人教版八年级下册数学课件：16.2二次根式的乘法(共27张PPT)
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人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘法 课件 (15张PPT)
用你发现的规律填空
2× 3 = 2× 5 =
2 ×3 2 ×5
能用字母表示你所发现的规律吗?
二次根式乘法法则：一般地有
a b a b (a 0,b 0)
注意：a、b必须为非负数
扩充：
a b k abk
例题1 计算：
（1） 2 32
（2）2 1 8
（3） 2a • 8a (a 0)
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= -a (a < 0)
学习目标： 化简与计算
（1） a b(a 0,b 0) （2） a b (a 0,b 0)
根式运算的结果中，被开方数应不含能开 得尽方的因数或因式。
课堂测验： 课本第10页习题第1题、第3题.
（ 4）（ 9） 4 9对吗? 怎样化简（ 4）（ 9）呢?
2
课堂练习一： 课本第7页的练习1.
二次根式的乘法法则：
a b ab （a≥0，b≥0）
反过来：
ab a b（a≥0，b≥0）
利用这个等式可以化简一些根式。
例题２ 化简：
（1） 12 （2） 16 81
（3） a3 (a 0)
（4） 4a2b3
(a 0,b 0)
变 : 若(4)的条件为a 0,b 0呢?
课堂练习二： 课本第7页的练习2.
课堂练习三：化简
(1Байду номын сангаас 8
(2) 50
(3) 27
(4) 1445
(5) 0.000111 (6) 642 362
第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数） 的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
人教版八年级下册 16.2二次根式的乘除——(第一课时)二次根式的乘法(12张PPT)
读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书之法，在 渐进，熟读而精思，喜欢读书，就等于把生活中寂 光换成巨大享受的时刻。自得读书乐，不邀为善名 间读书，有时间又有书读，这是幸福；没有时间读 时间又没书读，这是苦恼。不读书的人，思想就会 读书时要深思多问。只读而不想，就可能人云亦云 书本的奴隶；或者走马看花，所获甚微。为乐趣而 立身以立学为先，立学以读书为本读书而不能运用 读的书等于废纸。读书可以培养一个完人，谈话可 一个敏捷的人，而写作则可造就一个准确的人。读 别人思想的帮助下，建立起自己的思想。养心莫若 至乐无如读书。身边永远要着铅笔和笔记本，读书 时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿 聚萤作囊；在读书上，数量并不列于首要，重要的 品质与所引起的思索的程度。劳于读书，逸于作文
a ba ba0 ,b0 .
结论
两个数算数平方根的积，等于这两个数积的 算数平方根。
用字母表示为：
a baba0,b0.
例1 计算
1 35 ; 2 12 7.
3
解 ： １ 35＝ 15；
2 1 27 127 93.
3
3
把 a ba ba 0 ,b 0 .反过来，就得到
巩固练习
1.计算 1 2 5 ; 2 3 1 2 ； 3 2x y 1 ; 4 2 8 8 1 .
x
7 2
2.化简： 1 49121 3 4y
4 16ab2c3
二、探究新知 1.归纳： 一般地，二次根式的乘法法则是：
a ba(b a0,b0).
在本章中，如果没有特别说明，所有的 字母都表示正数.
2536_3_0__.Fra bibliotek33
4 1 9_ 1 _ 0 __; 19__ 1 _ 0 _;
16.2二次根式的乘除 课件 人教版数学八年级下册
2
= =
-a（a<0）,
a（a≥0）.
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的
绝对值.
代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、
除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式
子叫做代数式.
当 a, x 取怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
（1） + 5+ 1 − ;
=
22 × 32 × 32 × 2
= 2 × 3 × 3 × 2 = 18 2 .
（2）原式 = − 6 × 15= − 3 × 2 × 3 × 5
= − 32 × 2 × 5 = −3 10 .
2.化简 ： 16 2 3
解：原式 = 16 ∙ ∙ 2 ∙ 3
=4 ∙ ∙ ∙ c
边，只要ab≥0即可.
计算：（1）
解:(1)方法一
方法二
3
5
3 6
（2）
.
27
；
3
5
3
=
3
=
5
3×5
=
5×5
3×5
15
15
;
=
52
5
15
=
=
=
.
5
5
5 × 5 （ 5）2
在方法二中，式子变形
3
5
15
=
中的根号（分母有理化）.
3×5
是为了去掉分母
5× 5
计算： （1）
解：（2）
3
5；
3 6
27
=
（2）
简二次根式.
（1）被开方数不含分母；
即被开方数必须是整数（式）
= =
-a（a<0）,
a（a≥0）.
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的
绝对值.
代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、
除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式
子叫做代数式.
当 a, x 取怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
（1） + 5+ 1 − ;
=
22 × 32 × 32 × 2
= 2 × 3 × 3 × 2 = 18 2 .
（2）原式 = − 6 × 15= − 3 × 2 × 3 × 5
= − 32 × 2 × 5 = −3 10 .
2.化简 ： 16 2 3
解：原式 = 16 ∙ ∙ 2 ∙ 3
=4 ∙ ∙ ∙ c
边，只要ab≥0即可.
计算：（1）
解:(1)方法一
方法二
3
5
3 6
（2）
.
27
；
3
5
3
=
3
=
5
3×5
=
5×5
3×5
15
15
;
=
52
5
15
=
=
=
.
5
5
5 × 5 （ 5）2
在方法二中，式子变形
3
5
15
=
中的根号（分母有理化）.
3×5
是为了去掉分母
5× 5
计算： （1）
解：（2）
3
5；
3 6
27
=
（2）
简二次根式.
（1）被开方数不含分母；
即被开方数必须是整数（式）
16.2 二次根式的乘除 (教学课件)- 初中数学人教版八年级下册
算术平方根的概念
如果x²=a(x≥0), 那 么 x称 为a 的算术平方根。 用 √a(a≥0) 表示.
2.下列运算正确的是(A
A.(√2)²=2
C.(-√-2)²=2
)
B.(一 √2)²=-2
D.-√(-2)²=2
3. 计算：
(1) √4× √25=10 , √4×25= 10 ;
(2) √16× √9= 12 , √ 16×9= 12 思考：√4× √36 与 √4×36 的结果相● 同吗?你发现了什么?
二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
√a·Jb.√c……√n=Jabc…n(a≥0,b≥0,c≥0……n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法 则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式),被 开方数的积作为被开方数，即
化简二次根式的步骤：
(1) √4× √9= √4×9;
(2) √16× √25= √16×25;
(3) √25× √36= √25×36.
思考你发现了什么规律?你能用字母表示你所发现的规律吗?
猜测：Ja. √b= √a ·b(a≥0,b≥0). ·. 你能证明
这
个猜测吗?
求证：√a · √b= √a·b(a≥0,b≥0).
商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商. 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例3 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) √3.5;
解：原
解：原式
最简二次根式应满足如下特点： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
人教版八年级下册16.2二次根式乘除 (共23张PPT)
第二节 二次根式的乘除 （第二课时）
1．二次根式的概念
（1） 一般地，我们把形如 a (a 0)
的式子叫做二次根式。 （2）“ ” 称为二次根 号。
（3）“ a a ” 中，必须有： 0
2．二次根式的性质
（1）
双非负性：
①a ②
a
0
0
（2） a 2 பைடு நூலகம்；（a 0）
计算：
4 9
2 __3_
16 ___4 25 5
4
2
___
93
16 ___4 25 5
计算：
36
6
___
一般49地: 7
6
36 49
__7_
a a ;(a 0,b 0) bb
二次根式的除法法则：
二次根式相除，把被开方数相除作 为商的被开方数，根号不变。
二次根式的除法公式：
②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式。
满足上述两个条件的二次根式叫做最简 二次根式。
注意：在二次根式的运算与化简中，一 定要把结果化成最简二次根式。
（2）把下列二次根式化成最简二次根式：
① 32
② 40
③ 1.5
答案：① 4 2
③6 2
④4 3
② 2 10 ④ 23
3
（3）设长方形的面积为S，相邻两边长分别
a a ;(a 0,b 0) bb
（3）最简二次根式：
①被开方数不含分母；分母中不含二次根式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式。
满足上述两个条件的二次根式叫 做最简二次根式。
注意：在二次根式的运算与化简中， 一定要把结果化成最简二次根式。
1．二次根式的概念
（1） 一般地，我们把形如 a (a 0)
的式子叫做二次根式。 （2）“ ” 称为二次根 号。
（3）“ a a ” 中，必须有： 0
2．二次根式的性质
（1）
双非负性：
①a ②
a
0
0
（2） a 2 பைடு நூலகம்；（a 0）
计算：
4 9
2 __3_
16 ___4 25 5
4
2
___
93
16 ___4 25 5
计算：
36
6
___
一般49地: 7
6
36 49
__7_
a a ;(a 0,b 0) bb
二次根式的除法法则：
二次根式相除，把被开方数相除作 为商的被开方数，根号不变。
二次根式的除法公式：
②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式。
满足上述两个条件的二次根式叫做最简 二次根式。
注意：在二次根式的运算与化简中，一 定要把结果化成最简二次根式。
（2）把下列二次根式化成最简二次根式：
① 32
② 40
③ 1.5
答案：① 4 2
③6 2
④4 3
② 2 10 ④ 23
3
（3）设长方形的面积为S，相邻两边长分别
a a ;(a 0,b 0) bb
（3）最简二次根式：
①被开方数不含分母；分母中不含二次根式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数和因式。
满足上述两个条件的二次根式叫 做最简二次根式。
注意：在二次根式的运算与化简中， 一定要把结果化成最简二次根式。
人教版八年级(初二)数学下册 16.2 二次根式的乘除 第二课时 PPT教学课件
解:解法1: 3= 5
35=
35××55=
1552= 1552= 515；
解法2:
3= 5
3× 5×
5= 5)
155(2=
15 5
.
探究新知
.
(2)3 2； 27
解:3 2= 27
332×2 3=
32 32×
= 3
2= 3
2× 3×
3= 3
36.
(3) 8 . 2a
解:
8= 2a
8∙ 2a∙
22aa=42aa=2aa
学习重难点
学习重点：二次根式除法法则的理解、运用和逆运用. 学习难点：发现规律，探索二次根式的除法法则.
回.顾复习
1.二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质是怎样的？ 2.计算:(1) 16× 12； 解:原式= 16× 12= 8=2 2.
回.顾复习
(2) 16× 8 ； 解:原式= 42×4×2=8 2.
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
学习目标
1.理解 a ＝ b
a b
(a≥0，b>0),并能利用它进行计算和化简.
2.利用逆向思维,得出
a b
＝
a (a≥0，b>0),并运用它进行解题和 b
化简.
3.掌握用从特殊到一般的方法,解决数学问题.
4.通过合作探究,激发求知欲,了解类比思想.
拓展应用
1.等式 x−3= x+1
xx−+13成立的x的取值范围在数轴上可以表示为( B )
A．
B．
C．
D．
2.下列式子中，为最简二次根式的是( B )
人教版八年级(初二)数学下册 16.2 二次根式的乘除 第一课时 PPT教学课件
1
计算:(1) 5×(-2 10)× 2 ;
2
5
解:原式=−2 5×10× = −10 5.
2
探究新知
(2)5 45×
3 2
1
× ;
2 3
5
3
2 1 15 6
解:原式= ×5 45× × =
.
2
3 5
2
1 2 10a
(3) ab ·
.
5
b
解:原式= 2a2b= a 2b .
探究新知
学生活动四 【例题精讲】
例1 计算:(1) 3× 5 ;
解: 3× 5= 15.
(2)
1
× 27.
3
1
1
解: × 27= ×27= 9=3.
3
3
探究新知
例2 化简:(1) 16×81 ;
解: 16×81= 16× 81=4×9=36.
(2) 4ɑ2b3.
解: 4ɑ2b3= 4 · ɑ2 · b3=2·a· b2 · =2a b2 · b=2ab b.
所以这个长方形的面积为4 5.
当堂训练
4.计算:2 6×(−3 6)=
-36
.
5.计算:(1) 75× 20× 12;
解:原式= 25×3×4×5×3×4=60 5.
(2)
(−14) × (−112).
解:原式= 14×112= 2×72×42=28 2.
当堂训练
6.一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一
流能力.
学习重难点
学习重点：二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.
学习难点：能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
计算:(1) 5×(-2 10)× 2 ;
2
5
解:原式=−2 5×10× = −10 5.
2
探究新知
(2)5 45×
3 2
1
× ;
2 3
5
3
2 1 15 6
解:原式= ×5 45× × =
.
2
3 5
2
1 2 10a
(3) ab ·
.
5
b
解:原式= 2a2b= a 2b .
探究新知
学生活动四 【例题精讲】
例1 计算:(1) 3× 5 ;
解: 3× 5= 15.
(2)
1
× 27.
3
1
1
解: × 27= ×27= 9=3.
3
3
探究新知
例2 化简:(1) 16×81 ;
解: 16×81= 16× 81=4×9=36.
(2) 4ɑ2b3.
解: 4ɑ2b3= 4 · ɑ2 · b3=2·a· b2 · =2a b2 · b=2ab b.
所以这个长方形的面积为4 5.
当堂训练
4.计算:2 6×(−3 6)=
-36
.
5.计算:(1) 75× 20× 12;
解:原式= 25×3×4×5×3×4=60 5.
(2)
(−14) × (−112).
解:原式= 14×112= 2×72×42=28 2.
当堂训练
6.一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一
流能力.
学习重难点
学习重点：二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.
学习难点：能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质