2020-2021学年高三数学(理科)第二次模拟考试试题及答案解析

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贵州省贵阳市高三数学适应性监测考试(二) 理(贵阳二模,含解析)新人教A版

贵州省贵阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（•贵阳二模）已知集合A={x∈R|x2≤4}，B={x∈N|≤3}，则A∩B（）A．（0，2] B．[0，2] C．{1，2} D．{0，1，2}考点：其他不等式的解法；交集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：解分式不等式的解法求得A，再用列举法求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．解答：解：集合A={x∈R|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，B={x∈N|≤3}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B={0，1，2}，故选D．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题．2．（5分）（•贵阳二模）已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=5+ni ，则=（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数相等的条件求出m和n 的值，代入后直接利用复数的除法运算进行化简．解答：解：由m（1+i）=5+ni ，得，所以m=n=5．则=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．（5分）（•贵阳二模）在边长为3的正方形ABCD内任取一点P，则P到正方形四边的距离均不小于1的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及P到正方形四边的距离均不小于1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．解答：解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到正方形四边的距离均不小于1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积S正方形=9阴影部分的面积 S阴影=1故P到正方形四边的距离均不小于1的概率P==故选A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．4．（5分）（•贵阳二模）若x∈﹙10﹣1，1﹚，a=lgx，b=2lgx．c=lg3x．则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．专题：常规题型．分析：依据对数的性质，分别确定a、b、c数值的大小，然后判定选项．解答：解：由于x∈﹙10﹣1，1﹚，则a=lgx∈（﹣1，0），即得﹣1＜a＜0，又由b=2lgx=2a．c=lg3x=a3．则b＜a＜c．故答案为C．点评：本题考查对数值大小的比较，是基础题．5．（5分）（•宁夏）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4考点：复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．分析：先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．解答：易知p1是真命题，而对p2：，当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故P2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．点评：只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与P2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．6．（5分）（•贵阳二模）定积分dx的值等于（）A ． e 2﹣1B ．（e 2﹣1）C ． e 2D ．e 2考点：定积分．专题：计算题．分析：利用微积分基本定理即可求得结果．解答：解：dx===，故选B ．点评：本题考查定积分的计算、微积分基本定理的应用，考查学生的计算能力． 7．（5分）（•贵阳二模）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f'（x ）的部分图象如图所示，则函数f （x ）的解析式为（）A ． f （x ）=4sin （x+π）B ．f （x ）=4sin （x+） C ．f （x ）=4sin （x+） D ．f （x ）=4sin （x+）考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，从而求得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得A=2，再由=•=﹣（﹣），求得ω=．再由sin （）=0，可得=（2k+1）π，k ∈z ．结合 0＜φ＜π，∴φ=，故函数的解析式为 f （x ）=4sin （x+π），故选A ．点评：本题主要考查由函数y=Asin （ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，从而求得函数的解析式，属于中档题．8．（5分）（•贵阳二模）已知曲线及两点A 1（x 1，0）和A 2（x 2，0），其中x 2＞x 1＞0．过A 1，A 2分别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3（x 3，0），那么（）A ．成等差数列B ．成等比数列C ． x 1，x 3，x 2成等差数列D ． x 1，x 3，x 2成等比数列考点：等差关系的确定；等比关系的确定．专题：综合题．分析：先求出B 1，B 2两点的坐标，进而得到直线B 1B 2的方程，再令y=0求出x 3，即可得出结论．解答：解：由题得：），B 2（）．∴直线B 1B 2的方程为：y ﹣=（x ﹣x 1）⇒y ﹣=﹣（x ﹣x 1）．令y=0⇒x=x 1+x 2，即x 3=x 1+x 2，故选 A ．点评：本题主要考查直线方程的求法，点的坐标的求法以及等差关系的确定问题，是对基础知识的考查，属于基础题目．9．（5分）（•宁夏）设偶函数f （x ）满足f （x ）=2x﹣4（x≥0），则{x|f （x ﹣2）＞0}=（） A ． {x|x ＜﹣2或x ＞4} B ． {x|x ＜0或x ＞4} C ． {x|x ＜0或x ＞6} D ． {x|x ＜﹣2或x ＞2}考点：偶函数；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：由偶函数满f （x ）足f （x ）=2x ﹣4（x≥0），可得f （x ）=f （|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．解答：解：由偶函数满f （x ）足f （x ）=2x ﹣4（x≥0），可得f （x ）=f （|x|）=2|x|﹣4，则f （x ﹣2）=f （|x ﹣2|）=2|x ﹣2|﹣4，要使f （|x ﹣2|）＞0，只需2|x ﹣2|﹣4＞0，|x ﹣2|＞2 解得x ＞4，或x ＜0．应选B ．点评：本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）（•贵阳二模）若tanα=，α是第三象限的角，则=（）A ．﹣B ．C ． 2D ． ﹣2考点：二倍角的正切．专题：三角函数的图像与性质．分析：由tanα的值及α为第三象限角，求出sinα与cosα的值，进而求出tan的值，代入所求式子中计算即可求出值．解答：解：∵tanα=，α为第三象限角，∴sinα=﹣，cosα=﹣，∴tan ====﹣3，则==﹣2．故选D点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．11．（5分）（•贵阳二模）已知半径为1的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，则此正方体内部的球面面积为（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，球表面位于正方体内部的面积等于球面积的，由此结合球的表面积公式，即可算出所求的面积．解答：解：根据题意，经过球心0作出三条两两互相垂直的三条半径OA、OB、OC再分别以OA、OB、OC为长、宽、高作正方体，可得球表面位于正方体内部的部分，恰好等于上面半球的，因此球表面位于正方体内部的面积等于球面积的∵球的半径为1，得球的表面积为S=4π×12=4π∴球表面位于正方体内部的面积为S1=×4π=故选：B 点评：本题给出半径为1的球，以其一条半径为正方体的棱作正方体，求正方体内部的球面面积．着重考查了正方体的性质和球的表面积公式等知识，属于基础题．12．（5分）（•贵阳二模）已知点P是双曲线C ：﹣=1上一点，过P作C的两条逐渐近线的垂线，垂足分别为A，B 两点，则•等于（）A．B．﹣C．0D．1考点：双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x0，y0），求出点P到两条渐近线的距离，利用P（x0，y0）在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论．解答：解：由条件可知：两条渐近线分别为l1：x﹣y=0，l2：x+y=0设双曲线C上的点P（x0，y0），则点P到两条渐近线的距离分别为||=，||=，所以||||=×=||因为P（x0，y0）在双曲线C 上，所以，即2x﹣y=6故||||=2设与的夹角为θ，得cosθ=，则•=．故选A．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本小题共4小题，每小题5分13．（5分）（•贵阳二模）（9x﹣3﹣x）6（x∈R ）的二项展开式中的常数项是15 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先求得（9x﹣3﹣x）6（x∈R）的二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，可得二项展开式中的常数项．解答：解：（9x﹣3﹣x）6（x∈R）的二项展开式的通项公式为 T r+1=•9x（6﹣r）•（﹣1）r3﹣xr=•312x﹣3xr令 12x﹣3rx=0，求得r=4，故二项展开式中的常数项是=15，故答案为 12．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）（•贵阳二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图判断几何体的形状，画出其直观图，再根据棱锥的体积公式计算即可．解答：解：根据几何体的三视图判定，几何体为四棱锥，其直观图为：∴V 棱锥==．故答案是．点评：本题考查由几何体的三视图求面积与体积．15．（5分）（•贵阳二模）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，直线l：y=k （x+1）与抛物线C交于A，B两点，记直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2= 0 ．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，把直线方程和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系求出两个交点的横坐标的和与积，写出斜率后作和，通分整理，把两个交点横坐标的乘积代入即可得到答案．解答：解：由y2=4x，得抛物线焦点F（1，0），联立，得k2x2+（2k﹣4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．==．故答案为0．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了一元二次方程的根与系数关系，属中档题．16．（5分）（•贵阳二模）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且c=b+1=a+2，C=2A，则△ABC 的面积等于．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理及二倍角公式求得cosA=，再由余弦定理求得cosA=，可得=，解得a的值，可得三角形的三边长以及cosA、sinA的值，再根据△ABC的面积等于bc•sinA，运算求得结果．解答：解：△ABC中，c=b+1=a+2，C=2A，则由正弦定理可得，∴，解得cosA=．再由余弦定理可得 a2=（a+2）2+（a+1）2﹣2（a+2）（a+1）•cosA，解得 cosA=．∴=，解得a=4，故b=5，c=6，cosA=，∴sinA=，∴△ABC的面积等于bc•sinA==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求三角形的面积，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）（•贵阳二模）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n}的最小项是第几项，并求出该项的值．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等差（等比）数列对应的前n项和、通项公式和性质，列出关于a1和d方程，进行求解然后代入通项公式；（Ⅱ）由（Ⅱ）的结果求出S n，代入b n进行化简后，利用基本不等式求出最小项以及对应的项数．解答：解：（I）设公差为d且d≠0，则有，即，解得或（舍去），∴a n=3n﹣2．（II ）由（Ⅱ）得，=，∴b n ===3n+﹣1≥2﹣1=23，当且仅当3n=，即n=4时取等号，故数列{b n}的最小项是第4项，该项的值为23．点评：本题是数列与不等式结合的题目，考查了等差（等比）数列对应的前n项和、通项公式和性质等，注意利用基本不等式求最值时的三个条件的验证．18．（12分）（•贵阳二模）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点（Ⅰ）求证：DE∥平面FGH；（Ⅱ）若点P在直线GF 上，=λ，且二面角D﹣BP﹣A 的大小为，求λ的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间角．分析：（Ⅰ）欲证明DE∥平面FGH，先找直线与直线平行，即在平面FGH内找一条直线与直线DE平行．因此，取AD得中点M，连接GM，可证出MG∥DE，结合线面平行的判定定理可得DE∥平面FGH；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据题中数据得出相应点的坐标进而得到、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，求出=（5﹣2λ，，2）是平面BDP 的一个法向量，结合=（0，0，1）是平面ABP的一个法向量和二面角D﹣BP﹣A 的大小为，利用空间向量的夹角公式建立关于λ的方程，解之可得实数λ的值．解答：解：（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．∵G、H、F分别是AE、BC、BE的中点，∴MH∥AB，GF∥AB，∴MH∥GF，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH，又∵△ADE中，MG是中位线，∴MG∥DE∵DE⊄平面MGFH，MG⊂平面MGFH，∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．（Ⅱ）在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示．可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2，﹣2，0），G （，﹣1，0），F （，1，0）∴=（0，2，0），=（0，﹣4，2），=（，﹣5，0）．由=λ=（0，2λ，0），可得=+=（，2λ﹣5，0）．设平面PBD 的法向量为=（x，y，z），则，取y=，得z=2，x=5﹣2λ，∴=（5﹣2λ，，2），又∵平面ABP 的一个法向量为=（0，0，1），∴cos＜＞===cos =，解之得λ=1或4即λ的值等于1或4．点评：本题在特殊四棱锥中证明线面平行，并求满足二面角D﹣BP﹣A 的等于的点P的位置．着重考查了线面平行的判定定理，利用空间坐标系研究二面角大小等知识点，属于中档题．19．（12分）（•贵阳二模）某次大型抽奖活动，分两个环节进行：第一环节从10000人中随机抽取10人，中奖者获得奖金1000元，并获得第二环节抽奖资格；第二环节在取得资格的10人中，每人通过电脑随机产生两个数x，y（x，y∈{1，2，3}），并按如图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则该抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．（I）已知甲在第一环节中奖，求甲在第二环节中奖的概率；（II）若乙参加了此次抽奖活动，求乙在此次活动中获得奖金的期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；程序框图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定从1，2，3三个数字中有重复取2个数字的基本事件，甲在第二环节中奖的基本事件，即可求得概率；（Ⅱ）确定乙参加此次抽奖活动获得奖金的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望．解答：解：（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，…（3分）设“甲在第二环节中奖”为事件A，则事件A包含的基本事件有（3，1），（3，3），共2个，∴P（A）=．…（6分）（Ⅱ）设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X元，则X的可能取值为0，1000，10000．…（7分）P（X=0）=，P（X=1000）==，P（X=10000）==．∴X的分布列为X 0 1000 10000P…（11分）∴EX=0×+1000×+10000×=3．…（12分）点评：本题考查概率的计算，考查分布列与期望的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）（•贵阳二模）设椭圆C ：+=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程．（Ⅱ）若直线l是圆O：x2+y2=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：•为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用离心率的计算公式、a、b、c 的关系及点满足椭圆的方程可得，解出即可；（II）分切线的斜率存在与不存在讨论，把直线的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及利用数量积即可得出．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得，∴椭圆C 的方程为．（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，则圆心O到直线l 的距离，∴1+k2=m2．将直线l的方程和椭圆C 的方程联立，得到（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣4=0．设直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则，．∴=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）====0，②当圆的切线l 的斜率不存在时，验证得．综合上述可得，为定值0．点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立及根与系数的关系、数量积等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法推理能力和计算能力．21．（12分）（•贵阳二模）已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=处取得极值，且在x=1处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求b，c的值及f（x）的单调减区间；（Ⅱ）设p＞0，q＞0，g（x）=f（x）+x2，求证：5g （）≤3g（p）+2g（q）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ），，故，由此能求出b，c的值及f（x）的单调减区间．（Ⅱ）先证，即证，再证明5g （）≤3g（p）+2g（q）．解答：解：（Ⅰ），（1分），∴，即﹣b+b+ec=0，∴c=0，∴f'（x）=blnx+b，又f'（1）=1，∴bln1+b=1，∴b=1，综上，b=1，c=0，（3分）f（x）=xlnx，由定义域知x＞0，f'（x）=lnx+1，∵，∴f（x ）的单调减区间为．（5分）（Ⅱ）先证即证即证，（6分）令，∵p＞0，q＞0，∴t＞0，即证令，则，∴=，（8分）①当3+2t＞5t即0＜t＜1时，，即h'（t）＞0h（t）在（0，1）上递增，∴h（t）＜h（1）=0，（9分）②当3+2t＜5t，即t＞1时，ln＜0，即h′（t）＜0，h（t）在（1，+∞）上递减，∴h（t）＜h（1）=0，（10分）③当3+2t=5t，即t=1时，h（t）=h（1）=0，综合①②③知h（t）≤0，即ln ≤，（11分）即5f （）≤3f（p）+2f（q），∵5•（）2﹣（3p2+2q2）=≤0，∴5•（）2≤3p2+2q2，综上，得5g （）≤3g（p）+2g（q）．（12分）点评：本题考查函数的减区间的求法，考查不等式的证明，考查等价转化思想，考查运算推导能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．四、请考生在第22.23.24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（10分）（•贵阳二模）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；证明题．分析：（1）要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．解答：解：（1）如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，∴BC2=BD•BE，∵tan∠CED=，∴．∵△BCD∽△BEC，∴，设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．点评：本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用，属于基础题．23．（•贵阳二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l ：ρsin（θ﹣）=，（I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．求圆O和直线l的直角坐标方程；（II）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）把给出的极坐标方程两边同时乘以ρ，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可求得圆的普通方程．展开两角差的正弦公式，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可求得直线的普通方程．（Ⅱ）求出圆与直线的交点坐标（0，1），由该点在极坐标平面内的位置得到其极径与极角．解答：解：（Ⅰ）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，所以圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=，也就是ρsinθ﹣ρcosθ=1．则直线l的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．（Ⅱ）由，得．故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键是熟记公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，是基础题．24．（•贵阳二模）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（2）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．解答：解：（1）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=．当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3．所以﹣3≤f（x）≤3．（2）由（1）可知，当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}；当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤6}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围分类讨论去掉函数式中的绝对值符号是关键，考查转化与分类讨论思想，属于中档题．。

安徽省江淮十校2020届高三第二次联考(11月)理科数学试题(含解析)

线
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绝密★启用前
安徽省江淮十校 2020 届高三第二次联考（11 月）理科数学
一、选择题（每小题 5 分,共 60 分）
1. 若全集�� = ��,集合�� = {�� ∈ ��|��2 < 16},�� = {��|�� − 1 ⩽ 0},则�� ∩ (��) = ( )
1
A.
2【答案】AB源自 √33C.−
1 2
D.
−
√3 3
【解析】由题意,|��⃗��| = √3 + 1 = 2,|��| = 1, 设2�� − ��⃗��与2��的夹角为��,则�� = |(22��⃗⃗��⃗��⃗��−−��⃗⃗��⃗��⃗��|)|∙22��⃗⃗��⃗��⃗��|,而(2�� −
C. 若命题��,¬��均为假命题,则命题¬�� ∧ ��为真命题 D.
若��(��)是定义在��上的函数,则“��(0) = 0”是“��(��)是奇函数”的必要不充分条件
【答案】B
【解析】当�� ∈ (0, + ∞)时,函数�� = ( 23)��为减函数,∴( 23)�� < ( 23)0 = 1(�� > 0),即2�� < 3��, 故命题“∀��
{2,3}.
2. 下列说法错误的是( )
A. 命题“若��2 − 4�� + 3 = 0,则�� = 3”的逆否命题为“若�� ≠ 3,则��2 − 4�� + 3 ≠ 0” B. 命题“∀�� ∈ (0,

2021-2022年高三数学第二次诊断性考试试题理

2021-2022年高三数学第二次诊断性考试试题理说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页，试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选．．．．．项．符合题意） 1. A.RB. C. D.○2.A. B. C. D.3.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，3）内是增函数的是A. B. C.D.4.A. B. C. D. 5.已知命题p ：在△ABC 中，“C>B ”是“sinC>sinB ”的充分不必要条件；命题q ：“a>b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是A.p 真q 假B.p 假q 真C.“p ∨q ”为假D.“p ∧q ”为真的定义域为则若)(,)12(log 1)(21x f x x f +={}{}()等于则设集合B A C x x y y B R x x x A R ,21,|,,22≤≤--==∈≤=的值为则已知θθπθθθcos sin ),40(34cos sin -<<=+6.将函数的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为A. B. C. D.7.则命题已知,0)(),2,0(:,sin3)(<∈∀-=xfxpxxxfππA.)(),2,0(:≥∈∀⌝xfxp；pπ是假命题B.)(),2,0(:≥∈∃⌝xfxp；pπ是假命题C.)(),2,0(:>∈∀⌝xfxp；pπ是真命题D.)(),2,0(:≥∈∃⌝xfxp；pπ是真命题8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数a的取值范围是A. B.（-2，1） C.（-1，2） D.9.△ABC中，，则△ABC的周长为A. B.C. D.10.已知y=f(x)是奇函数，且满足f(x+2)+3f(-x)=0,当x[0,2]时，f(x)=x2-2x,则当x[-4,-2]时，f(x)的最小值为A.-1B.C.D.第II 卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a , b , c ，且a=15,b=10,A=60°，则cosB= 。

高三数学(理科)模拟试题及答案

高三数学（理科）模拟试题及答案姓名：班级：座位号：分数：一、选择题：（每题分，总计分，把答案填在答题卡上。

）1、 10i2-i =A 、 -2+4iB 、 -2-4iC 、 2+4iD 、 2-4i 答案：解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i==-+、故选A 、2、设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A 、 ∅ B 、 ()3,4 C 、()2,1- D 、 ()4.+∞ 答案：解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭、(3,4)A B ∴=、故选B 、3、已知ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos A =A 、 1213B 、513C 、513-D 、 1213-答案：解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈、12cos 13A ===-故选D 、4、曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A 、 20x y --=B 、 20x y +-=C 、450x y +-=D 、 450x y --= 答案：解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---,故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B 、5、已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A 、B 、 15C 、D 、 35答案：解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。

在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。

故选C6、已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=，则||b =A 、B 、C 、5D 、 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。

2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析

2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。

2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

新疆维吾尔自治区2021届高三数学下学期第二次诊断性测试试题理(含解析)

新疆维吾尔自治区2021年普通高考第二次适应性检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2|03x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{|}B x x t =<，若A B ⊆，则实数t 的取值集合是（） A. (2,)+∞ B. [2,)+∞ C. (3,)+∞ D. [3,)+∞【答案】D 【解析】【分析】先求集合A ，再根据A B ⊆可得t 的范围. 【详解】由203x x +≤-，32<≤-x ，所以{}23A x x =-≤<，因为A B ⊆,{}B x x t =<，所以3t ≥, 故选D.【点睛】本题考查子集关系的应用，解分式不等式，属于基础题.2.设x R ∈，则“1x =”是“复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数为纯虚数，则210{10x x -=+≠解得1x =，“1x =”是“复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件，选C.考点：复数的概念，充分条件、必要条件的定义.3.正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2396150a a a +-+=，则11S （）A. 35B. 36C. 45D. 55【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的性质2396150a a a +-+=可化为2662150a a -+=，求得6a ，再利用等差数列的求和公式得11611S a =,求解.【详解】由{}n a 是等差数列，得3962a a a +=，因为2396150a a a +-+=，所以2662150a a -+=，65a =，63a =-，又0n a >，得65a =，所以1111161()1111552S a a a =+⋅==，故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列前n 项和的求法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.4.函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B 【解析】由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．【此处有视频，请去附件查看】5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 240B. 220C. 200D. 260【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可以画出该几何体的直观图,四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧面是矩形，计算侧面与底面面积，可得四棱柱的表面积.【详解】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四棱柱，侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧棱长为10，等腰梯形上底为2下底为8，高为4，腰为5，所以表面积12((28)4)2108102(510)2S =++⋅+⋅+⋅=240.故选A.【点睛】本题考查空间三视图的还原，几何体的面积计算，利用“长对正，宽相等，高平齐，”确定立体图中的元素位置关系和数量关系，考查空间想象能力，推理能力，属于基础题. 6.将函数()f x 的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线ln y x =关于直线y x =对称，则=)(x f （） A. ln(1)x + B. )1ln(-x C. 1ex +D. 1x e -【答案】C 【解析】【分析】通过已知函数式进行逆变换求()f x ，先把ln y x =作其关于直线y x =的对称图形，得函数x y e =的图像，再把x y e =的图像向左平移一个单位可得所求.【详解】作ln y x =关于直线y x =的对称图形，得函数x y e =的图像，再把x y e =的图像向左平移一个单位得函数1+=x e y 的图像，所以1()x f x e +=.故选C.【点睛】本题考查函数图像的平移变换与对称变换的应用，理解原变换与逆变换的关系是关键，属于基础题.7.已知x R ∈，sin 3cos x x -=tan 2x =（） A.43B.34 C. 34-D. 43-【答案】A 【解析】【分析】利用sin 3cos x x -=1cos sin 22=+x x 解方程组求出sin x 与x cos ，计算x tan ，再利用二倍角的正切公式求解.【详解】因为sin 3cos x x -=1cos sin 22=+x x，得223cos )cos 1x x +=即25cos 20x x ++=，cos 5x =-或cos 5x =-，所以sin 5x =-sin 5x =1tan 2x =或tan 2x =-，当1tan 2x =时1242tan 21314x ⋅==-；当tan 2x =-时2(2)tan 214x -=-43=，所以4tan 23x =，故选A.【点睛】本题考查同角的三角函数关系及二倍角公式，考查运算求解能力，属于中档题. 8.已知点(,)P a b ，且,{1,0,1,2}a b ∈-，使关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的点P 的概率为（） A.78B.1613 C.34D.58【答案】B 【解析】【分析】先确定{},1,0,1,2a b ∈-所得到的点P 的个数，再判断方程220ax x b ++=为一元一次方程与一元二次方程何时有解，确定此时点P 的个数，然后利用古典概型概率计算公式求解.【详解】因为{},1,0,1,2a b ∈-，所以得到点P 共有4416⨯=个.因为方程220ax x b ++=有实数解，所以440ab -≥，0a ≠，即1ab ≤，当),(b a 取(1,2)，(2,1)，(2,2)时1ab >；又0a =时原方程为20x b +=有解，所以方程220ax x b ++=有实数解的点P 的概率为163131616-=，故选B.【点睛】本题考查古典概型的概率，确定对立事件的基本事件数是本题的关键，属于基础题.9.设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点),(00y x P ，满足0022x y -=，则m 的取值集合是（）A. 4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】作出线性约束条件对应的可行域，变动边界直线x m=-与直线y m=，确定可行域上的点(,)m m-在直线22=-yx的下方时可行域与直线22=-yx有公共点，列不等式220m m--->求解.【详解】因为关于x，y的不等式组210x yx my m-+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y，满足0022x y-=，所以可行域与直线22=-yx至少有一个公共点.变动直线x m=-与直线y m=，当点(,)m m-在直线22=-yx的下方时符合条件，所以220m m--->，得23m<-.故选C.【点睛】本题考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解题的关键，属于中档题.10.O是ABC∆的外接圆圆心，且0OA AB AC++=，1OA AB==，则CA在BC方向上的投影为（）A.21- B.32-C.12 D.32【答案】B【解析】【分析】化简0OA AB AC++=为OB CA=，则在圆O中四边形ABOC为菱形且一个夹角为60°，确定CA与BC的夹角为150，利用向量数量积的几何意义可得.【详解】由0OA AB AC ++=，得OB CA =,所以四边形ABOC 是平行四边形.又O 是ABC ∆外接圆圆心，所以OC OB OA ==，所以四边形ABOC 是菱形，且60ACO ∠=,所以BC 平分ACO ∠，所以ACB 30∠=,即CA 与BC 的夹角为150，因为1OA AB ==，所以CA 在BC 方向上的投影为cos150CA =-.故选B. 【点睛】本题考查数量积的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.11.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，若在椭圆上存在一点P ，使得21F PF ∆的内心与重心G 满足12//IG F F ，则椭圆的离心率为（）A.2B. 23C.13D. 12【答案】D 【解析】【分析】设P 点坐标，得三角形的重心G ，由IG ∥12F F 可得21F PF ∆内心I 的纵坐标即内切圆半径，利用面积关系列出关于a,c 的等式进行求解.【详解】设),(00y x P ，又1(,0)F c -，2(,0)F c ，则21F PF ∆的重心00(,)33x y G .因为IG ∥12F F 所以21F PF ∆内心I 的纵坐标为3y .即21F PF ∆内切圆半径为03y .由三角形21F PF ∆面积12121()2S PF PF F F r =++，12012S F F y =，及椭圆定义122PF PF a += 得0011(22)2232y a c c y +=，解得21=e ，故选D.【点睛】本题考查椭圆的离心率，列出关于a,c 的方程是关键，属于基础题 12.已知函数1()0.5f x x =-+，()2cos g x x π=，当)2,3(-∈x 时，方程()()f x g x =的所有实根之和为（）A. -2B. -1C. 0D. 2【答案】A 【解析】【分析】作出函数()f x ，()g x 在)2,3(-的图像，判断图像的对称性，观察图像的交点个数，利用对称性求出所有交点横坐标的和可解.【详解】作出函数()f x ，()g x 在1(,2)2-的图像，由反比例函数及三角函数性质()f x ，()g x 的图像都关于点P 1(,0)2-对称，所以它们的交点关于点P 对称.两个函数图像在1(,2)2-有2个交点，所以方程()()f x g x =在)2,3(-有4个根，141x x +=-，231x x +=-，所有实根之和为12342x x x x +++=-.故选A.【点睛】本题考查函数的图像与方程根的问题，函数图像的对称性，属于基础题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.观察下列事实：（1）1x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为4；（2）2x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为8； ……则505x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为__________．【答案】2021 【解析】【分析】观察（1）（2）中方程不同整数解(),x y 的个数是方程右侧数的4倍，利用归纳推理可得所求方程整数解的个数.【详解】由（1）1x y +=的不同整数解(),x y 的个数为4；（2）2x y +=的不同整数解(),x y 的个数为8；······方程不同整数解(),x y 的个数是方程右侧数的4倍，所以505x y +=的不同整数解(),x y 的个数为5054⨯=2021.故答案为2021.证明：作出曲线505x y +=，图像为菱形，且图像关于原点及x 、y 轴对称.0x >，0y >时505x y +=，x 可以取1,2,3，···，504，有504个整数解，及(505,0),(0,505),(505,0),(0,505)--，所以共有整数解4504+4=2020⨯个.【点睛】本题考查归纳推理的应用，关键由所给等式找出其内在规律，属于基础题.14.若二项式6a x x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为160-，则()2031a x dx -=⎰______. 【答案】6 【解析】【详解】注意到(616rrrr T C x x -+⎛= ⎝()662261r rr r r C a x ---=- ()6361r r r r C a x --=-. 令30r -=.则3r =.由常数项为3336201602C a a a -=-=-⇒=.故()()223316axdx x x -=-=⎰.15.在四面体A BCD -中，5=AB ，3BC CD ==，32=DB ，4AC =，60ACD ∠=︒，则该四面体的外接球的表面积为__________．【答案】25π 【解析】【分析】由已知222AB BC AC =+，利用余弦定理得AD ，得222AB BD AD =+，确定四面体外接球的直径为AB ，即可计算球的表面积.【详解】因为5,3,4AB BC AC ===，所以222AB BC AC =+,所以AC BC ⊥.在△ACD 中3,4,60CD AC ACD ==∠=,由余弦定理2224324cos6013AD =+-=，又BD =222AB BD AD =+,所以BD AD ⊥，所以AB 是两个圆的直径，所以AB 是四面体A-BCD 的外接球的直径，25R =，52R =，所以该四面体的外接球的表面积为25S π=.故答案为25π. 【点睛】本题考查球的表面积，组合体的关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力，属于中档题.16.已知函数()32f x x ax =-在()1? 1?-，上没有最小值，则a 的取值范围是________________．【答案】1,-∞（）【解析】【分析】先求导，利用f′（x ）=0时，x=0或x=23a,讨论两个极值点与（-1，1）的关系，再根据导数和函数的单调性最值的关系将极值与端点处函数值作比较得到a 的范围. 【详解】∵f （x ）=x 3﹣ax ，∴f′（x ）=3x 2﹣2ax=x(3x-2a)，当f′（x ）=0时，x=0或x=23a , （1）当23a ∈（﹣∞，﹣1]时，即a 32≤-时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增，此时x=0时f （x ）取得最小值，所以舍去. （2）当-1<23a <0时，f(x)在（-1，23a ）单调递增，在（23a，0）单调递增减，在（0，1）单调递增，由题意()32f x x ax =-在()11-，上没有最小值，则有()()2101a 0.301a f f ⎧-<<⎪⇒-<<⎨⎪>-⎩（3）当a=0时，f(x)=3 x 在()11-，上显然没有最小值，故成立. （4）当0<23a <1时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，23a ）单调递增减，在（23a，1）单调递增，由题意()32f x x ax =-在()11-，上没有最小值，则有()201330a .2213aa f f ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎛⎫⎪>- ⎪⎪⎝⎭⎩（5）当213a ≥时，即a 32≥时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，1）单调递减，此时f(x)在()11-，上没有最小值. 综上：a>-1. 故答案为1,∞-（）. 【点睛】本题考查了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()n n a S n N ++=+∈，且212a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log (1)n n n n b a a n =+-⋅，求数列}{n b 的前n 项和n H .【答案】（Ⅰ）12()n n a n N -+=∈；（Ⅱ）4(2)2(2)23(2)2(21)2nn n n n n k H n n n k +⎧-⨯+=⎪⎪=⎨-⎪-⨯-=-⎪⎩，其中+∈N k ..【解析】【分析】（Ⅰ）由11n n a S +=+，得11n n a S -=+，相减可得等比数列的公比，再由211a S =+及212a a =得到首项1a ，利用等比数列通项公式求解.（Ⅱ）由n a 求出1(1)2(1)n n n b n n -=-+-，利用错位相减法先求{}1(1)2n n --的前n 项的和，讨论n 求{}(1)n n -的前n 项和，可得所求.【详解】解：（Ⅰ）∵11n n a S +=+，∴当2n ≥时，11n n a S -=+，又11n n a S +=+，∴()122,n n a a n n N ++=≥∈，又∵21111a S a =+=+，212a a =解得：11a =. ∴()12n n a n N -+=∈.（Ⅱ）∵()()()12log 1121nnn n n n b a a n n n -=+-⨯=-⨯+-⨯，设数列(){}112n n --⋅的前n 项和为nT ，则有()()0121021222...12n n T n n N -+=⨯+⨯+⨯++-⨯∈ (1)∴()()1232021222...12n n T n n N +=⨯+⨯+⨯++-⨯∈……（2）由（2）-（1）得：()222n n T n =-⨯+. 当n 为偶数时，()()()222123 (12222)n n n n H n n n n =-⨯+-+-+--+=-⨯++ ()4222n n n +=-⨯+. 当n 为奇数时，()()()1222123 (12222)n n n n H n n n n n -=-⨯+-+-+---=-⨯++- ()3222n n n -=-⨯-. 故()()()()42222322212nn n n n n k H n n n k +⎧-⨯+=⎪⎪=⎨-⎪-⨯-=-⎪⎩，其中k N +∈.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，通项n a 与n S 的关系，考查错位相减法求和,考查分类讨论、运算能力，属于中档题.18.如图，在直三棱柱中111A B C -A BC 中，AB ⊥AC ， AB=AC=2，1AA =4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值．【答案】【解析】试题分析：因为直线AB 、AC 、两两垂直，故以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）向量11,A B C D 分别为直线A 1B 与C 1D 的方向向量，求出11,A B C D 的坐标，由空间两向量夹角公式111111cos ,A B C D A B C D A B C D⋅=可得向量11,A B C D夹角的余弦值；（2）设平面的法向量为1(,,)n x y z =，又1(1,1,0),(0,2,4)AD AC ==，根据法向量定义求出平面的一个法向量1n ，因为平面，取平面的一个法向量为2(0,1,0)n =，先求出1n 与2n 夹角的余弦值，又平面ADC 1与平面ABA 1夹角与1n 与2n 夹角相等或互补。

2021届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟试题(二)理

2021届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟试题（二）理理科数学(二)本试卷满分150分，考试时刻120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．3．考试终止后，将本试卷和答题纸一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合()(){}21230,log ,2A x x x B x x A B ⎧⎫=-+<=<⋂=⎨⎬⎩⎭则 A ．{}31x x -<<- B ．{}32x x -<<C ．{}02x x <<D ．{}32x x -<<2．已知Z 为复数z 在复平面内所对应的点，O 为坐标原点，且满足1ii OZ z+==，则 A ． 1B ．2C ．3D ． 23．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标(如图①)由四个全等的直角三角形围成，其设计基础是我国古代数学家赵爽的“弦图”．在如图②所示的“弦图”中，直角三角形的一条直角边为斜边的一半，在大正方形内随机投掷一点，则该点落在小正方形内的概率为A ．34B ．14C ．12D. 312-4．已知,m n R ∈，则“1m n +≤”是“1122m n ≤≤且”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知数列{}n a 为正项等比数列，231122312,2,n n a a a a a a a a a +==++⋅⋅⋅+=则A ．()()2212n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦B ．()()2221n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦C ．()221n -D ．()212n -6．函数()()()1cos ,,00,f x x x xππ=-∈-⋃的大致图像是7．已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，过焦点F 的直线l l '与交于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ，若AF FB =，则直线l '的斜率为 A ．3B ．2C ．3±D ．±28．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为1100，则判定框内能够填入的条件是 A ．i <3？B ．i >3？C ．i <4？D ．i >4？9．某多面体的三视图如图中粗线所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积是A ．13B ．23C ．16D ．110．已知函数()()cos 0f x x ωω=>，关于任意的120,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()120f x f x ω+=，则的取值范畴是A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， B ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．[)2+∞，D ．()2+∞，11．已知等差数列{}n a 的公差为d ，且253123433n a a a a a a -=+++⋅⋅⋅+≤，若，则n 的最大值为 A.6B.7C.8D.912．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左焦点为1F ，过点1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，以线段MN 为直径的圆通过坐标原点，则双曲线C 的离心率的取值范畴是 A．(B．)+∞C. ⎛ ⎝⎭ D．⎫+∞⎪⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题。

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最新高考模拟考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.设集合()(){}
|430,A x x x =-+≤集合{}|x 10B x =-<，则()R C A B I 等于
A. (]3-∞-
B. [)4,1-
C. ()3,1-
D.(),3-∞- 2.已知复数5
3532i z i i
=--，则z 等于 A. 22 B. 5 C. 3 D. 2
3.名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号.已知从49—64这16个数中被抽到的数是58，则在第2小组17—32中被抽到的数是
A. 23
B. 24
C. 26
D. 28
4.已知函数()()2log 4f x ax =+在(]1,2上单调递减，则实数a 的值可以是
A. 1
B. 1-
C. 2-
D.3-
5.“11m -<<”是“圆()()22
15x y m -+-=被x 轴截得的弦长大于2”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知关于x 的不等式1211m x x x -+≤+++的解集为R ，则实数m 的最大值为
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
7.包括甲乙丙三人在内的6人站成一排，则甲与乙、丙都相邻且乙不站在两端的排法有
A.32种
B. 36种
C. 42种
D.48种
8.如果实数,x y 满足条件220,20,0,x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩若11y z x -=+的最小值小于12，则实数a 的取值范围是 A.(),1-∞ B. ()1,+∞ C. 1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
9.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为
A.
803 B. 703
C. 23
D. 24 10.已知函数()()21241132,3x x
x
x x x f x g x x -++-=-=g ，实数,a b 满足
0a b <<，若[][]12,,1,1x a b x ∀∈∃∈-使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.在ABC V 中，2,sinC 424A b B π
==,则ABC V 的面积为 .
12. 执行如图的程序框图，若输入k 的值为5，则输出S 的值为 .
13.已知向量,a b r r 的夹角为60o ，且2,3,a b ==r r ，设,,2,OA a OB b OC ma b ===-u u u r r u u u r r u u u r r r ，是ABC V 以BC 为斜边的直角三角形，则m = .
14.已知函数()()240f x x x a a =-++>的图象与直线0,3x x ==及y x =所围成的平面图形的面积不小于212
，则曲线()()4ln 1g x ax ax =-+在点()()1,1g 处的切线斜率的最小值为 . 15.已知点F 是椭圆2222T :1(0)5x y m m m +=>的上焦点，1F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点.若线段1FF 的中点P 恰好为椭圆T 与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）已知向量)()3,1,cos ,,.a x b x m m R =-=∈r r
（1）若10tan 3m π=，且//a b r r ，求2cos sin 2x x -的值；（2）将函数()()
2221f x a b b m =+--r r r g 的图象向右平移6
π个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求m 的取值范围.
17.(本小题满分12分)
在如图所示的几何体中，四边形11BB C C 是矩形，1BB ⊥平面1111,//,2,ABC A B AB AB A B E =是AC 的中点.
（1）求证：1//A E 平面11BB C C ；
（2）若122,22AC BC AB BB ====，求二面角1A BA E --的余弦值.
18.(本小题满分12分)
机动车驾驶证考试分理论考试和实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分都“合格”者，则机动车驾驶证考试“合格”（并颁发机动车驾驶证）.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为
432,,543，在实际操作中“合格”的概率依次为125,,236，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）的概率；
（2）用X 表示甲、乙、丙三人在理论考试中合格的人数，求X 的分布列和数学期望()E X .
19.(本小题满分12分)
数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()1,n S n n n N +=+∈数列{}n b 满足
31223.31313131
n n n b b b b a =
++++++++L （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令()4n n n a b c n N +=
∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .
20.(本小题满分12分)
过抛物线()2:x 2py 0L p =>的焦点F 且斜率为34
的直线与抛物线L 在第一象限的交点为P ，且5PF =
（1）求抛物线L 的方程；
（2）设直线:l y kx m =+与抛物线L 交于()()1122,,B ,A x y x y 两点.
（ⅰ）若2k =，线段AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线L 于M,N 两点，（M,N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程；（ⅱ）若直线l 过点，且交x 轴于点C ，且,CA a AF CB bBF ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，对任意的直线l ，a b +是否为定值？若是，求出a b +的值，若不是，说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数()()ln 0f x bx ax x a =->的图象在点()()1,1f 处的切线与直线平()1y a x =-行.
（1）若函数()y f x =在[],2e e 上是减函数，求实数a 的最小值；
（2）设()()ln f x g x x =
，若存在21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()114
g x ≤成立，求实数a 的取值范围.。