概率统计课件第七章练习册答案
概率论与数理统计第七章习题答案
解：(1)已知ξ ～N (µ, σ 2 ),取统计量U = ξ − µ ,则有U ~ N (0,1),于给定的置信概率1−α ,
n
σ/ n
可求出uα
+ (4 − 0.8)2 ×1] = 0.831.
14.设ξ1,ξ2,……,ξn是取自总体ξ的一个样本，n ≥ 2,ξ ~ B(1, p),其中p为未知，0 < p < 1, 求证：
（1）ξ12是p的无偏估计； （2）ξ12不是p2的无偏估计;
(3) ξ1ξ2是p2的无偏估计。
证明：（1）Eξ
2 1
tα /2 (4) = 2.78, S = 11.937, n = 5代入(*),求得µ的置信区间为（1244.185，1273.815）.
20.假定到某地旅游的一个游客的消费额ξ～N (µ,σ 2 ),且σ = 500元，今要对 该地每一个游客的平均消费额µ进行估计，为了能以不小于95%的置信概率 确信这估计的绝对误差小于50元，问至少需要随机调查多少个游客？
乐山师范学院化学学院
1.设总体ξ 有分布律
第七章 参数估计部分习题答案
ξ
−1
0
2
p
2θ
θ
1-3θ
其中 0 < θ < 1 为待估参数，求θ 的矩估计。 3
解：总体一阶矩为Eξ = (−1) × 2θ + 0×θ + 2× (1− 3θ ) = −8θ + 2.
用样本一阶矩代替总体一阶矩得ξ = -8θˆ + 2，则θˆ = 1 (2 − ξ ). 8
概率论第七章 习题解答
第七章 假设检验I 教学基本要求1、了解假设检验的相关概念及基本思想，掌握假设检验的基本步骤，知道犯两类错误的概率的含义；2、掌握单正态总体均值和方差的假设检验；3、掌握两个正态总体均值差与方差比的假设检验；4、了解分布的假设检验.II 习题解答A 组1、某企业生产铜丝，而折断力的大小是铜丝的主要质量指标.从过去的资料来看，可认为折断力2(570,8)X N ~(单位：千克力)，现更换了一批原材料，测得10个样品的折断力如下：578 572 570 568 572 570 570 572 596 584 从性能上看，折断力的方差不会有什么变化，试问折断力的大小与原先有无差异(0.05)α=？解：若折断力的大小与原先无差异，则总体均值μ应为570，因此，提出假设如下：0H ：570μ= vs 1H ：570μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975 1.96u =，根据样本观测值求得575.2x =于是，检验统计量U 的值2.055U ==由于0.975||U u ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为折断力与原先有差异.2、某工厂生产的电子元件平均使用寿命2(,)X N μσ~，现抽测15个元件，得到18000x =、5200s =(单位：小时)，试问该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是否为20000(0.05)α=？解：若该工厂生产的电子元件的平均使用寿命为20000，则总体均值μ应为20000，因此，提出假设如下：0H ：20000μ= vs 1H ：20000μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(14) 2.145t =，由已知数据求得检验统计量T 的值0.149T ==-由于0.975||(14)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是20000小时.3、用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，重复测量6次，测得温度(C )为：111.0112.4110.2111.0113.5111.9假定测量的温度服从正态分布，且井底温度的真实值为111.6C ，试问用热敏电阻测温仪间接测温是否准确(0.05)α=？解：若用热敏电阻测温仪间接测温是准确的，则总体均值μ应为111.6，因此，提出假设如下：0H ：111.6μ= vs 1H ：111.6μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(5) 2.571t =，根据样本观测值求得111.67x =、2 1.399s =于是，检验统计量T 的值0.145T ==由于0.975||(5)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为用热敏电阻测温仪间接测温是准确的.4、设考生在某次考试中的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，得到平均成绩为66.5分、标准差为15分，问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分(0.05)α=？解：若这次考试全体考生的平均成绩为70分，则总体均值μ应为70，因此，提出假设如下：0H ：70μ= vs 1H ：70μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(35) 2.0301t =，由已知数据求得检验统计量T 的值1.4T ==-由于0.975||(35)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.5、某化肥厂用自动包装机包装化肥，每包质量服从正态分布2(50,)N σ，某日开工后，随机抽取8包化肥，测得质量(单位：kg )如下：49.249.850.350.849.749.650.550.1问该天包装的化肥质量的方差是否为1.3(0.05)α=？解：若该天包装的化肥质量的方差是1.3，则21.3σ=，因此，提出假设如下：0H ：2 1.3σ= vs 1H ：2 1.3σ≠由0.05α=，查附表得临界值20.025(8) 2.1797χ=、20.975(8)17.5345χ=，根据样本观测值求得21()2.192nii x μ=-=∑于是，检验统计量2χ的值2 2.1921.6861.3χ== 由于220.025(8)χχ≤，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为该天包装的化肥质量的方差不是1.3.6、设某化纤厂生产的维尼纶的纤度在正常情况下服从方差为20.05的正态分布，现随机抽取6根，测得其纤度为1.33 1.351.541.451.371.53问维尼纶纤度的方差是否正常(0.10)α=？解：若维尼纶纤度的方差正常，则220.05σ=，因此，提出假设如下：0H ：220.05σ= vs 1H ：220.05σ≠由0.10α=，查附表得临界值20.05(5) 1.146χ=、20.95(5)11.07χ=，根据样本观测值求得1.43x =、20.0085s =于是，检验统计量2χ的值22(61)0.00851.70.05χ-⨯==由于2220.050.95(5)(5)χχχ<<，所以，在显著性水平0.10α=下接受原假设0H ，即认为维尼纶纤度的方差是正常的.7、生产某种产品可用两种操作方法.用第一种操作方法生产的产品抗折强度21(,7)X N μ~；用第二种操作方法生产的产品抗折强度22(,9)Y N μ~(单位：千克)，现从第一种操作方法生产的产品中随机抽取13件，得到42x =，从第二种操作方法生产的产品中随机抽取17件，测得36y =，问这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度是否有显著差异(0.05)α=？解：若这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度无显著差异，则12μμ=，因此，提出假设如下：0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975 1.96u =，由已知数据求得检验统计量U 的值2.054U ==由于0.975||U u ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度有显著差异.8、某种物品在处理前与处理后分别抽样分析其含脂率，测得数据如下：假设处理前后的含脂率都服从正态分布，且方差不变，问该物品处理前后含脂率的均值是否有显著差异(0.01)α=？解：若该物品处理前后含脂率的均值无显著差异，则12μμ=，因此，提出假设如下：0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠由0.01α=，查附表得临界值0.995(13) 3.012t =，根据样本观测值求得0.23x =、0.18y =、20.0094x s =、20.0045ys =、0.0822w s = 于是，检验统计量T 的值2.273T==由于0.995||(13)T t<，所以，在显著性水平0.01α=下接受原假设H，即认为该物品处理前后含脂率的均值无显著差异.9、有甲、乙两台机床加工同样的产品，现从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径(单位：)为：问甲乙两台机床加工的精度是否有显著差异(0.05)α=？解：若甲乙两台机床加工的精度无显著差异，则它们的方差相同，因此，提出假设如下：0H：2212σσ=vs1H：2212σσ≠由0.05α=，查附表得临界值0.0250.97511(7,6)0.1953(6,7) 5.12FF===、0.975(7,6) 5.70F=，根据样本观测值求得19x=、19y=、20.1029xs=、20.3967ys=于是，检验统计量F的值0.10290.25940.3967F==由于0.0250.975(7,6)(7,6)F F F<<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设H，即认为甲乙两台机床加工的精度无显著差异.10、某车床生产滚珠，现随机抽取了50个产品，测得它们的直径(单位：mm)为：15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.315.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.915.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.215.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.115.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2问滚珠直径是否服从正态分布(0.05)α=？解：若滚珠直径服从正态分布，则2(,)X Nμσ~，因此，提出假设如下：0H：2(,)X Nμσ~由于μ、2σ未知，因而用它们的最大似然估计值ˆ15.1xμ==、222ˆ0.4325sσ==代替得到分布2(15.1,0.4325)N，为了求统计量2χ的值，取14.05a=、16.15ka=，将0[,]k a a 等分为7个小区间，列表计算得：于是，检验统计量2χ的值221() 3.062ki i i i n np np χ=-==∑再由0.05α=，查附表得临界值20.95(4)9.488χ=，由于220.95(4)χχ<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为滚珠直径服从正态分布.B 组1、随机地从一批直径服从正态分布的滚珠中抽取7个，测得其直径(单位：mm )为： 13.70 14.21 13.90 13.91 14.32 14.32 14.10假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问这批滚珠的平均直径是否小于等于14.25(0.05)α=？解：若这批滚珠的平均直径是小于等于14.25，则14.25μ≤，因此，提出假设如下：0H ：14.25μ≤ vs 1H ：14.25μ>由0.05α=，查附表得临界值0.95 1.65u =，根据样本观测值求得14.07x =于是，检验统计量U 的值2.118U ==-由于0.95U u <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为这批滚珠的平均直径小于等于14.25.2、设1x 、2x 、…、n x 是取自正态总体2(,)N μσ的样本，记11ni i x x n ==∑、221()ni i Q x x ==-∑，试在此记号下求检验假设0H ：0μ=的检验统计量？解：该问题是单正态总体方差未知时关于期望μ的假设检验问题，检验统计量应选为x T =由于222111()11n ii s x x Q n n ==-=--∑，即s =，从而检验统计量为x T ==3、某种导线要求其电阻的标准差不超过0.004欧姆，现从生产的一批导线中随机抽取8根，得到220.006s =，若该导线的电阻服从正态分布，问能否认为这批导线的标准差偏小(0.05)α=？解：若这批导线的标准差偏小，则220.004σ≤，因此，提出假设如下：0H ：220.004σ≤ vs 1H ：220.004σ>由0.05α=，查附表得临界值20.95(7)14.067χ=，由已知数据求得检验统计量2χ的值222(81)0.00615.750.004χ-⨯== 由于220.95(7)χχ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为这批导线的标准差偏大.4、下面是某两种型号的电器充电后所能使用的时间(单位：小时)的观测值 型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9 型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6设两样本独立且抽样的两个正态总体方差相等，试问能否认为型号A 比型号B 平均使用的时间更短(0.01)α=？解：若型号A 比型号B 平均使用的时间更短，则12μμ≤，因此，提出假设如下：0H ：12μμ≤ vs 1H ：12μμ>由0.01α=，查附表得临界值0.99(21) 2.5176t =，根据样本观测值求得5.5x =、 4.3667y =、20.274x s =、20.2188ys =、0.4951w s =于是，检验统计量T的值5.4837T==由于0.99(21)T t≥，所以，在显著性水平0.01α=下拒绝原假设H，即认为型号A比型号B平均使用的时间更长.5、某药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后到开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出检验假设H：122μμ=vs1H：122μμ>其中1μ、2μ分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后到开始起作用的时间间隔的总体均值，若这两个总体均服从正态分布，且方差21σ、22σ已知，现分别从两个总体中抽取两个独立样本1x、2x、…、mx和1y、2y、…、ny，试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域？解：设X为服用原有止痛片后到开始起作用的时间间隔，Y为服用新止痛片后到开始起作用的时间间隔，则211(,)X Nμσ~、222(,)Y Nμσ~，于是22121242(2,)x y Nm nσσμμ-~-+()~(0,1)x yU N⇒=当H成立，有~(0,1)x yU N=所以，可选取检验统计量x yU=对于给定的显著性水平α，检验的拒绝域为1{|}W U U uα-=≥.6、有两箱来自不同厂家的功能相同的金属部件，从第一箱中抽取60个，从第二箱中抽取40个，得到部件重量()mg的样本方差分别为215.46xs=、29.66ys=.若两样本相互独立且服从正态分布，试问第一箱重量的总体方差是否比第二箱重量的总体方差小(0.05)α=？解：若第一箱重量的总体方差比第二箱重量的总体方差小，则2212σσ≤，因此，提出假设如下：0H ：2212σσ≤ vs 1H ：2212σσ> 由0.05α=，查附表得临界值0.95(59,39) 1.64F =，根据已知数据求得检验统计量F 的值15.461.609.66F == 由于0.95(59,39)F F <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为第一箱重量的总体方差比第二箱重量的总体方差小.7A B 设两批电子器件的电阻分别服从211(,)N μσ、222(,)N μσ，试问能否认为两个总体服从相同的正态分布(0.05)α=？解：(1) 先检验两个总体方差相同.若两个总体方差相同，则2212σσ=，因此，提出假设如下： 0H ：2212σσ= vs 1H ：2212σσ≠ 由0.05α=，查附表得临界值0.0250.97511(5,5)0.140(5,5)7.15F F ===、0.975(5,5)7.15F =，根据样本观测值求得0.141x =、0.139y =、20.0000078x s =、20.0000071ys = 于是，检验统计量F 的值0.00000781.10.0000071F ==由于0.0250.975(5,5)(5,5)F F F <<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为两个总体方差相同；(2) 在(1)的基础上检验两个总体均值相同.若两个总体均值相同，则12μμ=，因此，提出假设如下：0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(10) 2.2281t =，根据样本观测值求得20.0000074w s =于是，检验统计量T 的值1.267T ==由于0.975||(10)T t <，因而在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为两个总体均值相同；所以，可认为两个总体服从相同的正态分布.8、在一批灯泡中抽取300只进行寿命测试，试验结果如下：试检验假设：0H ：灯泡寿命服从指数分布0.0050.0050()00te tf t t -⎧>=⎨≤⎩(0.05)α=？解：根据题意提出假设0H ：(0.005)X E ~为了求统计量2χ的值，将(0,)+∞分为4个小区间(0,100]、(100,200]、(200,300]、(300,)+∞，列表计算得：于是，检验统计量2χ的值221() 1.8393ki i i in np np χ=-==∑再由0.05α=，查附表得临界值20.95(3)7.8147χ=，由于220.95(3)χχ<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为该批灯泡寿命服从参数为0.005的指数分布.。
《概率论与数理统计》习题及答案 第七章
《概率论与数理统计》习题及答案第 七 章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2σ的矩估计.解 μ的矩估计为ˆX μ=，2σ的矩估计为22*211ˆ()ni i X X S n σ==-=∑ 1(27812836280727652858)2809.05X =++++=，*215854.01170.845S =⨯=所以2ˆ2809,1170.8μσ== 2．设12,,,n X X X 是来自对数级数分布1(),(01,1,2,)(1)kp P X k p k lu p k==-<<=-的一个样本，求p 的矩估计.解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1k kk k p p p p p p p μ∞∞==-==-=-⋅----∑∑ （1） 因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩121111ln(1)ln(1)ln(1)kk k x pk k k p p kp kp x p p p μ∞∞∞-===='-⎛⎫==-=- ⎪---⎝⎭∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)x pp x p p x p p ='⎡⎤=-=-⋅⎢⎥----⎣⎦ （2） （1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 212p μμμ-= 所以得p 的矩估计21221111n i i n i i X X X n p X n α==-==-∑∑3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 和p 的矩估计 解 122,(1)()Np Np p Np μμ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ 解之得1/N p μ=， 21(1)p Np μμ-+=， 即1N pμ=，22111p μμμ-=-，所以 N 和p 的矩估计为ˆX N p=，*21S p X =-. 4．设总体X 具有密度11(1)1,,(;)0,.Cx x C f x θθθθ-+⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，12,,,n X X X ，求θ的矩估计解11111111111CCEX C x dx C xθθθθμθθθ+∞--+∞===-⎰111()11C C C C θθθθ-=-⋅=--， 解出θ得11,Cθμ=-92 于是θ的矩估计为 1C Xθ=-. 5．设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计：111210011(1),22EX x dx x ααααμααα++++==+==++⎰解出α得 1112,1μαμ-=- 所以α的矩估计为 121XX α-=-. 再求极大似然估计： 1121(,,;)(1)(1)()nn n i n i L X X x x x x ααααα==+=+∏，1ln ln(1)ln nii L n xαα==++∑，1ln ln 01nii d L nx d αα==++∑，解得α的极大似然估计： 1(1)ln nii nxα==-+∑.6．已知总体X 在12[,]θθ上服从均匀分布，1n X X 是取自X 的样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计： 1212EX θθμ+==，22222211211222()()1243EX θθθθθθθθμ-+++==+=解方程组121221122223θθμθθθθμ⎧+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩得11θμ=±2123(θμμμ=-注意到12θθ<，得12,θθ的矩估计为*1X θ=-，*2X θ=.再求极大似然估计 1121212111(,,;,)()nn ni L X X θθθθθθ===--∏，1122,,,n x x x θθ≤≤，由极大似然估计的定义知，12,θθ的极大似然估计为11(1)min(,,)n X X X θ==；21()max(,,)n n X X X θ==.7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,n x x x ，求参数θ的极大似然估计.（1）1(),0,(;)0,.x x e x f x αθαθαθα--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它;已知（2）||1(;),,2x f x e x θθθ--=-∞<<+∞-∞<<+∞. 解 （1）111111(,,;)()()ni i i nx x n nn i n i L X X x ex x eααθθααθθαθα=----=∑==∏111ln (;)ln ln (1)ln nnn i i i i L X X n n x x αθθααθ===++--∑∑1ln 0ni i d L nx d αθθ==-∑解似然方程1ni i nx αθ==∑，得θ的极大似然估计94 1.ni i nx αθ==∑（2）1||||1111(;)22ni i i n x x n n i L X X e eθθθ=----=∑==∏由极大似然估计的定义得θ的极大似然估计为样本中位数，即1()2()(1)22,1(),.2n n n X n X X n θ++⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数8．设总体X 服从指数分布(),,(;)0,.x ex f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.解 1()11(,,;),,1,2,,.ni i i nx n x n i i L X X eex i n θθθθ=-+--=∑==≥=∏1ln nii L n Xθ==-∑ln 0d Ln d θ=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为(1)x θ= 9．设12,,,n X X X 来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，试求未知参数p 的极大似然估计. 解 1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx n n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏，1ln ln ()ln(1),nii L n p Xn p ==+--∑1ln 0,1ni i X nd L n dp p p=-=--∑解似然方程11nii n X n p p=-+=-∑， 得p 的极大似然估计1p X=。
概率论与数理统计第七章练习题与答案详解
概率论与数理统计 第七章 参数估计练习题与答案（答案在最后）1．设总体X 的二阶矩存在，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则2EX 的矩估计是（ ）．(A) X (B) ()∑=-n i i X X n 121 (C) ∑=n i i X n 121 (D) 2S2．矩估计必然是（ ）．(A) 总体矩的函数 (B) 样本矩的函数 (C) 无偏估计 (D) 最大似然估计3．某钢珠直径X 服从()1,μN ，从刚生产出的一批钢珠中随机抽取9个，求得样本均值06.31=X ，样本标准差98.0=S ，则μ的最大似然估计是 ．4．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若θθ≠ˆE ，则θˆ是θ的（ ） (A) 最大似然估计 (B) 矩估计 (C) 有效估计 (D) 有偏估计5．设21,X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ估计量中，只有（ ）才是μ的无偏估计．(A) 213432X X + (B) 214241X X + (C)215352X X + (D) 214143X X - 6．设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则下列说法中错误的是（ ）．(A) X 是EX 的无偏估计量 (B) X 是DX 的无偏估计量 (C) X 是EX 的矩估计量 (D) 2X 是2λ的无偏估计量 7．设321,,X X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ无偏估计量中，根据有效性这个标准来衡量，最好的是（ ）．(A) 321313131X X X ++ (B) 213132X X + (C)321412141X X X ++ (D) 216561X X + 8．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n U X n U X σσ025.0025.0，作为μ的置信区间，其置信水平是（ ）．(A) 0.9 (B) 0.95 (C) 0.975 (D) 0.05 9．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，μ的置信水平为α-1的置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n U X n U X σσαα22 ，的长度是α的减函数，对吗？10．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它101x x x f θθ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．11．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它002222x ex x f x θθ， 其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．12．设总体X 服从几何分布：()()11--==x p p x X P ，() ,2,1=x ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数p 的最大似然估计． 13．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,0σN 的一个样本，求参数2σ的最大似然估计．14．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,7t a n σμ+N 的一个样本，其中22πμπ<<-，求参数2,σμ的最大似然估计．15．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,~σμN X 的一个样本，对给定t ，求()t X P ≤的最大似然估计．16．一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，发现其中有k 个白球，求罐中黑球数和白球数之比R 的最大似然估计． 17．总体X 的分布律是：()()()θθθ312,0,21-=====-=X P X P X P ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计和最大似然估计． 18．设总体X 服从二项分布()p N B ,，N 为正整数，10<<p ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的大样本，求参数p N ,的矩估计量．19．设μ=EX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明：()∑=-=n i i X n T 121μ是总体方差的无偏估计．20．总体X 服从()θθ2,上均匀分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明X 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计．21．设总体X 服从二项分布()p m B ,，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明∑==ni i X n m p 11ˆ是参数θ的无偏估计． 22．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，且X 服从参数为λ的Poisson 分布，对任意()1,0∈α，证明()21S X αα-+是λ的无偏估计，其中2,S X 分别是样本均值和样本方差．23．设02>=σDX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，问2X 是否是()2EX 的无偏估计．24．设321,,X X X 是来自总体()2,σμN 的一个样本，试验证：32112110351ˆX X X ++=μ，32121254131ˆX X X ++=μ，都是参数μ的无偏估计，并指出哪个更有效．25．从总体()1,1μN 抽取一个容量为1n 的样本：1,,,21n X X X ，从总体()4,2μN 抽取一个容量为2n 的样本：2,,,21n Y Y Y ，求21μμα-=的最大似然估计αˆ．假定总的样本容量21n n n +=不变时，求21,n n 使αˆ的方差最小． 26．为了测量一台机床的椭圆度,从全部产品中随机抽取100件进行测量，求得样本均值为mm X 081.0=，样本标准差为mm S 025.0=，求平均椭圆度μ的置信水平为0.95的置信区间．27．自动机床加工的同类零件中，随机抽取9件，测得长度如下：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6，已知零件长度X 服从()2,σμN ，置信水平为0.95，(1) 若15.0=σ，求μ置信区间； (2) 若σ未知，求μ置信区间； (3) 若4.21=μ，求σ置信区间； (4) 若μ未知，求σ置信区间． 28．设总体X 服从()23,μN ，如果希望μ的置信水平为0.9的置信区间长度不超过2，则需要抽取的样本容量至少是多少？29．某厂利用两条自动化流水线灌装面粉，分别从两条流水线上抽取12和17的两个独立样本，其样本均值和样本方差分别为：6.10=X ，4.221=S ，5.9=Y ，7.422=S ，假设两条生产线上灌装面粉的重量都服从正态分布，其均值分别为21,μμ，方差相等，求21μμ-的置信水平为0.9的置信区间． 30．设两位化验员独立对某种聚合物含氯量用相同方法各作10次测定，其测定值的样本方差分别为：5419.021=S ，6065.022=S ，设2221,σσ分别为两位化验员所测定值总体的方差，设两位化验员的测定值都服从正态分布，求方差比2221σσ的置信水平为0.9的置信区间．31．从一批产品中抽取100个产品，发现其中有9个次品，求这批产品的次品率p 的置信水平为0.9的置信区间．答案详解1．C 2．B 3．31.064．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．对10．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX 11+==⎰θθθθdx x ，所以21⎪⎭⎫⎝⎛-=EX EX θ，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X θ (2) 最大似然估计似然函数为：()()∏==ni i x f L 1θ()()121-=θθnnx x x ，两边取对数， ()θL ln ()()nx x x n21ln 1ln 2-+=θθ，令()θθd L d ln ()0ln 21221=+=n x x x n θθ， 得参数θ的最大似然估计为：212ln ˆ⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i x n θ11．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX ⎰∞+-=022222dx exx θθ⎰∞+∞--=dx e xx 2222221θθ⎰∞+∞--=dx exx 2222222θθπθπθπ22=， 所以EX πθ2=，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为X πθ2ˆ=。
概率论与数理统计课后习题答案第7章习题详解
习题七1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 2.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X 所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】（1） 似然函数111(,)e e eniii n nx x nn ii i L f x θθθθθθ=---==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知 1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=.(2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L n x θθ==+=∏知11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】0.094x =- 0.101893s = 9n =0.094.EXx ==- 由222221()()[()],()ni i x E X D X E X E X A n==+==∑知222ˆˆ[()]E X A σ+=,即有 ˆσ=于是 ˆ0.101890.0966σ=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2E X θ=,令()E X X =，则ˆ2X θ=且ˆ()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2x θ==⨯=且ˆ2X θ=是一个无偏估计.(2) 似然函数8811(,)i i L f x θθ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∏,i =1,2, (8)显然L =L (θ)↓(θ>0)，那么18max{}i i x θ≤≤=时，L =L (θ)最大, 所以θ的极大似然估计值ˆθ=0.9.因为E(ˆθ)=E (18max{}i i x ≤≤)≠θ,所以ˆθ=18max{}i i x ≤≤不是θ的无偏计.6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，2ˆσ=k 1211()n i i i XX -+=-∑,问k 为何值时2ˆσ为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,则 21()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==于是 1222211ˆ[()](1)2(1),n ii E E k Yk n EY n k σσ-===-=-∑那么当22ˆ()E σσ=,即222(1)n k σσ-=时, 有 1.2(1)k n =-7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本112212312211311ˆˆˆ;;;334422X X X X X X μμμ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1）11212212121ˆ()()(),333333E E X X E X E X μμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭21213ˆ()()()44E E X E X μμ=+=, 31211ˆ()()(),22E E X E X μμ=+= 所以123ˆˆˆ,,μμμ均是μ的无偏估计量. (2) 22221122145ˆ()()(),3399D D X D X X σμσ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212135ˆ()()(),448D D X D X σμ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223121ˆ()()(),22D D X D X σμ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭8.某车间生产的螺钉，其直径X ~N （μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n =6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,0.25214.95, 1.96,a x u u ===,μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α⎛±=±⨯= ⎝.9.总体X ~N (μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L ？【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2x u α⎛± ⎝,/2u α,/2u α≤L ,得n ≥22/224()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N （μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==/20.025222/20.0250.975(1)(19)2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907t n t n ααχχχ-==-===(1) μ的置信度为0.95的置信区间/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)2σ的置信度为0.95的置信区间222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-⎛⎫--⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 11.设总体X ~f (x )=(1),01;10,.x x θθθ⎧+<<>-⎨⎩其中其他 X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()()d (1)d ,2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ 又1(),2X E X θθ+==+ 故21ˆ1X Xθ-=- 所以θ的矩估计量 21ˆ.1X Xθ-=- (2) 似然函数11(1) 01(1,2,,)()()0n n ni i i i i x x i n L L f x θθθ==⎧+<<=⎪===⎨⎪⎩∏∏其他. 取对数11ln ln(1)ln (01;1),d ln ln 0,d 1nii i ni i L n x x i n L nx θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑所以θ的极大似然估计量为1ˆ1.ln nii nXθ==--∑12.设总体X ~f (x )= 36(),0;0,.xx x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本 （1） 求θ的矩估计量ˆθ；（2） 求ˆ()D θ.【解】(1) 236()()d ()d ,2x E X xf x x x x θθθθ+∞-∞=-=⎰⎰令 ,2EX X θ==所以θ的矩估计量 ˆ2.X θ= (2)4ˆ()(2)4(),D D X D X DX nθ===， 又322236()63()d ,2010x x E X x θθθθθ-===⎰于是222223()()(),10420D XE X EX θθθ=-=-=,所以2ˆ().5D nθθ=13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为f (x ,θ)= 2()2,;0,.x x x θθθ--⎧>⎨≤⎩e其中θ(θ>0)为未知参数，又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值.【解】似然函数12()12e 0;1,2,,;()0ln ln 22(),;1,2,,,ni i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=⎧∑⎪⋅≥===⎨⎪⎩=--≥=∑ 其他.由d ln 20ln (),d Ln L θθ=>↑知 那么当01ˆˆmin{}ln ()max ln ()ii nx L L θθθθ>≤≤==时 所以θ的极大似然估计量1ˆmin{}ii nx θ≤≤=其中θ(0<θ<12)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值. 【解】813ˆ(1)()34,()4 28ii x E X E X x x x θθ=-=-====∑令得又 所以θ的矩估计值31ˆ.44x θ-== （2） 似然函数86241(,)4(1)(12).ii L P x θθθθ===--∏2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=得1,272θ=. 由于71,122> 所以θ的极大似然估计值为7ˆ2θ-=. 15.设总体X 的分布函数为F （x ,β）=1,,0,.x xx ββααα⎧->⎪⎨⎪≤⎩其中未知参数β>1,α>0，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本（1） 当α=1时，求β的矩估计量；（2） 当α=1时，求β的极大似然估计量； （3） 当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】当α=1时，11,1;(,)(,1,)0,1.x x f x F x x x ββββ+⎧≥⎪==⎨⎪<⎩当β=2时, 2132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα⎧≥⎪==⎨⎪<⎩(1) 111()d 11E X x x x βββββββ+∞-+∞===--⎰令()E X X =,于是ˆ,1XX β=- 所以β的矩估计量ˆ.1XX β=- (2) 似然函数(1)1111,1,(1,2,,);()(,)0,.ln ln (1)ln ,d ln ln 0,d n n ni i i i i ni i ni i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====⎧⎛⎫>=⎪ ⎪===⎨⎝⎭⎪⎩=-+=-=∏∏∑∑ 其他所以β的极大似然估计量1ˆ.ln nii nxβ==∑(3) 似然函数23112,,(1,2,,);(,)0,.n ni nn i i i i x i n L f x x ααα==⎧≥=⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩∏∏ 其他 显然(),L L α=↑那么当1ˆmin{}i i nx α≤≤=时,0ˆ()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1ˆmin{}i i nx α≤≤=. 16.从正态总体X ~N （3.4，62）中抽取容量为n 的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n 至少应取多大？2/2()d zt z t ϕ-=⎰【解】26~3.4,X N n ⎛⎫⎪⎝⎭,则~(0,1),X Z N ={1.4 5.4}33210.95Z P X P PZ ΦΦΦ<<<<=⎧=-<<⎨⎩⎭⎛=-=-≥ ⎝于是0.975Φ≥ 1.96≥, ∴ n ≥35.17. 设总体X 的概率密度为f (x ，θ)=,01,1,12,0,.x x θθ<<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他 其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值x 1,x 2,…,x n 中小于1的个数.求： （1） θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计. 解 (1) 由于121(;)d d (1)d EX xf x x x x x x θθθ+∞-∞==+⎰⎰⎰-133(1)222θθθ=+-=-. 令32X θ-=，解得32X θ=-， 所以参数θ的矩估计为32X θ=-. (2) 似然函数为1()(;)(1)nN n N i i L f x θθθθ-===-∏，取对数，得ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--两边对θ求导，得d ln ().d 1L N n Nθθθθ-=-- 令 d ln ()0,d L θθ=得 Nnθ=，所以θ的最大似然估计为Nnθ=.。
概率练习册第七章答案
7-2 单正态总体的假设检验1．已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 N (4.55,0.108 2) , 现在测定了 9炉铁水 ,其平均 含碳量为 4.484, 如果估 计方差没有变化,可否认为现 在生产的铁 水平均含碳量为 4.55 ( 0.05) ?解 提出检验假设H 0 : 4.55, H 1 : 4.55以 H 0成立为前提，确定检验 H 0 的统计量及其分布说明小概率事件没有发生，因此接受 H 0 .即认为 现在生产的铁水平均含碳量为 4.55.2. 机器包装食盐， 每袋净重量 X (单位： g )服从正态分布， 规定每袋净重量为 500g )，标准差不能超过 10( g )。
某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取 9 袋，测得其净重量为：497 507 510 475 484 488 524 491 515以显著性水平解.作假设 0.05检验这天包装机工作是否正常？H 0 : 2 102, H 1: 2 102选取统计量2 n 1 2 8 2 22 2 S 2 2 S 2 ~ 2(n 1) 02 102/nX 4.550.108/ 9对给定的显著性水平 =0.05，由上~ N(0,1)分位点可知P{U u }2查标准正态分布表可得 u2即Pu0 .025x 4.55 0.108/ 9X 4.550.108 / 91.96，而 4.484 4.550.108/ 9u 0.0521.83 1.962n 1 2 2S 0对给定的显著性水平 =0.05， 查 2分布表得 : 由已知计算得 s 2 12 (n 1) 228.44 2 n 1 2 2s 0 02.95 (8) 2.733，于是拒绝域为 2 2.733 82 s 2 18.2752 102因此接受 H 0 ，即可以认为 这天包装机工作不正常。
2.733 X: N( , 2)，已知64斤，测得折断力(单位：斤)为 578，570，572，570， 572，596，584。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第七章习题参考答案
⎧ 20
⎫ ⎭
⎩ i =1
⎛ 20 ⎞ k ⎟ p (1 − p ) 20−k ， ⎟ k =2 ⎝ k ⎠
6
故 g ( 0) = 1 − ∑ ⎜ ⎜
6 ⎛ 20 ⎞ k 20−k ⎛ 20 ⎞ k 20− k ⎟ × 0 ×1 = 1 ， g (0.1) = 1 − ∑ ⎜ = 0.3941 ， ⎟ ⎜k⎟ ⎟ × 0.1 × 0.9 k k =2 ⎝ k =2 ⎝ ⎠ ⎠ 6
解： （1）因 nX = X 1 + X 2 + L + X 30 ~ P (30λ ) ， 假设 H0：λ ≤ 0.1 vs H1：λ > 0.1，
统计量 nX ~ P (30λ ) ，
Pp ( 3)−1
当 H0 成立时，设 nX ~ P (3) ，其 p 分位数 Pp (3) 满足
∑
k =0
3k −3 e < p≤ k!
β (0.5) = 1 − ∑
6
6 15k −15 18k −18 e = 0.9924 ， β (0.6) = 1 − ∑ e = 0.9990 ， k =0 k ! k =0 k !
β ( 0 .7 ) = 1 − ∑
6
21k −21 e = 0.9999 ， k =0 k! 24 k −24 e ≈1， k =0 k!
6
β (λ)
β (0.8) = 1 − ∑ β ( 0 .9 ) = 1 − ∑
27 k −27 e ≈1． k =0 k!
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
λ
习题 7.2
说明：本节习题均采用拒绝域的形式完成，在可以计算检验的 p 值时要求计算出 p 值． 1． 有一批枪弹，出厂时，其初速率 v ~ N (950, 1000)（单位：m/s） ．经过较长时间储存，取 9 发进行测 试，得样本值（单位：m/s）如下： 914 920 910 934 953 945 912 924 940． 据经验，枪弹经储存后其初速率仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速 率有显著降低（α = 0.05）？ 解：设枪弹经储存后其初速率 X ~ N (µ , 1000)，假设 H0：µ = 950 vs H1：µ < 950， 已知σ 2，选取统计量 U =
概率论第七章 习题解答
第七章 假设检验I 教学基本要求1、了解假设检验的相关概念及基本思想，掌握假设检验的基本步骤，知道犯两类错误的概率的含义；2、掌握单正态总体均值和方差的假设检验；3、掌握两个正态总体均值差与方差比的假设检验；4、了解分布的假设检验.II 习题解答A 组1、某企业生产铜丝，而折断力的大小是铜丝的主要质量指标.从过去的资料来看，可认为折断力2(570,8)X N ~(单位：千克力)，现更换了一批原材料，测得10个样品的折断力如下：578 572 570 568 572 570 570 572 596 584 从性能上看，折断力的方差不会有什么变化，试问折断力的大小与原先有无差异(0.05)α=？解：若折断力的大小与原先无差异，则总体均值μ应为570，因此，提出假设如下：0H ：570μ= vs 1H ：570μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975 1.96u =，根据样本观测值求得575.2x =于是，检验统计量U 的值2.055U ==由于0.975||U u ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为折断力与原先有差异.2、某工厂生产的电子元件平均使用寿命2(,)X N μσ~，现抽测15个元件，得到18000x =、5200s =(单位：小时)，试问该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是否为20000(0.05)α=？解：若该工厂生产的电子元件的平均使用寿命为20000，则总体均值μ应为20000，因此，提出假设如下：0H ：20000μ= vs 1H ：20000μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(14) 2.145t =，由已知数据求得检验统计量T 的值0.149T ==-由于0.975||(14)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是20000小时.3、用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，重复测量6次，测得温度(C )为：111.0112.4110.2111.0113.5111.9假定测量的温度服从正态分布，且井底温度的真实值为111.6C ，试问用热敏电阻测温仪间接测温是否准确(0.05)α=？解：若用热敏电阻测温仪间接测温是准确的，则总体均值μ应为111.6，因此，提出假设如下：0H ：111.6μ= vs 1H ：111.6μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(5) 2.571t =，根据样本观测值求得111.67x =、2 1.399s =于是，检验统计量T 的值0.145T ==由于0.975||(5)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为用热敏电阻测温仪间接测温是准确的.4、设考生在某次考试中的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，得到平均成绩为66.5分、标准差为15分，问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分(0.05)α=？解：若这次考试全体考生的平均成绩为70分，则总体均值μ应为70，因此，提出假设如下：0H ：70μ= vs 1H ：70μ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(35) 2.0301t =，由已知数据求得检验统计量T 的值1.4T ==-由于0.975||(35)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.5、某化肥厂用自动包装机包装化肥，每包质量服从正态分布2(50,)N σ，某日开工后，随机抽取8包化肥，测得质量(单位：kg )如下：49.249.850.350.849.749.650.550.1问该天包装的化肥质量的方差是否为1.3(0.05)α=？解：若该天包装的化肥质量的方差是1.3，则21.3σ=，因此，提出假设如下：0H ：2 1.3σ= vs 1H ：2 1.3σ≠由0.05α=，查附表得临界值20.025(8) 2.1797χ=、20.975(8)17.5345χ=，根据样本观测值求得21()2.192nii x μ=-=∑于是，检验统计量2χ的值2 2.1921.6861.3χ== 由于220.025(8)χχ≤，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为该天包装的化肥质量的方差不是1.3.6、设某化纤厂生产的维尼纶的纤度在正常情况下服从方差为20.05的正态分布，现随机抽取6根，测得其纤度为1.33 1.351.541.451.371.53问维尼纶纤度的方差是否正常(0.10)α=？解：若维尼纶纤度的方差正常，则220.05σ=，因此，提出假设如下：0H ：220.05σ= vs 1H ：220.05σ≠由0.10α=，查附表得临界值20.05(5) 1.146χ=、20.95(5)11.07χ=，根据样本观测值求得1.43x =、20.0085s =于是，检验统计量2χ的值22(61)0.00851.70.05χ-⨯==由于2220.050.95(5)(5)χχχ<<，所以，在显著性水平0.10α=下接受原假设0H ，即认为维尼纶纤度的方差是正常的.7、生产某种产品可用两种操作方法.用第一种操作方法生产的产品抗折强度21(,7)X N μ~；用第二种操作方法生产的产品抗折强度22(,9)Y N μ~(单位：千克)，现从第一种操作方法生产的产品中随机抽取13件，得到42x =，从第二种操作方法生产的产品中随机抽取17件，测得36y =，问这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度是否有显著差异(0.05)α=？解：若这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度无显著差异，则12μμ=，因此，提出假设如下：0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975 1.96u =，由已知数据求得检验统计量U 的值2.054U ==由于0.975||U u ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度有显著差异.8、某种物品在处理前与处理后分别抽样分析其含脂率，测得数据如下：假设处理前后的含脂率都服从正态分布，且方差不变，问该物品处理前后含脂率的均值是否有显著差异(0.01)α=？解：若该物品处理前后含脂率的均值无显著差异，则12μμ=，因此，提出假设如下：0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠由0.01α=，查附表得临界值0.995(13) 3.012t =，根据样本观测值求得0.23x =、0.18y =、20.0094x s =、20.0045ys =、0.0822w s = 于是，检验统计量T 的值2.273T==由于0.995||(13)T t<，所以，在显著性水平0.01α=下接受原假设H，即认为该物品处理前后含脂率的均值无显著差异.9、有甲、乙两台机床加工同样的产品，现从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径(单位：)为：问甲乙两台机床加工的精度是否有显著差异(0.05)α=？解：若甲乙两台机床加工的精度无显著差异，则它们的方差相同，因此，提出假设如下：0H：2212σσ=vs1H：2212σσ≠由0.05α=，查附表得临界值0.0250.97511(7,6)0.1953(6,7) 5.12FF===、0.975(7,6) 5.70F=，根据样本观测值求得19x=、19y=、20.1029xs=、20.3967ys=于是，检验统计量F的值0.10290.25940.3967F==由于0.0250.975(7,6)(7,6)F F F<<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设H，即认为甲乙两台机床加工的精度无显著差异.10、某车床生产滚珠，现随机抽取了50个产品，测得它们的直径(单位：mm)为：15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.315.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.915.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.215.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.115.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2问滚珠直径是否服从正态分布(0.05)α=？解：若滚珠直径服从正态分布，则2(,)X Nμσ~，因此，提出假设如下：0H：2(,)X Nμσ~由于μ、2σ未知，因而用它们的最大似然估计值ˆ15.1xμ==、222ˆ0.4325sσ==代替得到分布2(15.1,0.4325)N，为了求统计量2χ的值，取14.05a=、16.15ka=，将0[,]k a a 等分为7个小区间，列表计算得：于是，检验统计量2χ的值221() 3.062ki i i i n np np χ=-==∑再由0.05α=，查附表得临界值20.95(4)9.488χ=，由于220.95(4)χχ<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为滚珠直径服从正态分布.B 组1、随机地从一批直径服从正态分布的滚珠中抽取7个，测得其直径(单位：mm )为： 13.70 14.21 13.90 13.91 14.32 14.32 14.10假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问这批滚珠的平均直径是否小于等于14.25(0.05)α=？解：若这批滚珠的平均直径是小于等于14.25，则14.25μ≤，因此，提出假设如下：0H ：14.25μ≤ vs 1H ：14.25μ>由0.05α=，查附表得临界值0.95 1.65u =，根据样本观测值求得14.07x =于是，检验统计量U 的值2.118U ==-由于0.95U u <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为这批滚珠的平均直径小于等于14.25.2、设1x 、2x 、…、n x 是取自正态总体2(,)N μσ的样本，记11ni i x x n ==∑、221()ni i Q x x ==-∑，试在此记号下求检验假设0H ：0μ=的检验统计量？解：该问题是单正态总体方差未知时关于期望μ的假设检验问题，检验统计量应选为x T =由于222111()11n ii s x x Q n n ==-=--∑，即s =，从而检验统计量为x T ==3、某种导线要求其电阻的标准差不超过0.004欧姆，现从生产的一批导线中随机抽取8根，得到220.006s =，若该导线的电阻服从正态分布，问能否认为这批导线的标准差偏小(0.05)α=？解：若这批导线的标准差偏小，则220.004σ≤，因此，提出假设如下：0H ：220.004σ≤ vs 1H ：220.004σ>由0.05α=，查附表得临界值20.95(7)14.067χ=，由已知数据求得检验统计量2χ的值222(81)0.00615.750.004χ-⨯== 由于220.95(7)χχ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为这批导线的标准差偏大.4、下面是某两种型号的电器充电后所能使用的时间(单位：小时)的观测值 型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9 型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6设两样本独立且抽样的两个正态总体方差相等，试问能否认为型号A 比型号B 平均使用的时间更短(0.01)α=？解：若型号A 比型号B 平均使用的时间更短，则12μμ≤，因此，提出假设如下：0H ：12μμ≤ vs 1H ：12μμ>由0.01α=，查附表得临界值0.99(21) 2.5176t =，根据样本观测值求得5.5x =、 4.3667y =、20.274x s =、20.2188ys =、0.4951w s =于是，检验统计量T的值5.4837T==由于0.99(21)T t≥，所以，在显著性水平0.01α=下拒绝原假设H，即认为型号A比型号B平均使用的时间更长.5、某药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后到开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出检验假设H：122μμ=vs1H：122μμ>其中1μ、2μ分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后到开始起作用的时间间隔的总体均值，若这两个总体均服从正态分布，且方差21σ、22σ已知，现分别从两个总体中抽取两个独立样本1x、2x、…、mx和1y、2y、…、ny，试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域？解：设X为服用原有止痛片后到开始起作用的时间间隔，Y为服用新止痛片后到开始起作用的时间间隔，则211(,)X Nμσ~、222(,)Y Nμσ~，于是22121242(2,)x y Nm nσσμμ-~-+()~(0,1)x yU N⇒=当H成立，有~(0,1)x yU N=所以，可选取检验统计量x yU=对于给定的显著性水平α，检验的拒绝域为1{|}W U U uα-=≥.6、有两箱来自不同厂家的功能相同的金属部件，从第一箱中抽取60个，从第二箱中抽取40个，得到部件重量()mg的样本方差分别为215.46xs=、29.66ys=.若两样本相互独立且服从正态分布，试问第一箱重量的总体方差是否比第二箱重量的总体方差小(0.05)α=？解：若第一箱重量的总体方差比第二箱重量的总体方差小，则2212σσ≤，因此，提出假设如下：0H ：2212σσ≤ vs 1H ：2212σσ> 由0.05α=，查附表得临界值0.95(59,39) 1.64F =，根据已知数据求得检验统计量F 的值15.461.609.66F == 由于0.95(59,39)F F <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为第一箱重量的总体方差比第二箱重量的总体方差小.7A B 设两批电子器件的电阻分别服从211(,)N μσ、222(,)N μσ，试问能否认为两个总体服从相同的正态分布(0.05)α=？解：(1) 先检验两个总体方差相同.若两个总体方差相同，则2212σσ=，因此，提出假设如下： 0H ：2212σσ= vs 1H ：2212σσ≠ 由0.05α=，查附表得临界值0.0250.97511(5,5)0.140(5,5)7.15F F ===、0.975(5,5)7.15F =，根据样本观测值求得0.141x =、0.139y =、20.0000078x s =、20.0000071ys = 于是，检验统计量F 的值0.00000781.10.0000071F ==由于0.0250.975(5,5)(5,5)F F F <<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为两个总体方差相同；(2) 在(1)的基础上检验两个总体均值相同.若两个总体均值相同，则12μμ=，因此，提出假设如下：0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠由0.05α=，查附表得临界值0.975(10) 2.2281t =，根据样本观测值求得20.0000074w s =于是，检验统计量T 的值1.267T ==由于0.975||(10)T t <，因而在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为两个总体均值相同；所以，可认为两个总体服从相同的正态分布.8、在一批灯泡中抽取300只进行寿命测试，试验结果如下：试检验假设：0H ：灯泡寿命服从指数分布0.0050.0050()00te tf t t -⎧>=⎨≤⎩(0.05)α=？解：根据题意提出假设0H ：(0.005)X E ~为了求统计量2χ的值，将(0,)+∞分为4个小区间(0,100]、(100,200]、(200,300]、(300,)+∞，列表计算得：于是，检验统计量2χ的值221() 1.8393ki i i in np np χ=-==∑再由0.05α=，查附表得临界值20.95(3)7.8147χ=，由于220.95(3)χχ<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为该批灯泡寿命服从参数为0.005的指数分布.。
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所以S＝
4
2、由对称性：r
2 sin （圆）及r 2 cos 2 （双纽线）的交点的
6
所求的面积 S 分为左右两部分；而右边部分的面积又分为两部分计算：S1 S2 ,
S1由
0，
6
和r
2
sin
围成，所以
S1
6 0
1 2
(
2 sin )2d 12
3 8
S2由
,
6
和r2
4
cos
2围成，所以 S2
3
令x2
2
sin t ,所以 S1
2
4 3
所以下方面积： S2
8
(2
4) 3
6
4 3
.
2、如图： y 1 与 y x的交点的横坐标 x 1
x
则阴影部分面积为
2
1
(
x
1 x
)d
2
3、解围成图形面积为
1(ex 0
ex
)dx
e
1 e
2
。
| 4、S lnb (ey 0)dy ey lnb b a。
第七章
习题答案
7.1 微元分析法
7.2 平面图形的面积 7.3 体积 7.4 平面曲线的弧长 7.5 经济应用
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1
习题 7.1
一、1：如图示：抛物线 y 1 x2与园 x2 y2 8
2
的图形，设阴影部分面积为 S1
则
S1＝ 2
2
(
0
8 x2 1 x2 )dx 2 2
2
0
8 x2 dx 8 ,
4 6
1 2
cos 2d
1 4
3 8
所以
S＝2（ S1
S2
）＝
6
1 2
3。 2
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6
五、解：如图：y ex上的点(x0 ,ex0 )处的切线的斜率为ex0 ， 故可假设点(x0,ex0 )处的切线方程为： y ex0 ex0 (x x0)； 又因为切线过（0，0），所以 x0 1，切线方程为 y ex，
2
2
所求立体体积为
2 25x2
5 5
3(25 x2 )dx 500 3
3
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9
三、（1）绕 x 轴旋转：在 x 轴的区间[2,4]上任取一点 x，过
点 x 作垂直于 x 轴的平面，这个平面与旋转体的截面是圆，
其面积S(x) y2 (2x 4)，
体积微元dv S(x)dx (2x 4)dx，Vx
0
2、如图示：围成的面积分为四部分，，其中 S1是第一象限部分
的面积，S1＝
1
ydx
0
a
sin
3
td
(a
cos3
t
)
0
2
3a2 2 sin4 t cos2 tdt 3a2 2 sin4 t (1 sin2 t)dt
0
0
y
-a
O
ax
3a2[
2 sin4 tdt
0
2
sin
6
tdt
]
3a2
(
3!!
0
4!! 2
5!! ) 6!! 2
3 32
a2
，S＝
4S1＝
3 8
a2.
3、所围成的面积 S 的面积微元
ds 1 r2d 1 4a2(1 cos )2 d 2a2(1 2cos cos2 )d ，
2
2
由对称性 S 2 2a2(1 2cos cos2 )d 6 a2. 0
体积微元dv S(x)dx 20 16 x2 dx
所以旋转体的体积V 4 20 16 x2 dx 160 2。 4
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8
二、建立坐标系，如图
圆的方程为 x2 y2 25 选 x 为积分变量 过 x 的截面为等边三角形，边长为2 25 x2 ， 截面面积为
1 2 25 x2 3 2 25 x2 3(25 x2 )
如图阴影部分的面积即为所求：分为左右两部分
左边面积为 0 exdx 1，
右边面积 1(ex 0
ex)dx
e 2
1，
故总面积为 e 。 2
六、面积S
3
|
x2
2x
|dx
2 2x x2dx
3 x2 2xdx 2
1
1
2
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7
习题 7.2
一、1、解：在 y y轴的[0,1]内任取一个点 y ，过 y 垂直与 y 轴 的平面，这个平面与旋转体的截面是圆环，其面积
S(y) ( y)2 (y2)2 (y y4)
所以旋转体的体积微元dv s( y)dy ( y y4)dy，
所以旋转体的体积V
1
0 ( y
y4 )dy
3
10
。
2、解在 x轴的区间[-4,4]内任取一点 x，过点 x作垂直与 x轴
的平面，这个平面与旋转体的截面为圆环，其面积
S(x) (5 16 x2 )2 (5 16 x2 )2 20 16 x2
ln a
ln a
5、如图示： y x2与 y x交于点（1，0）， y x2与
y 2x交于点（2，0），所围成面积分为：左边＋右边
左边部分面积：
1
0
(2
x
x)dx
1 2
右边部分面积：
2
(2x
x2 )dx
2
，
1
3
所以围成的面积为 1 2 7 。
23 6
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3
二、解：可求得抛物线 y x2 4x 3
4 2
(2x 4)dx 4
（2）绕 y 轴旋转：利用第四题的结论
4
Vy 2
xf (x)dx 2
2
4
x
2
2x 4dx 256 。
15
四、如图示，在[a,b]内任取一个点 x ,在 x 处给 其一个增量dx，则在小区间[x, x dx]上对应着一 个小矩形，绕 y 轴旋转，得到一个薄的空心圆柱 体，将其展开得到一个厚度为 dx ，上表面积为
在点(0,3)处的切线 y 4x 3,
在(3,0)处的切线 y 2x 6，
两切线的交点横坐标x 3 ，所围成的面积：左边＋右边 2
左边由 y x2 4x 3与 y 4x 3， x 3 围成的， 2
面积为
3
2 [4x
3
(x2
4x
3)]dx
9
；
0
8
右边由 y x2 4x 3与 y 2x 6， x 3 围成的， 2
面积为
3
3 [2x
2
6
(
x2
4x
3)]dx
9 8
，面积为
99 88
9. 4
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4
三、1 解：如图图形是圆，具有对称性
面积微元：ds 1 r2d 1 4a2 cos2 d 2a2 cos2 d ，
2
2
故面积 S 2 2
1 r2d 2
2
2a2 cos2 d ＝ a2 .
02
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5
四解 1、如图示r 3cos （圆）和r 1 cos （心型
线）的交点： ，r 3
A2
32
面积分成两部分：S＝2（ A1 A2）
A1
2
A1由
0，
3
及r
3cos围成
A 10 31 2(1cos)2d9 16 3 4
A2由
， 3 5
2
和r
1
cos围成 A 2 3 21 2(3cos)2d38 9163