2017年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟考试理科数学(详细答案版)

2017年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟考试理科数学一、选择题：共12题1．设复数z满足z⋅(1+i)=2i(i是虚数单位)，则|z|=A.√2B.2C.1D.√5【答案】A【解析】本题考查复数的概念、复数的四则运算.z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i,|z|=√1+1=√2.2．A={x|y=lg(x2+3x−4)}，B={y|y=21−x2}，则A∩B=A.(0,2]B.(1,2]C.[2,4)D.(−4,0)【答案】B【解析】本题考查一元二次不等式、指数函数的图象与性质、集合的基本运算.A= {x|x2+3x−4>0}={x|x<−4或x>1}.因为1−x2≤1，故y=21−x2≤21，则B= {y|0<y≤2}.所以A∩B=(1,2].3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)单调递减的函数是A.y=−x3B.y=ln|x|C.y=cosxD.y=2−|x|【答案】D【解析】本题考查指数函数、幂函数、对数函数、三角函数的图象与性质. 选项D，y=2−|x |={2−x ,x >02x ,x <0，显然它是偶函数，并且由指数函数的图象与性质知它在在区间(0,+∞)单调递减. 选项A ，它是奇函数；选项B ，ln |x |=ln⁡|−x|，故它是偶函数，而在区间(0,+∞)上y =ln |x |=lnx 单调递增；选项C ，显然在区间(0,+∞)不是单调递减的. 选项D 正确.4．等比数列{a n }中，若a 12=4，a 18=8，则a 36为A.32B.64C.128D.256【答案】B【解析】本题考查等比数列.a18a 12=q 6=2，a 36=a 18∙q 18=a 18∙(q 6)3=8×23=64.5．已知α∈(0,π2)，且2cos2α=cos(π4−α)，则sin2α的值为A.18 B.−18C.78D.−78【答案】C【解析】本题考查两角差的余弦公式、二倍角公式. 运用公式化简得2(cos 2α−sin 2α)=√22(cosα+sinα)，由于α∈(0,π2)，故cosα+sinα≠0，则有cosα−sinα=√24，两边平方得到，sin 2α+cos 2α−2sinαcosα=18，2cosαsinα=sin2α=78.6．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a ，b 分别为18,27，则输出的a =A.0B.9C.18D.54【答案】B【解析】本题考查算法与程序框图. 第一次循环得到，a=18,b=9，第二次循环得到，a=9,b=9，此时a=b，输出a=9，结束循环.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83B.43C.8√23D.4√23【答案】A【解析】本题考查几何体的三视图及体积. 该四棱锥的体积为13×22×2=83.8．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为 A.15 B.25C.35D.310【答案】C【解析】本题考查排列与组合、古典概型. 所有的情况总数有A 66个，三个男生全部相邻的情况有A 44∙A 33，三个男生都不相邻的情况有A 33(2A 33+2C 32A 22)种，故3位男生中有且只有2位男生相邻的事件总数为A 66−[A 44∙A 33+A 33(2A 33+2C 32A 22)]种，所以概率其为1−A 44∙A 33+A 33(2A 33+2C 32A 22)A 66=35.9．已知AB ⊥AC ，AB =AC ，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若∠BAM =π3，则t 的值为 A.√3−√2 B.√2−1C.√3−12D.√3+12【答案】C【解析】本题考查平面向量的线性运算、正弦定理.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −tAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故点M 在BC 上. 在ΔABM 中，∠BAM =π3,∠ABM =π4，由正弦定理，AM =BM∙sinπ3sin π4=√6BM 3，同理，在ΔAMC 中，有MC ＝AM∙sinπ6sin π4=√33BM ，故t =CM CB=CM CM+BM=√3−12.10．中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|=|F 1F 2|且|PF 2|=5，若椭圆C 1的离心率e 1∈(35,23)，则双曲线的离心率e 2的范围是 A.(32,53) B.(53,2)C.(2,3)D.(32,3)【答案】C【解析】本题考查椭圆与双曲线的定义及离心率. 设椭圆C1的方程为x 2a12+y2b12=1，双曲线C2的方程为x2a22−y2b22=1，由题设有{2c+5=2a12c−5=2a2，两式相加得a1+a2=2c，两边同时除以c，a1c +a2c=2，即1e1+1e2=2，1e2=2−1e1，其中e1∈(35,23)，则−1e1∈(−53,−32)，那么1 e2∈(13,12)，故e2∈(2,3).11．三棱锥P−ABC中，底面ΔABC满足BA=BC，∠ABC=π2，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为A.2B.3C.2√3D.3√3【答案】B【解析】本题考查空间几何体的结构及均值不等式. 设外接球的球心为O，AC中点为D，外接球半径为R，AB长为x，三棱锥的高为h，则13∙12∙x2∙ℎ=92,x2=27ℎ.显然外接球的球心在PD所在的直线上，在RtΔOAD中，OA=R，AD=√22x,OD=(ℎ−R)2，R2=(√2 2x)+(ℎ−R)2，则R=x22+ℎ22ℎ=12×27ℎ+ℎ22ℎ=27ℎ2+ℎ2=274ℎ2+ℎ4+ℎ4≥3(274ℎ2∙ℎ4∙ℎ4)13=94，当且仅当274ℎ2=ℎ4时，ℎ=3. 故当外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为3.12．设函数f(x)=√lnx+x+m，若曲线y=1−e2cosx+1+e2上存在(x0,y0)，使得f(f(y0))=y0成立，则实数m的取值范围为A.[0,e2−e+1]B.[0,e2+e−1]C.[0,e2+e+1]D.[0,e2−e−1]【答案】D【解析】本题考查函数的概念、函数的单调性与值域、导数的计算及其在研究函数中的应用. 因为y=cosx的值域为[−1,1]，故y=1−e2cosx+1+e2的值域为[1,e]，故y0∈[1,e].函数f(x)=√lnx +x +m 在定义域上单调递增，存在y 0满足f(f(y 0))=y 0，设存在y ′使得f (y 0)=y ′,f (y ′)=y 0，假设y ′<y 0，根据f(x)在定义域上单调递增，有f (y ′)<f(y 0)，即y 0<y′，与假设相矛盾；同理，反之假设y ′>y 0，亦可得矛盾，故y ′=y 0,f (y 0)=y 0，即y 0=√lny 0+y 0+m ，两边同时平方得，g (y 0)=m =y 02−ln y 0−y 0,y 0∈[1,e ]. 对g(y 0)求导得g ′(y 0)=2y 0−1y 0−1，令g ′(y 0)=0,y 0=1，当y 0∈(1,e]时，g ′(y 0)>0，故g(y 0)单调递增，由此，m 最小值为g (1)=0，最大值为g (e )=e 2−1−e ，所以m ∈[0,e 2−e −1].二、填空题：共4题13．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x =______. 【答案】27【解析】本题考查分层抽样. 抽取女教师为1280×100=15，则总有有x =15+12=27人.14．平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有S ΔPABSΔPCD=PA·PB PC·PD(其中S ΔPAB 、S ΔPCD 分别为ΔPAB 、ΔPCD 的面积)；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有V P−ABEV P−CDF=______(其中V P−ABE 、V P−CDF 分别为四面体P—ABE 、P—CDF 的体积).【答案】PA⋅PB⋅PEPC⋅PD⋅PF【解析】本题考查合情推理. 由平面上的情况通过类比法可以得到，两个三棱锥的的体积比为各自三条棱乘积之比，即V P−ABEVP−CDF=PA⋅PB⋅PEPC⋅PD⋅PF .15．已知数列{a n}满足a n=(n2+4n)cosnπ，则{a n}的前50项的和为______.【答案】1375【解析】本题考查等差数列及其前n项和.a2k−1=−4k2−4k+3,a2k=4k2+8k,k∈N∗，故有a2k−1+a2k=4k+3，令b k=4k+3，则它是以7为首项，4为公差的等差数列，于是{a n}的前50项的和就等于{b k}的前25项和，即25∙b1+b25∙b242∙4=7×25+25×242×4=1375.k的情况类比得以数16．已知圆C:x2+y2=25，过点M(−2,3)作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点N的轨迹方程为______.【答案】2x−3y+25=0【解析】本题考查圆的切线的性质、直线的一般式方程、圆和直线的位置关系. 设点A(x1.y1),B(x2,y2),N(x0,y0). 由圆的切线的性质，AN⊥OA,BN⊥OB，于是k AN∙K OA=−1,k BN∙K OB=−1，则{(x1−x0)(x1−0)=−(y1−y0)(y1−0)(x2−x0)(x2−0)=−(y2−y0)(y2−0)，点A、B在圆C上，故其满足圆的方程，于是化简得{x1x0+y1y0=25x2x0+y2y0=25，故直线AB满足方程x0x+y0y=25，点M(−2,3)在直线AB上，将其代入可得AB方程为2x−3y+25=0.三、解答题：共7题17．已知x0=π3是函数f(x)=msinωx−cosωx(m＞0)的一条对称轴，且f(x)的最小正周期为π(Ⅰ)求m值和f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)设角A，B，C为ΔABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f(B)=2，b=√3，求a−c2的取值范围.【答案】(1)f(x)=msinωx−cosωx=√m2+1sin(ωx−φ)⇒T=2πω=π⇒ω=2x0=π3为对称轴，所以2×π3−φ=kπ+π2⇒φ=−kπ+π6⇒1m=tanφ=√3⇒m=√3⇒f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2⇒kπ−π6≤x≤kπ+π3所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)(2)f(B)=2sin(2B−π6)=2⇒2B−π6=π2⇒B=π3由正弦定理2R=bsinB =2=asinA=csinC得a−c2=2sinA−sin(A+π3)=32sinA−√32cosA=√3sin(A−π6)∵A∈(0,2π3)∴A−π6∈(−π6,π2)∴a−c2∈(−√32,√3)【解析】本题考查两角和与差的正弦公式、三角函数的图象与性质、正弦定理. (Ⅰ)将f(x)化为y=Asin(ωx+φ)的形式，由最小正周期可以确定ω的值，x0=π3是f(x)的对称轴，由此求出φ值，得到f(x)解析式，进而确定其单调增区间.(Ⅱ)易求出B=π3，由正弦定理将边a,c用其对角的正弦值表示出来，得到a−c2=√3sin(A−π6)，根据A的取值范围，求出a−c2的范围.18．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，⋯，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a的值；(Ⅱ)若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望.(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值(精确到0.01)，并说明理由.【答案】(1)(0.06×2+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.03)×0.5=1⇒a=0.31(2)依题意从该城市居民中抽取用水量不低于3吨的概率为(0.11+0.06+0.03)×0.5=0.1X B(3,0.1)P(X=k)=Ck∙0.1k∙(1−0.1)3−k(k=0,1,2,3)3EX=3×0.1=0.3(3)月用水量超过3吨的居民占10%，所以(3−x)×0.31=5100⇒x≈2.84(吨)【解析】本题考查频率直方图、二项分布.(1)各个矩形面积之和为1，由此可求出a值.(2)根据频率直方图求出中抽取用水量不低于3吨的居民的概率，X服从二项分布，列出其分布列，求得期望.(3)可确定x在[2.5,3)范围内，用水量大于3吨的居民已有10%，那么剩下的在区间[x,3)的居民应有5%，故(3−x)×0.31=5，求出x.10019．如图，在棱台。