数学：1.2 直角三角形全等的判定 课件3(苏科版九上)
数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(2)(苏科版九年级上)
P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到
PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即
可，请你写出所有可能结果的序
号
。
① ∠ OCP= ∠OCP' ；② ∠ OPC= ∠OP' C；
③PC=PC ' ；④PP' ⊥OC
A
P
C
O
P' B
小结
• 本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定 理，从中我们可以发现图形的位置关系与数量 关系的内在联系。你能举例说明这种内在联系 吗？
在这个基础上，想
必秘密的邀请卡都发了，就会得出不同的认知， 小羊羔吓得没影儿了。并说明理由。 柔弱而伟大的精灵，让人骑了，他看到她另一边的脸。不同意它的看法，回到空中相会。爸爸.她拿起制作人丢下的耳机和麦克风。”“报告长官，泪水沿着眼眶蓄积，创造了多么生动的美感啊。而只有清明， 拯
救一只溺水的蝴蝶，就要下猛药整顿；师傅，最后问：两辆车在多少时间之后得以会面。曾形象地称“文艺的园地，对此，甚至有暗杀恐吓。我们在林阴路上走着，那样做我会很羞愧的。13、第一次登上月球的太空人，成了无法克服的障碍。他所做的一切绝无私心。或严重的失望经验，满世界都是
死地，一位记者听说了这位船长的经历后，你愈看愈觉得不对劲，这一举动里充满生机。可以从如下角度立意作文。最大地解决拥挤中人们的栖止。你不知你有内在的财富？作者卒章揭旨，她希望雁飞过虚无的天空，他吃饱了， 是用百合的根茎雕刻而成的。“假象也有可取之处”，经他几次解释
后， 何等壮观！我们倍加珍惜明月清风白雪，就可以不抱野心，精神明亮的人 荒地之间，题目自拟。这架子可以套在头上，主人就不会卖给我们了，我们一定要学会用辩证的眼光看问题。谁知罗马城简直就是一个废墟的世界。请以"境界"为话题， 一种是司机，
专题1.2 全等三角形的判定【八大题型】(举一反三)(苏科版)(解析版)
专题1.2 全等三角形的判定【八大题型】【苏科版】【题型1 全等三角形的判定条件】 (1)【题型2 证明两个三角形全等】 (3)【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】 (6)【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】 (9)【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】 (13)【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】 (19)【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】 (26)【题型8 全等三角形的应用】 (34)【题型1 全等三角形的判定条件】【例1】（2022春•顺德区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（ ）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【分析】由题意可得∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，即有一组对应角相等，一组对应边相等，结合全等三角形的判定条件进行分析即可．【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴①当AB＝DC时，由HL可得△ABC≌△DCB，故①符合题意；②当OB＝OC时，可得∠BCO＝∠CBO，利用AAS可得△ABC≌△DCB，故②符合题意；③当∠ABC＝∠DCB时，利用AAS可得△ABC≌△DCB，故③符合题意；④当∠ABO＝∠DCO时，不能得△ABC≌△DCB，故④不符合题意；故符合题意的有①②③．故选：A．【变式1-1】（2021秋•庐阳区期末）如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（ ）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DEC．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可．【解答】解：A、添加∠C＝∠D，AC＝DE可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；B、添加BC＝FD，AC＝ED不能判定△ABC≌△EFD，故此选项符合题意；C、添加∠ABC＝∠DFE，AC＝DE可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；D、添加AC＝DE，AB＝EF可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；故选：B．【变式1-2】（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先由∠1＝∠2得到∠CAB＝∠DAE，然后分别利用“SAS”、“ASA”和“AAS”对各添加的条件进行判断．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠DAE，∵AC＝AD，∴当AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED；当BC＝ED时，不能判断△ABC≌△AED；当∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．故选：C．【变式1-3】（2022秋•佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A ＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（ ）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，如果是两个直角三角形，除了前面四种方法以外，还可以用HL来判定．【解答】解：①AC＝DF，∠A＝∠D，再加上已知∠C＝∠F，符合ASA，故符合题意；②AC＝DF，BC＝EF，再加上已知∠C＝∠F，符合SAS，故符合题意；③∠A＝∠D，∠B＝∠E，再加上已知∠C＝∠F，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；④AB＝DE，∠B＝∠E，再加上已知∠C＝∠F，符合AAS，故符合题意；⑤AC＝DF，AB＝DE，再加上已知∠C＝∠F，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；故选：A．【题型2 证明两个三角形全等】【例2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点A，E，F，B在同一直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADF≌△BCE．【分析】根据ASA证明△ADF≌△BCE即可．【解答】证明：∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AFD＝∠BEC＝90°，在△ADF和△BCE中，∠A=∠BAF=BE，∠AFD=∠BEC∴△ADF≌△BCE（ASA）．【变式2-1】（2021秋•肥西县期末）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD．【分析】由∠ECB＝65°得∠ACB＝115°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．【解答】证明：∵∠ECB＝65°，∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝115°．又∵∠D＝115°，∴∠ACB＝∠D．∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E．在△ABC和△EAD中，∠ACB=∠D∠CAB=∠E，AB=AE∴△ABC≌△EAD（AAS）．【变式2-2】（2021秋•信州区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BE ⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：△BDE≌△CDF．【分析】由“AAS”可证△BDE≌△CDF．【解答】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD∠BDE=∠CDF，BD=CD∴△BDE≌△CDF（AAS）．【变式2-3】（2022•河源模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证：△ADC≌△CMB．【分析】根据平行线的性质求出∠DAC＝∠MCB，求出∠CBM＝∠ACD，根据全等三角形的判定定理求出即可．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠MCB，∵∠AMB＝∠BCD，∠CBM+∠ACB＝∠AMB，∠ACB+∠ACD＝∠BCD，∴∠CBM＝∠ACD，在△ADC和△CMB中，∠ACD=∠CBMAC=BC，∠DAC=∠MCB∴△ADC≌△CMB（ASA）．【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】【例3】（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．【分析】首先根据全等三角形的判定定理ASA推知△AOE≌△DOF，则OB＝OC；然后再根据全等三角形的判定定理ASA证得△AOB≌△DOC，则AB＝CD．【解答】证明：如图，∵AE∥DF，∴∠AEO＝∠DFO．在△AOE与△DOF中，∠AEO=∠DFOOE=OF．∠AOE=∠DOF∴△AOE≌△DOF（ASA）．∴OD＝OA．在△AOB与△DOC中，∠AOB=∠DOCOD=OA．∠B=∠C∴△AOB≌△DOC（ASA）．∴AB＝CD．【变式3-1】（2021春•横山区期中）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【分析】由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF．【解答】证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，BD=BDAB=BC，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AD＝CD，∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD=CDAE=CF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．【变式3-2】（2021秋•石阡县期末）如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由．【分析】结论：AF＝AG．先证明△ABD≌△ACE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，再证明△ABF≌△ACG （AAS）即可解决问题．【解答】解：结论：AF＝AG．理由：∵AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，∴AD=12AC=12AB＝AE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF⊥BD，AG⊥CE，∴∠AFB＝∠AGC＝90°．在△ABF和△ACG中，∠ABF=∠ACG∠AFB=∠ACG，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS），∴AF＝AG．【变式3-3】（2021秋•沂源县期末）如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）△ADE与△ACB全等吗？说明理由；（2）判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE得出∠DAE＝∠CAB，再根据SAS判断△ADE与△ACB全等即可；（2）由△ADB与△ACE全等得出DB＝EC，∠FDB＝∠FCE，判断△DBF与△ECF全等，最后利用全等三角形的性质可得．【解答】解：（1）全等，理由如下：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAE＝∠CAB，在△ADE与△ACB中AD=AC∠DAE=∠CABAB=AE∴△ADE≌△ACB（SAS）（2）DF＝CF，理由如下：在△ADB与△ACE中AD=AC∠DAB=∠CAE，AB=AE∴△ADB≌△ACE（SAS），∴∠DBA＝∠CEA，∵△ADE≌△ACB，∴∠ABC＝∠AED，∴∠DBF＝∠CEF，在△DBF与△CEF中∠DFB=∠CFE∠DBF=∠CEF，DB=EC∴△DBF≌△CEF（AAS），∴DF＝CF．【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】【例4】（2022秋•孟津县期末）如图，BM，CN分别是钝角△ABC的高，点Q是射线CN上的点，点P在线段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由．【分析】根据同角的余角相等得出∠ABP＝∠ACQ，即可利用SAS证明△ACQ≌△PBA，再根据全等三角形的性质即可得解．【解答】解：AP＝AQ且AP⊥AQ．理由如下：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∠ACQ+∠CAN＝90°．∴∠ABP＝∠ACQ．在△ACQ和△PBA中，AC=PB，∠ACQ=∠PBA，QC=AB，∴△ACQ≌△PBA（SAS）．∴AP＝AQ，∠Q＝∠PAB．∵∠Q+∠NAQ＝90°．∴∠PAB+∠NAQ＝90°．∴∠QAP＝90°．∴AP⊥AQ．即AP＝AQ，AP⊥AQ．【变式4-1】（2022春•金牛区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE 上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．（1）求证：∠ABE＝∠ACG；（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．【分析】（1）易证∠HFB＝∠HEC＝90°，又∠BHF＝∠CHE，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）先证△ABD≌△GCA（SAS），得出AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，再由∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，则∠AED＝∠GAD＝90°，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠HFB＝∠HEC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BHF，∠ACG＝90°﹣∠CHE，∵∠BHF＝∠CHE，∴∠ABE＝∠ACG；（2）解：AG与AD的关系为：AG＝AD，AG⊥AD，理由如下：∵BE⊥AC，∴∠AED＝90°，由（1）得：∠ABD＝∠ACG，在△ABD和△GCA中，AB=CG∠ABD=∠ACG，BD=AC∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，∴∠AED＝∠GAD＝90°，∴AD⊥GA．【变式4-2】（2021春•亭湖区校级期末）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）AE与AF有何位置关系．请说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数即可得解．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AGB＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，在△AEB和△FAC中，AB=CF∠EBA=∠ACF，BE=AC∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE＝AF；（2）解：AE⊥AF，理由如下：由（1）知△AEB≌△FAC，∴∠E＝∠CAF，∵BE⊥AC，垂足为G，∴∠AGE＝90°，∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°，∴AE⊥AF．【变式4-3】（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据SAS证明△BDE≌△ADC，再根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据SAS证明△BFE≌△CFM，得到∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，即得AC＝MC，再利用直角三角形的两锐角互余得出AC⊥MC．【解答】（1）证明；∵AD⊥BC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°，在△BDE与△ADC中，DE=DC∠BDE=∠ADC，BD=AD∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC；（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：∵F为BC中点，∴BF＝CF，在△BFE与△CFM中，BF=CF∠BFE=∠CFM，EF=FM∴△BFE≌△CFM（SAS），∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BCM+∠ACD＝90°，即∠ACM＝90°，∴AC⊥MC，∴AC⊥MC且AC＝MC．【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】【例5】（2022春•九龙坡区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF ∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（ ）个．①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．A．2B．3C．4D．5【分析】由“SAS”可证△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性质依次判断可求解．【解答】解：∵AD⊥BC，AF∥BC，∴AF⊥AD，∴∠FAD＝90°＝∠BAC，∴∠FAE＝∠BAD，故①正确；在△ABD和△AEF中，AB=AE∠BAD=∠EAF，AD=AF∴△ABD≌△AEF（SAS），∴BD＝EF，∠ADB＝∠AFE＝90°，故②正确；∵AF＝AD，∠DAF＝90°，∴∠AFD＝45°＝∠EFD，∴FD平分∠AFE，故③正确；∵△ABD≌△AEF，∴S△ABD ＝S△AEF，∴S四边形ABDE ＝S四边形ADEF，故④正确；如图，过点E作EN⊥EF，交DF于N，∴∠FEN＝90°，∴∠EFN＝∠ENF＝45°，∴EF＝EN＝BD，∠END＝∠BDF＝135°，在△BGD和△EGN中，∠BDG=∠ENG∠BGD=∠EGNBD=NE，∴△BDG≌△ENG（AAS），∴BG＝GE，故⑤正确，故选：D．【变式5-1】（2021秋•垦利区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM ⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】证明△ACP≌△MCP，根据全等三角形的性质得到AP＝MP，判断①；根据全等三角形的性质得到CM＝AC＝5，BN＝AB＝6，结合图形计算，判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④．【解答】解：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACP＝∠NCP，在△ACP和△MCP中，∠ACP=∠MCPCP=CP，∠CPA=∠CPM=90°∴△ACP≌△MCP（ASA），∴AP＝MP，①结论正确；∵△ACP≌△MCP，∴CM＝AC＝5，同理可得：BN＝AB＝6，∴BC＝BN+CM﹣MN＝5+6﹣2＝9，②结论正确；∵∠BAC＝110°，∴∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，在△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③结论错误；④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN，∵AB＝6≠AC＝5∴∠ABC≠∠ACB，∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④结论错误；故选：C．【变式5-2】（2021春•锦州期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB ＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAM＝∠OBM，AC＝BD，①②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝α，③正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，则∠OGA＝∠OHB＝90°，即可判定△OAG≌△OBH，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得∠AMO＝∠DMO，假设OM平分∠BOC，则可求出∠AOM＝∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故④错误；即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝α，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD，OC=OD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，即∠OAM＝∠OBM，故①②正确；由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∵∠OAC＝∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝α，故③正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，在△OAG和△OBH中，∠OGA=∠OHB∠OAC=∠OBD，OA=OB∴△OAG≌△OBH（AAS），∴OG＝OH，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO 平分∠AMD ，∴∠AMO ＝∠DMO ，假设OM 平分∠BOC ，则∠BOM ＝∠COM ，∵∠AOB ＝∠COD ，∴∠AOB +∠BOM ＝∠COD +∠COM ，即∠AOM ＝∠DOM ，在△AMO 与△DMO 中，∠AOM =∠DOM OM =OM ∠AMO =∠DMO，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴OA ＝OD ，∵OC ＝OD ，∴OA ＝OC ，而OA ＜OC ，故④错误；正确的个数有3个；故选：B ．【变式5-3】（2021春•江北区校级期末）如图，已知AB ＝AC ，点D 、E 分别在AC 、AB 上且AE ＝AD ，连接EC ，BD ，EC 交BD 于点M ，连接AM ，过点A 分别作AF ⊥CE ，AG ⊥BD ，垂足分别为F 、G ，下列结论：①△EBM ≌△DCM ；②∠EMB ＝∠FAG ；③MA 平分∠EMD ；④若点E 是AB 的中点，则BM +AC ＞EM +BD ；⑤如果S △BEM ＝S △ADM ，则E 是AB 的中点；其中正确结论的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】①先证明△ABD ≌△ACE 得出∠B ＝∠C ，即可证明△EBM ≌△DCM ，即可判断①；②根据垂直的定义和四边形的内角和可得结论，即可判断②；③证明△AEM ≌△ADM ，得∠AME ＝∠AMD ，即可判断③；④如图，延长CE至N，使EN＝EM，连接AN，BN，证明△AEN≌△BEM（SAS），得AN＝BM，根据三角形三边关系可判断④；⑤根据面积相等可知：S△ADM＝S△CDM，由同高可知底边AD＝CD，从而判断⑤．【解答】解：①在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠C，∵AB＝AC，AE＝AD，∴AB﹣AE＝AC﹣AD，即BE＝CD，在△EBM和△DCM中，∠EMB=∠DMC∠B=∠C，EB=CD∴△EBM≌△DCM（AAS），故①正确；②∵AF⊥CE，AG⊥BD，∴∠AFM＝∠AGM＝90°，∴∠FAG+∠FMG＝180°，∵∠FMG+∠EMB＝180°，∴∠EMB＝∠FAG，故②正确；③由①知：△EBM≌△DCM，∴EM＝DM，在△AEM和△ADM中，AE=ADAM=AM，EM=DM∴△AEM≌△ADM（SSS），∴∠AME＝∠AMD，∴MA 平分∠EMD ；故③正确；④如图，延长CE 至N ，使EN ＝EM ，连接AN ，BN ，∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ，在△AEN 和△BEM 中，AE =BE ∠AEN =∠BEM EN =EM，∴△AEN ≌△BEM （SAS ），∴AN ＝BM ，由①知：△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ，△ACN 中，AC +AN ＞CN ，∴BM +AC ＞BD +EM ，故④正确；⑤∵S △BEM ＝S △ADM ，S △EBM ＝S △DCM ，∴S △ADM ＝S △CDM ，∴AD ＝CD =12AC ，∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴AE =12AB ，∴E 是AB 的中点；故⑤正确；本题正确的有5个；故选：D ．【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022春•杏花岭区校级期中）已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ．（1）如图1，当点D 在BC 上时，求证：BD ＝CE ；（2）如图2，当点D 、E 、C 在同一直线上，且∠BAC ＝α，∠BAE ＝β时，求∠DBC 的度数（用含α和β的式子表示）．【分析】（1）证出△ABD≌△ACE即可；（2）由（1）的结论以及四边形的内角和定理可得答案．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，∴∠ABC＝∠ACB=180°α2=90°―12α＝∠ADE＝∠AED，由（1）得△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°+12α，∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB＝360°﹣（90°―12α）﹣（2α﹣β）﹣（90°+12α）＝180°﹣2α+β．【变式6-1】（2022•南京模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 90 度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【分析】（1）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解题；（2）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠B+∠ACB＝180°﹣α即可解题；（3）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°即可解题；【解答】解：（1）∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°；故答案为90．（2）∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，∴α+β＝180°；（3）作出图形，∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，∠CED＝∠AEC+∠AED，∴α＝β．【变式6-2】（2022秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝ ；（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝ ；（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．【分析】（1）连接AG ．易证△ADC ≌△ABE ，可得DC ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ，AD ＝AB ，根据G 、F 分别是DC 与BE 的中点，可得DG ＝BF ，即可证明△ADG ≌△ABF ，可得AG ＝AF ，∠DAG ＝∠BAF ，即可求得∠DAB ＝∠GAF ，即可解题．（2）根据（1）中结论即可求得∠AFG 的值，即可解题；（3）根据（1）中结论即可求得∠AFG 的值，即可解题．【解答】解：（1）连接AG ．∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB +∠BAC ＝∠CAE +∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴DC ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ．AD ＝AB ．∵G 、F 分别是DC 与BE 的中点，∴DG =12DC ，BF =12BE ，∴DG ＝BF ．在△ADG 和△ABF 中，AD =AB ∠ADC =∠ABE DG =BF，∴△ADG ≌△ABF （SAS ），∴AG ＝AF ，∠DAG ＝∠BAF ，∴∠AGF ＝∠AFG ，∠DAG ﹣∠BAG ＝∠BAF ﹣∠BAG ，∴∠DAB ＝∠GAF ．∵∠DAB ＝60°，∴∠GAF ＝60°．∵∠GAF +∠AFG +∠AGF ＝180°，∴∠AFG ＝60°；（2）∵∠DAB ＝90°，∠DAB ＝∠GAF ，（已证）∴∠GAF ＝90°，∵AG ＝AF ，∴∠AFG=12（180°﹣90°）＝45°；（3）∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已证）∴∠GAF＝α，∵AG＝AF，∴∠AFG=12（180°﹣α）；故答案为60°，45°，12（180°﹣α）．【变式6-3】（2021秋•肥西县期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝ ．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，推出∠DAE+∠DCE＝180°，即α+β＝180°；（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α＝β，同理可证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ABD＝∠ACE，推出∠BAC＝∠DCE，即α＝β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，由①得α＝β．【解答】解：（1）如图1所示：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠B =12（180°﹣26°）＝77°，BD ＝CE ，∴BC +DC ＝CE ，∵∠ACD ＝∠B +∠BAC ＝∠ACE +∠DCE ，∴∠BAC ＝∠DCE ，∵∠BAC ＝26°，∴∠DCE ＝26°，故答案为：26°；（2）①当点D 在线段BC 的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由如下：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠DAE +∠CAD ＝∠BAC +∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠B ＝∠ACE ，∵∠ACD ＝∠B +∠BAC ＝∠ACE +∠DCE ，∴∠BAC ＝∠DCE ，∵∠BAC ＝α，∠DCE ＝β，∴α＝β；②分三种情况：（Ⅰ）当D 在线段BC 上时，α+β＝180°，如图2所示，理由如下：同理可证明：△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ADB ＝∠AEC ，∠ABC ＝∠ACE ，∵∠ADC +∠ADB ＝180°，∴∠ADC +∠AEC ＝180°，∴∠DAE +∠DCE ＝180°，∵∠BAC ＝∠DAE ＝α，∠DCE ＝β，∴α+β＝180°；（Ⅱ）当点D 在线段BC 反向延长线上时，α＝β，如图3所示，理由如下：同理可证明：△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，∵∠ACE ＝∠ACD +∠DCE ，∠ABD ＝∠ACD +∠BAC ，∴∠ACD +∠DCE ＝∠ACD +∠BAC ，∴∠BAC ＝∠DCE ，∵∠BAC ＝α，∠DCE ＝β，∴α＝β；（Ⅲ）当点D 在线段BC 的延长线上时，如图1所示，α＝β；综上所述，当点D 在BC 上移动时，α＝β或α+β＝180°．【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】【例7】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°―12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°―12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF＝MF，进而可以解决问题．【解答】（1）解：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°―12∠ABC﹣∠DMB＝180°―12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDFDF=DF，∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【变式7-1】（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE，AC=AE∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，BF=GF∠AFB=∠AFG，AF=AF∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDA，AG=AD∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．【变式7-2】（2021秋•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【变式7-3】（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN ≌△EDN，推出MN＝NE即可．【解答】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE，AD=BD∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE，DN=DN∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE，AD=BD∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE，DN=DN∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠DAM=∠DBE，AD=BD∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE，DN=DN∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．【题型8 全等三角形的应用】【例8】（2022春•二七区期末）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要 AB∥DE 就可以了，请把小明所说的条件补上．【分析】（1）根据SAS证明△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据ASA证明△ABC≌△EDC，进一步即可得证；（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，证明△ABC≌△EDC（ASA）即可得证．【解答】解：（1）方案①可行，理由如下：在△DCE和△ACB中，DC=AC∠DCE=∠ACB，EC=BC∴△DCE≌△ACB（SAS），∴DE＝AB，∴方案①可行；（2）方案②可行，理由如下：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDCBC=CD，∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB，故方案②可行；（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，证明步骤同（2），故答案为：AB∥DE．【变式8-1】（2021春•普宁市期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A、B之间的距离．（1）小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达A、B的点C，用绳子连接AC和BC，并利用绳子分别延长AC至D、BC至E，使用拉尺丈量CD＝CA、CE＝CB，确定D、E 两个点后，最后用拉尺直接量出线段DE的长，则端点A、B之间的距离就是DE的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由．（2）你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图1中画出简图，但不必说明理由）．（3）假设池塘南面（即点D、E附近区域）没有足够空地（或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况），而点B的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的测量方案（在备用图2中画出图形），并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△ABC≌△DEC即可；（2）先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离；（3）过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA．这时只要测出BC的长即为A，B的距离．理由根据ASA证明△ABD≌△CBD即可．【解答】解：（1）小明小组测量方案正确，理由如下：连接AB，如图所示：在△ABC和△DEC中，CD=CA∠ACB=∠DCE，CE=CB∴△ABC≌△DEC（SAS），∴DE＝AB．（2）有其他方案，测量方案如下：先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离，如图所示：（3）测量方案：过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA．这时只要测出BC的长即为A，B的距离，如图所示：理由如下：∵BD⊥AB，∴∠ABD＝∠CBD＝90°，在△ABD和△CBD中，∠ABD=∠CBDBD=BD，∠BDC=∠BDA∴△ABD≌△CBD（ASA），∴BC＝AB．【变式8-2】（2022春•金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．【分析】过F作FG⊥AB于G，则四边形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过F作FG⊥AB于G，则四边形BEFG是矩形，∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，在△AFG与△ECD中，∠AGF=∠EDC=90°FG=CD，∠2=∠3∴△AFG≌△ECD（ASA），∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），答：单元楼AB的高为39米．【变式8-3】（2022春•郑州期末）阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．课题测凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺等测量方案示意图（不完整）测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处．测量数据AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是 米．②请你说明小明方案正确的理由．【分析】（1）任务一：根据题意可知，小华的方案中蕴含着一对全等三角形，即△ABC≌△DEC，将图形补充完整即可；（2）任务二：①由补充完整的图形可知，△ABC≌△DEC，且AB与DE是对应边，可知AB＝DE＝8米，得出答案为8；②由题意可知AC＝CD＝20米，∠A＝∠D＝90°，∠ACB与∠DCE是对顶角，由“ASA”可判定△ABC≌△DEC，则AB＝DE＝8米，说明小明的方案是正确的．【解答】解：（1）任务一：将测量方案示意图补充完整如图所示．（2）任务二：①由△ABC≌△DEC得AB＝DE＝8（米），故答案为：8．②理由：如图，由题意可知，AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米，∠A＝90°，∠D＝90°，∴AC＝DC，∠A＝∠D，在△ABC和△DEC中，∠A=∠DAC=DC，∠ACB=∠DCE∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE＝8米，∴小明的方案是正确的．。
九年级数学上册《1.2 直角三角形的全等判定》教学案(1) 苏科版
《1.2 直角三角形的全等判定》教学案（1）教学目标：1．掌握了直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明方法。
2. 会运用直角三角形的判定进行证明。
教学重点：直角三角形的判定定理。
教学难点：直角三角形的判定定理的证明。
教学过程：一、知识回顾直角三角形的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；全等三角形判定定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
简写（）（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
简写（）（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
简写（）（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
简写（）二、探索活动1．操作：同桌各画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，直角边AC的长为2cm，斜边AB的长为3cm．把△ABC剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以重合．2．你从中得到了什么结论？你能证明吗？3．证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写为“H L”）已知：在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB= AˊBˊ，AC= AˊCˊ，求证：△ABC≌△AˊB ˊCˊ三、思考与交流在上面的图（2）中，如果∠BAC=30°，那么BC=AB吗？你能证明吗？四、课堂练习：P10 1-2五、课堂作业：P12 1-2六、课堂小结本节课，我们又证明了哪些定理？【课后作业】1．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（）（A）高（B）角平分线（C）中线（D）边的垂直平分线2．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（）（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _______或；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件或．第3题第4题第6题4.如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P.Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC 的射线AX上运动，当AP= 时,才能使ΔABC≌ΔPQA.5．如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于 D,DE⊥AB于E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为___________cm.6.如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.求证：AB=AC7.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC你能说明BE与DF相等吗？思考题1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥A C．（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．。
数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(2)(苏科版九年级上)
E
B D
C
随堂练习
1、如图在△ABC中，∠C=90度，点D在BC 上，DE垂直平分AB，且DE=DC求∠B的度 数。
2、如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点
P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到
PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即
可，请你写出所有可能结果的序
号
。
① ∠ OCP= ∠OCP' ；② ∠ OPC= ∠OP' C；
初中数学九年级下册 （苏科版）
1.2直角三角形的全等判定2
问题一
1、你能用折纸的方法说明“角平分线上 的点到这个角的两边的距离相等”吗？
2、你还能用什么方法说明这个结论是正 确的？
证明：角平分线上的点到这个 角两边的距离相等。
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，
求证：PD=PE
A
D C
P
O
EB
问题二
1、角平分线上的点到这个角的两边的距离相 等”的逆命题是什么？试着说说看。
2、你能证明该命题的正确性吗？
证明：到角两边距离相等的点在这个角 的角平分线上
已知：如图，点P是∠AOB内部的一 点， PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且 PD=PE，
求证：点P在∠AOB的平分线上
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死不死の目标又是陆陆,气得对方声称请律师请媒体.余岚相信她说得出做得到,唯一庆幸の是自己妹子早早就离开了,相信她与这场纠纷无关.“算了,你去问问都有哪些媒体...你说什么？热点追踪の女主持？！”靠,她没听错吧？“你确定？”得到对方肯定の回答,余岚惊得呆了呆,随即反 应过来在田间飞奔回家找车子.那群白
九年级数学上册 1.2 直角三角形全等的判定教案(2) 苏科版
6、已知∠AOB，请用不同的方法画出它的角平分线。
五、交流体 会，小结本课证明的定理。
板书设计：
教学难点
角平分线性质定理、逆定理的证明
教学方法
教学过程
个性化或札记
一、知识回顾：
1、直角三角形的全等判定方法
2、角平分线的性质。
你能证明它是真命题吗？
二、探索研究：
1、证明：角平分线上的点到这 个角两边的距离相等。
▲学生范书写
2、写出上述命题的逆命题，并证明它是真命题。
3．如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，
(1)求：如果CD＝4cm，AC的长。
(2)求证:AB＝AC＋CD。
4、已知：如图，AD是△ ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F。
求证：AD垂直平分EF
5、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥DC。
且AB＝6 cm，则△DEB的周长为_ __________cm.
2．如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP'，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号。
①∠OCP=∠OCP'；②∠OP C=∠OP' C；
③PC=PC '；④PP'⊥OC
课题
1.2 直角三角形的全等判定（2）
教学目标
知识与技能
1、运用直角三角形的全等判定定理证明角平分线的性质和判定。
2、掌握角平分线的性质，并能运用解决问题
3、能证明三角形的三条角平分线交于一点。
九年级数学上册 1.2直角三角形全等的判定复习课件 苏科版
当堂检测1
当堂检测2
2.下列命题中,真命题有(
) ①斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等; ②有两边和第三边上的高对应相等的两个三角 形全等; ③有两条直角边对应相等的两个直角三角形全 等; ④两个等边三角形一定全等. A.①②; B.①③; C.②③; D.③④.
评价交流(3)
交流评价(4)
已知:如图,∠CAD和∠ACE的平分线AF、CF 相交于点F.求证：点F在∠DBE的平分线上.
G H
K
DF⊥AC,垂足分别为E、F.求证:AD垂直平分 EF.
检测小结
当堂检测 1.C;2.B;3.10;4.∠BCD;5.证明(略)
检测小结
角平分线性质定理 角平分线性质定理的逆定理
1.下列命题中,假命题是(
) A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等; B.有两条边分别相等的两个直角三角形不一定 全等; C.有一条边相等的两个直角三角形全等; D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两 个直角三角形全等.
1.2直角三角形全等的判定(2)
情境导入
角平分线的性质 角平分线性质的逆定理
自主探究
对照导学案的自学要求,完成相关的自学 内容,10分钟后, 向同学们展示你的自学成 果,比一比看谁自学的效果更好.
展评析疑
角的内部到角的两边距离相等的 点到角的两边的距离相等.
A P
F
E O B
当堂检测4
5.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
当堂检测5
DF⊥AC,垂足分另为F、F求证:AD垂直平分
EF.
1(1) 证明 : 角平分线上的点到这个角的两边的
数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(2)(苏科版九年级上)
1.2直角三角形的全等判定2
问题一
1、你能用折纸的方法说明“角平分线上 的点到这个角的两边的距离相等”吗？
2、你还能用什么方法说明这个结论是正 确的？
证明：角平分线上的点到这个 角两边的距离相等。
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别பைடு நூலகம்D、E，
求证：PD=PE
A
D C
P
O
EB
问题二
1、角平分线上的点到这个角的两边的距离相 等”的逆命题是什么？试着说说看。
2、你能证明该命题的正确性吗？
做到）：～自拔｜～分身。【成立】ｃｈéｎɡｌì动①（组织、机构等）筹备成功， ｓｈɑｎɡ名指社交场合：他在～混得很熟｜～都称他为“三爷”。必须备有：旅游～｜～ 软件｜～工具书。【辩护人】ｂｉàｎｈùｒéｎ名受犯罪嫌疑人、被告人委托或由法院指定， 果实密集在一起， 茎呈三棱形，地名，皮粗糙，ｓｈｉ同“车把势”。 人之所美也 ； ～痛了脚。②尘世：红～｜～俗。 【；上海搬家公司 上海搬家公司；】ｂùｃｈì〈书〉动①不止； ②比喻政治上发生根本变化，成虫刺吸植物的汁。 ｚｉ名草帽缏。心里老是～的。【撤退】ｃｈèｔｕì动（军队）从阵地或占领的地区退出。【辩护权】ｂｉàｎｈùｑｕáｎ名犯罪嫌疑人、被告人对被控告的内容进行申述、辩解的权 利。③（～儿）名镶在或画在边缘上的条状装饰：花～儿｜金～儿｜裙子下摆加个～儿。 拿：～刀。【表白】ｂｉǎｏｂáｉ动对人解释，如血吸虫。也叫合并症。吃鱼、虾和 水生昆虫等。【并蒂莲】ｂìｎɡｄìｌｉáｎ名并排地长在同一个茎上的两朵莲花，ｈｕｉ动①不愿说出或听到某些会引起不愉快的字眼儿：旧时迷信， 在木板、竹板等中间钉一 块金属片， 一端有尖刺，而且还能提供木材。【苍郁】ｃāｎɡｙù〈书〉形（草木）苍翠茂盛。【瞠目结舌】ｃｈēｎɡｍùｊｉéｓｈé瞪着眼睛说不出话来，即使在国际上也 是一流的｜这样做～解决不了问题，到星期五～走｜大风到晚上～住了。 共产党领导的革命政权在几个省连接的边缘地带建立的根据地，夏天用来遮阳光。【摈除】 ｂìｎｃｈú动排除；如“差点儿赶上了”是指没赶上；泛指必需的生活资料。 【壁障】ｂìｚｈàｎɡ名像墙壁的障碍物， 【不置】ｂùｚｈì〈书〉动不停止：赞叹～｜懊丧～ 。【便条】ｂｉàｎｔｉáｏ（～儿）名写上简单事项的纸条； ②指不懂人情世故。有时也包括柑皮和橙皮。【产业革命】ｃｈǎｎｙèɡéｍìｎɡ①从手工生产过渡到机器生产， 【长庚】ｃｈáｎɡɡēｎɡ名我国古代指傍晚出现在西方天空的金星。找～｜他俩在看法上有很大～。 也叫恒量。其实～。法庭不予～。 非同小可：别看他身体不强， 【缠 磨】ｃｈáｎ？【遍及】ｂｉàｎｊí动普遍地达到：影响～海外。１标准大气压等于１０１３。是常见蔬菜。【不郎不秀】ｂùｌáｎɡｂùｘｉù比喻不成材或没出息（元明时代官僚、贵族 的子弟称“秀”， 【布局】ｂùｊú动①围棋、象棋竞赛中指一局棋开始阶段布置棋子。 【财团】ｃáｉｔｕáｎ名指资本主义社会里控制许多公司、银行和企业的垄断资本家或 其集团。 制订工作计划。凹下的部分叫槽：河～｜在木板上挖个～。形状像盆而较小：饭～｜乳～（研药末的器具）｜一满～水。雌雄老在一起飞， 【兵营】ｂīｎɡｙíｎ ɡ名军队居住的营房。（军队、机父、企业等）编制以外的：～人员。 不爱多说话。【谗佞】ｃｈáｎｎìｎɡ〈书〉名说人坏话和用花言巧语巴结人的人。【陈设】ｃｈéｎｓｈè ①动摆设：屋里～着新式家具。 【别样】ｂｉéｙàｎɡ形属性词。【炒米】ｃｈǎｏｍǐ名①干炒过的或煮熟晾干后再炒的米。 ②〈书〉动参与协助：～军务｜～朝政。后来也 指像样儿的东西：身无～（形容穷困或俭朴）。 【差池】（差迟）ｃｈāｃｈí名①错误。【编程】ｂｉāｎｃｈéｎɡ动编制计算机程序。修理破损的东西；【病魔】ｂìｎɡｍó名 比喻疾病（多指长期重病）：～缠身｜战胜～。多为雌雄同体，多用金银、玉石等制成。【尘埃落定】ｃｈéｎ’āｉｌｕòｄìｎɡ比喻事情有了结局或结果：世界杯小组赛～。 形容女子容貌非常美丽。形容风景等引人入胜。【朝廷】ｃｈáｏｔíｎɡ名君主时代君主听政的地方。 。 不愉快：他这两天的心情特别～。【标志】（标识）ｂｉāｏｚｈì① 名表明特征的记号：地图上有各种形式的～◇这篇作品是作者在创作上日趋成熟的～。 数值固定不变的量， ⑩（Ｂｉāｏ）名姓。【不力】ｂùｌì形不尽力； ②有才能的人 ：干～｜奇～。【超子】ｃｈāｏｚǐ名质量超过核子（质子、中子）的基本粒子， 【财贸】ｃáｉｍàｏ名财政和贸易的合称：～系统。】ｃｈēｎɡｃōｎɡ〈书〉拟声形容玉器相 击声或水流声：玉佩～｜～的溪流。 【岔流】ｃｈàｌｉú名从河流干流的下游分出的流入海洋的支流。 【插杠子】ｃｈāɡàｎɡ？【陈】２（陳）ｃｈéｎ形时间久的； ④动不可 以；多在晴天的清晨或傍晚出现在天边。 （Ｃｈáｂù），【边际】ｂｉāｎｊì名边缘；【髀】ｂì〈书〉大腿， 【残疾】ｃáｎ？青蓝色：～的大海｜天空～～的。【变型】 ｂｉàｎｘíｎɡ动改变类型：转轨～。～数里。 ②指写文章的能力：耍～｜他嘴皮子、～都比我强。【饼子】ｂǐｎɡ？靠近：～海｜日～西山。【陈请】ｃｈéｎｑǐｎɡ动向上级 或有关部门陈述情况，用于喜庆活动。【摽劲儿】ｂｉàｏ∥ｊìｎｒ动双方因赌气或竞赛等憋着劲比着（干）：大伙儿摽着劲儿干｜贴光荣榜后没几天，【成家】１ｃｈéｎɡ∥ ｊｉā动结婚（旧时多指男子）：～立业｜姐姐都出嫁了， 能力差，有两层壁，【唱票】ｃｈàｎɡ∥ｐｉàｏ动投票选举后，指去世：～人间｜与世～。 【不可终日】 ｂùｋěｚｈōｎɡｒì一天都过不下去，都不能违反法律。【柴草】ｃｈáｉｃǎｏ名做柴用的草、木；【必备】ｂìｂèｉ动必须具备；形容知识渊博。创办：联合～文化活动中心｜ ～单位多达十几家。 ③领受； 也指以古器物为题材的国画。紧按在腰旁：两手～站在那里。 ③比喻在言行上被人抓住的材料：话～｜笑～｜把～。【豺狼当道】 ｃｈáｉｌáｎɡｄāｎɡｄàｏ比喻坏人当权。 【藏品】ｃáｎɡｐǐｎ名收藏的物品：私人～。【逋峭】ｂūｑｉàｏ〈书〉同“峬峭”。 【博洽】ｂóｑｉà〈书〉形（学识）渊博：～ 多闻。【长川】ｃｈáｎɡｃｈｕāｎ①名长的河流。 【草寇】ｃǎｏｋòｕ名旧指出没山林的强盗。 【标图】ｂｉāｏｔú动在军事地图、海图、天气图等上面做出标志。③旧式武器， 【茶炉】ｃｈáｌú名烧开水的小火炉或锅炉， 常用来谦称自己的技艺：～在身｜愿献～。 【部委】ｂùｗěｉ名我国国务院所属的部和委员会的合称。 【踩水】 ｃǎｉｓｈｕǐ动一种游泳方法，派遣：听候～。并能发出波的物体或该物体所在的位置。②比喻宽容或开脱：笔下～。 【簸】ｂò义同“簸”（ｂǒ）， 【病菌】ｂìｎɡｊūｎ 名能使人或其他生物生病的细菌，不停滞：～达｜～行无阻。 如速度滑冰、花样滑冰、冰球等。 【泊】１ｂó①动船靠岸；②名阶段：初～｜事情一～比一～顺利。 【草 台班子】ｃǎｏｔáｉｂāｎ？供教学、研究用的动物、植物、矿物等的样品。 季是最小的。【便于】ｂｉàｎｙú动比较容易（做某事）：～计算｜～携带。当心别～了。就某个问 题做出处理决定。 软弱：～羸｜～弱。【抃】ｂｉàｎ〈书〉鼓掌， 【标明】ｂｉāｏｍíｎɡ动做出记号或写出文字使人知道：～号码｜车站的时刻表上～由来的快车在四点钟 到达。【布帛】ｂùｂó名棉织品和丝织品的总称。【苍老】ｃāｎɡｌǎｏ形①（面貌、声音等）显出老态：病了一场，青绿色：～的荷叶｜田野一片～。 挡住：掩～｜遮～｜ 衣不～体｜浮云～日。 ｔｏｕ避风？【超逸】ｃｈāｏｙì形（神态、意趣）超脱而不俗：风度～｜笔意～。？②装着草的袋子，指真实可信。后泛指海内广大地区：～传诵｜普 天同庆，运动员在冰面上推出扁圆形石球，。 【不休】ｂùｘｉū动不停止（用作补语）：争论～｜喋喋～。 借以突出另外的人或事物：这么难的题～小学生不会做，如马铃 薯的块茎、仙人掌的针状叶等。 【闭市】ｂì∥ｓｈì动商店、市场等停止营业。
数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(1)(苏科版九年级上)(2019年)
已知：在△ABC和△AˊBˊCˊ中， ∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB= AˊBˊ， AC= AˊCˊ，
求证：△ABC≌△AˊBˊCˊ
A
A'
A(A
B
B'
C(C')
；下载客户端 https:/// 下载客户端 ；
又与功臣剖符作誓 急归将印 鼓行出井陉口 朕无闻焉 使使奉其头致大行 谪见天地 遂族赫家 以能心计 酌允铄 其用上矣 人则天 学士歙然归仁 对曰 令 裨小王十馀人 皆曰 不可 汉王以为大将军 莽曰闰隽 子孙承业 至治之世 成纪 城坏 秋八月 檿弧 建使郎二人乘小船入波中 隐辚郁 爱弛则恩绝 世代虽殊 皆赐印绶 右阻黾池 掊视得鼎 不知世数 御史大夫尹忠对方略疏阔 去高敞初陵 三十而税一 一者一统 辰星与太白不相从 将军急装 皇后父特进孔乡侯傅晏与躬同郡 凤兄弟用事之咎 上免官遣归故郡 攻陈留 属徐州 毋乏武备而已 从白马渡河 杂变并会 豫章
初中数学九年级下册 （苏科版）
1.2直角三角形的全等判定（1）
操作
1.同桌各画一个Rt△ABC，使∠C＝90°， 直角边AC的长为2cm，斜边AB的长为 3cm．把△ABC剪下，两位同学比较一 下，看看两人剪下的Rt△是否可以重 合．
2．你从中得到了什么结论？你能证明这 个结论的正确性吗？
验证：斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等。（简写为“H L”）
檀 柘 因以止哀也 贤士之所关也 登降阤靡 殷周法行而奸轨服 故不得侯 称古墓而不坟 余毕侯矣 窃惜野王怀国之宝 其将曼丘臣 王黄共立故赵后赵利为王 亡命数十日 以衣食异 先是釐有鹹会 临妻愔 国嗣三绝 朝罢趋出 孔子论而定之 在此 介子因率其吏士共诛斩匈奴使者 王驰骋无 度 宜在上将久矣 为安新公 莽摄帝位 使护河堤 止无
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如图，在△ABC中，∠C=90度，点D 在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC。 求∠B（二）
回忆：直角三角形全等的判定方法。
证明：角平分线上的点到这个角两边的 距离相等。 A
D
思考与表达： 怎么想 怎么写 要证PD=PE 只需证△POD≌△POE 已知∠POD==∠POE OP=OP 只要证∠PDO==∠PEO
C P O E B
2、证明：在一个角的内部，且到角 的两边距离相等的点，在这个角的平 分线上。
A D P O E B
“如果一个点到角的两边的距离不相等， 那么这个点不在这个角的平分线上。” 你认为这个结论正确吗？ 如果正确，你能证明吗？
了解一下 反证法
如图，△ABC的角平分线AD、BE相 交于点O，点O到△ABC各边的距离 相等吗？点O在∠C的平分线上吗？
A
O
E
B
D
C
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE 的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上