《导数及其应用》

导数及其应用
【基础训练 1】 一、填空题： 1、求下列函数的导数 (1) y 2 x , y '
'
; (2) y x , y '
;
11.已知函数 f(x)的导数为 f x 4 x3 4 x ，且图象过点(0,-5),当函数 f(x)取得极大值时 x 的值应为( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. ±1 12．函数 y 2 x sin x 的单调递增区间为（ ） A． (,) B． (0,) C． (2k ,2k )(k Z ) ( 2k ,2k )(k Z ) D．
x
f ' ( x)
f ( x)
5
1
0 0
4
(1, 0)
+ ↗
0 0
(0, 4)
+ ↗
1
又 f (0) 0, f ( 1) 0 ；右端点处 f (4) 2625 ； ∴函数 y x 5 x 5 x 1 在区间 [ 1, 4] 上的最大值为 2625 ，最小值为 0
3
4 解： （1） y 3ax 2bx, 当 x 1 时，
' 2
y ' |x 1 3a 2b 0, y |x 1 a b 3 ，
即
3a 2b 0 , a 6, b 9 a b 3
3 2 ' 2 '
（2） y 6 x 9 x , y 18 x 18 x ，令 y 0 ， 得 x 0, 或x 1 y极小值 y |x 0 0
h 0
y x 2 三、13、解： ： （1）由 ，求得交点 A（- 2 ，0） ，B（3，5） 2 y x 4 （2）因为 y′ =2x,则 y′ x 2 4 ，y′ x 3 6 ，所以抛物线在 A，B 处的切线
方程分别为 y= -4(x + 2)与 y -5 = 6(x – 3 ) 即 4x +y +8 = 0 与 6x – y – 13 = 0 14
15.有一边长分别为 8 与 5 的长方形，在各 角剪去相同的小正方形，把四边折起作成 一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问 剪去的小正方形的边长应为多少？ （10 分）
1
导数及其应用
【基础训练 2】
一、选择题 1 若函数 y f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导，且 x0 ( a, b) 则 _______________； 5 函数 y x x 5 x 5 的单调递增区间是_____________
C D
y ' = 3 x 2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
f ' ( x) 3ax 2 6 x, f ' (1) 3a 6 4, a
3 ' 2 '
10 3
5 D 成立 6D
对于 f ( x) x , f ( x) 3 x , f (0) 0, 不能推出 f ( x) 在 x 0 取极值， 反之
(0,)
3
B
2
(,1)
'
C
(,)
D
(1,)
）
f ( xபைடு நூலகம் ax 3 x 2 ,若 f (1) 4 ,则 a 的值等于（
A
19 3
B
16 3
C
13 3
D
10 3
） 3 求 函 数 f ( x) x 5 x 5 x 1 在 区 间 1,4 上 的 最 大 值 与 最 小 值
2 2
x2 1 ' (3) y x cos x , y ; (4) y ,y ; x 2 、 函 数 y x2 2x 4 的 递 增 区 间 是 ;递减区间 是 . 3 3、曲线 y＝x －3x2＋1 在点(1,－1)处的切线方程为_________________. 4、某质点的运动方程是 S t 3 (2t 1) 2 ,则在 t=1 时的瞬时速度为 5、函数 f ( x) x 4 2 x 2 5 在区间 [2, 2] 上的最大值是 ;最小值是 3 6.曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y = 4x-1，则点 P0 点的坐标 是 。 7、函数 y x sin x, x 0, 的值域是 2 二、选择题 ： 8．若函数 y=x·2x 且 y ' 0 ，则 x=( ) 1 1 A., B. C.-ln2 D.ln2 ln 2 ln 2 9、f(x)=ax3+3x2+2，若 f 1 =4，则 a 的值为（ ） 19 16 13 10 A． B、 C、 D、 3 3 3 3
函数 y
sin x 的导数为_________________； x
2
曲 线 y ln x 在 点 M (e,1) 处 的 切 线 的 斜 率 是 _________ ， 切 线 的 方 程 为
导数及其应用
1 参考答案
一 1、 (1) y 2 (2), y
' '
1 2 x
(3), y cos x x sin x (4), y 1
5 4 3
5
函数 y f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y f ( x) 在这点取极值的（ A C 充分条件 充要条件
4
6
函数 y x 4 x 3 在区间 2,3 上的最小值为（ B
3 '
B D
必要条件 必要非充分条件
） D
A 72 二、填空题 1 2 3 4
36
0
2 一个物体的运动方程为 s 1 t t 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体 在 3 秒末的瞬时速度是（ ）
7 米/秒 B 6 米/秒 C 5 米/秒 3 3 函数 y = x + x 的递增区间是（ ）
A A 4
D
8 米/秒
2
求函数 y ( x a )( x b)( x c) 的导数
10.若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限， 则函数 f x 的图象是 （ ）
三、解答题 13（12 分） 、已知抛物线 y =x2 -4 与直线 y = x + 2，求： （1）两曲线的交点； （2）抛物线在交点处的切线方程
14、求函数 f ( x)
1 3 1 x 4 x 的极值（10 分） 3 3
C
12
0
4 已知函数 y ax bx ，当 x 1 时，有极大值 3 ；
3 2
若 f ( x) x , f ( x0 ) 3 ，则 x0 的值为_________________； 曲线 y x 4 x 在点 (1, 3) 处的切线倾斜角为_________；
3
（1）求 a, b 的值； （2）求函数 y 的极小值
' ' ' '
导数及其应用
( x b)( x c) ( x a )( x c) ( x a )( x b)
3 解： f ( x) 5 x 20 x 15 x 5 x ( x 3)( x 1) ,
4 3 2 2
当 f ( x ) 0 得 x 0 ，或 x 1 ，或 x 3 ， ∵ 0 [1, 4] ， 1 [1, 4] ， 3[1,4] 列表:
1 三、解答题 1 解：设切点为 P ( a, b) ，函数 y x 3 x 5 的导数为 y 3 x 6 x
3 2 ' 2
5 ) 2
V′=0 得 x=1
根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当 x=1 时，容积 V 取最大值为 18. 2
3
切线的斜率 k y |x a 3a 6a 3 ，得 a 1 ，代入到 y x 3 x 5
3 2
lim
f ( x0 h) f ( x0 h) 的值为（ h 0 h ' A B 2 f ( x0 ) C f ' ( x0 )
2
三、解答题 ） 1 D 求垂直于直线 2 x 6 y 1 0 并且与曲线 y x 3 x 5 相切的直线方程
3 2
2 f ' ( x0 )
' '
2、 1, ，
.1
1 x2
2 参考答案 一、选择题 1B
3、 3 x y 2 0 7、 0,
4、-1
5、13，4
6、(-1,-4)， （1，0） 二、 8、A 9、D
1 2
11、B 12、A
10、A
2 3 4
f ( x0 h) f ( x0 h) f ( x0 h) f ( x0 h) lim 2[ ] h 0 h 2h f ( x0 h) f ( x0 h) 2 lim 2 f ' ( x0 ) h 0 2h ' ' C s (t ) 2t 1, s (3) 2 3 1 5 lim
4
二、填空题
15： （1）正方形边长为 x,则 V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x3－13x2+20x)(0<x< V′=4(3x2－13x+10)(0<x<
5 ) 2
1 f ' ( x0 ) 3 x0 2 3, x0 1 3 3 2 y ' 3 x 2 4, k y ' |x 1 1, tan 1, 4 4 ' ' x cos x sin x (sin x) x sin x ( x) x cos x sin x 3 y' 2 x x2 x2 1 1 1 1 1 ' ' 4. , x ey 0 y , k y |x e , y 1 ( x e), y x e x e e e 5 5 ' 2 5. ( , ), (1, ) 令y 3 x 2 x 5 0, 得x , 或x 1 3 3