第三章 刚体力学习题解答
第03章---刚体力学习题汇总
（A）匀角速转动； （B）匀角加速转动；
（D）
（C）角加速度越来越大的变加速运动；
（D）角加速度越来越小的变加速运动。
分析：当棒转到θ角位置时，棒所受 到的外力矩为:
θ
M 1 mgLcos 根据转动定律 M I ，有：
2
mg
1 mgL cos
可见角5
5. （a）（b）两图中的细棒和小球均相同，系统可绕o 轴在竖直面内自由转动系统从水平位置静止释放，转
(D)只有动量守恒
（C）
分析：
（A）错。非弹性碰撞，机械能不守恒。 （B）错。轴上有外力，动量不守恒。
（C）对。外力矩为零，角动量守恒。
2
2.一绕固定水平轴0匀速转动的转盘，沿图示的同一 水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的 子弹并留在盘中，则子弹射入转盘后的角速度
(A)增大 (B)不变 分析：
边缘并粘在上面，则系统的角速度是
3v
。
分析：取如图的细长条面积：
4b
b
I r 2ds r 2adr
1 ab3 1 mb2
0
3
3
合外力矩为零，系统角动量守恒。
mvb (1 mb2 mb2 )
3
3v
4b
9
二、填空题
1.如图，半径为R，质量为M的飞轮，
可绕水平轴o在竖直面内自由转动（飞
R2
2 3
mgR
11
3.一飞轮的转动惯量为I，在t=0时角速度为 0 ， 此后
飞轮经历制动过程。阻力矩M的大小与角速度的平方
成正比，比例系数K>0。当 0 / 3 时，飞轮的角加
速度 = k02 9I ，从开始制动到 0 / 3所经过
刚体力学作业解答
1 ( MR 2 − mR 2 )ω 2
EK = 1 1 ( MR 2 − mR 2 )ω 2 2 2
4-11 •
30°
设碰后小球速度为v，受杆平均力f，作用时间∆t，则
小球 f∆t = mv − mv0 棒 − fl∆t = Iω − 0 (1) ( 2)
得
mv0 l − mvl = Iω
(3)
F (l1 + l 2 ) − N ′l1 = 0 (a)
Fy
l1
A
N ′
l2
闸 瓦
F
F r′
x
Fx
题图4-4(b)
N
α
Fr
R
N′ =
l1 + l 2 F l1
mg
⋅
O
ω
题图 4-4(c)
N′ =
l1 + l 2 F l1
N
飞轮受到闸瓦的摩擦力为：
l +l Fr = µN = µN ′ = µ 1 2 F l1
r r
α
r T
F = 98 N
m
mg = 98 N
(b)
T
a m
mg
(c)
(a)
题图4 = Jα
M Fr = = 39.2rad ⋅ s − 2 J J
（2）当绳子拉下l=5 m时，飞轮转过的角度 ω 2 = 2αθ =1960
θ=
l = 25rad r
ω = 44.3rad ⋅ s
θ = ω 0 t + αt 2 = 15 × 2π × 7.07 − × 13.3333 × ( π ) 2 = 53 × 2π (rad )
1 2 1 2 9 4
可知在这段时间里，飞轮转了53转． 53 (2)要求飞轮转速在t=2 s内减少一半，可知 ω0 − ω0 ω0 2 α= =− = −7.5πrad ⋅ s − 2
第3章例题_刚体力学基础
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刚体力学基础
解 （1)选小球和棒作为系统 碰撞瞬间角动量守恒
mv0l mvl J
弹性碰撞, 系统碰撞前后动能不变
1 2 1 1 2 mv0 mv J 2 2 2 2
机械能守恒 解得
1 l l 2 J Mg ( cos 60) 2 2 2
3 30 30 1 v0 m s ,v m s 1 4 4
2
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刚体力学基础
例3-6 有一根长为 l , 质量为m 的均匀细直棒, 棒可绕上端光 滑水平轴在竖直平面内转动. 最初棒静止在水平位置, 求它 由此下摆θ 角时的角速度。
解 选细棒和地球作为系统,机械能守恒
1 1 1 2 Ek J ml 2 2 2 2 3
l E p mghc mg sin 2
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3g sin l
刚体力学基础
例3-2 质量均为m 的两物体A 和B , A 放在倾角为α 的光滑斜 面上, 通过滑轮由不可伸长的轻绳与B 相连. 定滑轮是半径 为R 的圆盘, 其质量也为m . 物体运动时, 绳与滑轮无相对滑 动. 求绳中张力FT1 和FT2 及物体的加速度a(设轮轴光滑,滑 1 轮转动惯量为 J mR 2
2
' F 解 T 1 mgsin maA mg FT' 2 maB M FT 2 R FT 1R J a A aB R
FT'1 FT1 , FT' 2 FT 2
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2 3 sin FT 1 mg 5 3 2sin FT 2 mg 5 2(1 sin )
J R dm R
2 2
大物习题解答-大学物理习题答案(许瑞珍_贾谊明)-第3章 刚体力学
第三章 刚体力学3－1 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量。
若转动部分对其轴的转动惯量为J ，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩ωC M -=，又因为转动定理 dtd JJ M ωβ== dtd JC ωω=-∴ dt JC d t ⎰⎰-=∴00ωωωω t JC-=0lnωω t JCe-=0ωω当021ωω=时，2ln CJt =。
（2）角位移⎰=tdt 0ωθ⎰-=2ln 00C J t JC dt eωCJ 021ω=，所以，此时间内转过的圈数为CJ n πωπθ420==。
3－2 质量面密度为σ的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为)(1222b a ab J +σ=。
其中a ，b 为矩形板的长，宽。
证明一：如图，在板上取一质元dxdy dm σ=，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为 dm r dJ ⎰=2dxdy y x a a b b σ⎰⎰--+=222222)()(1222b a ab +=σ证明二：如图，在板上取一细棒bdx dm σ=，对通过细棒中心与棒垂直的转动轴的转动惯量为2121b dm ⋅，根据平行轴定理，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为22)2(121x adm b dm dJ -+⋅=dx x ab dx b 23)2(121-+=σσ 33121121ba a b dJ J σσ+==∴⎰)(1222b a ab +=σ3-3 如图3-28所示，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，求重物的加速度和各段绳中的张力。
解：受力分析如图ma T mg 222=- （1） ma mg T =-1 （2） βJ r T T =-)(2 （3） βJ r T T =-)(1 （4）βr a =，221mr J =(5) 联立求出g a 41=， mg T 811=，mg T 451=，mg T 232=3-4 如图3-29所示，一均匀细杆长为L ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过细杆中心的竖直轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。
理论力学课后习题第三章解答
理论力学课后习题第三章解答3.1解 如题3.1.1图。
均质棒受到碗的弹力分别为，棒自身重力为。
棒与水平方向的夹角为。
设棒的长度为。
由于棒处于平衡状态，所以棒沿轴和轴的和外力为零。
沿过点且与轴平行的合力矩为0。
即：①②③ 由①②③式得：④ 又由于即⑤ 将⑤代入④得：图题1.3.11N ,2N G θl x y A z 0sin 2cos 21=-=∑θθN N F x0cos 2sin 21=-+=∑G N N Fyθθ0cos 22=-=∑θlG c N M i ()θθ22cos 1cos 22-=c l ,cos 2c r =θrc 2cos =θ3.2解 如题3.2.1图所示，均质棒分别受到光滑墙的弹力，光滑棱角的弹力，及重力。
由于棒处于平衡状态，所以沿方向的合力矩为零。
即①由①②式得：所以()cr c l 2224-=o图题1.3.21N 2N G y 0cos 2=-=∑G N Fyθ0cos 22cos 2=-=∑θθlG d N M z ld=θ3cos 31arccos ⎪⎭⎫ ⎝⎛=l d θ3.3解 如题3.3.1图所示。
棒受到重力。
棒受到的重力。
设均质棒的线密度为。
由题意可知，整个均质棒沿轴方向的合力矩为零。
3.4解 如题3.4.1图。
轴竖直向下，相同的球、、互切，、切于点。
设球的重力大小图题1.3.32AB i G ag ρ=1i G bgρ=2ρz ()BH BF G OD G M z --⋅=∑21sin θ=0sin cos 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθρθρa b gb a ga aba b 2tan 22+=θ图题1.3.4Ox A B C B C D为，半径为，则对、、三个球构成的系统来说，在轴方向的合力应为零。
即：①对于球，它相对于过点与轴平行的轴的合力矩等于零。
即：②由式得：3.5解 如题3.5.1图。
梯子受到地面和墙的弹力分别为，，受地面和墙的摩擦力分别为，。
第03章(刚体力学)习题答案
轮子的角速度由w ＝0 增大到w ＝10 rad/s，求摩擦力矩 Mr． [5.0 N·m]
解：摩擦力矩与外力矩均为恒力矩，所以刚体作匀角加速转动。其角加速度为：
b = w - w0 = 10 - 0 = 1rad / s2
Dt
10
合外力矩为： M合 = Jb = 15 ´1 = 15(N × m) = M - M r Þ M r = 5.0(N × m)
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
w
答：左边力的力矩比右边的大，所以刚体会被加速，其角加速
F
F
度增大。 3-4 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是什么？ 答：刚体所受的合外力矩为零。
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
度w0 ＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向里．求：
(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到w＝0 时，物体上升的高度；
m
习题 310 图
(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
[ 81.7 rad/s2 ，垂直纸面向外； 6.12×10-2 m； w = 10.0 rad/s，垂直纸面向外]
大学物理习题及解答(刚体力学)
1 如图所示，质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过一铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。
先使小球以速度0v 。
绕管心作半径为r D 的圆周运动，然后向下慢慢拉绳，使小球运动轨迹最后成为半径为r 1的圆，求(1)小球距管心r 1时速度大小。
(2)由r D 缩到r 1过程中，力F 所作的功。
解 (1)绳子作用在小球上的力始终通过中心O ，是有心力，以小球为研究对象，此力对O 的力矩在小球运动过程中始终为零，因此，在绳子缩短的过程中，小球对O 点的角动量守恒，即10L L =小球在r D 和r 1位置时的角动量大小 1100r mv r mv = 100r r v v =(2)可见，小球的速率增大了，动能也增大了，由功能定理得力所作的功 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=1)(21 21)(21 21212102020210202021r r mv mv r r mv mv mv W2 如图所示，定滑轮半径为r ，可绕垂直通过轮心的无摩擦水平轴转动，转动惯量为J ，轮上绕有一轻绳，一端与劲度系数为k 的轻弹簧相连，另一端与质量为m 的物体相连。
物体置于倾角为θ的光滑斜面上。
开始时，弹簧处于自然长度，物体速度为零，然后释放物体沿斜面下滑，求物体下滑距离l 时，物体速度的大小。
解 把物体、滑轮、弹簧、轻绳和地球为研究系统。
在物体由静止下滑的过程中，只有重力、弹性力作功，其它外力和非保守内力作功的和为零，故系统的机械能守恒。
设物体下滑l 时，速度为v ，此时滑轮的角速度为ω则 θωsin 2121210222mgl mv J kl -++= （1）又有 ωr v = （2） 由式（1）和式（2）可得 m r J kl mgl v +-=22sin 2θ本题也可以由刚体定轴转动定律和牛顿第二定律求得，读者不妨一试。
3 如右图所示，一长为l 、质量为m '的杆可绕支点O 自由转动，一质量为m 、速率为v 的子弹射入杆内距支点为a 处，使杆的偏转为︒30。
大学物理第三章刚体力学基础习题答案培训课件
1 )
t2
下次上课内容：
§5-1 简谐运动 §5-2 旋转矢量表示法 §5-3 单摆和复摆 §5-4 振动的能量
角动量定理
t2 Mdt
t1
J2
J1
角动量守恒 M 0, J 恒矢量
力的功
W
r F
drr
力矩的功 W Md
动 能 1 mv2
2
动能定理
W
1 2
mv22
1 2
mv12
转动动能 1 J 2
2
转动动能定理W
1 2
J22
1 2
J12
习 题 课 (三)
3-1 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，绳下端挂一
的角加速度 =
。从开始制动到 =1/3 0所经过
的时间t = 。
M k2 J
k 2 k02
J 9J
k2 J d
dt
t k dt
0J
1 3
0
d
0
2
t 2J
k0
3-6 一长为L的轻质细杆，两端分别固定有质量为
m 和2m 的小球，此系统在铅直平面内可绕过中心点
O且与杆垂直的水平固定轴转动。开始时杆与水平成
方向上，正对着杆的一端以相同的速率v相向运动，
如图所示。当两小球同时与杆的两端发生完全非弹性
碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的
转动角速度为
m
(A) 2v
4v (B)
v
3L
✓(C)
6v 7L
5L (D) 8v
9L
(E) 12v v m
o
7L
2mvL 1 mL2 2mL2
3
6v
7L
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题3-30图
解：研究对象：A、B系统在衔接过程中， 对轴无外力矩作用，故有 即： 代入数据可求得：
（2） 代入数据可求得： ，负号表示动能损失（减少）。
3.31质量为m长为l的匀质杆，其B端放在桌上，A端用手支住，使杆 成水平。突然释放A端，在此瞬时，求：⑴杆质心的加速度，⑵杆B端 所受的力。
题3-31图
轴的转动惯量为mR2，由转动惯量的可加性可求得：半圆形细杆对过细 杆二端
轴的转动惯量为： 3.18 在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，
圆孔中心在半
径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动 惯量。
解：大圆盘对过圆盘中心o且与盘面垂直的轴线（以下简称o轴）的 转动惯量为
解；如图所示，取图示的阴影部分为研究对象
所以经过的时间，薄板角速度减为原来的一半。
3-25一个质量为M，半径为 R并以角速度旋转的飞轮（可看作匀质圆 盘），在某一瞬间突破口然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出， 见题3-25图。假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上， （1）问它能上升多高？ （2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能。 解：（1）碎片以的初速度竖直向上运动。上升的高度：
解：以地球、物体、弹簧、滑轮为系统，其能量守恒物体地桌面处 为重力势能的零点，弹簧的原长为弹性势能的零点，
则有： 解方程得： 代入数据计算得：v=1.48m/s 。
即物体下落0.5m的速度为1.48m/s 3.24如题3-24图所示，均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为，转 动时受到空气的阻力。阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与 其面积及速度平方的乘积成正比，比例常数为k。试计算经过多少时 间，薄板角速度减为原来的一半，设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质 量为m。
（2）余下部分的角速度仍为 角动量
转动动能 3.26两滑冰运动员，在相距1.5m的两平行线上相向而行。两人质量分别 为mA=60kg，mB=70kg，他们的速率分别为vA=7m.s-1， vB=6m.s-1，当二 者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆运动，并保持二者的距离为 1.5m。求该瞬时： （1）系统对通过质心的竖直轴的总角动量；
（3）物体受力如图所示： 解方程组并代入数据得：
3.21现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮 轴。两端悬挂重物质量各为m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑轮半径为0.05m。 自静止始，释放重物后并测得0.5s内m2下降了0.75m。滑轮转动惯量是 多少？ 解：
隔离m2、m1及滑轮，受力及运动情况如图所示。对m2、m1分别应 用牛顿第二定律：
由求得： （2）拉力作功：
3.29质量为0.50 kg，长为0.40 m 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水 平轴转动.如将此棒放在水平位置，然后任其落下，如题3-29图所示， 求：（1） 当棒转过60°时的角加速度和角速度；（2） 下落到竖直位置 时的动能；（3） 下落到竖直位置时的角速度. 解：设杆长为l，质量为m
(1) 由同转动定理有： 代入数据可求得： 由刚体定轴转动的动能定理得： ，代入数据得：（也可以用转动定理求得角加速度再积分求得角速度） （2）由刚体定轴转动的动能定理得： （3） 3-30 如题3-30图所示，A 与B 两飞轮的轴杆由摩擦啮合器连接，A 轮 的转动惯量J1 ＝10.0 kg· m2 ，开始时B 轮静止，A 轮以n1 ＝600 r· min-1 的转速转动，然后使A 与B 连接，因而B 轮得到加速而A 轮减速，直到 两轮的转速都等于n ＝200 r· min-1 为止.求：（1） B 轮的转动惯量； （2） 在啮合过程中损失的机角速度为到停止转动，圆盘共转了圈。
3.23如图所示，弹簧的倔强系数k=2N/m,可视为圆盘的滑轮半径 r=0.05m，质量m1=80g，设弹簧和绳的质量可不计，绳不可伸长，绳与 滑轮间无相对滑动，运动中阻力不计，求1kg质量的物体从静止开始 （这时弹簧不伸长）落下1米时，速度的大小等于多少（g取10m/s2）
对滑轮应用转动定理： （3） 质点m2作匀加速直线运动，由运动学公式：， 由 ⑴、⑵可求得 ,代入（3）中，可求得 ，代入数据：
3.22质量为m，半径为 的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如题3-22图所示。盘与水平面的 动摩擦因数为 ，圆盘的初角速度为，问到停止转动，圆盘共转了多少圈？ 解： 如图所示：
（2）系统的角速度； （3）两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒？ 解：如图所示， （1） （2） ，代入数据求得： （3）以地面为参考系。 拉手前的总动能：，代入数据得， 拉手后的总动能：包括两个部分：（1）系统相对于质心的动能（2）系 统随质心平动的动能
动能不变，总能量守恒（因为两人之间的距离不变，所以两人之 间的拉力不做功，故总动能守恒，但这个拉力的冲量不为0，所以总动 量不守恒）。
3.27一均匀细棒长为 l，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑 水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点 O发生完全非弹性碰撞，碰 撞点位于离棒中心一方l/4处，如题3-27图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕 过O点垂直于杆所在平面的轴转动的角速度。 解：如图所示：碰撞前后系统对点O的角动量守恒。
解：⑴以支点B为转轴，应用转动定理：，质心加速度 ，方向向 下。
⑵设杆B端受的力为N，对杆应用质心运动定理：Ny=0， Nx - mg = - m ac , Nx = m(g – ac) = mg/4 ∴ N = mg/4，方向向上。
.由于对称放置，两个小圆盘对o轴的转动惯量相等，设为I’，圆盘质 量的面密度σ=M/πR2，根据平行轴定理，
设挖去两个小圆盘后，剩余部分对o轴的转动惯量为I”
3.19一转动系统的转动惯量为I=8.0kgm2，转速为ω=41.9rad/s，两制 动闸瓦对轮的压力都为392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为μ=0.4，轮半 径为r=0.4m，问从开始制动到静止需多长时间？
碰撞前后： 碰撞前后：
由可求得：
3.28如题3-28图所示，一质量为m 的小球由一绳索系着，以角速度ω0 在 无摩擦的水平面上，作半径为r0 的圆周运动.如果在绳的另一端作用一 竖直向下的拉力，使小球作半径为r0/2 的圆周运动.试求：（1） 小球新 的角速度；（2） 拉力所作的功. 解：如图所示，小球对桌面上的小孔的角动量守恒 （1）初态始角动量 ；终态始角动量
解：由转动定理： 制动过程可视为匀减速转动，
3.20一轻绳绕于r=0.2m的飞轮边缘，以恒力 F=98N拉绳，如题3-20图
（a）所示。已知飞轮的转动惯量 J=0.5kg.m2，轴承无摩擦。求 （1）飞轮的角加速度。 （2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能。 （3）如把重量 P=98N的物体挂在绳端，如题3-20图（b）所示，再求上 面的结果。 解 （1）由转动定理得： （2）由定轴转动刚体的动能定理得： =490J
第三章 习题解答
3.13 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为 。求t时刻的角速度和角加速度。
解： 3.14桑塔纳汽车时速为166km/h，车轮滚动半径为0.26m，发动机转 速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？ 解：设车轮半径为R=0.26m，发动机转速为n1, 驱动轮转速为n2, 汽车 速度为v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度， ，所以：
3.15 如题3-15图所示，质量为m的空心圆柱体，质量均匀分布，其 内外半径为r1和r2，求对通过其中心轴的转动惯量。 解：设圆柱体长为h ，密度为，则半径为r，厚为dr的薄圆筒的质量dm 为： 对其轴线的转动惯量为
3.17 如题3-17图所示，一半圆形细杆，半径为
，质量为
，求对过细杆二端
轴的转动惯量。 解：如图所示，圆形细杆对过O轴且垂直于圆形细杆所在平面的轴的转 动惯量为mR2，根据垂直轴定理和问题的对称性知：圆形细杆对过