刚体力学
第三章刚体力学基础
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体力学
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1
T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M
r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r
合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
大物刚体力学公式总结
大物刚体力学公式总结一、基本概念刚体力学是研究刚体运动和静力学平衡条件的一个分支学科。
所谓刚体是指形状不变的物体，其内部各点间的距离在运动或受力作用下保持不变。
刚体的运动可以分为平动和转动两种类型。
二、刚体运动的描述刚体的平动运动可以用质点的运动来描述，质点的位置可以用位矢来表示。
刚体的转动运动可以用刚体固定在某一轴上的角度来描述。
刚体的运动状态可以用位移、速度和加速度来表示，其中位移是位置的变化量，速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率。
三、刚体力学的基本公式1.平动运动的基本公式：•位移公式：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
即 S = V0t + (1/2)at2；•速度公式：速度等于初速度加上加速度乘以时间。
即 V = V0 + at；•加速度公式：加速度等于速度差除以时间。
即 a = (V - V0) / t。
2.转动运动的基本公式：•角位移公式：角位移等于角速度乘以时间。
即θ = ωt；•角速度公式：角速度等于角位移除以时间。
即ω = θ / t；•角加速度公式：角加速度等于角速度差除以时间。
即α = (ω - ω0) / t。
3.平衡条件公式：•平衡条件一：物体受力的合力等于零。
即ΣF = 0；•平衡条件二：物体受力的合力矩等于零。
即ΣM = 0。
四、刚体的平衡问题刚体在平衡时，其受力和受力矩必须满足平衡条件。
通过平衡条件可以解决刚体的平衡问题，例如平衡杆的支点位置计算、悬挂物体的平衡问题等。
刚体的平衡问题还涉及到力的作用点的选取、力的方向的确定等。
通过恰当选择作用点和确定力的方向，可以简化刚体的平衡问题的求解。
五、刚体力学问题的求解步骤1.定义问题：明确刚体的运动类型和求解目标。
2.给定条件：根据实际情况给出题目的已知条件。
3.分析问题：根据题目所给条件，分析问题的物理本质和特点。
4.建立模型：根据问题的要求，建立适当的物理模型。
5.进行计算：根据已知条件和所建模型，进行计算求解。
第5章 刚体力学
F Fz F
z k Fz来自 F M z k r F M z rF sin
O
r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
大学物理讲义
M M1 M 2 M 3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
大学物理讲义
四
角量与线量的关系
d dt
d d 2 dt dt
2
a
an r
et v a
t
at r an r
2
大学物理讲义
5.2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
M
F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴
>0
z
z
<0
d dt
定轴转动(fixed-axis rotation)的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标变量 .
大学物理讲义
三
匀变速转动公式
大学物理讲义
质点运动
转动(rotation)：刚体中所有的点都绕同一直线 做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
大学物理讲义
二 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r 角位移
第3章刚体力学基础
将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。
第7章-刚体力学
d
3g
cos
d
0
0 2l
＝
3g sin
l
运用质心运动定理，对质心C：
nˆ F1
F
F2
l
O C
ˆt
mg
x
nˆ : F1 mg sin man ˆt : F2 mg cos mat
F
an
r2
l 2 2
3g sin 2l
l 3g cos
at
r
2
4
F12 F22
arctan F1 F2
(7.5.2)
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动 力学方程.
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定
滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动
L
r1
r1
L2
L1
r2
O r2
m2
k
2mr 2
v1 v2 r
2如.转图轴, 为非对称k 轴对O点同样有
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(二)刚体力学1．质量分布均匀的两个滑轮A 和B ，用细绳相缠绕，其中A 轮质量为M 1，半径为R 1，悬挂在天花板上，B 轮质量为M 2，半径为R 2，B 轮从静止状态沿铅直方向下落，试求B 轮质心的速度与下落距离的关系。
（忽略轮轴间摩擦及细绳质量）2．如图所示，一人质量为m 1，站在一起重机笼内，笼的质量为m 2，半径为R 的滑轮质量为M ，滑轮与绳之间无滑动，滑轮与轴承之间的摩擦不计，绳的质量也不计，人用力拉绳，使人与笼一起以加速度a 上升，两绳皆可视为铅直。
（1） 画出m 1、m 2 及滑轮受力图。
（2） 列出求解T 1、T 2所需的方程。
3．如图所示，定滑轮视为质量均匀分布的圆盘，质量为m ，半径为R ，物体A 的质量为2m ，物体B 的质量为m ，物体C 的质量为2m ，系统用轻绳连接 ，绳和滑轮间没有滑动，轴处无摩擦，求绳中张力T 1 、T 2 、 T 3的大小。
4．匀质圆盘A 质量为m ，半径为R o ，匀质圆盘B ，质量为4m ，半径为2R o ，B 盘静止于光滑水平面上，A 盘以ωo 绕盘中心在水平面内转动，后将A 盘轻轻的放到B 盘上，A 、B 间的摩擦系数为μo ， 求：（1） A 、B 盘最终以多大的角速度转动？（2） 从A 放到B 上开始经多长时间A 、B 以共同的角速度转动？5．一定滑轮，质量为m 1，半径为r ，挂于天花板上，如图所示，滑轮上跨过一不能伸长的均匀柔软的细链，链长为L ，质量为2 2题图4题图m 2，链的两端各悬一碗，碗中盛粘土半满， 碗和土的总质量为m 3，原来链长两边相等时，静止不动，现在质量m 4很小的小球，在右碗的正上方高h 处，由静止落入碗中，于是滑轮和链开始运动，假设滑轮与链间无滑动，轮轴是光滑的，试求当右碗下降s 距离时，其速度是多少？6．一根均匀细钢棒重w ，它的两端用两个垂直的支撑使它保持水在，t=0时。
把其中一根支撑拿走，求另一根支撑物此刻所受的力。
7．一质量m ，半径为R 的圆盘。
可绕过中心的竖直轴无摩擦地转动。
一轻绳绕在圆盘上并跨过一个质量也为m 。
半径为r 的定滑轮B ，( 视为圆盘 )系在质量为M 的物体C 上。
当物体C 沿竖直方向下落时，绳与圆盘，滑轮间无滑动。
求（1） 物体C 下落的加速度.（2） 圆盘与滑轮间，滑轮间与物体C 之间绳的张力8．有一架长为2a ， 质量为M 的匀质梯，以外力保持其靠在光滑的垂直壁和水平面上，梯与光滑水平面的初始交角为 。
问（1）当外力突然去后，求梯的运动，（2）在什么角度梯子与垂直壁脱离。
9．如图所示，一质量为M 的人，站在铁道上的车上，小车以速度v 沿无倾斜的半径为R 的圆轨道上运动。
人相对小车静止并保持相同的站立姿势，人的质心距小车平面的高度L ，两脚间距为d ，求人的每只脚对小车的压力。
6题图 A T 1 B T 2 M C 7题图 2a θ 8题图10．一个刚性球体从与水平面成θ角的斜面上无滑动的滚下，求质心的平动加速度。
11．一个质量为m 半径为R 的实心均匀圆柱体放在与水平成θ角的斜面上圆柱体与斜面间摩擦系数μ，对θ小于某个监界角θC时，圆柱将无滑地往下滚动。
问(1) 角度 θC 有多大？(2) 对于θ<θC 情形，加速度a 为多少？12．使半径R=10cm 重量 p=10kg 的均匀实心圆柱体以角速度ωo=10转/秒、绕中心轴转动，然后将此匀速转动的圆柱体轻轻放在摩擦系数=μ0·1的水平面上。
问径过多长时间后圆柱体变为纯滚动？13．用杆猛击一个原来静止着的弹子球，球杆水平地打在中心线上R 76 处，设球被击中后质心C 以速度v o 向前运动，仅在击球瞬时可忽略摩擦力的影响，由于球被击后旋转对地存在滑动，因此产生摩擦求：球由有滑动到纯滚动开始后的速率。
14．如图所示，左边的球以速率v 水平地向着静止的相同的球作无滑滚动，每个球都是质量为M的均匀球，假设在碰撞时所有的摩擦力足够小，产生的效应均可忽略，并且瞬时碰撞是完全弹性的，计算（1） 在碰后相当长的时间后每个球重新作无滑滚动时的速度。
（2） 由于摩擦力使初始能量转化为热能的百分数。
10题图 11题图 12题图 15题图15．两均匀圆柱分别绕它们本身轴转动二轴平行，一圆柱的半径为R1质量为M1, 另一圆柱半径为R2，质量为M2,开始它们沿同一转向分别以Ω1和Ω2的角速度转动，然后平移二轴使它们在共同切点接触。
当最后达到稳定状态时，求每个圆柱的角速度。
16．一质量为m 半径为R 高为h=R 的圆柱体。
可绕轴线OOˊ转动，在圆柱侧面上开有一与水平成α=45o角的螺旋槽,放一质量也为m 的小球于槽中,开始时小球由静止从柱顶端A 受重力作用下滑下，圆柱体同时发生转动，设各摩擦均不计，试求当小球滑落到圆柱体底部B 时，小球相对圆柱体的速度和圆柱体的角速度。
17．如图所示、圆柱体的轴固定不动，最初圆柱体是静止的，一质量为m的木块以速率v o无摩擦地向右滑动，它经过圆柱体而到达虚线所示的位置，当它和圆柱体接触时，它就在圆柱体上滑动。
但因摩擦足够大，以至于在它刚和圆柱体停止接触时，它在圆柱体上的滑动就同时停止。
设圆柱体半径为R 转动惯量为J, 求木块最后速率.。
18．如图所示：半径为r 的均质小球自半径为R 的大球顶部由静止开始受微小扰动而无滑地滚下，大球固定不动。
试求小球开始脱离大球时的角度。
19．置于光滑水平面的均匀细长杆，与绕过杆心的竖直向上固定轴连结并可自由转动，杆长为L 质量为m, 质量也为m 的质点以v o速度在水平面上垂直于杆运动，碰撞到距杆的一端为L41的位置并粘在其上。
求:17题图16题图18题图19题图（1）碰后杆绕固定轴的转动的角速度；（2）杆转动后，轴所受力的大小。
20．如图所示。
质量为m 半径为r 的实心球、由与固定环形轨道连接的直边一点从静止开始无滑动地滑下，环形轨道半径为R ，R>r ，求：（1） 至少应在轨道最低点A 以上什么位置(高度h) 将球放下，才能使小球滚到轨道最顶点C ?（2） 假定该小球从轨道最低点以上6R(h=6R)处从静止开始滚下，问在B 处作用在小球上的力的水平分量为多少？B 点与环形轨道中的O 点在同一水平线上。
21．一质量为M 半径为R 均匀圆柱体，放在粗糙的水平面上，上面绕着细绳，现用水平力F 0拉动细绳 ，使圆柱体在水平面上作无滑滚动。
求：（1） 圆柱体的加速度；（2） 水平面对它的摩擦力。
22．一半径为R 的圆柱体。
静止于小车内，圆柱与底板间有足够的摩擦力，使得圆柱体在其上仅能做纯滚动，现使小车从静止开始以加速度a 做匀加速运动，求柱体质心相对小于小车的加速度（只讨论柱体与车壁碰撞前的情况）。
23．如图所示、一质量为 m 长为L 的细长杆可绕过杆一端的光滑固定轴O 在光滑水平面内自由转动,开始时，杆在水平面内处于静止状态，另一质量为 m 的小球以初速度v o 垂直打杆的另一端点A 发生非完全弹性碰撞，恢复系数为e 。
求（1）碰后杆绕固定轴转动的角速度。
20题图 a 22题图 O v 023题图（2）小球的速度大小、方向。
24．如图置于水平光滑平面上的匀质细长杆，其质量为m 长为L,此杆可绕过A 端的竖直固定转轴无摩擦地转动，杆处于静止状态，有一质量也为m 的质点以 速度v o 垂直地碰撞杆的B 端,设碰撞是完全弹性的.求:（1） 碰后杆绕轴转动的角速度。
（2） 碰后杆的转轴所受杆的作用力的大小和方向 。
25．在光滑水平面上有一长为L ，质量为m 的匀质细长杆、可绕中心 O 垂直于水平面的轴自由转动，一质量为m 的质点在光滑水平面内垂直地碰撞杆的左端，速度为v o ，，质点与杆的碰撞的恢复系数e=0·5 。
求碰后杆绕轴转动的角速度及质点运动速度？26．质量为M 、半径为r 的均质圆柱体放在粗糙水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。
求圆柱体质心的加速度，物体的加速度及绳中张力。
27．如图所示，均匀细长麦杆长为L ，可绕通过中心O 的固定水平轴在铅直面内自由转动，开始时麦杆静止于水平位置，一质量与麦杆相同的甲虫以速度 v o 垂直落到麦杆的41 长度处，落下后立即向端点爬去。
试问（1） 为使麦杆以均匀的角速度转动甲虫沿麦杆的爬行速度应是多少？（2） 甲虫轨迹的参变方程是什么？（3） 为使甲虫在麦杆转到铅直位置前能爬到端点，甲虫下落的速度v o 的最高值是多少？26题图 O v 0 m 25题图28．在一倾角为45o 的固定斜面的下端有一质量为m 半径为R 的圆柱体，给圆柱体质心以速度v o ，使其沿斜面向上运动，圆柱体与斜面间最大静摩擦系数为μ =21 ，分别就下两种情况求出圆体沿斜面上升的最大距离 S 。
（1） 圆柱体运动一开始便作纯滚动 即质心速度v o ,柱体绕质心转动角速度为ωo ，ωo =RV O 。
（2） 质心速度为v o ，绕质心转动的角速度为零。
29．如图所示，一固定的抛物状斜面，以斜面最低点为分界线。
斜面右侧是粗糙的，现有一质量为m 半径为r 的实心小球，在小球质心距斜面最低高为H 处，在左侧光滑斜面上由静止释放。
问小球第一次在右侧粗糙斜面上能够上升的最大高度h 为多少？设小球一经接触粗糙斜面便做纯滚动，且r<<H ，r<<h 。
30．如图所示，一倔强系数为k 的弹簧，一端固定，另一端与质量为m 2 边长为2R 的正立方体相连，m 2 静止于光滑水面上。
质量为m 1 半径为R 的匀质球体自高为h 的粗糙斜面上无滑滚下,在A 处与m 2 相碰后合在一起运动，求弹簧所受的最大压力。
31．在光滑水平面上有一弹簧，其一端固定于光滑的轴承O 上，另一端拴一质量为m=2kg 的质点，弹簧的质量很小及原长很短，因此都可忽略，质点m 沿半径为r o 的圆周做匀速率圆周运动，弹簧作用与质点m 上的弹性力为3r o 牛顿，此时系统的总能量为12 焦耳。
（1） 求质点m 的运动速率及圆轨道半径。
29题图28题图 30题图（2） 设一沿半径向外的瞬时冲量作用于质点上，使质点得到一沿半径向外的速度 v r =1m/s ，求新轨道的极大极小值。
32．如图，质量分别为m 1 和m 2 的二滑块，分别穿于二平行水平光滑导杆上，二导杆间距离为d ，再以一弹性系数为k 原长为d 的弹簧连接二滑块，如图所示，设开始时m 1 位于x 1 =0处，m 2 位于x 2 =L 处，且其速度均匀为零，试求释放后两滑块的最大速度分别是多少？33．一质量为m 的小球放在光滑的水平桌面上，用一穿过桌面中心光滑小孔的绳与小球相连。