7.2认识函数(1)
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结本节主要知识点（1）函数的概念.（2）函数的三要素与函数相等.（3）区间的概念及其表示.知识点一 函数的概念初中学习的函数的传统定义一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作)(x f y =,A x ∈.其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.对函数的近代定义的理解（1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的.如x x y --=11就不是函数.（2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性.任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到.存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y .唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.（3）集合B 不一定是函数的值域,值域是集合B 的子集.在集合B 中,可以存在元素在集合A 中没有与之对应者.例1. 讨论二次函数的定义域和值域.解:二次函数的一般式为()02≠++=a c bx ax y ,为整式函数,所以其定义域为R ,其值域的确定分为两种情况:①当0>a 时,函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 442; ②当0<a 时,函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 442. 注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集R 上的,若二次函数的定义域是R 的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经过后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域.知识点二 函数的三要素函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域.在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了. 定义域 使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围.确定函数定义域时,要从两个方面考虑:（1）使函数解析式有意义;（2）符合客观实际.对应关系 用f 表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域和值域的桥梁.对应关系的作用相当于对自变量x 施以某种运算,类似于程序的作用.值域 在函数的定义域内,所有对应的函数值的集合,叫做函数的值域.例2. 讨论反比例函数()0≠=k x k y 的定义域和值域. 解:反比例函数()0≠=k xk y 的定义域为{}0≠x x ,值域为{}0≠y y . ()()A a a f ∈与()x f 的区别与联系)(a f 表示当a x =时()x f 的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量;)(x f表示自变量为x 的函数,它表示的是变量.如x x f 2)(=表示的是一个函数,()63=f 是它的一个函数值,是常量.知识点三 具体函数的定义域的确定方法所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解析式的特点来确定函数的定义域:（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即R .（2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集;（3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数的实数集;（4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的实数集.（5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分有意义的实数集的交集.（6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际.知识点四 函数的相等只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数. 对函数的相等理解时要注意:（1）当一个函数的定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了,所以当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,两个函数才相等,即表示同一个函数.（2）定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.（3）定义域和值域分别相同的两个函数,不一定相等.如函数2)(-=x x f 与函数x x f 2)(=的定义域都是R ,值域都是R ,但它们表示的不是同一个函数,两个函数不相等.（4）因为函数是两个非空数集之间的对应关系,所以与用什么字母表示自变量,用什么字母表示因变量没有关系.如函数1)(2+=x x f 与函数1)(2+=t t f 表示的就是同一个函数.（5）对)(x f 中x 的理解:如果两个函数解析式的右边相同,但f 施加关系的对象不同,两个函数也不相等.如函数2)(x x f =和函数2)1(x x f =-表示的就不是同一个函数.例3. 下列各组函数表示同一函数的是【 】（A ）x x f =)(,()2)(x x g = （B ）1)(2+=x x f ,()12+=t t g（C ）1)(=x f ,xx x g =)( （D ）x x f =)(,()x x g =分析:这是判断两个函数相等的问题.只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.解:（A ）选项中,函数x x f =)(的定义域为R ,函数()2)(x x g =的定义域为{}0≥x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;（B ）选项中,两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们是同一函数,与用哪个字母表示自变量没有关系;（C ）选项中,函数1)(=x f 为常数函数,其图象为一条平行于x 轴的直线,其定义域为R ,函数xx x g =)(的定义域为{}0≠x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;（D ）选项中,函数x x f =)(与函数()x x g =的定义域均为R ,但二者的对应关系不相同,它们不是同一函数.选择【 B 】.例4. 求下列函数的定义域:（1）2322---=x x x y ; （2）x x y -⋅-=11; （3）x y --=113; （4）2253x x y -+-=.分析:例4给出的三个函数均为具体函数,求具体函数的定义域的方法是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合,要表示成集合的形式或区间的形式.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧≠--≥-023202x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠≤2120x x x 且,解之得:x ≤0且21-≠x . ∴函数2322---=x x x y 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧-≠≤210x x x 且; （2）由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-0101x x ,解之得:1=x . ∴函数x x y -⋅-=11的定义域为{}1=x x ;（3）由题意可知:⎩⎨⎧≠--≥-01101x x ,即⎩⎨⎧≠≤01x x ,解之得:x ≤1且0≠x . ∴函数x y --=113的定义域为{}01≠≤x x x 且;（4）由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-050322x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≥5533x x x 或 解之得:5-≤x ≤3-或3≤x ≤5. ∴函数2253x x y -+-=的定义域为{}5335≤≤-≤≤-x x x 或. 注意: （1）函数的定义域要表示成集合或区间的形式.（2）若函数的解析式为综合型,则定义域为解析式各部分有意义的交集.若交集在数轴上表示有两部分,则这两部分之间用“或”字.知识点五 区间的概念及其表示设b a ,是两个实数,且b a <,规定:（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合,叫做闭区间,表示为[]b a ,;（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合,叫做开区间,表示为()b a ,;（3）满足不等式a ≤x b <或x a <≤b 的实数x 的集合,叫做半开半闭区间,分别表示为)[b a ,,](b a ,.这里的实数b a ,叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时,包含端点的那一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示.区间的数轴表示（几何表示）实数集R 可以用区间表示为()+∞∞-,.“∞”读作“无穷大”,“∞-”读作“负无穷大”,“∞+”读作“正无穷大”.把满足不等式a x >,x ≥a ,b x <,x ≤b 的实数x 的集合,分别表示为()+∞,a ,)[∞+,a ,()b ,∞-,](b ,∞-.对区间的概念及其表示的理解:（1）区间用来表示连续的数集,并不是所有的集合都可以用区间来表示,如集合{}3,2,1就不能用区间来表示.（2）区间的左端点必须小于右端点.（3）区间符号里的两个字母或数字之间用“,”隔开.（4）在将连续的数集表示为区间时,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.（5）在用数字表示区间时,包含端点的,画成实心点,不包含端点的,画成空心点.（6）若a 为区间的左端点,b 为区间的右端点,则把a b -叫做区间的长度.区间的长度必须大于0.（因为a b >）（7）连续的数集既可以用集合表示,也可以用区间来表示.例5. 函数513)(-+-=x x x f 的定义域是【 】 （A ）)[∞+,3 （B ）)()[+∞,44,3（C ）()+∞,3 （D ）)[4,3分析:不等式（组）的解集为连续的数集时,既可以用集合表示,也可以用区间来表示.在用区间表示数集时,一定要弄清是否包含端点,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.解:由题意可知:⎩⎨⎧≠-+≥-05103x x ,即⎩⎨⎧-≠≠≥643x x x 且,解之得:x ≥3且4≠x . ∴函数513)(-+-=x x x f 的定义域用集合表示为{}43≠≥x x x 且,用区间表示为)()[+∞,44,3 .选择【 B 】.知识点六 复合函数与抽象函数复合函数的概念如果y 是u 的函数,记为)(u f y =,u 又是x 的函数,记为)(x g u =,且)(x g 的值域与)(u f 的定义域的交集非空,那么y 通过u 的联系也是自变量x 的函数,我们称y 为x 的复合函数,记为))((x g f y =.其中u 叫做中间变量,)(x g u =叫做内层函数, )(u f y =叫做外层函数.对复合函数概念的理解由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.例6. 下列函数中,是复合函数的是【 】（A ）32)(x x x f += （B ）1)(+=x x f（C ）x x f =)( （D ）xx f 2)(= 分析:判断一个函数是不是复合函数,就是看它是否是两个函数复合而成的. 解:函数1)(+=x x f 是由函数u y =和1+=x u 两个函数复合而成的,是复合函数.选择【 B 】.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数,叫做抽象函数.知识点七 求抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:（1）函数)(x f 的定义域是自变量x 的范围.（2）函数))((x g f 的定义域是自变量x 的范围,而不是)(x g 的范围.（3）)(x f 、))((x g f 两个函数中,x 、)(x g 在对应关系f 下的范围相同. 求抽象函数或复合函数定义域的方法（1）已知)(x f 的定义域为A ,求))((x g f 的定义域,其实质是)(x g 的取值范围为A ,求x 的取值范围;（2）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域,其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ,求)(x g 的范围（值域）,此范围就是)(x f 的定义域.（3）已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先按（2）求出)(x f 的定义域. 例7. 已知函数xx x f 3)(+=,则函数)1(-x f 的定义域为【 】 （A ）{}1,4-≠-≥x x x 且 （B ）{}1,2≠-≥x x x 且（C ）{}0,2≠-≥x x x 且 （D ）{}1,4≠-≥x x x 且分析:本题需要根据具体函数)(x f 的解析式,先求出函数)(x f 的定义域,然后再确定抽象函数)1(-x f 的定义域:函数)(x f 中自变量x 的取值范围与()1-x 的范围相同,从而列出关于x 的不等式（组）,解集即为函数)1(-x f 的定义域. 解:∵函数xx x f 3)(+= ∴⎩⎨⎧≠≥+003x x ,解之得:x ≥3-且0≠x . ∴函数xx x f 3)(+=的定义域为{}03≠-≥x x x 且. 对于函数)1(-x f ,则有:⎩⎨⎧≠--≥-0131x x ,解之得:x ≥2-且1≠x . ∴函数)1(-x f 的定义域为{}1,2≠-≥x x x 且.选择【 B 】.例8. 已知()12-x f 的定义域为[]3,0,则)(x f 的定义域为_________. 分析:函数()12-x f 的定义域为[]3,0,指的是x 的取值范围是[]3,0,而不是()12-x 的范围.先根据[]3,0∈x ,求出()12-x 的范围,此范围即为函数)(x f 的定义域. 解:∵()12-x f 的定义域为[]3,0∴0≤x ≤3,根据二次函数的知识可得:1-≤12-x ≤8∴)(x f 的定义域为[]8,1-.例9. 若函数()1+x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21,则函数()1-x f 的定义域为__________. 分析:本题为已知已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先确定)(x f 的定义域.解:∵函数()1+x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21 ∴21-≤x ≤2,∴121+-≤1+x ≤12+ ∴21≤x ≤3 ∴函数)(x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21. 对于函数()1-x f ,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-31211x x ,解之得:23≤x ≤4 ∴函数()1-x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23. 知识点八 求函数的函数值（1）若函数为具体函数,把自变量的值代入函数解析式即可求得对应额函数值;（2）求抽象函数的函数值,常采用赋值法求求解.例10. 已知xx f +=11)(()1-≠x ,2)(2+=x x g . （1）求)2(f 和()2g ;（2）求()()2f g ,())(x g f ;（3）若()4)(1=x g f ,求x . 分析:函数的本质是对应关系f ,()f 表示的是对括号里的内容施以某种运算.计算())(a f f 的值时,应从内到外依次计算.解:（1）31211)2(=+=f ,()62222=+=g ; （2）()()9192313122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g f g ()31211)(11)(22+=++=+==x x x g x g f ;（3）∵()4)(1=x g f∴43112=+x ,432=+x ,解之得:1±=x . 例11. 已知函数()x f 对任意实数b a ,,都有()()()b f a f ab f +=成立. （1）求()0f ,()1f 的值;（2）若()()q f p f ==3,2（q p ,为常数）,求()36f 的值. 解:（1）∵函数()x f 对任意实数b a ,,都有()()()b f a f ab f += ∴令0==b a ,则有:()()()000f f f += ∴()00=f .令0,1==b a ,则有:()()()010f f f += ∴()01=f .（2）∵()()q f p f ==3,2∴()()()()()p f f f f f 22222224==+=⨯=()()()()()q f f f f f 23233339==+=⨯=∴()()()()q p f f f f 22949436+=+=⨯=.例12. 已知函数()x f 的定义域为()+∞,0,对任意正实数y x ,都有()()()y f x f xy f +=,且()24=f ,则()=2f_________.解:∵()()()y f x f xy f +=,且()24=f∴令2==y x ,则有:()()()()222224=+=⨯=f f f f ,∴()12=f . 令2==y x ,则有:()()()()122222=+=⨯=f ff f∴()212=f.知识点九 求函数的值域求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法、反表示法等.方法1 观察法通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域. 如函数211xy +=,因为12+x ≥1,所以y <0≤1,即该函数的值域为{}10≤<y y .方法2 配方法常用于求二次函数的值域.通过配方把二次函数化为顶点式,结合函数的定义域来求函数值域的一种方法.注意:在求函数的值域时,要先确定函数的定义域. 方法3 分离常数法形如bax dcx y ++=的函数常用分离常数法求值域.分离过程为: ()b ax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++= ∵0≠+-b ax a bcd ,∴a c y ≠ 所以函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y .方法4 换元法形如d cx b ax y +++=()0≠a 的函数常用换元法求值域.具体做法是:先令d cx t +=（t ≥0）,用t 表示出x ,并标明t 的取值范围,并代入函数解析式,将y 表示成关于t 的二次函数,最后用配方法求出值域.用换元法求函数的值域时,注意换元后要标明新元的取值范围.方法5 图象法有些函数的图象比较容易画出,可以通过其图象得出函数的值域.方法6 判别式法形如fex dx cbx ax y ++++=22（d a ,中至少有一个不为0）的函数常用判别式法求值域.具体做法是:先把函数转化为关于x 的一元二次方程,然后通过方程有实数根,判别式∆≥0,求出y 的取值范围,即为原函数的值域.（注意对二次项系数的讨论）.方法7 反表示法根据函数解析式用y 表示出x ,根据原函数中x 的取值范围列出关于y 的不等式,不等式的解集即为原函数的值域. 例13. 求函数1-=x y 的值域. 分析:采用观察法求其值域. 解:∵x ≥0（x ≥0） ∴1-x ≥1-∴函数1-=x y 的值域为)[∞+-,1.例14. 求函数322+-=x x y 的值域,其中)[3,0∈x .分析:求二次函数的值域常用配方法.通过配方把函数的一般式转化为顶点式,根据自变量的取值范围并结合二次函数图象的简图求解. 解:∵()213222+-=+-=x x x y∴函数图象的顶点坐标为( 1 , 2 ) ∵)[3,0∈x ,1)[3,0∈ ∴函数的最小值为2.∵()()633233,303=+⨯-==f f∴函数的值域为)[6,2. 例15. 求函数312-+=x x y 的值域. 分析:求形如bax dcx y ++=的函数的值域,常用分离常数法.解:()3723732312-+=-+-=-+=x x x x x y∵037≠-x ,∴2≠y ∴函数312-+=x x y 的值域为()()+∞∞-,22, .例16. 函数12++=x x y 的值域为__________.分析:形如d cx b ax y +++=()0≠a 的函数常用换元法求值域. 解:令12+=x t ,则t ≥0∴212-=t x∴()1121211222-+=+-=++=t t t x x y ∵t ≥0,01<- ∴y 随t 的增大而增大 ∴当0=t 时,21min -=y ,无最大值.∴y ≥21-. ∴函数12++=x x y 的值域为)⎢⎣⎡∞+-,21.注意:用换元法求函数的值域时,必须要根据已知函数的定义域求新元的取值范围,例17. 求下列函数的值域:（1）123422--+-=x x x x y ;（2）3274222++-+=x x x x y . 分析:对于形如fex dx cbx ax y ++++=22（d a ,中至少有一个不为0）的函数,若分子、分母能进行因式分解并化简,在化简后再求其值域;若不能化简,常用判别式法求其值域.要求会用十字相乘法分解二次三项式.解:方法一（分离常数法）:∵123422--+-=x x x x y∴()()()()()()1227211227122112312131+-=+-+=+-=+---=x x x x x x x x x y （1≠x 且21-≠x ）. ∵()01227≠+x ,∴21≠y当1=x 时,3211231-=+⨯-=y∴函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,3232, .方法二（反表示法）:由上面的方法得到:123+-=x x y （1≠x ） ∴y y x 213-+=（21≠y ） ∵1≠x ,∴1213≠-+y y ,解之得:32-≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,3232, .（2）∵3274222++-+=x x x x y∴整理得:()()0732222=++-+-y x y x y . 当2=y 时,0723≠+⨯,不符合题意,舍去;当2≠y 时,∵函数3274222++-+=x x x x y 的定义域为R∴()[]()()2734222-+--=∆y y y ≥0,解之得:29-≤y ≤2. 综上,函数的值域为)⎢⎣⎡-2,29.例18. 已知函数41)(xx x f -+=,求函数)(x f 的值域. 分析:先把函数解析式里面的绝对值去掉,化为分段函数的形式,然后画出函数的图象,由图象得出函数的值域.解:∵41)(xx x f -+= ∴()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=021101)(x x x x f ,其图象如图所示.由图象可知,函数的只有为](1,∞-.例19. 求函数122+--=x x xx y 的值域.解:方法一（配方法）:∵122+--=x x xx y∴4321111111112222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=+--+-=x x x x x x x y ∵43212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≥43,∴4321102+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x ≤34∴31-≤14321112<+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x ∴函数的值域为)⎢⎣⎡-1,31.方法二（判别式法）:∵122+--=x x xx y∴x x y xy y x -=+-22,整理得:()()0112=+-+-y x y x y∵函数122+--=x x xx y 的定义域为R∴关于x 的方程()()0112=+-+-y x y x y 有实数根.当1=y 时,01≠,不符合题意,舍去;当1≠y 时,有()()1412---=∆y y y ≥0,解之得:31-≤y ≤1综上,31-≤1<y∴函数的值域为)⎢⎣⎡-1,31.★例20. 已知)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83,试求())(21)(x f x f x F -+=的值域.解:∵)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83∴83≤)(x f ≤94,∴98-≤)(2x f -≤43-,∴91≤1)(2x f -≤41 ∴31≤)(21x f -≤21. 令)(21x f t -=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31t ,∴()212t x f -=∴()()112121)(22+--=+-==t t t t F x F . ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31t ,∴)(t F 随着t 的增大而增大.∴当31=t 时,()971131212min =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=t F当21=t 时,()871121212max =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=t F ∴)(t F 的值域即()x F 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97.。
函数的概念及其表示教案-人教课标版(优秀教案)
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量变量之间有什么关系.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，此时是的函数，是自变量，是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.;二、讲授新课：.教学函数模型思想及函数概念： ①给出三个实例：.一枚炮弹发射，经秒后落地击中目标，射高为米，且炮弹距地面高度（米）与时间（秒）的变化规律是21305h t t =-..近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书页图）.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量变量的变化范围分别是什么两个变量之间存在着这样的对应关系 三个实例有什么共同点归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都与唯一确定的和它对应，记作：:f A B →》③定义：设、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合到集合的一个函数（），记作：(),y f x x A =∈.其中，叫自变量，的取值范围叫作定义域（），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（）.④讨论：值域与的关系构成函数的三要素一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域 ⑤练习：2()23f x x x =-+，求()、()、()、(－)的值。
数学认识函数
数学认识函数函数是数学中非常重要的概念之一，它在各个数学领域都有广泛的应用。
函数可以在数学中帮助我们描述和解决各种问题，深化我们对数学世界的认识。
本文将介绍函数的定义、性质以及与其他数学概念的关系，帮助读者更好地理解和认识函数。
一、函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系。
它将一个集合中的元素（称为自变量）与另一个集合中的元素（称为因变量）建立起对应关系。
具体来说，如果集合A中的每个元素a都可以与集合B中唯一的元素b建立对应关系，那么就称这个对应关系为函数。
通常用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是与之对应的因变量。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如单调性、奇偶性和周期性等。
1. 单调性：函数的单调性是指函数值随着自变量的增减而呈现单调递增或单调递减的特点。
如果函数的导数始终大于0，那么函数就是递增的；如果导数始终小于0，那么函数就是递减的。
2. 奇偶性：如果对于函数上的每个点x，都有f(-x) = f(x)，那么函数就是偶函数；如果对于函数上的每个点x，都有f(-x) = -f(x)，那么函数就是奇函数。
3. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于函数的任意自变量x成立f(x+T) =f(x)，那么函数就是周期函数。
周期函数的图像在一个周期内重复出现。
三、函数与其他数学概念的关系函数与其他数学概念之间存在着紧密的联系，下面列举几种常见的关系。
1. 函数与方程：函数可以通过方程来表示，而方程则是函数的一种特殊形式。
方程是等式的形式，它将函数的自变量和因变量联系在一起。
2. 函数与图像：函数的图像是函数在直角坐标系中的几何表示。
通过观察函数的图像，可以更直观地理解函数的性质，如零点、极值点和拐点等。
3. 函数与导数：导数是函数的一个重要的性质。
通过求导数，可以得到函数的变化率和切线的斜率。
导数还可以帮助我们研究函数的单调性、极值点和凸凹性等。
4. 函数与积分：积分是导数的逆运算，它可以帮助我们计算函数在某个区间上的面积、曲线的长度和体积等。
学为中心展过程 突出本质蕴思想——浙教版八上《7.2认识函数》教学实录及其评析
．
师： 同学 们 计算 能 力真 强 ！确 实 ， 天 数不 同 ， 每
个 月的 中餐费不 同 ！最 近有 个 好 消 息 ， 快 餐 公 司决
谓“ 确定 ”、 指 的是 自变 量在 某 一 时刻 变 为常 量 ， “ 唯
一
上课 开 始 ， 教 师和学 生从 “ 中餐 费 ” 的话题 开始．
教学片 断如 下 ： 师： 你 们 中 午 在 校 就 餐 吗 ？ 每 天 中餐 费 是 多
少？
生（ 众） ： ８ 元． 师： 每 个月 的 中餐 费相 同吗 ？ 生（ 众） ： 不 同． 师： 是 什么原 因 导致不 同 呢？ 生（ 众） ： 因为每个 月在校 的天 数不 同．
路， 进行 了充分 的课 前准备 展开 教学．
２ 教 学实况 简录 ２ ． １ 情景 导入 ， 激 发兴 趣
为什 么教 师感 到难 教？ 围绕这 ３个 问题 展开 了深入 探讨 ， 整 理如 下 ： ． 如何 理解 函数 概念 ？浙教 版教 材 中对 函数 概念 的叙 述是 “ 在某 一个 变化过 程 中 ， 对 的每一 个 确定 的值 ， Ｙ 都 有 唯一确 定 的值 ， 称Ｙ 是 的函数． ”函数研 究 的对 象是 变化 过程 中两 个 变量 间 的依 存 关 系 ， 所
０
确 定 的值 ， 那 么就 说 Ｙ是 的 函数 ， 其 中 叫做 自
函数． 是先介 绍 函数概念 ， 然后 再 和 盘托 出它 的三种 形式 ？还 是将 函数概 念贯 穿于 函数 的三种 表 现形 式
考， 课 后受 到与会 教师 的广 泛 好评 ． 现将 本课 的教 学 研究 、 教学 过程 整理 如下 ， 和各位 同行 交流．
7.2 认识函数 课件1(数学浙教版八年级上册)
问题2： 地铁站点x 湘湖站 …… 彭埠站 七堡站 购票人数y 6 …… 18 39 问题3：
唯 一
九和路站 九堡站
…… 下沙站
7 42
…… 25
当t=14时,T= 5 当x=彭埠站时，y=18
s=950t（t≥0）
s是t的函数，t是自变量。
S是关于t的函 数解析式
像s=950t这种表示函数关系的等式叫函数解析式，简称函数式。
函数解析式的书写要求：通常表示函数的字母写在等式的左边, 含自变量的代数式写在等式的右边。 用函数解析式表示函数的方法叫 解析法。
回眸旅途
一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于 x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那我们就说y是x的函 数，其中x叫做自变量。
杭
州
之
旅
—7.2认识函数（1）
上虞外国语学校
严玉珍
旅途之中:问题一
常量
杭州地铁一号线以950米/分钟的平 均速度前行,t分钟之后，所行的路 程S为多少米？ 变量 变量
1：在地铁运行过程中，哪些是常量，哪些是变量？
2：你能用含t的代数式来表示S吗? （t≥0） s=950t
3:当t取一个确定的值时，那么s的值能确定吗？ 当t=1时，S= 950 唯一
解：（1）折线图反映了s、t两个变量之 间的关系，路程s可以看成t的函数； （2）当t=5分时函数值为1km； （3）当 10≤t≤15时，对应的函数值是 始终为2，它的实际意义是小明回家途中 停留了5分钟； （4）学校离家有3.5km，放学骑自行车回 家共用了20分钟．
认识函数公开课(鱼雅聪)
废塑料质 汽油质量 量X（吨） Y（千克）
1 2 3 4 5 600 1200 1800 2400 3000
480
6
7 8
3600
4200 4800
画一画 查一查
…
…
我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资 源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下 2滴水，每滴水0.05mL．小明同学在洗手时，没有把水 龙头拧紧，当小明离开x秒后水龙头滴了y mL水.
399
…
…
用函数解析式表示函 数的方法叫解析法 y=1.25x
这个函数用等式来表示， 像y=1.25 x这种表示函数 关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式。
列表法
废塑料质 量X（吨）
1 2 3 4 5
汽油质量 Y（千克）
600 1200 1800 2400 3000
图象法
6
7 8 …
3600
4200 4800 …
函数的常用 表示方法
解析法 列表法 图象法
环保事例1
您可以在马桶水箱里放一个装满水的 可乐瓶，你的这一小小行动每次 可节 约 1.25 升水，在这个过程中，假设每 天冲马桶x次,则可以节约水y升。 1、在节约水过程中，哪些是常量，哪些是变量？
2、你能用含x的代数式来表示y的值吗?
y=1.25 x
3：计算当x分别为4，8，20时，相应的y是多少? x y 4
3600
4200 4800 …
两个变量之间的关系有什么 共同点吗?
当其中一个变量的大小确定时，另一个变量就有唯一确定的值
一般地,在某个变化过程中,设有两个变量 x, y, 如果对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值, 那么就说 y 是 x 的函数(function), x 叫做自变量.
认识函数数学教案
认识函数数学教案
标题：认识函数数学教案
一、教学目标
1. 学生能够理解函数的基本概念。
2. 学生能够掌握函数的表示方法。
3. 学生能够解决与函数有关的问题。
二、教学重点和难点
1. 教学重点：函数的概念和表示方法。
2. 教学难点：理解和应用函数的概念。
三、教学过程
1. 导入新课：
通过实际生活中的例子引入函数的概念，如身高与年龄的关系，距离与时间的关系等。
2. 讲授新课：
（1）定义函数：讲解什么是函数，函数的输入和输出，以及函数的基本性质。
（2）函数的表示方法：介绍如何用图像、表格和解析式表示函数。
（3）函数的应用：通过实例让学生了解函数在现实生活中的应用。
3. 练习与实践：
设计一些练习题，让学生自己动手解题，以此检验他们对函数的理解程度。
4. 小结：
总结本节课的主要内容，强调关键知识点。
5. 布置作业：
设计一些相关的作业，让学生在课后继续巩固所学知识。
四、教学反思
对本节课的教学效果进行反思，分析学生的学习情况，为下一次教学提供参考。
初中数学认识函数(1)PPT课件
与
交
路程S(流
(1) S=7.8t
(2)S 0.085v 2
一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x,y， 如果对于 x的每一个确定的值，y都有唯一确定的 值，那么就说y是x的函数。其中x叫做自变量。
函数的定义
一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x,y，如 果对于 x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值， 那么就说y是x的函数。其中x叫做自变量。
当v=7.5时，S 0.085v2 0.085 7.52 4.78(米) 当v=8.5时，S 0.085v2 0.085 8.52 6.14(米)
S 0.085v2 (3) 给定一个v的值，你能求出相应的S的值吗?
跳远距离s
合
作
飞行时间t（秒）1 5 10 15 20 …
尝试应用
2、某市民用水费的价格是1.2元/立方米，小红准备 收取她所居住大楼各用户这个月的水费。设用水量 为n立方米，应付水费为m元。在这个问题中，m关 于n的函数解析式是 m=。1.当2nn=15时，函数值 是 ， 18
这一函数值的实际意义是
。
当水量为15立方米时需交水费18元
尝试应用
3、在国内投寄平信应付邮资如下表：
例
1、求下列函数当x=4时的函数值：
（1）y=2x2 ； （2）y 2x 1
求函数值的常用方法：
飞行时间t（秒）1 5 10 15 20 … 路程S(公里) 7.8 39 78 117 156 …
代一代、画一画、查一查
尝试应用
1、根据跳远的距离函数关系式： s=0.085v2(0<v<10.5)回答问题： （1）分别求当v=6，v =10时的函数值，并说明 它们的实际意义； （2）当v=16时，函数值有意义吗？为什么？
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信件质量x （克）
邮资y（元）
0<x≤20 0.80
20<x≤40 1.60
40<x≤60 2.40
(1)y是关于x的函数吗?为什么?
(2)分别求当x=5,10,30,50时的 函数值,并说明它们的实际意义.
图象法
用图象来表示自变量x与函数y之 间关系的方法叫图象法。
根据统计，人 在骑自行车时 身体质量x（千 克）与消耗的 热量w（焦） 之间绘制了一 张图象．
下图是某水库的库容曲线图，
其中，x表示水库的平均水深（m)，v表示 水库的库容（万m3).根据图像回答下列问 题:
(1)这个图象反映了哪两个变量之间的 关系？
(2)填表:
X(m) V(万m3)
15 20 25 75 150 250
(3)当平均水深取5m到25m之间的一个 确定的值时，相应库容v确定吗？
用函数解析式表示函数的方 法也叫解析法。
解析法
1、某市民用水费的价格是1.2
元/立方米，小红准备收取她
所居住大楼各用户这个月的水
费，设用水量为n立方米，应
付水费为m元，在这个问题中，
m关于n的函数解析式
是 m＝1.2n
。
解析法
2、某市民用电费的价格是0.53元/ 千瓦时，设用电量为x千瓦时，应 付电费为y元，则y关于x的函数解 析式是 y=0.53x 。当x=40时,函 数值是 21.2 ,它的实际意义 是当用电量为40千瓦时,应付电费.21.2元
(4)库容v可以看成平均水深x的函数吗？
(5)当x=18时的函数值，并说明它的 实际意义。
三种函数的表示方法对求函数值各 有什么不同?
解析法
列表法
图象法
1、什么叫做函数？
一般地，在某个变化过程中，设 有两个变量x，y，如果对于x的每一 个确定的值，y都有唯一确定的值， 那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
义务教育课程标准 实验教科书浙江版
八年级（上）
1、小明是一名大学生，他利用暑期去 一家公司打工，报酬按16元/时计算， 设小明这个月工作的时间为t时，应得 的报酬为m元，填写下表：
工作时间t 5 10 150 … t …
（时）
报酬m （元）
80 160 2400 … 16t …
在这个问题中：
（1）怎样用关于t 的代数式表示m？
（3）给定一个v的值，你能求出相应 的s的值吗？
谈谈上面各问题中两个变
量（t与m，s与v）之间的关 系的共同点。
函数的概念
在某个变化过程中，设有两个变 量x，y，如果对于x的每一个确定的 值，y都有唯一确定的值，那么就说 y是x的函数，x叫做自变量。
1、小明是一名大学生，他利用暑期去 一家公司打工，报酬按16元/时计算， 设小明这个月工作的时间为t时，应得 的报酬为m元。
m=16t
（2）常量是什么？变量是什么？
（3）给定一个t的值，你能求出相应 的m的值吗？
2、跳远运动员按一定的起跳姿势，其 跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米 /秒）有关。根据经验，跳远的距离 s=0.085v2(0<v<10.5) （1）常量是什么？变量是什么？
（2）计算当v分别为7，8时，相应的 s的值（结果保留3个有效数字）。
3、已知函数的解析式,求当x=4时 函数的值.
(1) y 2x2
(2) y 1 2x 1
列表法
用表格来表示自变量x与变量y的关 系的方法，就叫做列表法。
所跑时间 t(秒)
所跑过的 路程s(米)
5… 12 34
8.5 17 25.5 34 42.5 …
通过表格,你能写出s关于t的函 数解析式吗? S=8.5t
2、函数的三种表示法
解析法 列表法 图象法Fra bibliotek m是t的函数，t是自变量
m=16t
2、跳远运动员按一定的起跳姿势，其 跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米 /秒）有关。根据经验，跳远的距离 s=0.085v2(0<v<10.5)
s是v的函数，v是自变量
s=0.085v2
解析法
像m=16t ,s=0.085v2这种表 示函数关系的等式，叫做函数 解析式，简称函数式。
列表法 一年内某城市月份与平均气
温的函数关系:
月份m 1 2 3 4 5 6
平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 T(°C)
7 8 9 10 11 12
28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3
通过表格,你能写出T关于m的 函数解析式吗? 不能
在国内投寄平信应付邮资如下表：