北京四中一模-高考数学(理科)
北京市.第四中学.高三第一学期期中考试数学(理科)试题(解析版) 【全国百强校高考预测真题】
2019届北京市第四中学高三第一学期期中考试数学（理科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．设函数的定义域为，函数的值域为，则A ．B ．C ．D ．2．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为A ．B ．C ．D ．3．函数（）的大致图象是A ．B ．C ．D ． 4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A ．? B ．? C ．? D ．?5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．B ．C ．D ．6．原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是A ．逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题B ．否命题为：若，则，都小于1，为假命题C ．逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题D ．“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件7．设，定义符合函数，则下列等式正确的是此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．8．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6二、填空题9．i 为虚数单位，计算_______________。
10．.11．命题“，使得成立”的否定是____________。
12．在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则的最小值为______．13．已知函数，则，的最小值是．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。
数学理卷北京四中高三第一次模拟考试(一模)仿真卷(B卷)Word版含答案
2018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·石家庄质检]）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分有不必要D．充要2．[2018·黄山一模]）ABCD3．[2018·长春一模]）ABCD间的相关数据如下表所示：）A．0.8 B．1.8 C．0.6 D．1.65．[2018·乌鲁木齐一模]是（）A．0 B．2 C．5 D．66．[2018·常德期末]）ABCD7．[2018·宁德一模]我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（）A B C D8．[2018·福州质检]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）ABCD9．[2018·衡水中学]）ABCD10．[2018·西城期末]）ABCD11．[2018·郑州一中]）ABCD12．[2018·西北师大附中]）ABCD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·丹东一检]△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．14．[2018·郑州一中]阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．15．[2018·乌鲁木齐一模]．16．[2018·长春一模]若__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·渭南一模]（1（218．[2018·石家庄一检]某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（150（23位作为代表19．[2018·亳州质检]点．（1（220．[2018·闽侯四中]（1（2的面积．21．[2018·淮南一模]（1（2明理由．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·承德期末]参数），，（1（223．[2018·南阳一中]（1（22018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（B）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B充分条件，选B．2．【答案】A【解析】A．3．【答案】B【解析】A是奇函数，故不满足条件；B满足条件；C D是偶函数但是在B．4．【答案】B【解析】B．5．【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：C．6．【答案】C【解析】C．7．【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60．故选C．8．【答案】A【解析】高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为A．9．【答案】D【解析】，，几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积故D．10．【答案】B【解析】B．11．【答案】C【解析】该三棱锥的图象如图所示，C．12．【答案】C【解析】所以，令，则，因C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【解析】14．【解析】15．【解析】16．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】（1（2【解析】（1（218．【答案】（1（2）见解析．【解析】（1）（264，19．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1（2由（120．【答案】（1（2【解析】（1（221．【答案】（1（2【解析】（1（2（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1（2【解析】（1①×（2由（1，23．【答案】（1（2【解析】（1（2。
2024届北京市第四中学中考一模数学试题含解析
2024学年北京市第四中学中考一模数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发量就超过810000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．8.1×106B ．8.1×105C ．81×105D ．81×1043．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )A ．2B ．3C ．5D ．74．把直线l ：y=kx+b 绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A （-2,0）和点B （0,4），则直线l 的表达式是（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=-2x+2D ．y=-2x-25．某校在国学文化进校园活动中，随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示，这组数据的众数和中位数分别是（ ） 学生数（人）5 8 14 19 4 时间（小时）6 7 8 9 10 A ．14，9 B ．9，9 C ．9，8 D ．8，96．某种超薄气球表面的厚度约为0.00000025mm ，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．72.510-⨯B ．70.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52510-⨯7．不解方程，判别方程2x 2﹣2x ＝3的根的情况( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个实数根D ．无实数根8．在﹣3，0，4，6这四个数中，最大的数是（ ）A ．﹣3B ．0C ．4D ．69．如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．121x y x y -=-⎧⎨-=-⎩C ．121x y x y -=-⎧⎨-=⎩D ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩ 10．给出下列各数式，①2?--（） ②2-- ③2 2- ④22-（）计算结果为负数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．,A B 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A 地出发到B 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B 地.甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车行驶时间x （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B 地还有____________千米.12．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的数为x ﹣3，点B 表示的数为2x+1，点C 表示的数为﹣4，若将△ABC 向右滚动，则x 的值等于_____，数字2012对应的点将与△ABC 的顶点_____重合．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=1．在边AB 上取一点O ，使BO=BC ，以点O 为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′（点A 、B 、C 的对应点分别是点A′、B′、C′、），那么△ABC 与△A′B′C′的重叠部分的面积是_________．14．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是_____．15．将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_____．16．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.0000872贝克/立方米．数据“0.0000872”用科学记数法可表示为________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．18．（8分）已知顶点为A的抛物线y＝a(x－12)2－2经过点B(－32，2)，点C(52，2)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，与y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM ＝∠MAF，求△POE的面积；(3)如图2，点Q是折线A－B－C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN′，若点N′落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．19．（8分）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c ++＝经过点10（，）A 和30B （，），与y 轴相交于点C ，顶点为P .（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA EC ＝，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，MEQ NEB ∠∠＝，求点Q 的坐标.20．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CN 于D 、M 两点．求证：MD=MC ；若⊙O 的半径为5，AC=45，求MC 的长．21．（8分）“分组合作学习”已成为推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要措施.某中学从全校学生中随机抽取部分学生对“分组合作学习”实施后的学习兴趣情况进行调查分析，统计图如下：请结合图中信息解答下列问题：求出随机抽取调查的学生人数；补全分组后学生学习兴趣的条形统计图； 分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比和对应扇形的圆心角.22．（10分）先化简2211a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后从22a -≤<中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值． 23．（12分）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？24．如图，点A 的坐标为（﹣4，0），点B 的坐标为（0，﹣2），把点A 绕点B 顺时针旋转90°得到的点C 恰好在抛物线y=ax 2上，点P 是抛物线y=ax 2上的一个动点（不与点O 重合），把点P 向下平移2个单位得到动点Q ，则： （1）直接写出AB 所在直线的解析式、点C 的坐标、a 的值；（2）连接OP 、AQ ，当OP+AQ 获得最小值时，求这个最小值及此时点P 的坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得∠QPO=∠OBC ，若不存在，请说明理由；若存在，请你直接写出此时P 点的坐标．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解题分析】解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1．故选B．2、B【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】810 000=8.1×1．故选B．【题目点拨】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3、C【解题分析】试题解析：∵这组数据的众数为7，∴x=7，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，1，7，7，中位数为：1．故选C．考点：众数；中位数.4、B【解题分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．【题目详解】解：设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ．∵A （−2，0），B （0，1）， ∴ ， 解得 ， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ＋1．将直线AB 向右平移1个单位长度后得到的解析式为y ＝2（x−1）＋1，即y ＝2x ＋2，再将y ＝2x ＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y ＝−2x ＋2，即y ＝2x−2，所以直线l 的表达式是y ＝2x−2．故选：B ．【题目点拨】本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键． 5、C【解题分析】解:观察、分析表格中的数据可得：∵课外阅读时间为1小时的人数最多为11人，∴众数为1．∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，第25个和第26个数据的均为2，∴中位数为2．故选C ．【题目点拨】本题考查（1）众数是一组数据中出现次数最多的数；（2）中位数的确定要分两种情况：①当数据组中数据的总个数为奇数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的那个数就是中位数；②当数据组中数据的总个数为偶数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的两个数的平均数是这组数据的中位数.6、A【解题分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】70.00000025 2.510-=⨯，故选：A ．【题目点拨】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7、B【解题分析】一元二次方程的根的情况与根的判别式∆有关，24b ac ∆=-2(42(3)=--⨯⨯-420=>，方程有两个不相等的实数根，故选B8、C【解题分析】试题分析：根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小．因此，在﹣3，0，1这四个数中，﹣3＜0＜1，最大的数是1．故选C ．9、C【解题分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【题目详解】直线l 1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l 2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是：121x y x y -=-⎧⎨-=⎩． 故选C ．【题目点拨】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．10、B【解题分析】∵①(2)2--=；②22--=-；③224-=-；④2(2)4-=；∴上述各式中计算结果为负数的有2个.故选B.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、90【解题分析】【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B 地，设乙车出故障前走了t 1小时，修好后走了t 2小时，根据等量关系甲车用了122133t t ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭小时行驶了全程，乙车行驶的路程为60t 1+50t 2=240，列方程组求出t 2，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B 地的路程.【题目详解】甲车先行40分钟（402603=h ），所行路程为30千米， 因此甲车的速度为304523=（千米/时），设乙车的初始速度为V 乙，则有4452103V ⨯=+乙， 解得：60V =乙（千米/时），因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），设乙车出故障前走了t 1小时，修好后走了t 2小时，则有121260502402145()4524033t t t t +=⎧⎪⎨⨯+++⨯=⎪⎩，解得：12732t t ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 45×2=90（千米），故答案为90.【点评】 本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是关键.12、﹣1 C ．【解题分析】∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的数为x ﹣1，点B 表示的数为2x +1，点C 表示的数为﹣4，∴﹣4﹣（2x +1）=2x +1﹣（x ﹣1）；∴﹣1x =9，x=﹣1．故A表示的数为：x﹣1=﹣1﹣1=﹣6，点B表示的数为：2x+1=2×（﹣1）+1=﹣5，即等边三角形ABC边长为1，数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，∵2016÷1=672，C从出发到2012点滚动672周，∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．故答案为﹣1，C．点睛：此题主要考查了等边三角形的性质，实数与数轴，一元一次方程等知识，本题将数与式的考查有机地融入“图形与几何”中,渗透“数形结合思想”、“方程思想”等,也是一道较优秀的操作活动型问题.13、144 25【解题分析】先求得OD，AE，DE的值，再利用S四边形ODEF=S△AOF-S△ADE即可. 【题目详解】如图，OA’=OA=4，则OD=34OA’=3，OD=3∴AD=1，可得DE=35，AE =45∴S四边形ODEF=S△AOF-S△ADE=12×3×4-12×35×45=14425.故答案为144 25.【题目点拨】本题考查的知识点是三角形的旋转，解题的关键是熟练的掌握三角形的旋转.14、3cm．【解题分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA＝OB＝OD＝OC，由∠AOB＝60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．【题目详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝6cm∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝3cm ，∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝3cm ，故答案为：3cm【题目点拨】本题主要考查矩形的性质和等边三角形的判定和性质，解本题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分． 15、y=2x+1【解题分析】分析：直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．详解：将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y=2x+4-3=2x+1；故答案为y=2x+1．点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．16、58.7210-⨯【解题分析】科学记数法的表示形式为ax10n 的形式，其中1≤lal<10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数.【题目详解】解：0.0000872=58.7210-⨯故答案为：58.7210-⨯【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.三、解答题（共8题，共72分）17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）图见解析，点P 坐标为（2，0）．【解题分析】(1)根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；(2))找出点A 、B 、C 关于原点O 的对称点的位置，然后顺次连接即可；(3)找出A 的对称点A ′，连接BA ′，与x 轴交点即为P ．【题目详解】(1)如图1所示，△A1B1C1，即为所求：(2)如图2所示，△A2B2C2，即为所求：(3)找出A的对称点A′(1，﹣1)，连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示，点P即为所求，点P坐标为(2，0)．【题目点拨】本题考查作图-旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，得出对应点位置是解题关键．18、(1) y＝(x－12)2－2；(2)△POE的面积为115或13；(3)点Q的坐标为(－54，32)或(，2)或，2)．【解题分析】（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得；（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得OPFA=OEFE＝134＝43，即OP=43FA，设点P（t，-2t-1），列出关于t的方程解之可得；（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得．【题目详解】解：（1）把点B(－32，2)代入y＝a(x－12)2－2，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝(x－12)2－2，（2）由y＝(x－12)2－2知A(12，－2)，设直线AB表达式为y＝kx＋b，代入点A，B的坐标得122322k bk b ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得21 kb=-⎧⎨=-⎩，∴直线AB的表达式为y＝－2x－1，易求E(0，－1)，F(0，－74)，M(－12，0)，若∠OPM＝∠MAF，∴OP∥AF，∴△OPE∽△FAE，∴OP OE143FA FE34===，∴OP＝43FA＝43=，设点P(t ，－2t －1)，则()225t 2t 13+--=， 解得t 1＝－215，t 2＝－23， 由对称性知，当t 1＝－215时，也满足∠OPM ＝∠MAF ， ∴t 1＝－215，t 2＝－23都满足条件， ∵△POE 的面积＝12OE·|t|， ∴△POE 的面积为115或13； （3）如图，若点Q 在AB 上运动，过N′作直线RS ∥y 轴，交QR 于点R ，交NE 的延长线于点S ，设Q(a ，－2a －1)，则NE ＝－a ，QN ＝－2a.由翻折知QN′＝QN ＝－2a ，N′E ＝NE ＝－a ，由∠QN′E ＝∠N ＝90°易知△QRN′∽△N′SE ，∴QR N S '＝RN ES '＝QN EN ''，即QR 1＝=2a 12a ES a---=-＝2， ∴QR ＝2，ES ＝2a 12-- ， 由NE ＋ES ＝NS ＝QR 可得－a ＋2a 12--＝2， 解得a ＝－54， ∴Q(－54，32)， 如图，若点Q 在BC 上运动，且Q 在y 轴左侧，过N′作直线RS ∥y 轴，交BC 于点R ，交NE 的延长线于点S.设NE＝a，则N′E＝a.易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，∴QR＝5，SE＝5－a.在Rt△SEN′中，(5－a)2＋12＝a2，解得a＝355，∴Q(－355，2)，如图，若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，过N′作直线RS∥y轴，交BC于点R，交NE的延长线于点S.设NE＝a，则N′E＝a.易知RN′＝2，SN′＝1，QN′＝QN＝3，∴QR5SE5 a.在Rt△SEN′中，5a)2＋12＝a2，解得a 35，∴，2)．综上，点Q 的坐标为(－54，32)或(，2)或，2)． 【题目点拨】 本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．19、（1）243y x x +＝﹣，顶点P 的坐标为21（，﹣）；（2）E 点坐标为22（，）；（3）Q 点的坐标为58（，）. 【解题分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P 的坐标；（2）设2E t （，），根据两点间的距离公式，利用EA EC ＝得到22222123t t ++（﹣）＝（﹣），然后解方程求出t 即可得到E 点坐标；（3）直线2x ＝交x 轴于F ，作2MH x ⊥直线＝于H ，如图，利用12tan NEB ∠＝得到12tan MEQ ∠＝，设243Q m m m +（，﹣），则2412HE m m QH m +＝﹣，＝﹣，再在Rt QHE 中利用正切的定义得到H 1tan HE 2Q HEQ ∠==，即24122m m m +﹣＝（﹣），然后解方程求出m 即可得到Q 点坐标.【题目详解】解：（1）抛物线解析式为13y x x ＝（﹣）（﹣）， 即243y x x +＝﹣， 221y x ＝（﹣）﹣，∴顶点P 的坐标为21（，﹣）； （2）抛物线的对称轴为直线2x ＝，设2E t （，）， EA EC ＝，22222123t t ∴++（﹣）＝（﹣），解得2t ＝，∴E 点坐标为22（，）； （3）直线2x ＝交x 轴于F ，作MN ⊥直线x=2于H ，如图，MEQ NEB ∠∠＝，而BF 1tan EF 2NEB ∠==， 1tan 2MEQ ∴∠=， 设243Q m m m +（，﹣），则22432412HE m m m m QH m ++＝﹣﹣＝﹣，＝﹣， 在Rt QHE 中，H 1tan HE 2Q HEQ ∠==， 24122m m m ∴+﹣＝（﹣），整理得2650m m +﹣＝，解得11m ＝（舍去），25m ＝， ∴Q 点的坐标为58（，）.【题目点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.20、（1）证明见解析；（2）MC=154. 【解题分析】【分析】（1）连接OC ，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【题目详解】（1）连接OC ，∵CN 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CM ，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM ⊥AB ，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；（2）由题意可知AB=5×2=10，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴OD AOBC AC==，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=154，即MC=154．【题目点拨】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.21、（1）200人；（2）补图见解析；（3）分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比为30%；对应扇形的圆心角为108°. 【解题分析】试题分析：（1）用“极高”的人数÷所占的百分比，即可解答；（2）求出“高”的人数，即可补全统计图；（3）用“中”的人数÷调查的学生人数，即可得到所占的百分比，所占的百分比360,⨯即可求出对应的扇形圆心角的度数.试题解析：()15025%200÷=(人).()2学生学习兴趣为“高”的人数为：20050602070---=(人).补全统计图如下:()3分组后学生学习兴趣为“中”的所占的百分比为：60100%30%.200⨯= 学生学习兴趣为“中”对应扇形的圆心角为：30%360108.⨯=22、-1【解题分析】先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a 的取值范围.【题目详解】 解：2211a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ (1)(1)12a a a a a ---=•- 1(1)12a a a a a -+-=•- 2a =， 当2a =-时，原式212-==-． 【题目点拨】 本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.23、（1）甲、乙两种套房每套提升费用为25、1万元；（2）甲种套房提升2套，乙种套房提升30套时，y 最小值为2090万元．【解题分析】（1）设甲种套房每套提升费用为x 万元，根据题意建立方程求出其解即可；（2）设甲种套房提升m 套，那么乙种套房提升（80-m ）套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，再表示出总费用与m 之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论.【题目详解】（1）设乙种套房提升费用为x 万元，则甲种套房提升费用为（x ﹣3）万元，则6257003x x=-， 解得x=1．经检验：x=1是分式方程的解，答：甲、乙两种套房每套提升费用为25、1万元；（2）设甲种套房提升a 套，则乙种套房提升（80﹣a ）套，则2090≤25a+1（80﹣a ）≤2096，解得48≤a≤2．∴共3种方案，分别为：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套．方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套，方案三：甲种套房提升2套，乙种套房提升30套．设提升两种套房所需要的费用为y 万元，则y=25a+1（80﹣a ）=﹣3a+2240，∵k=﹣3，∴当a 取最大值2时，即方案三：甲种套房提升2套，乙种套房提升30套时，y 最小值为2090万元．【题目点拨】本题考查了一次函数的性质的运用，列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用．解答时建立方程求出甲，乙两种套房每套提升费用是关键，是解答第二问的必要过程．24、（1）a=12；（2）OP+AQ 的最小值为P 的坐标为（﹣1，12）；（3）P （﹣4，8）或（4，8）， 【解题分析】（1）利用待定系数法求出直线AB 解析式，根据旋转性质确定出C 的坐标，代入二次函数解析式求出a 的值即可； （2）连接BQ ，可得PQ 与OB 平行，而PQ=OB ，得到四边形PQBO 为平行四边形，当Q 在线段AB 上时，求出OP+AQ 的最小值，并求出此时P 的坐标即可；（3）存在这样的点P ，使得∠QPO=∠OBC ，如备用图所示，延长PQ 交x 轴于点H ，设此时点P 的坐标为（m ，12m 2），根据正切函数定义确定出m 的值，即可确定出P 的坐标．【题目详解】解：（1）设直线AB 解析式为y=kx+b ， 把A （﹣4，0），B （0，﹣2）代入得：402k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：122kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB的解析式为y=﹣12x﹣2，根据题意得：点C的坐标为（2，2），把C（2，2）代入二次函数解析式得：a=12；（2）连接BQ，则易得PQ∥OB，且PQ=OB，∴四边形PQBO是平行四边形，∴OP=BQ，∴5（等号成立的条件是点Q在线段AB上），∵直线AB的解析式为y=﹣12x﹣2，∴可设此时点Q的坐标为（t，﹣12t﹣2），于是，此时点P的坐标为（t，﹣12 t），∵点P在抛物线y=12x2上，∴﹣12t=12t2，解得：t=0或t=﹣1，∴当t=0，点P与点O重合，不合题意，应舍去，∴OP+AQ的最小值为5P的坐标为（﹣1，12）；（3）P（﹣4，8）或（4，8），如备用图所示，延长PQ交x轴于点H，设此时点P 的坐标为（m ，12m 2）， 则tan ∠HPO=2212m OH PH m m ==， 又，易得tan ∠OBC=12， 当tan ∠HPO=tan ∠OBC 时，可使得∠QPO=∠OBC ， 于是，得212m =， 解得：m=±4， 所以P （﹣4，8）或（4，8）．【题目点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。
2018届北京四中高三第一次模拟考试(一模)仿真卷(A卷)理科数学(word版)(解析版)
2018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·马鞍山一模]已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】 ()1i 2i z -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，213i z =+，13i 22z =+，13i 22z =-，z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D ．2．[2018·承德期末]设集合{}2=36M x x <，{}2,4,6,8N =，则M N = （ ） A ．{}24， B ．{}46， C ．{}26， D ．{}246，，【答案】A【解析】()6,6M =-，故{}2,4M N = ．3．[2018·亳州期末]下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概班级 姓名 准考证号 考场号 座位号率是（ ）A ．12B ．13C ．41-πD ．42-π【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S π-π-===-ππ，故选C ． 4．[2018·常德期末]将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种 B ．48种 C ．54种 D ．60种【答案】A【解析】最左端排甲时，有44A 24=种排法；最左端排乙时，有333A 18= 种排法，所以共有241842+=种排法，选A ．5．[2018·汕头期末]如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）A ．323π B ．643π C ．32π D ．6423π 【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同． 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形， 可得底面三角形外接圆的半径为2r =， 由棱柱高为4，可得22OO =， 故外接球半径为222222R =+=，故外接球的体积为()346422233V =π⨯=π．选D ． 6．[2018·遵义一模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知ABC △的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC △的欧拉线方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y -+= C ．230x y --= D ．230x y -+=【答案】D【解析】线段AB 的中点为M （1，2），k AB =﹣2，∴线段AB 的垂直平分线为：y ﹣2=12（x ﹣1），即x ﹣2y +3=0．∵AC =BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线的方程为：x ﹣2y +3=0．故选：D ．7．[2018·乌鲁木齐一模]执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．4097B ．9217C ．9729D ．20481【答案】B【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：0129122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯ ， 则123102122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯ ，以上两式作差可得：10191012012222210210212S --=++++-⨯=-⨯- ， 则：109219217S =⨯+=．本题选择B 选项．8．[2018·乌鲁木齐一模]已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0A >，0ω>，2ϕπ<）的部分图象如图所示，若()32f α=，则sin 26απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．34-B ．18-C ．18D ．13【答案】B【解析】由函数图象可知：2A =，函数的最小正周期：724263T ππ⎛⎫=⨯-=π ⎪⎝⎭，则21T ωπ==，当23x π=时，()212,2326x k k k ωϕϕϕπππ+=⨯+=π+∴=π-∈Z ， 令0k =可得6ϕπ=-，函数的解析式：()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 由()32f α=可得：332sin ,sin 6264ααππ⎛⎫⎛⎫-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则： 2π91sin 2sin 2cos 212sin 1263236168ααααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．本题选择B 选项．9．[2018·中山期末]已知实数ln22a =，ln33b =，ln55c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】B【解析】∵ln3ln22ln33ln2ln9ln803266b a ---=-==>，∴b a >； 又ln2ln55ln22ln5ln32ln250251010a c ---=-==>，∴a c >， ∴b ac >>，即c a b <<．选B ．10．[2018·佛山一模]如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1111,B C C D 的中点，点P 是底面1111A B C D 内一点，且AP ∥平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是（ ）A ．22B ．1C ．2D ．22【答案】D【解析】由题意可得，点P 位于过点A 且与平面EFDB 平行的平面上， 如图所示，取1111,A D A B 的中点,G H ，连结,,,GH AH AG GE ，由正方形的性质可知：EF GH ∥，由ABEG 为平行四边形可知AG BE ∥， 由面面平行的判定定理可得：平面AGH ∥平面BEFD ， 据此可得，点P 位于直线GH 上，如图所示，由1AA ⊥平面1111A B C D 可得11AA A P ⊥， 则111tan AA APA A P∠=，当1tan APA ∠有最大值时，1A P 取得最小值， 即点P 是GH 的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时1tan APA ∠的值是22．本题选择D 选项．11．[2018·防城港一模]已知双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12F F 、，过点2F 的直线交双曲线右支于A B 、两点，若1ABF △是等腰三角形，120A ∠=︒．则1ABF △的周长为（ ） A ．()221-B ．4343+ C ．8343+ D ．8383+ 【答案】C【解析】双曲线的焦点在x 轴上，则1,22a a ==；设2AF m =，由双曲线的定义可知：1222AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：22BF =，又1212,4BF BF BF -=∴=，1ABF △由正弦定理有：11sin120sin30BF AF =︒︒，则113BF AF =，即：()432m =+，解得：4323m =-， 则△ABF 1的周长为：()438342242433m ++=+⨯=+． 本题选择C 选项．12．[2018·南允一模]已知函数()23e x f x -=，()1ln 42xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．1ln22+B ．ln2C ．12ln22+D ．2ln2【答案】A【解析】设()()f m g n t ==，()23e x f x -= ，()1ln 42x g x =+，()231e ln 042m xt t -∴=+=>， 1423ln e2t n m t -∴-==，，ln 32t m +∴=，142e t n -=，()14ln 32e 02t t n m t -+-=->，令()()14ln 32e02t t h t t -+=->，则()()1412e 02t h t t t --'=>，()1'4212e 02t h t t-⎡⎤∴=+>⎣'⎦， ()h t ∴'在()0+∞，上为增函数，且104h ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，当14t >时，()0h t '>，当104t <<时，()0h t '<， ()h t ∴在104⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，∴当14t =时，()h t 取得最小值，此时11441ln 31142eln 2422h -+⎛⎫=⨯-=+ ⎪⎝⎭，即n m -的最小值为1ln 22+，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·赣州期末]已知向量()12,a k = ，()1,14b k =- ，若a b ⊥，则实数k =__________． 【答案】6-【解析】由题意，()121140k k -+=，则6k =-．14．[2018·福州质检]ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3c o s c o s ,60a C c Ab B -==︒，则A 的大小为__________． 【答案】75︒【解析】由()3cos cos a C c A b -=，根据正弦定理得()3sin cos sin cos sin A C C A B -=，即()33sin 2A C -=，()1sin 2A C -=，1306A C -=π=︒，又180120A CB ︒-=︒+= ，2150A ∴=︒，75A =︒，故答案为75︒．15．[2018·黄山一模]已知直线:l (0)x my n n =+>过点()53,5A ，若可行域30 0x my nx y y +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥的外接圆直径为20，则n =_____． 【答案】103【解析】由题意知可行域为图中△OAB 及其内部，解得()2,0,(53)25B n AB n =-+，又3tan 3AOB ∠=，则∠AOB =30°，由正弦定理得2sin 20sin3010AB R AOB =∠=⨯︒=，解得103n =．故答案为：103．16．[2018·沙市中学] “求方程34155x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的解”有如下解题思路：设()3455x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在R 上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，不等式()()63222x x x x -+>+-的解集是__________． 【答案】()(),12,-∞-⋃+∞【解析】不等式x 6﹣（x +2）＞（x +2）3﹣x 2变形为， x 6+x 2＞（x +2）3+（x +2）； 令u =x 2，v =x+2，则x 6+x 2＞（x +2）3+（x+2）⇔u 3+u ＞v 3+v ； 考查函数f （x ）=x 3+x ，知f （x ）在R 上为增函数， ∴f （u ）＞f （v ），∴u ＞v ；不等式x 6+x 2＞（x +2）3+（x +2）可化为x 2＞x +2，解得x ＜﹣1或x ＞2； ∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·梅河口五中]已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+，且2a ，5a ，10a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若151n n n b a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）25n a n =+；（2）214541449n n nT n +=+．【解析】（1）当2n ≥时，121n n n a S S n p -=-=-+，当1n =时，111a S p ==+，也满足21n a n p =-+，故21n a n p =-+， ∵2510,,a a a 成等比数列，∴()()()23199p p p ++=+， ∴6p =．∴25n a n =+． （2）由（1）可得()()155511111252722527n n n b a a n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪⋅++++⎝⎭，∴2511111151454279911252714491449n n n nT n n n n n n +⎛⎫=+-+-+⋯+-=+= ⎪++++⎝⎭． 18．[2018·四川联考]某单位鼓励员工参加健身运动，推广了一款手机软件，记录每人每天走路消耗的卡路里；软件的测评人员从员工中随机地选取了40人（男女各20人），记录他们某一天消耗的卡路里，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路消耗卡路里超过180千卡被评测为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题中数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有99%以上把握认为“评定类型”与“性别”有关？（2）若测评人员以这40位员工每日走路所消耗的卡路里的频率分布来估计其所有员工每日走路消耗卡路里的频率分布，现在测评人员从所有员工中任选2人，其中每日走路消耗卡路里不超过120千卡的有X 人，超过210千卡的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望． 附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.7063.8415.0246.635【答案】（1）有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关；（2）58．【解析】（1）由题意完成2×2列联表如下：积极型 懈怠型 总计 男 15 5 20 女 5 15 20 总计202040则()224015155510>6.63520202020K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，故有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关．（2）任选一人，由题知：每日走路消耗卡路里不超过120千卡的概率为18，超过210千卡的概率为14，所以ξ的分布列为：ξ 012P29643064564则数学期望为：()2930550126464648E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．[2018·长春一模]如图，已知AB BC ⊥，BE CD ∥，90DCB ∠=︒，平面BCDE ⊥平面ABC ，2AB BC BE ===，4CD =，F 为AD 中点．（1）证明：EF ⊥平面ACD ；（2）求直线CE 与平面ABD 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1010． 【解析】（1）证明：设AC 中点为G ，连,FG BG ， ∵F 为AD 中点，∴1,2FG DC FG DC =∥， 又由题意BE CD ∥，12BE CD = ∴EB FG ∥，且EB FG =，∴四边形BEFG 为平等四边形，∴，EF BG ∥ ∵90DCB ∠=︒ ∴DC BC ⊥，又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE 平面ABC BC =，DC ⊂平面BCDE ， ∴DC ⊥平面ABC ．又BG ⊂平面ABC ，∴DC BG ⊥，∴DC EF ⊥， 又AB BC =，∴AC BG ⊥，∴AC EF ⊥，∵AC DC C = ，AC ⊂平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， ∴EF ⊥平面ACD ．（2）以点B 为原点，以BA 方向为x 轴，以BC 方向为y 轴，以BE 方向为z 轴，建立如图所示坐标系()0,0,0B ，()0,0,2E ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,2,4D ，设平面ABD 的法向量(),,n x y z = ，则0n BA n BD ⋅=⋅⎧⎨⎩= ，∴20240x y z =+=⎧⎨⎩取1z =，()021n =- ，，，()0,2,2CE =- ，∴cos ,CE n CE n CE n ⋅〈〉==4231010225+=⨯， 设直线CE 与平面ABD 所成角为θ，则310sin 10θ=，∴10cos 10θ=，即直线CE 与平面ABD 所成角的余弦值1010．20．[2018·泰安期末]已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，焦距为23． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线():2l y x m m =+∈R 与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交y 轴交于点M ，若tan 22AMB ∠=-，求m 的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1m =或1m =-．【解析】（1）由题意得223c =，所以3c =，又点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以：222231413a b b a +==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 整理得：42419120a a -+=，解得：24a =或234a =（舍），∴21b =， ∴椭圆的标准方程为：2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 中点坐标()()330,,0,C x y M y ，由222 1,4y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩整理得：22982440x mx m ++-=， ∴()()222824944144160m m m ∆=-⨯⨯-=->， ∴29m <，又12829m x x +=-，212449m x x -⋅=，∴1234229x x mx +==-， ∴3329my x m =+=， ∴线段AB 的中点C 坐标为42,99m m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭又()21212AB x x =+- 24399m =-， ∴22399AC m =-， 又0194229MCmy k m -==-，∴03m y =-， ∴点M 坐标为0,3m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()02133m mMC ⎛⎫⨯+-⋅-+ ⎪⎝⎭= 439m =， ∵CM 垂直平分AB ， ∴2AMB AMC ∠=∠， 又22tan tan 221tan AMCAMB AMC∠∠==--∠，解得tan 2AMC ∠=或2tan 2AMC ∠=-（舍），∴在Rt AMC ∆中，AC AMC MC ∠==22239992439m m m m --=， ∴2922m m-=，∴2298m m -=， ∴1m =或1m =-．21．[2018·河西一模]已知函数()()223e x f x x ax a =+--． （1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值．（2）设0a <，当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5a =-；（2）[)e 2,0--． 【解析】（1）由()()223e x f x x ax a =+--可得：()()()()222e 23e 23e x x xf x x a x ax a x a x a ⎡⎤=+++--=++--⎣⎦'，∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴()20f '=， ∴()25e 0a +=，计算得出5a =-．代入()()()()()31e 21e x x f x x a x x x =++=--'-， 当12x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>， ∴2x =是()f x 的极值点．∴5a =-．（2）当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方， 等价于[]1,2x ∈，()2e f x ≤恒成立， 即[]1,2x ∈，()2max e f x ≤恒成立， 由（1）知，()()()31e x f x x a x =++-'， 令()0f x '=，得13x a =--，21x =，①当5a -≤时，32a --≥，∴()f x 在[]1,2x ∈单调减，()()()2max 12e e f x f a ==--≤，e 2a --≥与5a -≤矛盾，舍去．②当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在()1,3x a ∈--上单调递减，在()3,2x a ∈--上单调递增，∴()max f x 在()1f 或()2f 处取到，()()12e f a =--，()22e f =，∴只要()()212e e f a =--≤， 计算得出e 24a --<-≤． ③当40a -<≤时，31a --≤，()f x 在[]1,2x ∈上单调增，()()2max 2e f x f ==，符合题意，∴实数a 的取值范围是[)e 2,0--．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·皖西质检]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为212 (22x t t y t =-⎪=⎧⎪⎨⎪⎪⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=； （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交点分别为,A B ，点()1,0P ，求11PA PB+的值． 【答案】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；（2）143． 【解析】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；（2）将21222x t y t ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程，得223=0t t +-，()2121212414t t t t t t ∴-=+-=，121211143t t PA PB t t -∴+==． 23．[2018·湖北联考]已知函数()2121f x x x =-++． （1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数,a b 满足113a b+=，求证：2212m a b +≥．【答案】（1）2；（2）见解析．【解析】（1）()()212121212x x x x -++--+=≥当且仅当1122x -≤≤时，等式成立．（2）2221211112a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥则22122a b +≥，当且仅当2b a =时取，等号成立．。
北京四中高三理科数学测试卷及答案
北京四中高三数学测试卷(理)试卷满分共计150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．若，，则（）A．B．C．D．2．等比数列中，，前3项之和，则数列的公比为（）A．1B．C．1或D．或3．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．4．对任意复数（），为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．5．若偶函数满足当时，，则（）A．B．C．D．6．已知函数，下面结论错误的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数C．函数的图象关于轴对称D．函数是奇函数7．设，若，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．给出下列三个命题：①若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数；②若函数,，则函数与的图象关于直线对称;③函数与是同一函数。
其中真命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．=__________。
10．若为第三象限角，且，则__________。
11．若二次函数满足，且，则实数的取值范围是___。
12．函数的单调减区间是__________，极小值是__________。
13．、是等腰直角斜边上的三等分点，则__________。
14．已知：数列满足，（），。
，则该数列前10项和为__________；②若前100项中恰好含有30项为0，则的值为__________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分15．（本小题满分13分）已知：函数（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为。
（1）求：的解析式；（2）当，求：的值域。
16．（本小题满分13分）已知：函数。
（1）求：的单调区间；（2）若时，设函数图象上任意一点处的切线的倾斜角为，求：的取值范围。
17．（本小题满分13分）已知：对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中（），（1）若数列的通项公式（），求：的通项公式；（2）若数列的首项是1，且满足，①设，求：数列的通项公式；②求：的前n项和。
北京四中高三数学第一次模拟考试(理科卷)
北京四中高三数学第一次模拟考试（理科卷）2018年度第I 卷（选择题）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
）1．若集合{},,0|B B A y y A =≥= 则集合B 不可能是（ ）A ．{}0,|≥=x x y y B ．{}0,lg |>=x x y y C ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=R x y y x ,21| D ．φ 2．已知平面向量()1,2-=a ，()23,732-=+m b a ，且a ∥b ，则=-b a 62 （ ）A ．()4,2--B ．()6,3--C ．()1,2-D ．()5,10-3．下列命题中是全称命题，并且是真命题的是（ ）A. 每一个二次函数的图像都是开口向上.B. 存在一条直线与两个相交平面都垂直.C. 存在一个实数，使0632<+-x x . D. 对任意0≤c ，若c b a +≤则b a ≤.4.已知函数f （x ）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式可能为 （ ） A ．f （x ）=2cos （23x π-）B ．f （x ）=2cos （44x π+） C ．f （x ）=2sin （26x π-）D ．f （x ）=2sin （44x π+） 5．设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是（ ）A .()()3,13,-+∞B .()()3,12,-+∞C .()()1,13,-+∞D .()(),31,3-∞-6.如下图所示是一个半径等于2的半球,现过半球底面的中心作一个与底面成80°角的截面,则截面的面积为（ ）A ．2π B ．π C ．π2 D ． 80sin π 7．给出下列四个命题：①若0>>b a ，则b b a a 11->-；②已知0>h ，R b a ∈,则h b a 2<-是h a <-1且h b <-1的必要不充分条件③若0>>b a ，则ba b a b a >++22；④若+∈R x ，则xx y 822+=的最小值为8；真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8.已知两条互不重合直线a ，b ，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是A ．若a//α,b//β，且a//b ，则α//βB ．若a⊥α,b//β，且a⊥b，则α⊥βC ．若a⊥α,b//β,且a//b ，则α//βD ．若a⊥α,b ⊥β，且a⊥b，则α⊥β9．定义域为R 的函数)(x f 对任意x 都有)4()(x f x f -=，且其导函数)('x f 满足0)()2('>-x f x ，则当42<<a 时，有（ ）A ．)(log )2()2(2a f f f a <<B ．)(log )2()2(2a f f f a <<C ．)2()(log )2(2a f a f f <<D ．)2()2()(log 2f f a f a <<10.如图，在体积为V 1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V ，有如下四个命题；①BD 1=AB 3;②BD 1与底面ABCD 所成角是45°； ③π231=V V ；④MN//平面D 1BC 。
2020届高三第一次统测数学
北京四中xx 届高三第一次统测数学(试卷满分150分，时间120分钟)一、选择题(每小题4分，共56分)1.(理)设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 等于( ) A.{1} B.∅ C.∅或{1} D.∅或{2}2.(理)函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是( )A.(-31，+∞)B.(-31，1) C.(-31，31) D.(-∞，-31)3.(理)函数y=132-x (-1≤x<0)的反函数是( )A.y=-x 3log 1+(31<x ≤1) B.y=-x 3log 1+(x ≥31) C.y=x 3log 1+(31<x ≤1) D.y=x 3log 1+(x ≥31)4.(理)已知函数在f(x)=log sin1(x 2-6x+5)在(a ，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围为( )A.(5，+∞)B.[5，+∞)C.(-∞，3)D.(3，+∞)5.(理)设m ，n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是( )A.m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βB.α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nC.α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥nD.α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ⇒n ⊥β 6.(理)已知直线m ，n 和平面α，那么m ∥n 的一个必要但非充分条件是( ) A.m ∥α，n ∥α B.m ⊥α，n ⊥α C.m ∥α且n ⊂α D.m ，n 与α成等角 7.(理)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为棱AB 的中点，则直线C 1E 与平面ACC 1A 1所成角的正切值为( )A.62 B.42C.1717D.178.(理)设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为( ) A.±4 B.±22 C.±2 D.±29.(理)若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为( ) A.-2 B.2 C.-4 D.410.(理)已知双曲线22ax -y 2=1(a>0)的一条准线与抛物线y 2=-6x 的准线重合，则该双曲线的离心率为( ) A.332 B.23C.26D.23 11.(理)在(31xx +)24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项12.(理)显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有( ) A.10 B.48 C.60 D.80 13.(理)设S n 是无穷等比数列的前n 项和，若∞→n lim S n =41，则首项a 1的取值范围是( ) A.(0，41) B.(0，21) C.(0，41)∪(21,41) D.(0，41)∪(21，0)14.(理)已知函数f(x)=2+log 3x(1≤x ≤9)，则函数y=[f(x)]2+f(x 2)的最大值为( )A.6B.13C.22D.33 二、填空题(每小题5分，共40分) 15.(理)已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m=_______________16.设g(x)=⎩⎨⎧>≤,0,ln ,0,x x x e x 则g[g(21)]=___________________.17.(理)设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2+1>0的解集是R ，②函数f(x)=log m x 是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是____________________. 18.(理)要得到函数y=3f(2x+41)的图像，只须将函数y=3f(2x)的图像向_____________移动________________个单位.19.如图，将正方形按ABCD 沿对角线AC 折成二面角D-AC-B ，使点B 、D 的距离等于AB 的长.此时直线AB 与CD 所成的角的大小为____________________.20.(理)椭圆ax 2+by 2=1与直线y=-x+1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线斜率为22，则ba=______________. 21.已知A 箱内有1个红球和5个白球，B 箱内有3个白球，现随意从A 箱中取出3个球放入B 箱，充分搅匀后再从中随意取出3个球放人4箱，共有_________种不同的取法，又红球由A 箱移人到B 箱，再返回到A 箱的概率等于___________.22.定义在(-∞，+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图像关于直线x=1对称； ③f(x)在[0，1]上是增函数； ④f(2)=f(0).其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上)三、解答题23.(本小题13分)(理)已知函数f(x)=2x -1的反函数为f -1(x)，g(x)=log 4(3x+1) (1)用定义证明f -1(x)在定义域上的单调性； (2)若f -1(x)≤g(x)，求x 的取值集合D ； (3)设函数H(x)=g(x)-21f -1(x)，当x ∈D 时，求函数H(x)的值域.24.(本小题13分) (理)设点P(x ，y)(x ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M(21，0)的距离比点P 到x 轴的距离大21. (1)求点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线； (2)若直线l 与点P 的轨迹相交于A 、B 两点，且OB OA•=0，点O 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.25.(本小题14分)(理)某人居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.(例如：A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为51，路段CD 发生堵车事件的概率为81)(1)请你为其选择一条由A 到B 的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线)，使得途中发生堵车事件的概率最小；(2)若记路线A →C →F →B 中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E ξ. 26.(本小题14分)(理)如图，矩形ABCD ，|AB|=1，|BC|=a ，PA ⊥面ABCD 且|PA|=1(1)BC 边上是否存在点Q ，使得FQ ⊥QD ，并说明理由； (2)若BC 边上存在唯一的点Q 使得FQ ⊥QD ，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角的正弦值；(3)在(2)的条件下，求二面角Q-PD-A 的正弦值.北京四中xx 届高三第一次统测数学参考答案一、选择题(每小题4分，共56分)1. (理)C 【解析】本题考查了映射的概念及集合的交集运算，属基础知识考查。
高考最新-北京四中一模-数学(理科) 精品
北京四中2018年数学第一次统测（理科）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（每小题5分）1. 已知等于（）A、B、C、D、2. 已知与垂直时，的值为（）A、B、C、D、3. 函数图象的一条对称轴方程是则直线的倾斜角为（）A、B、C、D、4. 已知平面，直线，直线，有下面四个命题：(1) ∥，(2) ∥，(3) ∥，(4) ∥.其中正确的是（）A、(1)与(2)B、(3)与(4)C、(1)与(3)D、(2)与(4)5. 设，函数，则使成立的的取值范围是（）A、B、C、D、6. 若，则的值为（）A、B、C、D、7. P(x，y)是曲线上任意一点，则的最大值是（）A、36B、6C、26D、258. 等差数列中，若其前项的和，前项的和，则（）A、B、C、D、二、填空题：（每小题5分）9. 若复数，则_________，_________。
10. 函数中，________是奇函数，________是偶函数.11. 若是奇函数，在时，则时的解析式是_______，________.12. 已知是抛物线上的动点，定点A（0，-1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是________，它的焦点坐标是________．13. 如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n ；（2）表中的递推关系类似杨辉三角.则第n行（n≥2）第2个数是________.14. 设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1D，存在唯一的x2D使（C为常数）成立，则称函数f(x)在D上的均值为C. 给出下列四个函数：（1），（2）y=sinx，（3）y=lgx,（4）y=3x，则均值为2的函数为________.答题纸分层教学班________姓名________学号________一、选择题：（每小题5分）二、填空题：（每小题5分）三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15. （本小题满分13分）当且时，解关于的不等式：16. （本小题满分13分）某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未击中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三射击，此时目标已在200m处，若第三次命中记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分。
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北京四中2005年数学第一次统测（理科）
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
一、选择题：（每小题5分）
1. 已知等于（）
A、B、C、D、
2. 已知与垂直时，的值为（）
A、B、C、D、
3. 函数图象的一条对称轴方程是则直线
的倾斜角为（）
A、B、C、D、
4. 已知平面，直线，直线，有下面四个命题：
(1) ∥，(2) ∥，
(3) ∥， (4) ∥.
其中正确的是（）
A、(1)与(2)
B、(3)与(4)
C、(1)与(3)
D、(2)与(4)
5. 设，函数，则使成立的的取值范围是（）
A、B、C、D、
6. 若，则的值为（）
A、B、C、D、
7. P(x，y)是曲线上任意一点，则的最大值是（）
A、36
B、6
C、26
D、25
8. 等差数列中，若其前项的和，前项的和
，则（）
A、B、C、D、
二、填空题：（每小题5分）
9. 若复数，则_________，_________。
10. 函数中，________是奇函数，________是偶函数.
11. 若是奇函数，在时，则时的解析式是_______，________.
12. 已知是抛物线上的动点，定点A（0，-1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是________，它的焦点坐标是________．
13. 如下图，它满足：
（1）第n行首尾两数均为n ；
（2）表中的递推关系类似杨辉三角.
则第n行（n≥2）第2个数是________.
14. 设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1D，存在唯一的x2D使
（C为常数）成立，则称函数f(x)在D上的均值为C. 给出下列四个函数：（1），（2）y=sinx，（3）y=lgx,（4）y=3x，则均值为2的函数为________.
答题纸
分层教学班________ 姓名________ 学号________
一、选择题：（每小题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题：（每小题5分）
9 10
11 12
13 14
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
15. （本小题满分13分）
当且时，解关于的不等式：
16. （本小题满分13分）
某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未击中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三射击，此时目标已在200m处，若第三次命中记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分。
已知射手甲在100m处击中目标的概率为，他的命中率与距离的平方成反比，且各次射击都是独立的，设这位射手在这次射击比赛中的得
分数为。
（I）求的分布列；
（II）求的数学期望。
17. （本小题满分13分）
如图，分别是正方体的棱上的点.
（1）若，求证：无论点在上如何移动，总有；
（２）若，且平面，求二面角的大小.
18. （本小题满分14分）
已知数列中，，数列对任何都有.
（1）求证为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）设数列的前项和为，求.
19. （本小题满分13分）
已知为常数，函数.
（１）若，求证：函数在其定义域内是增函数；
（２）若，试求函数的单调递减区间.
20. （本小题满分14分）
已知双曲线C:的离心率为，焦点到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线C的左支交于两点，求的取值范围；
（3）若另一条直线经过点及线段的中点，求直线在轴上的截距的取值范围.
答题纸
分层教学班________ 姓名________ 学号________
一、选择题：（每小题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C A A A B
二、填空题：（每小题5分）
9 i 10 h(x) g(x) ，f(x)
11 f(x)=sin2x-cosx 12 18x2-3y－1＝0
（0 , ）13 14 (3)
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分13分）
当且时，解关于的不等式：
解：当时，
当时，
16．（本小题满分13分）
某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未击中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三射击，此时目标已在200m处，若第三次命中记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分。
已知射手甲在100m处击中目标的概率为，他的命中率与距离的平方成反比，且各次射击都是独立的，设这位射手在这次射击比赛中的得
分数为。
（I）求的分布列；
（II）求的数学期望。
解：（I）设在m处击中目标的概率为，
则依题意有，
又由题意知：，所以，则，……………3分
从而在150m处击中目标的概率为，……………5分
在200m处击中目标的概率为. ……………6分
于是，
，，……………9分
从而的分布列如下：
0 1 2 3
P
……………10分
（II）……………13分
17．（本小题满分13分）
如图，分别是正方体的棱上的点.
（1）若，求证：无论点在上如何移动，总有；
（２）若，且平面，求二面角的大小.
（I）证法一：连AC、BD，则BD⊥AC，
∵，∴MN//AC，∴BD⊥MN.
又∵DD
1⊥平面ABCD，∴DD
1
⊥MN，
∴MN⊥平面BDD
1
.
∵无论点P在DD
1上如何移动，总有BP平面BDD
1
，
故总有MN⊥BP.
证法二：连结AC、BD，则AC⊥BD.
∵，∴MN//AC，∴ MN⊥BD，又PD⊥平面ABCD，由三垂线定理得：MN⊥PB.
（II）解法一：过P作PG⊥C
1C交CC
1
于G，连BG交B
1
N于O
1
，
∵PB⊥平面B
1MN，∴PB⊥B
1
N.
又∵PG⊥平面B
1BCC
1
，∴ BG⊥B
1
N，∴ΔBB
1
N≌ΔBCG，∴ BN=CG，NC=GC
1
，
∴BN∶NC=DP∶PD
1
=2∶1.
同理BM∶MA=DP∶PD
1
=2∶1.
设AB=3a, 则BN=2a, ∴,
,
连MO
1，∵AB⊥平面B
1
BCC
1
，∴ MO
1
⊥B
1
N，
∵∠MO
1B就是二面角M-B
1
N-B的平面角，
，∴.
解法二：设BD与MN相交于F，连结B
1
F，
∵PB⊥平面MNB
1，∴ PB⊥B
1
F，PB⊥MN，
∴在对角面BB
1D
1
D内，ΔPBD∽ΔBB
1
F，
设BB
1=DD
1
=3，则PD=2，，∴，即，故
.
∵MN⊥PB，由三垂线定理得MN⊥BD，MN//AC，MN=2BF=， BN=2，
.
设二面角B-B
1
N-M的平面角为α，则
，
.
18．（本小题满分14分）
已知数列中，，数列对任何
都有.
（1）求证为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）设数列的前项和为，求.
证明：（1）
(2)
(3)
19．（本小题满分13分）
已知为常数，函数.
（1）若，求证：函数在其定义域内是增函数；（2）若，试求函数的单调递减区间.
（1）证明
（2）解：
①
②
故f(x)在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上也为减函数
又函数f(x)在x=0处连续，故f(x)的减区间仍为（-∞，+∞）
③当-1<a<0时，原函数的单调减区间为
20．（本小题满分14分）
已知双曲线C:的离心率为，焦点到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线C的左支交于两点，求的取值范围；
（3）若另一条直线经过点及线段的中点，求直线在轴上的截距的取值范围.
解：设，将直线代入双曲线，得
，因与左支交于两点，则
，解得.
的中点为，即
直线的方程为，令，得，。