2017考研数学总结试题
2017数学2考研真题及答案详解
绝密★启用前2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码302）考生注意事项1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。
不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。
3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则（ ）()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f <（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ） （A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >()s（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（ ） （A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+（8）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则（ ） （A ）,A C B C 与相似与相似（B ）,A C B C 与相似与不相似 （C ）,A C B C 与不相似与相似（D ）,A C B C 与不相似与不相似二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲线21arcsiny x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的斜渐近线方程为_______ (10) 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则220t d ydx ==______ (11)2ln(1)(1)x dx x +∞+=+⎰_______ (12) 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)______f x y =（13）11tan ______y xdy dx x=⎰⎰（14）设矩阵41212311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的一个特征向量为112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则_____a =三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→（16）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求x dy dx=，22x d y dx =（17）（本题满分10分）求21lim ln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值（19）（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明： ()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
2017年全国研究生入学考试考研数学(一)真题及答案解析
一点的密度为 9 x2 y2 z2 ，记圆锥面与柱面的交线为 C 。
（I）求 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程；
3
（9）已知函数
f
(x)
1 1 x2
，则
f
(3) (0)
_______。
【答案】 0
【解析】
因为
f
(
x)
1
1 x2
1 x2
x4
x6
n
( x2 )
n0
n
(1) x2n
n0
n
f (x) (1) 2n(2n 1)(2n 2)x 2n3
n0
将 x 0 带入 f (0) 0
（10）微分方程 y 2 y 3y 0 的通解为 y _______。
程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)设函数
f (u, v) 具有 2 阶连续偏导数，y
f (ex , cos x) ，求 dy dx
d2y
x0
，
dx2
x0 。
【解析】由复合函数求导法则，可得：
dy dx
f1ex
f2(sin x)
dy 故 dx
x0
f1(1,1)
进一步地：
5
d2y dx2
ex
[V2
(t
)
V1
(t
)]dt
，由定积分的几何意义可知，
25
0 [V2
(t)
V1 (t )]dt
20
10
10
，可知
t0
25
，故选（C）。
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
（A） E T 不可逆
（B） E T 不可逆
2017考研数学三真题及答案解析
ln 2
ln 2
2
．
5
19．（本题满分 10 分）
设
a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),
，
S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
（1）证明 an xn 的收敛半径不小于1． n0
（2）证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ，并求出和函数的表达式．
0
2
10．差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为
．
【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ；
设
yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
，代入方程，得 a
1 2
；
所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11．设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ，其中产量为 Q ，则边际成本为
8．设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本，若
X
1 n
n i 1
Xi
，则下列结论中不
正确的是（ ）
n
（A） ( X i )2 服从 2 分布 i 1
（B） 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
（C） ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
时， g(x) g(0) 0 ，进一步得到当 x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少．
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。
（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
数学一2017年考研真题及答案解析
因为 3 r(2E B) 2 ，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化， ∴ A ~ C ，且B不相似于C
（7）设 A, B 为随机概率，若 0 P( A) 1, 0 P(B) 1 ，则 P( A B) P( A B) 的充分必要条件是（ ）
( A)P(B A) P(B A) (C)P(B A) P(B A)
'(x) 0
(1)
且满足 (2)
，所以选
C。
（3）函数 f (x, y, z) x2 y z2 在点 (1, 2, 0) 处沿向量 u 1, 2, 2的方向导数为（ ）
( A)12 (B)6 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】 gradf
{2xy, x2, 2z}, gradf
由于找不正确的结论，故B符合题意。
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
已知函数
f
(
x)
1
1 x2
，则
f (3) (0) =__________
【答案】 f (0) 6
【解析】
f (x) 1
1
(x2 )n (1)n x2n
( A)ab 1 2
(C)ab 0
Bab 1
2
Dab 2
【答案】A
1 cos
【解析】 lim
x0
ax
1
x
lim
x 2
1
, f (x) 在 x 0 处连续
1
b ab 1 . 选A.
x0 ax 2a
2a
2
（2）设函数 f (x) 可导，且 f (x) f '(x) 0 ，则（ ）
2017年考研数学一真题及答案(全)
(D) P(B | A) P(B | A) ．
【答案】A
【 详 解 】 由 P(A | B) P(A | B) 得 P(AB) P( AB) P( A) P( AB) , 即 P(B) P(B) 1 P(B)
P(AB)>P(A)P(B) ;
数学（一）试题 第 2 页（共 4 页）
由 P(B | A) P(B | A) 也可得 P(AB)>P(A)P(B) .
2
2
(A) A 与 C 相似， B 与 C 相似．
(B) A 与 C 相似， B 与 C 不相似．
(C) A 与 C 不相似， B 与 C 相似．
(D) A 与 C 不相似， B 与 C 不相似．
【答案】B
【详解】 A,B 的特征值为 2,2,1,但 A 有三个线性无关的特征向量,而 B 只有两个,所以
1
1 2 3 ，故有 1,2,3 1 ，即A1,1,1T .
1
Ax 的通解为k1,2,1T (1,1,1)T (k为任意常数).
（21）（本题满分 11 分）．
设二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 x22 ax32 2 x1 x2 8 x1 x3 2 x2 x3在正交变换 x Qy 下
【答案】C
(B) 15 t0 20 ． (C) t0 25 ．
(D) t0 25 ．
【详解】在 t0 25时,乙比甲多跑10 m,而最开始的时候甲在乙前方10 m 处. （5）设 α 为 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
(A) E ααT 不可逆．
(B) E ααT 不可逆．
【答案】 1 (x 1)2
【详解】
(1)n1nxn1
n1
考研数学一真题与解析汇总
2017 年考研数学一真题一、选择题1— 8 小题．每小题 4 分，共 32 分．１．若函数 f (x)1 cos x, x0 在 x 0 处连续，则axb, x 0（ A ） ab1 （ B ） ab1（ C ） ab0 （ D ） ab 222lim1cos x1 x 1 【详解 】 limf ( x)lim 2 ， lim f ( x) b f (0) ，要使函数在 x 0 处连续，x 0x 0axx 0 ax2a x 0必须满足1 bab1 ．所以应该选（ A ）2a22．设函数 f ( x) 是可导函数，且满足f ( x) f ( x)0 ，则（ A ） f (1)f ( 1) （ B ） f (1) f ( 1) （ C ） f (1)f ( 1) （ D ） f (1)f ( 1)【详解 】设 g( x)( f ( x)) 2 ，则 g (x)2 f ( x) f ( x)0，也就是2是单调增加函数．也就得到f ( x)2f ( 1) 2f (1) f ( 1) ，所以应该选（C ）f (1)3．函数 f ( x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n (1,2,2) 的方向导数为（A ） 12 （B ） 6(C ） 4（D ） 2【详解】f2xy,fx 2 , f2z ， 所 以 函 数 在 点 (1,2,0) 处 的 梯 度 为 gradf4,1,0， 所 以xyzf ( x, y, z) x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方向导数为f gradf n4,1,01(1,2,2) 2 应该选（ D ）n3４．甲、乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前方 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线 v v 1 (t ) （单位： 米 /秒），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t) （单位： 米 /秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3 ，计时开始后乙追上甲的时刻为 t 0 ，则（）（ A ） t 0 10（ B ） 15 t 0 20（ C ） t 025（D ） t 0 25【详解 】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线S(t) T 2 S 1, S 2 , S 3 分别运动的速度函数时， v(t )dt 表示时刻 T 1 ,T 2内所走的路程．本题中的阴影面积T 1表示在时间段 0,10 , 10,25 , 25,30 内甲、乙两人所走路程之差， 显然应该在 t25 时乙追上甲， 应该选（ C ）．5．设 为 n 单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（A ） ET不可逆（B ） E T不可逆（C ） E2T不可逆（D ） E2T不可逆【详解 】矩阵T的特征值为1和 n1个0，从而 E T, ET, E 2T,E 2T的特征值分别为 0,1,1,1； 2,1,1, ,1 ；1,1,1,,1 ； 3,1,1, ,1 ．显然只有 ET存在零特征值，所以不可逆，应该选（ A ）．2 0 0 2 1 01 0 0 6．已知矩阵 A0 2 1 ， B 0 2 0 ， C 0 2 0 ，则0 010 010 0 2（A ） A,C 相似， B,C 相似 （B ） A,C 相似， B,C 不相似（ C ） A,C 不相似， B, C 相似（ D ） A, C 不相似， B,C 不相似【详解 】矩阵 A, B 的特征值都是122,31．是否可对解化，只需要关心2 的情况．0 0 0对于矩阵 A ，2E A0 0 1 ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值2 存在两个线性无关的0 01特征向量，也就是可以对角化，也就是A~C ．0 1 0对于矩阵 B ，2E B0 0 0 ，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2 只有一个线性无关的1特征向量，也就是不可以对角化，当然7．设 A, B 是两个随机事件，若B,C 不相似故选择（ P(A) 1， 0 P( B)B ）．1，则 P(A / B)P(A / B) 的充分必要条件是（A ） P(B / A)P(B / A) （B ） P(B / A) P(B / A)（C ） P(B / A)P(B / A)（D ） P(B / A)P(B / A)【详解】由乘法公式：P( AB ) P( B)P( A / B), P( AB) P(B)( P( A / B) 可得下面结论：类似，由 P( AB) P( A)P( B / A), P( AB)P( A) P(B / A) 可得所以可知选择（A）．8．设X1, X2,, X n (n 2) 为来自正态总体N (1n，则下列结论中,1) 的简单随机样本，若 X X in i 1不正确的是（）n)2服从 2 分布22 分布（ A ）( X i（ B）2 X n X1服从i 1n2222服从C( X i X )分布（D） n(X)服从分布（）i1)2 ~2 (1),i n解：（ 1）显然( X i) ~ N (0,1)( X i1,2,n 且相互独立，所以( X i) 2服从i12(n) 分布，也就是（A）结论是正确的；n22(n1)S 22（ 2）( X i X )(n 1)S~( n1)，所以（ C）结论也是正确的；2i1（3）注意X ~ N(,1)n( X) ~ N (0,1)n( X)2 ~2 (1)，所以（ D）结论也是正确的；n（ 4）对于选项（ B）：( X n X1) ~ N (0,2)X n X1~ N (0,1)1( X n X1 )2 ~2 (1)，所以（B）22结论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）9．已知函数f ( x)1，则 f (3) (0)．1x2解：由函数的马克劳林级数公式： f (x) f(n ) (0) x n，知f(n )(0)n!a n，其中 a n为展开式中 x n的n 0n!系数．由于 f ( x)11x2x4( 1)n x2n, x1,1，所以 f (3) (0)0 ．1x210．微分方程y 2 y 3 y 0 的通解为．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 r 22r 30有一对共共轭的根r12i ，所以通解为y e x (C1 cos2x C2 sin2x)11xdx aydy 在区域D(x, y) | x2y21内与路径无关，则a .．若曲线积分Lx2y21【详解】设 P( x, y)x,Q ( x, y)ay，显然P( x, y), Q (x, y) 在区域内具有连续的偏x2y2x21y 2 1导数，由于与路径无关，所以有Q P1 xay12．幂级数( 1)n 1nx n 1在区间 ( 1,1)内的和函数为n 1【详解】(1)n 1 nx n 1n 1所以 s( x)12 , x (1x)1013．设矩阵A1101( 1)n 1 (x n )( 1)n 1 x n x1n 1n 1 1 x(1 x)2(1,1)12，1, 2 , 3为线性无关的三维列向量，则向量组 A 1,A 2,A 3的秩1为．101101101【详解】对矩阵进行初等变换 A 11201101 1 ，知矩阵A的秩为2，由于0110110001, 2, 3 为线性无关，所以向量组A1,A 2, A 3的秩为2．14．设随机变量X 的分布函数 F (x)0.5 ( x)0.5x4，其中( x) 为标准正态分布函数，则2EX．【详解】随机变量 X 的概率密度为 f (x) F (x)0.5( x)0.25( x 4) ，所以2三、解答题15．（本题满分 10 分）设函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数，y f (e x ,cos x) ，求dy|x 0， d 2 y|x 0．dx dx2【详解】dyx,cos x)exf2x,cos x)( sin x)， dyf1 (1,1)；dx f1 (e(e dx|x0d 2 y |0f1(1,1) f (1,1)f2(1,1)．dx 2x11 16．（本题满分 10 分）求 lim n k2 ln1knk 1 n n 【详解】由定积分的定义17．（本题满分10 分）已知函数 y(x) 是由方程 x3y33x 3 y 2 0 ．【详解】在方程两边同时对x 求导，得3x2 3 y2 y 3 3 y 0（ 1）在（ 1）两边同时对x 求导，得也就是 y 2( x y( y )2 )1y2令 y0 ，得x 1 ．当x11时，y11；当x2 1 时， y20当 x11时， y0 ， y10 ，函数 y y(x) 取极大值 y11；当 x2 1 时， y0 ， y10函数 y y(x) 取极小值 y20 ．18．（本题满分 10 分）设函数 f ( x) 在区间0,1 上具有二阶导数，且 f (1)0 ， lim f ( x)0 ，证明：x0x（ 1）方程f ( x)0在区间0,1至少存在一个实根；（ 2）方程f ( x) f( x)( f( x)) 20 在区间0,1 内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件lim f ( x)0 可知，存在01，及 x1(0,) ，使得x 0xf ( x1 )0 ，由于 f (x) 在x1,1上连续，且 f ( x1 ) f (1)0 ，由零点定理，存在(x1,1)(0,1) ，使得 f ()0 ，也就是方程 f ( x)0 在区间0,1 至少存在一个实根；（ 2）由条件lim f (x)0 可知 f (0)0 ，由（1）可知 f ()0 ，由洛尔定理，存在(0,) ，使得x0xf ( )0 ；设 F ( x) f ( x) f(x) ，由条件可知 F (x) 在区间0,1上可导，且 F (0)0,F( )0,F()0，分别在区间 0,,,上对函数 F (x) 使用尔定理，则存在1(0,)(0,1),2( ,)(0,1), 使得12, F( 1 )F( 2)，0也就是方程 f ( x) f ( x) ( f( x)) 20 在区间0,1内至少存在两个不同实根．19．（本题满分10 分）设薄片型 S 是圆锥面 z x2y2被柱面z22x 所割下的有限部分，其上任一点的密度为9 x2y2z2，记圆锥面与柱面的交线为 C ．（ 1）求C在xOy布上的投影曲线的方程；（2）求 S 的质量 M .【详解 】（ 1）交线 C 的方程为z x 2 y 2 ，消去变量 z ，得到 x 2y 22x ．z 2 2x所以 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程为x 2 y 2 2x .z 0（ 2）利用第一类曲面积分，得20．（本题满分 11 分）设三阶矩阵 A 1 , 2 ,3有三个不同的特征值，且3122.（ 1）证明： r ( A)2 ；（ 2）若12 ,3 ，求方程组 Ax的通解．【详解 】（ 1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是r ( A) 1 ．假 若 r ( A )1时 ， 则 r 0 是 矩 阵 的 二 重 特 征 值 ， 与 条 件 不 符 合 ， 所 以 有 r ( A )2，又因为31220 ，也就是1,2 ,3 线性相关， r ( A) 3 ，也就只有 r ( A) 2 ．（ 2）因为 r ( A)2 ，所以 Ax 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220，1所以基础解系为 x2 ； 11又由12 ,3 ，得非齐次方程组Ax的特解可取为1 ； 1方程组 Ax的通解为 x21．（本题满分 11 分）设 二 次 型 f ( x , x , x )12311k 21 ，其中 k 为任意常数． 112 2 x2在x 正x 交 变 换下的标准形为2xa x 2 x x 8 x x 2x Qy12312132 31 y 12 2 y 22 ，求 a 的值及一个正交矩阵Q ．2 1 4【详解 】二次型矩阵 A1 1 14 1a因为二次型的标准形为1 y 122 y 22．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以A 0 ，故 a 2.令 E A0 得矩阵的特征值为13, 26, 3 0 ．1(iEA)x 0 得矩阵的属于特征值3 的特征向量 11通过分别解方程组 11 ，属于特征值特31111征值 2 6 的特征向量， 3 0 的特征向量1232 ，21611 1 13 2 6所以 Q1, 2,1 0 2为所求正交矩阵．33 61 1 132622．（本题满分 11 分）设随机变量 X,Y 相互独立，且 X的概率分布为 P X0 P{X 2}1，Y 的概率密度为22y,0y 1f ( y)0, 其他 ．（ 1）求概率 P （Y EY ）； （2）求 ZX Y 的概率密度．12 . 【详解 】（ 1） EYyf Y ( y)dy2y 2dy0 32 24 .所以PYEYP Y32 ydy39（ 2） ZX Y 的分布函数为故 Z X Y 的概率密度为23．（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了 n 次测量，该物体的质量是已知的，设 n 次测量结果 X 1,X 2, , X n 相互独立且均服从正态分布 N ( , 2). 该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Z i X i,( i 1,2, , n) ，利用 Z 1, Z 2 , , Z n 估计参数．（ 1）求 Z i 的概率密度； （ 2）利用一阶矩求的矩估计量；（ 3）求参数 最大似然估计量．【详解 】（ 1）先求 Z i 的分布函数为当 z0 时，显然 F Z ( z) 0 ；当 z0 时， F Z (z) P Z i z P X iX iz2zz P1 ；2 所以 Z i 的概率密度为 f Z ( z) F Z ( z)e20,z 222, z 0 ．z 02z 22（ 2）数学期望EZ izf ( z)dzze22，0 0dz221n2Z2n令EZ ZZ i ，解得 的矩估计量 22nZ i ．n i1i 1（3）设 Z 1, Z 2, , Z n 的观测值为 z 1 , z 2 ,, z n ．当 z i0, i 1,2,n 时n1nz i 2似然函数为 L()n)2ef (z ,2 2 i 1 ，i 1i ( 2 )nnln(21n取对数得： ln L() n ln 2 )nln2 z i222i 1d ln L( )n1n20 ，得参数 最大似然估计量为 1 n 2．令3z in iz i di 11。
2017年考研数学三真题与解析
【详解】设 g(x) ( f (x))2 ，则 g(x) 2 f (x) f (x) 0 ，也就是 f (x)2 是单调增加函数．也就得到
2
2
f (1) f (1) f (1) f (1) ，所以应该选（C）
1
1
4．
若级数 n2 sin
k ln(1 n
n) 收敛，则 k
（
）
（A）1
2017 年考研数学三真题
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1 cos x
,x 0
1．若函数 f (x) ax
在 x 0 处连续，则
b,
x0
1
1
（A） ab （B） ab （C） ab 0 （D） ab 2
2
2
1
x
1 cos 【详解】 lim f (x) lim
．
解：由对称性知 (sin3 x
2 x2 )dx 2
2 x2 dx 3 ．
i 1
2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的；
（2）
n i 1
(Xi
X )2
(n 1)S 2
(n 1)S 2 2
~
2 (n 1) ，所以（C）结论也是正确的；
1 （3）注意 X ~ N (, )
n ( X ) ~ N (0,1) n( X )2 ~ 2 (1) ，所以（D）结论也是正确的；
x lim 2
1 ， lim f (x) b f (0) ，要使函数在 x 0 处连续，
x0
x0
ax
x0 ax 2a x0
1
1
必须满足 b ab ．所以应该选（A）
2a
2
2．二元函数 z xy(3 x y) 的极值点是（ ）
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2017考研数学阶段考试试题 1.12222lim ...1112n n n n n n n n n →∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝
⎭= 2.()()12ln 120lim 1sin x x x x +→-求=
3.求30arcsin lim x x x x
→-= 4.求
01cos 1x x x →+⎛⎫- ⎪= 5.设0,lim .x x b a b a x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦
为非零常数，求 6.设()2122lim ,.1
n n n x ax bx f x a b x -→∞++=+连续，求 7. 讨论()11x
x x
f x e -=-的连续性。
8. 设()00f =则()f x 在0x =处可导的充分必要条件是（ ）
（A ）()201cosh lim h f h →-存在 （B ）()01lim sin h h f e h →-存在 （C ）()20sinh lim h f h h →-存在 （D ）()()02lim h f h f h h
→-存在 9. 讨论函数()()212f x x x x =-+-的不可导点。
10. 设32x y e xy x +=+，求dy dx
11. 设()f x 连续可导，且()00f =，且()()02,0,0
x tf t dt x g x x a x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰
（1） 确定常数a,使得()g x 在0x =处连续。
（2） 求(),
g x ，并(),g x 讨论在0x =处的连续性。
12.设()()()21ln 1f x x x =++，求()()250f
13. 设()[],f x C a b ∈，且在(),a b 内可导()0ab >，()()0f a f b ==，证明：存在(),a b ξ∈使得()(),30f f ξξξ+=。
14. 设()[],f x C a b ∈，且在(),a b 内可导，()()1f a f b ==，证
明：存在(),,a b ξη∈，使得()(),1e f f ηξηη-⎡⎤+=⎣⎦
15. 设()f x 二阶连续可导，且
(),,0f x ≠，又()()(),f x h f x f x h h θ+=++，求0
lim h θ→。
16. 设0b a >>，证明：22
ln ln 2b a a b a a b ->-+ 17. 讨论方程
()20x x ae a =>根的个数。
18. 求曲线()1ln 0y x e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭
的斜渐近线。
19. 设()()
,31lim 11x f x x →=-，讨论1x =是否是的极值点。
20. ()()()()()sin 3401=,,0t arc x e f x dt g x x x x f x g x t -=+→⎰设当时，是的
()()A C 等阶无穷小高阶无穷小 ()()B D 同阶非等阶无穷小低阶无穷小。