概率与统计学课件-第七章-参数估计6-4
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概率论与数理统计 第7章.ppt
即 S 2是 2 的无偏估计,故通常取S 2作 2的估计量.
例3 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度
x 1 e , f ( x; ) 0,
x 0, 其他.
其中参数 0, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的 样本, 试证 X 和 nZ n[min( X 1 , X 2 ,, X n )] 都是 的无偏估计.
行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时 间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155,
158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
试求电池的平均寿命 的最大似然估计值 .
解
n 50, m 15,
s( t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量, 进而若待估参数 g( 1 , 2 ,, n ), 其中g 为连续 ˆ g( 函数, 则 的矩估计量 ˆ1 , ˆ 2 , , ˆ n ) g( A1 , A2 ,
, An ) 是 的相合估计量.
第三节
估计量的评选标准
一、问题的提出
二、无偏性 三、有效性 四、相合性 五、小结
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数 的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准.
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
3. 两种常见的截尾寿命试验
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
概率论与数理统计完整课件第七章参数估计PPT课件
n
L(1,2,,k ) L(x1, x2,, xk ;1,2,,k ) f (xi ;1,2,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ln L(1, 2 ,, k ) 0 1
ln L(1, 2 ,, k ) 0 k
该 方 程 组 的 解 ˆi ˆi (x1, x2,, xn),i 1,2,,k ,即 为 i 的 极
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布函数 F(x;) 形式已知，其中θ 是待估计的参数，点估计问题就是利用样本 (X1, X 2,, X n ) ，构造一个统计量ˆ ˆ(X1, X2,, Xn) 来估 计θ，我们称ˆ(X1, X2,, Xn )为θ的点估计量，它是 一个随机变量。将样本观测值 (x1, x2 ,, xn ) 代入估计 量 ˆ(X1, X2,, Xn ) ， 就 得 到 它 的 一 个 具 体 数 值 ˆ(x1, x2,, xn ) ，这个数值称为θ的点估计值.
如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计 p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的 可能性比来自p=3/4的总体的可能性要大.一般当 X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计 p=3/4.
第10页/共71页
定义:设总体 X 的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设离散型总体 X 的概率分布律为 p(x; ) ，则样本 (X1, X2,, Xn ) 的联合分布律
~~ 2n1nLeabharlann ini1n1x(i xix
x
)
2
由微积分知识易验证以上所求为μ与σ2的极大似然 估计.
第21页/共71页
• 例:设总体X具有均匀分布,其概率密度函数为
p(x;)
概率论与数理统计课件最新版-第7章-参数估计
(1 n
n i 1
Xi )2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
结论： 不论总体服从什么分布，总体均值 与方差的矩估计量的表达式是相同的
概率统计
(2). Q X ~ N ( , 2 )
X 1 (1502 1453 1367 1650) 1493
4
1
n
n i 1
(Xi
X )2
1 [(1502 1493)2 4
定义直接寻求能使 L( ) 达到最大值的解作为
极大似然估计量。 ▲ 极大似然估计法适用于多个未知参数的情形。
概率统计
例3. 设 X ~ N (, 2 ), , 2 为未知参数，
x1 , x2 L xn 是 X 的一个样本值.
求: , 2 的极大似然估计量.
解: Q X 的密度函数为：f ( x ; , 2 )
是相应于样本 X1, X 2 , X n 的一组样本值。
n
作似然函数：L f ( x k ,1,2 ,L l ) 或 k 1
概率统计
n
或 L P( x k ,1,2 ,L l ) k 1
使得似然函数 L 达到极大值的 ˆ1,ˆ2,L ˆl
称为参数 1,2 ,L l 的极大似然估计值，记为： ˆi ( x1, x2 ,L xn ) (它与样本值有关)，记统计量：
(1453 1493)2
(1367 1493)2 (1650 1493)2 ]
10551
某种灯泡寿命的均值与方差的 矩估计值分布为:
ˆ 1493, ˆ 2 10551
概率统计
例 2. 设 X1, X2, … Xn 是取自总体 X 的一个样本，
其概率密度为：
概率论与数理统计-第七章--参数估计.ppt
例1. 设总体X的数学期望和方差分别是μ, σ2 ，求μ , σ2的矩估计量。
总体期望、方差的矩估计量分别是样本均值和 样本二阶中心矩。
例2: 已知某产品的不合格率为p, 有简单随 机样本X1 ,X2 ,…, Xn 求p的矩估计量。
解：E(X)=p.
pˆ
1 n
n i 1
Xi
X
例3：设电话总机在某段时间内接到呼唤的次数
n
L(x1, x2,..., xn; ) f (xi; ) i 1
为样本的似然函数，简记为L(θ)。
对于固定的样本观测值x1,x2,…,xn。如果有
例1. 设总体X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2是 未知参数。求μ,σ2的极大似然估计。
f (x; , 2 )
1
2
exp[
极大似然估计
矩估计
总体k阶原点矩
k EX k
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
K.皮尔逊
n
X
k i
大数定律： lim P(| i1 E( X k ) | ) 1
n
n
矩估计基本思想: 用样本矩估计总体矩 .
设总体的分布函数中含有k个未知参数 1,,k
缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 .
极大似然估计
例： 设一箱中装有若干个白色和黑色的球， 已知两种球的数目之比为3:1或1:3，现有放回 地任取3个球，有两个白球，问：白球所占的 比例p是多少？
如果只知道0<p<1,并且实 测记录是X=k (0 ≤ k≤ n),又 应如何估计p呢?
X
~
第7章 参数估计—概率课件PPT
X的密度为：
f
x
x 1
0
0 x 1 其他
lnL
n 2
ln
令
dlnL
d
n 2
1
2
1
1
n
ln xi
ni 1
ln xi
i 1
0
即：
n
n
ln xi
i 1
的极大似然估计量为：ˆ
n
n2
2
lnX
i
10
i1
例4：设总体X的概率密度为：f x 1 ex
x
,
0
其它
其中 0, , 是未知常量, X1, , X n 为X的样本，
故 X1 min X1, X 2 ,
, Xn,
又lnL nln
1
n
Xi
i 1
ˆ
令 dlnL d
n
1
2
n i 1
X i X 1
0
ˆ X X1
12
例5：设总体X 服从0, 上的均匀分布， 0未知，
试由样本 x1, x2, , xn求出的极大似然估计和矩估计。
解：1 极大似然估计
5
例2：设总体X的密度为：
f
x
x 1
0
0 x 1 0为未知参数，
其他
X1,
X
，
2
,
X n 为取自X的样本，求的矩估计。
解：E X xf x dx 1 x dx
0
1
令E X X
X 1
2
ˆ X
1 X
6
二．极大似然估计法
极大似然估计的原理介绍
X1, X 2, , X n 是取自X的一个样本，试求, 2的矩估计。
概率论与数理统计第七章参数估计演示文档
概率论与数理统计第七章参数估计演示文档参数估计是概率论与数理统计中的重要内容之一，是通过样本数据来推断总体参数的方法。
在实际应用中，参数估计广泛应用于市场调查、医学研究、经济预测等领域。
本文将以一些常用的参数估计方法为例，进行演示说明。
首先，我们介绍最常见的点估计方法，矩估计。
矩估计是通过样本矩来估计总体矩。
以正态分布的均值和方差为例，假设我们有一个样本数据集，通过计算样本均值和样本方差，可以分别得到正态分布的均值和方差的矩估计值。
接下来我们介绍第二种常见的点估计方法，最大似然估计。
最大似然估计是通过找到使得观察到的样本数据出现的概率最大的参数值。
以二项分布的成功概率为例，假设我们有一组二项分布的观察数据，通过计算二项分布的似然函数，并求导得到其极大值点，可以得到二项分布的成功概率的最大似然估计值。
此外，假设检验是参数估计的重要应用。
在进行参数估计时，我们常常需要进行假设检验来判断参数估计是否具有统计意义。
以均值的假设检验为例，假设我们有两组样本数据，通过计算样本均值和样本方差，可以得到均值的矩估计值。
然后，我们可以利用假设检验的方法，比较这两个样本的均值，从而判断两个样本是否具有统计意义上的差异。
最后，我们介绍一种常用的参数区间估计方法，置信区间估计。
置信区间估计是通过样本数据得到一个区间，该区间内的参数值有一定的置信度。
以总体均值的置信区间估计为例，假设我们有一组样本数据，通过计算样本均值和样本标准差，可以得到总体均值的点估计值。
然后，我们可以利用参数估计的理论知识，计算得到总体均值的置信区间，从而对总体均值进行估计。
综上所述，参数估计是概率论与数理统计中的重要内容，应用广泛。
通过点估计方法可以从样本数据中推断总体参数的值，通过假设检验可以判断参数估计的统计意义，通过置信区间估计可以得到参数值的置信区间。
这些参数估计方法为我们提供了在实际问题中进行估计和推断的依据，使我们能够更好地理解和分析数据。
第7章 参数估计概率论课件
ˆ ˆ ˆ (3) 解出其中1,2 ,,k , 用1,2 ,,k 表示.
ˆ ˆ ˆ (4) 用方程组的解 1,2 ,,k 分别作为 1 ,2 ,,k
的估计量，这种估计量称为矩估计量. 矩估计量
的观察值称为矩估计值.
设 总 体X 在 [a , b] 上 服 从 均 匀 分 布 中a , ,其 例2 b 未 知, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是 来 自 总 体 的 样 本 求a , X , b 的矩估计量 .
解
a b 2 E ( X ) D( X ) [ E ( X )]
2
2
ab , 1 E(X ) 2
n
2
ab 1 令 A1 X i , 2 n i 1
12
a b
4
2
,
1 n (a b)2 (a b)2 2 A2 X i , n i 1 12 4
形式已知,θ为待估参数,
n
( X1 , X 2 ,, X n )
是总体X的一个样本，则样本 X1 , X 2 ,, X n 的 分布律为 p( xi ; ) , 当给定样本值 ( x1, x2 ,, xn )
i 1
后, 则样本 X1 , X 2 ,, X n 取到观察值 x1 , x2 ,, xn 的概率为 L( ) p( xi ; ) ,
2 i 1
n
1 e 2π
( xi )2 2 2
,
n n 1 n 2 2 2 ln L( , ) ln( 2 π) ln ( xi ) , 2 2 2 2 i 1
ln L( , 2 ) 0 令 ln L( , 2 ) 0 2
ˆ ˆ ˆ (4) 用方程组的解 1,2 ,,k 分别作为 1 ,2 ,,k
的估计量，这种估计量称为矩估计量. 矩估计量
的观察值称为矩估计值.
设 总 体X 在 [a , b] 上 服 从 均 匀 分 布 中a , ,其 例2 b 未 知, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是 来 自 总 体 的 样 本 求a , X , b 的矩估计量 .
解
a b 2 E ( X ) D( X ) [ E ( X )]
2
2
ab , 1 E(X ) 2
n
2
ab 1 令 A1 X i , 2 n i 1
12
a b
4
2
,
1 n (a b)2 (a b)2 2 A2 X i , n i 1 12 4
形式已知,θ为待估参数,
n
( X1 , X 2 ,, X n )
是总体X的一个样本，则样本 X1 , X 2 ,, X n 的 分布律为 p( xi ; ) , 当给定样本值 ( x1, x2 ,, xn )
i 1
后, 则样本 X1 , X 2 ,, X n 取到观察值 x1 , x2 ,, xn 的概率为 L( ) p( xi ; ) ,
2 i 1
n
1 e 2π
( xi )2 2 2
,
n n 1 n 2 2 2 ln L( , ) ln( 2 π) ln ( xi ) , 2 2 2 2 i 1
ln L( , 2 ) 0 令 ln L( , 2 ) 0 2
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X −µ ~ N (0,1) σ/ n
⎛ X −µ ⎞ P⎜ ⎜ σ / n > uα ⎟ ⎟ =α ⎝ ⎠
⎛ X − µ0 ⎞ ⎛ X −µ ⎞ P⎜ ⎜ σ / n < −uα ⎟ ⎟ ≤ P⎜ ⎜ σ / n < −uα ⎟ ⎟ =α ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 当U < −uα , 拒绝H 0 , 否则,接受H0.
X −µ ~ t (n − 1) S/ n
X −µ ~ N (0,1) σ/ n
⎛ X −µ ⎞ P⎜ ⎜ σ / n > uα ⎟ ⎟ =α ⎝ ⎠
⎛ X − µ0 ⎞ ⎛ X −µ ⎞ P⎜ ⎜ σ / n > uα ⎟ ⎟ ≤ P⎜ ⎜ σ / n > uα ⎟ ⎟ =α ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 当U > uα , 拒绝H 0 , 否则,接受H0.
�σ2未知时μ的单侧上限置信区间
S ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, X + tα (n − 1) ⎟ n⎠ ⎝
�σ2未知时μ的左侧假设检验 检验假设H0:μ≥μ0, H1:μ<μ0
当T < −tα (n − 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
例3.为考察某大学男性教师的胆固醇水平 , 现抽 取了样本容量为16的一个样本, 并计算得样 本均值为4.8，样本标准差为0.4。假定该大 学男性教师的胆固醇水平 X~N(μ, σ2) ，其 中μ与σ均未知. 试求μ的置信度为95%的 双侧置信区间。 解： σ2未知时μ的双侧置信区间为 S S ( X − tα 2 (n − 1) , X + tα 2 (n − 1) ) n n n = 16, X = 4.8, S = 0.4, α = 0.05 查表tα 2 ( n − 1) = t0.025 (15) = 2.1315, 代入得
(2) H0:μ=μ0, H1:μ≠μ0(μ0=2.15)
X −µ ~ N (0,1) σ/ n X − µ0 16 (2.125 − 2.15) U = = =5 0.02 σ/ n α = 0.05, uα / 2 = 1.96
∵ |U|=5>1.96, ∴拒绝 H0 。 即该批零
件的平均长度与 2.15有显著差异。
�假设检验的步骤 (1) 根据问题,提出H0与H1 ; (2) 选择统计量U,要求在H0为真时, U的 精确分布和极限分布已知 ; (3) 选取显著性水平 α,查表确定对应α 的临界值; (4) 计算U并与临界值比较,接受或拒绝H0.
�区间估计与假设检验的关系 (1) 求双侧置信区间对应于双侧检验； (2) 求单侧下限置信区间对应于右侧检验 ; (3) 求单侧上限置信区间对应于左侧检验 .
( X − uα 2
σ σ , X + uα 2 ) n n
�σ2已知时μ的双侧假设检验 检验假设H0:μ=μ0, H1:μ≠μ0
X − µ0 U= ~ N (0,1) σ/ n P (U > uα 2 ) = α
当U > uα 2 , 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
�σ2已知时μ的单侧下限置信区间
当T > tα 2 (n − 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
�σ2未知时μ的单侧下限置信区间
S ⎛ ⎞ ,+∞ ⎟ ⎜ X − tα (n − 1) n ⎝ ⎠
�σ2未知时μ的右侧假设检验 检验假设H0:μ≤μ0, H1:μ>μ0
当T > tα (n − 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
2.14 + ... + 2.11 解：(1) µ ˆ=X= = 2.125 16
σ2已知时μ的双侧置信区间为
σ σ ( X − uα 2 , X + uα 2 ) n n 查表uα 2 = u0.025 = 1.96, σ = 0.02, n = 16, 代入得 σ σ X − uα 2 = 2.115, X + uα 2 = 2.135 n n ∴μ的双侧置信区间为 (2.115,2.135).
即得μ的双侧置信区间
S S ⎞ ⎛ , X + tα 2 (n − 1) ⎜ X − tα 2 (n − 1) ⎟ n n⎠ ⎝
�σ2未知时μ的双侧假设检验 检验假设H0:μ=μ0, H1:μ≠μ0
X − µ0 T= ~ t (n − 1) S/ n P (T > tα 2 (n − 1) ) = α
例1. 从一批服从正态分布 N(μ,0.022)的零件中随 机抽取16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 (1) 试估计该批零件的平均长度 μ，并求μ 的双侧置信区间 ;(2)试问该批零件的平均长 度与 2.15有无差异？(α=0.05).
S X − tα 2 (n − 1) = 4.5869 n S X + tα 2 (n − 1) = 5.0132 n
∴μ的双侧置信区间为 (4.5869, 5.0132).
例4.某部门对当前市场的价格情况进行调查 ,以 鸡蛋为例,所抽查的全省 20个集市上,售价分 别为(单位:元/500克) 3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.90 3.18 3.88 3.22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.22 3.54 3.30 已知鸡蛋的售价服从正态分布，且往年的平均 售价一直稳定在3.25元/500克左右,能否认为全省 ) 当前的鸡蛋售价明显高于往年？ (α=0.05 =0.05) 解：H0: μ≤3.25, H1: μ>3.25
�σ2已知时μ的单侧上限置信区间
X −µ U= ~ N (0,1) σ n ⎛ X −µ ⎞ ⎟ = 1− α P⎜ > − u α ⎜σ n ⎟ ⎝ ⎠ σ ⎞ ⎛ P⎜ µ < X + uα ⎟ = 1− α n⎠ ⎝
即得μ的单侧上限置信区间
σ (−∞, X + uα ) n
�σ2已知时μ的左侧假设检验 检验假设H0:μ≥μ0, H1:μ<μ0
例2.根据以往的资料得知 ,我国健康成年男子的 每分钟脉搏次数服从 N(72,6.42).现从某体院 男生中,随机抽取25人,测得平均脉搏 为68.6次/min,如果标准差不变 , (1) 该体院男生脉搏的单侧上限置信区间； (2)是否可以认为该体院男生的脉搏明显低 于一般健康成年男子的脉搏？（ α=0.05） 解：(1) σ2已知时μ的单侧上限置信区间为 (−∞, X + uα σ )
n
uα = u0.05 = 1.645, σ = 6.4, n = 25, X = 68.6代入得
σ X + uα = 70.7056 n
∴μ的单侧上限置信区间为 (0, 70.7056).
(2) H0:μ≥72, H1:μ<72
X −µ ~ N (0,1) σ/ n X − µ0 25 (68.6 − 72) U= = = −2.656 6.4 σ/ n α = 0.05,−uα = −1.645
7.5
�单正态总体均值的区间估计与假设检验
�求μ的双侧置信区间与双侧检验 H0:μ=μ0, H1:μ≠μ0 �求μ的单侧下限置信区间与右侧检验 H0:μ≤μ0, H1:μ>μ0 �求μ的单侧上限置信区间与左侧检验 H0:μ≥μ0, H1:μ<μ0
�σ2已知时μ的双侧置信区间
X −µ U= ~ N (0,1) σ n ⎛ X −µ ⎞ P⎜ < uα 2 ⎟ = 1 − α ⎜σ n ⎟ ⎝ ⎠ σ σ ⎞ ⎛ P⎜ X − uα 2 < µ < X + uα 2 ⎟ = 1− α n n⎠ ⎝ 即得μ的双侧置信区间
∵U=-2.656<-1.645, ∴拒绝H0。即可以认
为该体院男生的脉搏明显低于一般健康 成年男子的脉搏 .
�σ2未知时μ的双侧置信区间
X −µ T= ~ t (n − 1) S n ⎛ X −µ ⎞ P⎜ < tα 2 (n − 1) ⎟ = 1 − α ⎜S n ⎟ ⎝ ⎠
S S ⎞ ⎛ P⎜ X − tα 2 (n − 1) < µ < X + tα 2 (n − 1) ⎟ = 1−α n n⎠ ⎝
X −µ U= ~ N (0,1) σ n ⎛ X −µ ⎞ ⎟ = 1− α P⎜ < u α ⎜σ n ⎟ ⎝ ⎠ σ ⎛ ⎞ P⎜ X − uα < µ ⎟ = 1− α n ⎝ ⎠
即得μ的单侧下限置信区间
σ ( X − uα ,+∞) n
�σ2已知时μ的右侧假设检验 检验假设H0:μ≤μ0, H1:μ>μ0