2=16x的准线l：x=- 4,由C与抛物线y2=16x的准线交A, B两点，1辽」：能求出C的实轴长.答】解：设等轴双曲线C: x2-y2=a? (a>0),的准线l: x=- 4,抛物线y2=16x的准线I: x=- 4交于A, B两点，I ；- 4, 2® B (-4,- 2®坐标代入双曲线方程得-I . : :. =4,, 2a=4.C.评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条，合理地进行等价转化. 法二：一I-.-： -T 一-：, 工_ 宁上一I —. 「■ I - .-故选：A.得:【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力.10. (5分)已知函数f (x) ,则y=f (x)的图象大致为(又f （X ）= 中， ，能排除D. 故选：B.【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系, 解图象选择题，属基础题11. （5分）已知三棱锥S- ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2则此三棱锥的体积为（ ）A.—B.:C. D.:44 612【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S 到面ABC 的距离.12. （5分）设点P 在曲线尸*/上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则|PQ 最小值为（ ）•函数g （乂）在（0, ln2）单调递减，在［ln2, +*）单调递增, •••当 x=ln2 时，函数 g (x ) min =1 - ln2,利用导数研究函数性质的应用，排除法【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】11:计算题；5F :空间位置关系与距离. 【分析】根据题意作出图形，禾U 用截面圆的性质即可求出 可计算出三棱锥的体积. 【解答】解：根据题意作出图形：OO 1,进而求出底面ABC 上的高SD,即设球心为O ,过ABC 三点的小圆的圆心为 O 1,贝U OO 丄平面ABC, 延长CO 交球于点D ,则SD 丄平面ABC•/ CO=2x 頂-岛3 2•••高 SD=2OO==-3 •••△ ABC 是边长为1的正三角形, • • S^ABC = --V 三棱锥S- ABC = 故选：C.A . 1 - ln2【考点】 【专题】【分析】 B .C . 1+ln2D . . —4R:反函数；IT :点到直线的距离公式. 5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 由于函数尸+/与函数y=ln （2x ）互为反函数，图象关于y=x 对称，要求| PQ 的最小值,只要求出函数上的点卜亠丄J 至V 直线y=x 的距离为的最小值,,利用导数可求函数g （x ）的单调性，进而可求g （x ）的最小值，即可求.【解答】解：•••函数丄「与函数y=ln （2x ）互为反函数，图象关于y=x 对称, I 丄J 1到直线y=x 的距离为“ASBOOi 1亠上的点」，' 函数亠l-ln2【考点】7C:简单线性规划.由图象关于y=x对称得：| PQ|最小值为「[ _ i ■..故选：B.【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好【专题】11:计算题.【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x- 2y 可得, 表示直线x -z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域.填空题：本大题共4小题，每小题5分.由z=x- 2y可得, 则-二—表示直线x- 2y- z=0在y轴上的截距，截距越大, z越13. （5分）已知向量；&夹角为45°且|a |=1, |Za-b||=Vi5，则氏1=_卫—. 结合函数的图形可知，当直线x-2y- z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x-2y- z=0平【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算；9S:数量积表示两个向量的夹角. 【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】由已知可得，• * -1 •：： | -='"丨h丨，代入|八I—; 一 =「丨—「=「「-门一门-=.11可求移到A时，截距最小，z最大由严XT可得B（1, 2），由严曲可得A （3, 0）[x+y=3..Z max=3, Z min = — 3则z=x- 2y€ [ - 3, 3]【解答】解：-1!，lb cos 45°=「产1=1.1 2 _ H =.：厂「门=「1=「_ • I 】• = 1解得If I-如‘」故答案为：3 :■:【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质丨计=儿是求解向量的模常用的方法故答案为：[-3, 3]14. （5分）设x，y满足约束条件:则z=x- 2y的取值范围为s+y<3【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标即可求出答案.15. （5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502),且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为旦.一g —【考点】CP正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为丄，而所求事件该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000, 502)得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为■■-二丄设A=｛超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常｝，B=｛超过1000小时时，元件3正常｝ C=｛该部件的使用寿命超过1000小时｝则P (A) =11-「「=-，P (B)=-|3| Il 引P (C) =P (AB) =P (A) P (B)=三X-=-故答案为一o【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16. (5 分)数列｛&｝满足a n+1+ (- 1) n a n=2 n- 1,则｛a n｝的前60 项和为1830【考点】8E:数列的求和；8H:数列递推式.【专题】11:计算题；35:转化思想；4M:构造法；54:等差数列与等比数列.【分析】由题意可得a2 - a1=1，a3+a2=3，a4 - a3=5，a5+a4=7，a6 - a5=9，a7+a s=11，…a0- a49=97, 变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，- 利用数列的结构特征，求出｛an｝的前60项和【解答】解：••• a n+1+ (- 1) n a n=2n- 1，故有a2- a1=1，a3+a2=3，a4- a3=5，a5+a4=7，a6- a5=9，a7+a s=11，…a- a49=97.从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a s+an=2，a12+a10=40，a13+an=2，a16+a14=56，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列.｛a n｝的前60 项和为15X 2+ (15X 8 _—八)=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (12分)已知a, b, c分别为△ ABC三个内角A, B, C 的对边，acosG「；asinC- b - c=0(1)求A；(2)若a=2,A ABC的面积为. :；；求b, c.【考点】HP:正弦定理.【专题】33:函数思想；4R:转化法；58:解三角形.【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin (A-30°寺.即可求出A的值；(2)若a=2,由厶ABC的面积为二，求得bc=4.①，再利用余弦定理可得b+c=4.②，结合①② 求得b和c的值.【解答】解：(1 )由正弦定理得：acosQ- ：'；asinC- b- c=0,即sinAcosG ■:sinAsinC=sinBsinC••• sinAcosG 「；sinAsinC=sin(A+C)+sinC,即■: si nA- cosA=1 •sin (A- 30° 丄. •A-30°=30°(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝) ，整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【考点】CH离散型随机变量的期望与方差；CS概率的应用.【专题】15：综合题.【分析】(1)根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数;(2) (i) X可取60, 70, 80,计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；(ii)求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论.【解答】解：(1)当n > 16 时，y=16X( 10- 5) =80;识解决实际问题的能力. 19. (12分)如图，直三棱柱ABC- A1B1C1中，AC=BC=AA, D是棱AA1的中点，DG丄BD (1)证明：DG丄BC;【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系；MJ:二面角的平面角及求法.【专题】15:综合题.A=60°;2)若a=2,A ABC的面积= ”：」-「厂；，bc=4.①利用余弦定理可得：a2=b2+c2- 2bc?cosA+c) 2- 2bc- bc= (b+c) 2- 3X 4=4,b+c=4.②合①②求得b=c=2.【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档当n W 15 时，y=5n-5 (16- n) =10n-80，得:& Cn>16)(neN)|(2) (i) X 可取60, 70, 80，当日需求量n=14 时，X=60, n=15 时，X=70,其他情况X=80,- 10_1C1]10+20+16+16+15+13+10"100X的分布列为60 70 800.1 0.2 0.70.2, P(X=80) =1 - 0.1 -EX=60X 0.1 +70 X 0.2+80 X 0.7=76DX=1$X 0.1+62X 0.2+42X 0.7=44. (12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n € N)的函数解析式.(ii)购进17枝时，当天的利润的期望为5 - 1 X 5)X 0.16+17X 5X 0.54=76.4••• 76.4> 76,二应购进17 枝【点评】本题考查分段函数模型的建立,y= (14X 5-3X 5)X 0.1+ (15X 5-2 X 5)X 0.2+ (16X考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数P( X=60 =°.1( X=70)—【分析】(1)证明DG丄BC,只需证明DG丄面BCD即证明DC」DC, DC」BD;(2)证明BC丄面ACGA i，可得BC丄AC取A i B i的中点O,过点O作OH丄BD于点H,连接C i O,C i H,可得点H与点D重合且/ C i DO是二面角A i - BD- C i的平面角，由此可求二面角A i - BD-C i的大小.【解答】(i)证明：在Rt A DAC中，AD=AC /-Z ADC=45同理：/ A i DG=45° /Z CDC=90°•/ DC 丄DC, DC 丄BDv DC A BD=D•/ DG 丄面BCDv BC?面BCD•/ DG 丄BC(2)解：v DG 丄BC, CC丄BC, DC i A CC=C i,./ BC丄面ACGA i , v AC?面ACGA i , / BC丄AC 取A i B i的中点O,过点O作OH丄BD于点H ,连接C i O , OH v A i C i=BiG，•/ C i O丄A i B i ,v面A i B i C i 丄面A i BD ,面A i B i Ci □面A i BD=AB i , /• GO丄面A i BD而BD?面A i BD/ BD丄C i O ,v OH丄BD, C i O n OH=O,/ BD丄面C i OHA C i H丄BD, /点H与点D重合且Z GDO是二面角A i - BD-C i的平面角设AC=a则.i- .' ', ! i- -： I-：i , •/ sin Z C i DO3-—2•••Z C i DO=30即二面角A i - BD- C i的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角, 属于中档题.20. (i2分)设抛物线C: x2=2py (p >0)的焦点为F ,准线为I , A€ C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交I于B , D两点；(1)若Z BFD=90 , △ ABD的面积为•二，求p的值及圆F的方程；(2)若A , B , F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m , n距离的比值.【考点】J1:圆的标准方程；K8:抛物线的性质；KI:圆锥曲线的综合.【专题】15:综合题；16:压轴题.【分析】(1)由对称性知：△ BFD是等腰直角△，斜边| BD| =2p点A到准线l的距离d二, 由厶ABD的面积S ABC= / , 知尸•打:< —、■]- = - ■:,由此能求出圆F的方程.(2 )由对称性设，贝U 点A , B关于点F对称得：u 2p u2: 得：「"•=,由此能求出坐标原点到m , n距离的比值.【解答】解：(1)由对称性知：△ BFD是等腰直角△，斜边| BD| =2p点A到准线I的距离> -I ::--,•••△ ABD 的面积SxABD=・「，••—匸亍——J . : -:,解得p=2，所以F坐标为（0, 1）,•••圆 F 的方程为x2+（y- 1）2=8.2(2)由题设:---..,贝哄I 戶，••• A, B, F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A, B关于点F对称.2 2由点A, B关于点F对称得：.；u 2p 2p& 3距离的比值为：：';「'_；.2 6【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.21. (12分)已知函数f (x)满足f (x) =f'( 1) e x-1- f (0) x^x2;(1)求f (x)的解析式及单调区间；(2)若-+rv-}-，求(a+1) b 的最大值.2【考点】6B:利用导数研究函数的单调性；6E:利用导数研究函数的最值.【专题】15:综合题；16:压轴题；2A:探究型；35:转化思想.【分析】(1)对函数f (x)求导，再令自变量为1,求出f ( 1)得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间;(2)由题意-j ；■ —丁 -' I -- y ■：/ - ,i ,借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a, b所满足的关系式，再研究(a+1) b的最大值【解答】解：(1) f (x) =f (1) e x-1- f (0) ? f (x) =f (1) e x-1- f (0) +x令x=1 得：f (0) =1• f (x) =f (1) e x1-x丄・.•'令x=0,得 f (0) =f (1) e丄1 解得 f (1) =e2故函数的解析式为f (x) =e x- x丄•・-；2令g (x) =f (x) =e x- 1+x•g' (x)=才+1>0,由此知y=g (x)在x€ R上单调递增当x>0 时，f (x)> f (0) =0；当X V0 时，有f (x)V f ( 0) =0 得：函数f (x) =e x-x比签'的单调递增区间为(0, +x),单调递减区间为(-X, 0)■^-1(2) f (x)A二r - r・：T： = [ 1■■- - ' -(a+1) x- b> 0 得h( (x) =e x-( a+1)①当a+1<0 时，h( (x)>0? y=h (x)在x€R上单调递增，x—-x时，h (x) —-x与h (x)>0矛盾②当a+1 >0 时，h( (x)> 0? x> In (a+1), h' (x)v 0? x v ln (a+1)得：当x=ln (a+1)时，h (x) min= (a+1)-(a+1) ln (a+1)- b》0,即(a+1) - (a+1) ln (a+1) > b•( a+1) b<( a+1) 2-( a+1) 2ln (a+1), (a+1 >0)令 F (x) =W - x2lnx (x> 0),贝U F' (x) =x (1 - 2lnx)•F' (x)> 0? 0v x v - - 1*一：「当X=. l 时，F ( x) max=~即当a=“ 1, ,一「时，(a+1) b的最大值为二丄| :「一，直线P _3「一：；「6 3点到m, n=0 rri：【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f'( 1),易因为没有将f'( 1)看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点四、请考生在第22, 23, 24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. （10分）如图，D, E分别为△ ABC边AB, AC的中点，直线DE交厶ABC的外接圆于F,G两点, 若CF// AB,证明：（1）CD=BC （2） ^ GBD.【考点】N4:相似三角形的判定. 【专题】14:证明题. 【分析】（1）根据D, E分别为△ ABC边AB, AC的中点，可得DE// BC,证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△ BCC H^ GBD.【解答】证明：（1）v D, E分别为△ ABC边AB, AC的中点••• DF// BC, AD=DB ••• AB//CF,二四边形BDFC是平行四边形••• CF// BD, CF=BD ••• CF// AD, CF=AD •••四边形ADCF是平行四边形••• AF=CD V^-AT,A BC=AF 二CD=BC（2）由（1）知亠工，所以所以/ BGD=Z DBC因为GF// BC,所以/ BDG=Z ADF=Z DBC=Z BDC.所以△ BCD^A GBD.【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题.23 .选修4 - 4;坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（©为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是p =2正方形ABCD的顶点都在C2上，且A, B, C, D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2,——）.3（1）求点A, B, C, D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求| PA 2+| PB 2+| PC 2+| PD 2的取值范围.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程；Q8:点的极坐标和直角坐标的互化；QL:椭圆的参数方程.【专题】15:综合题；16:压轴题.【分析】（1）确定点A, B, C, D的极坐标，即可得点A, B, C,D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA2+|PB2+|PC2+|PD|2的取值范易马虎出错.■围.【解答】解：（1 ）点A, B, C, D的极坐标为乙丄.二-—'■「一—3 6 3 6点A, B, C, D 的直角坐标为：:■■- ' 1' ；' ■■'（2）设P （X0, y o），贝则…小（©为参数）^y0^3sin（pt=| PA 2+| PB| 2+| Pq 2+| PD| 2=4x 2+4y 2+16=32+20sin 2 © ••• siri^E ［0, 1］ ••• t E ［32, 52］【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题.24.已知函数 f (x )=|x+a|+| x -2|① 当a=-3时，求不等式f (x )> 3的解集；② f (x )w |x -4|若的解集包含［1, 2］，求a 的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法.【专题】17:选作题；59:不等式的解法及应用；5T :不等式. 【分析】①不等式等价于，或，或、，求出每个不等式组:3_x'h2_x^3 ; |L 3_x'hx _2^3 的解集，再取并集即得所求.②原命题等价于-2 -x < a < 2 -x 在［1，2］上恒成立，由此求得求a 的取值范围. 【解答】解：(1)当 a=-3 时，f (x )> 3 即|x - 3|+| x -2| >3,即 \<2 ^■TL +2-z^3 ;，可得x E ?； 取并集可得不等式的解集为 {x| x < 1或x >4}.(2)原命题即f (x )< |x- 4|在［1，2］上恒成立，等价于|x+a|+2-x < 4-x 在［1，2］上恒成立, 等价于|x+a| < 2,等价于-2<x+a <2,- 2 -x < a <2 -x 在［1, 2］上恒成立. 故当 Kx <2时，-2-x 的最大值为-2 - 1 = - 3, 2-x 的最小值为0, 故a 的取值范围为［-3, 0］.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解,体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.，可得x < 1 ；［2<x<3［十工-2>3x _3-hx _2^3，可得x >4.。
2012全国统一高考新课标版理数卷(真题)-1
2012全国统一高考新课标版理数卷(真
题)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）
理科数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效•
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。