极坐标(高考考点解析)

极坐标与参数方程 目录题型1：求圆或直线的极坐标方程 .......................................................................................................................... 1 题型2：极坐标方程化参数方程 .............................................................................................................................. 1 题型3：参数方程化极坐标方程 .............................................................................................................................. 2 题型4：求圆与直线的交点 ...................................................................................................................................... 4 题型5：求两点间距离 .............................................................................................................................................. 4 题型6：求点到直线的距离 ...................................................................................................................................... 5 题型7：极坐标的综合性问题 . (6)题型1：求圆或直线的极坐标方程【例1】【2013年高考安徽卷（理）】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A ．0()cos 2R θρρ=∈=和B ．()cos 22R πθρρ=∈=和C ．()cos 12R πθρρ=∈=和 D ．0()cos 1R θρρ=∈=和【答案】B【解析1】由2cos ρθ=知，圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆与极轴的两个交点坐标为(0,0)，(2,0)。

过极点(0,0)且与极轴垂直的直线的极坐标方程为()2R πθρ=∈。

过点(2,0)且与极轴垂直的直线的极坐标方程为cos 2ρ=。

【规律方法】（1）熟记课本12页——14页的结论。

（a ）半径为a ，圆心C 坐标为(,0)(0)a a >，圆C 的极坐标方程为2cos a ρθ=；（b ）过点(,0)(0)A a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为cos a ρ=。

（2）识模，解模。

（a ）识模：能识别并理解极坐标方程表示的图形； （b ）解模：根据图形的几何意义解题。

【解析2】2cos ρθ=22cos ρρθ⇒=222x y x ⇒+=22(1)1x y ⇒-+=。

当0y =时，得圆与x 轴的两个交点的横坐标为0与2，所以与圆相切且与x 轴垂直的两条直线方程为0x =，2x =。

将两切线的直角坐标方程利用cos x ρθ=化为极坐标方程()2R πθρ=∈，cos 2ρ=。

【规律方法】（1）先将极坐标问题转化为直角坐标问题，在直接坐标系下求解。

（2）再将直角坐标系下的结论转化为极坐标系下的结论。

【提示】将极坐标问题转化为直角坐标问题，是解决极坐标问题的常用方法。

题型2：极坐标方程化参数方程【例2】【2013年高考广东卷（文）】已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为____________.【解析1】2cos ρθ=⇒=222x y x ⇒+=22(1)1x y ⇒-+=1cos ,sin .x y θθ=+⎧⇒⎨=⎩（θ为参数）。

【规律方法】（1）极坐标方程化参数方程时，首先将极坐标方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为参数方程。

其中直角坐标方程起桥梁作用，过渡作用。

（2）极坐标方程化为直角坐标方程，只需把公式ρ=，cos θ=，sin θ=tan yxθ=等直接代入并化解即可； （3）将圆的直角坐标方程化为参数方程时，应牢记关系：圆的直角坐标方程为222()()x a y b r -+-=，对应的参数方程为cos ,sin .x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）。

【解析2】2cos ρθ=22cos ρρθ⇒=222x y x ⇒+=22(1)1x y ⇒-+=1cos ,sin .x y θθ=+⎧⇒⎨=⎩（θ为参数）。

【规律方法】极坐标方程化为直角坐标方程，往往需要通过两边同时乘以ρ，或两边同时平方等，构造出形如2,cos ,sin ,tan ρρθρθθ，然后整体代换。

【错解】2cos ρθ=224cos ρθ⇒=2241tan ρθ⇒=+222241x y y x⇒+=+222224x x y x y ⇒+=+2222()4x y x ⇒+=222x y x ⇒+=±22(1)1x y ⇒±+=1cos ,sin .x y θθ=+⎧⇒⎨=⎩或1cos ,sin .x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数）。

【错因分析】 计算过程中两边同时平方，产生了增根。

【防范措施】如果计算过程有可能产生增根，最后一定要对根进行检验。

题型3：参数方程化极坐标方程【例3】【2013年高考课标Ⅰ卷（文）】已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程;（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）.【解析】（1）将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩，消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即1C ：22810160x y x y +--+=， 将cos ,sin .x p y p θθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；所以1C 极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=. （2）2C 的普通方程为2220x y y +-=，由2222810160102 2.20.x y x y x x y y x y y ⎧+--+===⎧⎧⎪⎨⎨⎨==+-=⎪⎩⎩⎩，，，解得或， 所以12C C 与交点的极坐标为),(2,)42ππ.【规律方法1】（1）参数方程化极坐标方程时，首先将参数方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程。

其中直角坐标方程起桥梁作用，过渡作用。

（2）将圆的参数方程化为直角坐标方程时，应牢记关系：圆的参数方程cos ,sin .x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），对应的直角坐标方程为222()()x a y b r -+-=。

利用,,a b r 的几何意义直接转化。

（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式cos ,sin x p y p θθ==直接代入并化解即可；【规律方法2】求两曲线交点的极坐标的方法。

（1）将两曲线的方程转化为直角坐标方程，求得交点的直角坐标交点。

（2）将交点的直角坐标转化为极坐标。

【练习1】【2013年高考广东卷（理）】已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为_____________.【答案】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的直角坐标方程式222x y +=。

因为直线OC 的斜率为1，所以切线l 的斜率为-1，所以切线l 的点斜式方程为1(1)y x -=--，可化为2x y +=。

将2x y +=化为极坐标方程是cos sin 2ρθρθ+=，利用辅助角公式化简得sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

【练习2】【2013年高考江西卷（理）】设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2cos sin 0ρθθ-=【解析】曲线C 的直角坐标方程是2y x =。

化为极坐标方程是22sin cos ρθρθ=，整理得2cos sin 0ρθθ-=。

题型4：求圆与直线的交点【例4】【2013年高考辽宁卷】在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （I ）求1C 与2C 交点的极坐标;【解析】4sin ρθ=24sin ρρθ⇒=224x y y ⇒+=。

cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(cos sin )2ρθθ⇒+=cos sin 4ρθρθ⇒+=4x y ⇒+= 将4x y +=代入224x y y +=，消去x ，得2680y y -+=，解得12y =，24y =。

将12y =，24y =代入4x y +=，得12x =，20x =。

所以1C 与2C 交点的极坐标为(4,)2π，)4π。

【规律方法】极坐标方程化为直角坐标方程一般要变形，构造形如cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+进行整体代换。

其中方程两边同时乘以（或除以）ρ，方程两边同时平方是常用的变形方法。

题型5：求两点间距离【例5】【2013年高考重庆卷（理）】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点，则 【答案】【解析】直线的直角坐标方程是4x =。

将4x =代入，得2t =±，近一步得114,8.x y =⎧⎨=-⎩与224,8.x y =⎧⎨=⎩ |||8(8)|16AB =--=。

【规律方法】一般地：（1）将极坐标方程与参数方程化为直角坐标方程； （2）求出交点坐标；（3）利用两点间距离公式求解。