2011高考排列组合二项式定理精讲
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。
此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。
此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
安徽省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(11)排列组合二项式定理 新人教版.doc
安徽省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第11部分:排列组合一、选择题：9. (安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测理科)世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到A 、B 、C 三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到A 馆，则不同的分配方案有A.36种B. 30种C. 24种D. 20种9.C 【解析】可分甲在B 馆或C 馆两种情形：1）甲在B 馆乙在A 馆，则丙丁选一人在C 馆，余一人任意分到三个馆中之一，若用1123C A ⋅来表示是欠妥的，因为上述的算法包含了“丙丁”、“丁丙”相同的分法，所以应有112315C A ⋅-=种。
乙在B 馆，则丙丁分别在A,C 馆中，共有222A =; 乙在C 馆，则丙丁选一人在A 馆，余一人任意分到三个馆中之一，共有112315C A ⋅-=；此时共有()1122321212C A A ⋅-⨯+=种。
2）同理，甲在C 馆共有()1122321212C A A ⋅-⨯+=种. 10．(安徽省2011年“江南十校”高三联考理科)在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567,,,,,,a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有（ ）A ．576B ．720C ．864D ．115210. C. 解析：先让数字1，3，5，7作全排列，有4424A =种，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6[来 有3种排法，最后排数字2，4，在剩下的4个空隙中排上2，4，有24A 种排法，共有 42443864A A ⨯⨯=种，故选C. 9. (安徽省安庆市2011年高三第二次模拟考试理科)若(x ＋a )2(x1－1)5的展开式中常数项为－1，则的值a 为( D )A .1B .8C .－1或－9D .1或9二、填空题：11. (安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测理科)关于x 的二项式41(2)x x -展开式中的常数项是11. 24【解析】()()44421441221r r r r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以展开式中的常数项为()2242342124.T C -=-=。
排列组合与二项式定理知识点精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版排列与组合一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。
排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。
全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕（二）组合定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示组合数公式：变式：组合数的两个性质：1、三、二项式定理1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和： 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。
高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
高考理科数学二轮专题复习课件专题六排列组合二项式定理
公式适用条件不清
此外，若对排列组合和二项式定理公式的适用条件不清晰，也可能导致误用。例如，在求解某些需要 运用二项式定理展开式的问题时，若未注意到展开式的适用条件（如指数为正整数、变量可任意取值 等），则可能出现误用的情况。
结合其他知识点综合考察应对策略
与概率统计结合
在概率统计问题中，有时需要利用二项式定理来求解某些概率值或期望值等。这时可以结合概率统计的相关知识，利 用二项式定理进行求解。
与数列结合
数列与二项式定理之间有着密切的联系。在解决某些数列问题时，可以利用二项式定理来求解数列的通项公式或求和 公式等。
与不等式结合
在某些不等式问题中，可以利用二项式定理来证明某些不等式或求解某些最值问题等。这时可以结合不 等式的相关知识，利用二项式定理进行求解。
排列组合和二项式定理易错点
05
剖析
重复计数和漏计数情况分析
重复计数
在排列组合问题中，若未对元素进行正确分类或未注意到元素的特殊性，可能导致重复计数。例如，在求解某些 具有特殊条件（如元素相邻或不相邻）的排列问题时，若未采用合理的方法（如插空法、捆绑法等），则可能出 现重复计数的情况。
系数和性质
二项式定理展开式中所有项的系数之和等于$2^n$，即 $(a+b)^n$展开后所有项的系数之和为$2^n$。
二项式定理性质总结
线性性质
若将二项式中的$a$和$b$分别替换为另外两个二项式的 和，则新的二项式仍然可以按照二项式定理进行展开。
2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题30 排列组合、二项式定理【理】(学生版)
专题30排列组合、二项式定理【理】年份题号考点考查内容2011理8二项式定理二项式定理的应用，常数项的计算2012理2排列与组合简单组合问题2013卷1理9二项式定理二项式定理的应用以及组合数的计算卷2理5二项式定理二项式定理的应用2014卷1理13二项式定理二项式展开式系数的计算卷2理13二项式定理二项式展开式系数的计算2015卷1理10二项式定理三项式展开式系数的计算卷2理15二项式定理二项式定理的应用2016卷1理14二项式定理二项式展开式指定项系数的计算卷2理5排列与组合计数原理、组合数的计算卷3理12排列与组合计数原理的应用2017卷1理6二项式定理二项式展开式系数的计算卷2理6排列与组合排列组合问题的解法卷3理4二项式定理二项式展开式系数的计算2018卷1理15排列与组合排列组合问题的解法卷3理5二项式定理二项式展开式指定项系数的计算2019卷3理4二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2020卷1理8二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数卷3理14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2021年预测考点102两个计数原理的应用23次考2次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点103排列问题的求解23次考0次考点104组合问题的求解23次考4次考点105排列与组合的综合应用23次考2次考点106二项式定理23次考11次十年试题分类考点102两个计数原理的应用1．(2016全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．92．(2014新课标理1理)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A ．18B ．38C ．58D ．783．(2012湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4位回文数有个；(Ⅱ)21()n n ++∈N 位回文数有个．4．(2011湖北理)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有种，(结果用数值表示)考点103排列问题的求解5．(2016四川理)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A ．24B ．48C ．60D ．726．(2015四川理)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．(2015广东理)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．(用数字作答)8．(2014北京理)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种．9．(2013北京理)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是．10．(2013浙江理)将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．考点104组合问题的求解11．【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种12．(2018全国Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．11813．(2017山东理)从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518B ．49C ．59D ．7914．(2014广东理)设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为()A ．60B ．90C ．120D ．13015．(2014安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对16．(2013山东理)用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为A ．243B ．252C ．261D ．27917．(2012新课标理)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种18．(2012浙江理)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种19．(2012山东理)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是A ．232B ．252C ．472D ．48420．【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．21．(2018全国Ⅰ理)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．(用数字填写答案)22．(2014广东理)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．23．(2014江西理)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．24．(2013新课标2理)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n =________．25．(2011湖北理)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有种，(结果用数值表示)考点105排列与组合的综合应用26．【2020全国Ⅱ理14】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．．27．(2017新课标理Ⅱ理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种28．(2018浙江理)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．(用数字作答)29．(2017浙江理)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．(用数字作答)30．(2017天津理)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．(用数字作答)31．(2014浙江理)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种(用数字作答)．考点106二项式定理32．【2020全国Ⅲ理14】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是(用数字作答)．33．【2020浙江卷12】设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =；123a a a ++=．34．【2020天津卷11】在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．35．(2020全国Ⅰ理8)()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．2036．【2020北京卷3】在)52-的展开式中，2x 的系数为()A ．5-B ．5C ．10-D ．1037．(2019全国I 理II 理4)(1+2x 2)(1+x)4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．2438．(2019浙江理13)在二项式9)x +的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______．39．(2018全国Ⅲ理)252()x x+的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8040．(2017新课标Ⅰ理)621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．3541．(2017新课标Ⅲ理)5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．8042．(2016四川理)设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含4x 的项为A ．－154xB ．154xC ．－204ixD ．204ix43．(2015湖北理)已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A ．122B ．112C ．102D ．9244．(2015陕西理)二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =A ．4B ．5C ．6D ．745．(2015湖南理)已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =A B ．C ．6D ．－646．(2014浙江理)在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则(3,0)f +(2,1)f +(1,2)f +(0,3)f =A ．45B ．60C ．120D ．21047．(2014湖南理)51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是A ．－20B ．－5C ．5D ．2048．(2014福建理)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A ．()()()555432111c b a a a a a +++++++B ．()()()554325111c b b b b b a +++++++C ．()()()554325111c b b b b b a +++++++D ．()()()543255111c c c c c b a +++++++49．(2013辽宁理)使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含常数项的最小的n 为A ．4B ．5C ．6D ．750．(2013江西理)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为A ．80B ．－80C ．40D ．－4051．(2012安徽理)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是()A ．3-B ．2-C ．2D ．352．(2012天津理)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为A ．10B ．－10C ．40D ．－4053．(2011福建理)5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于A ．80B ．40C ．20D ．1054．(2011陕西理)6(42)xx --(x ∈R)展开式中的常数项是A ．20-B ．15-C ．15D ．2055．(2019天津理理10)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为．56．(2018天津理)在5(x -的展开式中，2x 的系数为．57．(2018浙江理)二项式81)2x+的展开式的常数项是___________．58．(2017浙江理)已知多项式32(1)(2)x x ++=543212345x a x a x a x a x a +++++，则4a =___，5a =___．59．(2017山东理)已知(13)nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =．60．(2016山东理)若25(ax+的展开式中5x 的系数是-80，则实数a=_______．61．(2016全国I 理)5(2x +的展开式中，x 3的系数是．(用数字填写答案)62．(2015北京理)在()52x +的展开式中，3x 的系数为．(用数字作答)63．(2015新课标2理)4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =______．64．(2014新课标1理)8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为．(用数字填写答案)65．(2014新课标2理)()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =___．(用数字填写答案)66．(2014山东理)若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为．67．(2013安徽理)若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______．68．(2012广东理)261()x x+的展开式中3x 的系数为______．(用数字作答)69．(2012浙江理)若将函数5()f x x =表示为2012()(1)(1)f x a a x a x =++++55(1)a x +++ ，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a =．70．(2011浙江理)设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是．。
高中数学专题讲解排列组合及二项式定理
排列组合及二项式定理【基本知识点】1．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ，（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n nn x C x C x x +=+++++L L ， 令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++L L【常见考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34（3）34二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. （4）,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 （5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）【解析】：间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种（7）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】：111789A A A =504（8）马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的 二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其它的元素。
高考数学复习课件：排列组合与二项式定理
直接法：在处理有限制条件的排列，优先排 特殊元素，后再排其他元素。
定元定位优先排
间接法：先不考虑特殊元素，而列出所有元 素的全排列数，从中减去不满足特殊元素 要求的排列数。
注意：不重不漏
• 成才后翻P56 T13
• 六个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或已，最右端不 能排甲，则不同的排法？
那么 完成这件事共有
种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步
骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同
的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有
种不同的方法.
区别1 区别2
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类办法，关 键词“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关 键词“分步”
解：（2）设f（x）=(3x-1)8 分别赋予x=1，-1
a0+a2+a4+a6+a8=[f(1)+f(-1)]/2
一般来说 多项式f（x）各项系数和为f（1） 奇数项系数和为1/2[f(1)-f(-1)] 偶数项系数和为1/2[f(1)+f(-1)]
求值、等式与不等式证明问题
（2）求证：5555+1能被8整除；
解:采用“隔板法” 得: C259 4095
类似练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
3、方程x+y+z=12的非负整数解的个数为多少？ 正整数解的个数呢？
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2011高考排列组合二项式定理精讲
1.盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。
若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
2.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个 (用数字作答)
2.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）
4.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）
（A ）1
36 （B ）1
9 （C ）5
36 （D ）1
6
5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是
A ．
110 B ．310 C ．
35 D ．910
6．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放
到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
A ．1
5 B ．2
5 C ．3
5 D 4
5
7..随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月
的天数相同，结果精确到0.001）.
8．如图，用四种不同的颜色给图中的,,,,,A B C D E F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，
且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（ ）．
Ａ．288种 Ｂ．264种 Ｃ．240种 Ｄ．168种
B C F E D A
9.(本小题满分12分）
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．
10．（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）
某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
（I）没有人申请A片区房源的概率；
（II）每个片区的房源都有人申请的概率。
11.设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则1011a a += .
12．（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于
A ．80
B ．40
C ．20
D ．10
13.72
()x x x -的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答). 14.在1831⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示） 15.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40
16. 若6
2()a
x x -展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . 17．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ）
（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20
18．9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________．（用数字作答）
19.设二项式（x-
a x ）6（a>0）的展开式中X 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值
是 。
20.(13)(6)n x n N n +∈其中且≥的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =
（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9。