第六章 几种离散型变量的分布及其应用

(三)两样本率的比较 两样本率的比较，目的在于对相应的两总体率进 行统计推断。 设两样本率分别为p1 和p2 ，当n1 与n2 均较大，且 p1 、1-p1 及p2 、1-p2 均不太小，如n1p1 、n1(1-p1) 及n2p2 、n2(1-p2)均大于5时，可利用样本率的分 布近似正态分布，以及独立的两个正态变量之差 也服从正态分布的性质，采用正态近似法对两总 体率作统计推断。
=0.023257

按=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1 ，即认 为实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率要高 于壶腹部-壶腹部吻合术。
例 6-5 已知某种非传染性疾病采用甲药治疗的 有效率为 0.60。今改乙药治疗该疾病患者 10 人，发 现 9 人有效。问甲、乙两种药物的疗效是否不同？ 显然，这是双侧检验的问题。记乙药治疗该疾病 的有效率为π，其假设检验为 H0：π=0.60 H1：π 0.60 =0.05 本例 n=10，按π=0.60，实际样本阳性数 X =9 出现 的概率由公式（6-1）有
P(X k) P( X )
X 0
k
k
X 0
n! X (1 ) n X X !( n X )!
（2）出现“阳性”的次数至少为k次的概率为
P(X k) P( X )
X k
n
n
X k
n! X n X (1 ) X !(n X )!
i
，其中 i 满足
P( X i ) P( X k ) 。



例6-4 据报道，对输卵管结扎了的育龄妇女实施 壶腹部-壶腹部吻合术后，受孕率为0.55。今对10 名输卵管结扎了的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术， 结果有9人受孕。问实施峡部-峡部吻合术妇女的 受孕率是否高于壶腹部-壶腹部吻合术？ 显然，这是单侧检验的问题，其假设检验为 H0：π=0.55 H1：π>0.55 =0.05



本例n=180，p=117/180=0.65
u

0.65 0.45 0.45(1 0.45) 180
5.394
查u界值表（t界值表中 为 ∞的一行）得 单侧 P 0.0005 。按 а=0.05水准，拒绝H0， 接受H1 ，即新的治疗方法比常规疗法的效 果好。

的1 可信区间为：
( p u 2 S p , p u 2S p )
如： 的95%可信区间为 ( p 1.96S p , p 1.96S p ) 的99%可信区间为 ( p 2.58Sp , p 2.58Sp )
例6-3 在观测一种药物对某种非传染性疾病 的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性 疾病患者100人，发现55人有效，试据此估 计该药物治疗有效率的95%可信区间。
10! P(X 9) 0.609 (1 0.60)109 0.040311 9!(10 9)!
比 实际样本更 背 离 无 效 假 设 的 事 件 , 即 满足 P( X i) 0.040311 的 i（i 9）分别有：0、1、2、10。 因此，所要计算的双侧检验概率 P 值为
本例n=13，X=6。查附表6，取0.05时，在n=13 （横行）与X=6（纵列）的交叉处数值为19～75， 即该吻合术妇女受孕率的95%可信区间为（19%， 75%）。 n n X 时，可先按 附表6只列出 X 2的部分。当 2 1 “阴性”数n-X查得总体阴性率的 可信区间 1 QL～QU，再用下面的公式转换成所需的阳性率 的 可信区间。 PL=1-QU， PU=1-QL
n n! 称为二项系数。总有： P ( X ) 1 。 X ! ( n X )! x0
例6-1 某种药物治疗某种非传染性疾病的有 效率为0.70。今用该药治疗该疾病患者10 人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人 有效的概率。 本 例 n=10 ， π=0.70 ， X=6 ， 7 ， 8 。 按 公 式 （6-1）计算相应的概率为

(二)样本率与总体率的比较 1.直接法 在诸如疗效评价中，利用二项分 布直接计算有关概率，对样本率与总体率 的差异进行有无统计学意义的比较。比较 时，经常遇到单侧检验，即“优”或“劣” 的问题。那么，在总体阳性率为π的n次独 立重复试验中，下面两种情形的概率计算 是不可少的。
（1）出现“阳性”的次数至多为k次的概率为:


对这10名实施峡部-峡部吻合术的妇女，按 0.55的受孕率，若出现至少9人受孕的概率 大于0.05，则不拒绝H0 ；否则，拒绝H0 ， 接受H1。 本例n=10，π=0.55，k=9。按公式（6-12） 有:
P(X 9) P( X )
X 9 10 10 X 9
10! 0.55 X (1 0.55)10 X X !(10 X )!
P P( X 9) P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 10)
=0.040311+0.000104858+0.001572864+0.010617 +0.006046618 =0.058652 0.05<P<0.10，按 =0.05 水准，不拒绝 H0，尚不 能认为甲、乙两种药物的疗效不同。

在医学中类似如这种n重Bernoulli试验的 情形较为常见。 如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分 为有效或无效； 在动物的致死性试验中，动物的死亡或 生存； 接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感 染或非感染等。

若从阳性率（死亡率、感染率等） 为π的总体中随机抽取大小为n的样本， 则出现阳性数为X的概率分布即呈二项 分布，记为X～B(n，π).
Sp
p(1 p) / n

2.二项分布的图形 对于二项分布而言， 当π=0.5时，分布是对称的，见图6-1；
图 6-1.
=0.5 时，不同 n 值下的二项分布

当 0.5时，分布是偏态的，但随着n的增 大，分布趋于对称。当n 时，只要π不 太靠近0或1，二项分布则接近正态分布， 见图6-2。


2. 正态近似法 根据数理统计学的中心极限 定理可得，当n较大、π不接近0也不接近1 时，二项分布B(n，π)近似正态分布 N (n , n (1 )) ，而相应的样本率p的分布也近 N ( , p 2 ) 正态分布。为此，当n较大、 似 p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5时， 可利用样本率p的分布近似正态分布来估计 总体率的可信区间。
一、二项分布的适用条件和性质



(一) 二项分布的适用条件 1. 每次试验只会发生两种对立的可能结果 之一，即分别发生两种结果的概率之和 恒等于1； 2. 每次试验产生某种结果（如“阳性”） 的 概率π固定不变； 3. 重复试验是相互独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。
10! 6 106 P(6) 0.70 (1 0.70) 0.20012 6! (10 6)!
10! 7 107 P(7) 0.70 (1 0.70) 0.26683 7! (10 7)!
10! 8 108 P(8) 0.70 (1 0.70) 0.23347 8! (10 8)!
第一节 二项分布

二项分布（binomial distribution）是指在只 会产生两种可能结果如“阳性”或“阴性” 之一的n次独立重复试验（常常称为n重 Bernoulli试验）中，当每次试验的“阳性” 概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0， 1，2，…，n的一种概率分布。

本例 n=100，p=55/100=0.55
Sp p(1 p) Sp n 0.55(1 0.55) 0.0497 100
0.55-1.96×0.0497=0.4526 0.55+1.96×0.0497=0.6474 即该药物治疗有效率的 95%可信区间为（45.26%， 64.74% ） 。

n
2

n (1 )

总体标准差为 n (1 )

若以率表示，则样本率p的 总体均数为
p
p
2


总体方差为
(1 )
n
(1 )
n

总体标准差为
p


样本率的标准差也称为率的标准误，可用 来描述样本率的抽样误差，率的标准误越 小，则率的抽样误差就越小。 在一般情形下，总体率π往往并不知道。此 时若用样本资料计算样本率p=X/n作为π的 估计值，则 的估计为: p
对于双侧检验而言，由于要回答的是 “有无差别” ，即备择假设 H1：π π0 是否 成立，因此，所要计算的双侧检验概率 P 值 应为实际样本（记“阳性”次数为 k 次）出 现的概率与更背离无效假设的事件（记“阳 性”次数为 i 次，i k）出现的概率之和， 即
P P( X k ) P( X i )
二项分布有两个参数：
总体率

n
样本含量
记作：X～B(n，π)
在n个独立的个体中出现X个阳性的概率可由下 式求出：
n! P( X ) X (1 )n X X !(n X )!
P( X )
X 0,1, 2, , n
实际 上就是二 项函数 (1 )n 展 开式中的 通项，式中 的
第六章
几种离散型变量的 分布及其应用
Distribution and Application of Discrete Data
Binomial
distribution Poissin distribution



随机变量有连续型和离散型之分，相应 的概率分布就可分为连续型分布和离散型 分布。 有关连续型分布如正态分布、t分布和F 分布等在前面的章节中已作了介绍。 本章主要介绍在医学中较为常用的离散 型分布，即二项分布、Poisson分布。