初等数学研究论文

姓名：苏章燕学号：201102024002 班级：师范1班分类思想摘要：分类讨论的问题在这学期做高考题和中考题过程中，很多题上面都有体现。

是在问题的解答出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们往往把可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这种思想方法就是分类的思想。

关键词：分类讨论、函数、例题、集合分类一、分类要素分类的思想运用到每个具体数学问题中都有三个基本内容，即分类三要素，在分类的合定义中，三要素就是全集，子集和子集的分类根据。

分类的逻辑定义中，三要素是母项，子项和分类标准。

二、分类的规则在问题讨论前，首先应弄清楚我们所研究对象的范围，即全集。

分类就要在这个特定范围内进行，要防止在全集不明确的情况下或全集外进行讨论。

每次分类都必须以同一本质属性为标准，被分概念或集合有若干本质属性，确定某一个作为分类标准。

那么在分类过程中就要始终使用这个标准。

同一次讨论中标准只能是一个。

如实数在讨论绝对值时，可分为整数、负数和零；在讨论其他性质和运算时可分为有理数与无理数。

又如函数按自变量个数可分为一元函数、二元函数乃至多元函数；按单调性可分为增函数、减函数和非单调函数（在某一区间内）；按定义域可分为在R上都有意义的函数与定义域不是R的函数；按奇偶性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数（在定义域内）；按属性可分为代数函数和超级函数。

诸如此类，按不同标准就有不同的分类。

分类的完整性，把集合A分为A1、A2、···An等n个子集的分类，集合A应是这n 个子集的并集，集合的每一个元素都属于且仅属于其中的一个子集，分类时必须防止遗漏，如把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一个完整的分类，因为终边落在坐标轴上的角就不在其中。

分类的互斥性，分类中分成的各部分必须是互相排斥的，即分类中各个子集的交集是空集，如平面几何中把三角形分为锐角三角形、等腰三角形······的分类就是不正确的分类，因为存在着等腰锐角三角形，这是由于破坏了分类的互斥性。

分类的逐级性，被分概念必须分成与它最邻近的概念。

有些问题必须要连续分类，这就要求严格按层次逐级进行划分、讨论。

分类的种类，人们对事物的认识有一个由现象到本质逐步深化的无线过程，因此分类也有一个从现象分类到本质这样一个逐步深化的过程。

现象分类就是根据事物的外部标志或外部联系所进行的分类，这种分类往往会把本质上相同的事物分为不同的类别，而把本质上不相同的事物归为同一类别。

如平面几何中多边形按边数分类就是一个现象分类，因为凸多变形和凹多边形即使边数相同其性质也大相径庭，而正多边形（不管它边数多少）都具有很多共性，它们本质上是相同的。

本质分类就是根据事物的本质特征或内部联系所进行的分类，本质分类能够揭示数学对象之间的规律，如含角的三角函数的绝对值，用零点分段法对角进行的分类就属于本质分类。

分类方法的解题步骤，确定分类标准，这就是要运用辩证的逻辑思维，对具体事物作具体分析，从表面上极为相似的事物之间看出它们本质的相同点，发现事物的本质特征，只有这样才能揭示数学对象之间的规律，对数学对象进行有意义的分类。

恰当地进行分类，在确定分类标准的基础上，遵守分类的五条规则，对所讨论的问题恰当地分类，问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。

逐类讨论，根据分好的各类情况，逐类地加以研究，深入进行讨论，分门别类逐一把问题解决。

归纳结论，对分类讨论的结果进行综合整理，归纳出问题的最终结论。

问题分类讨论的结论有时可表述为统一的形式，有时则需分类陈诉，从而使问题得到完善解答。

众多的数学概念都对其中的量有各种要求和限制这是我们运用分类思想解决有关问题首先要考虑的因素，实数的绝对值定义为{,0,x x x ≥-当x ，当x<0，绝对值的概念本身就是分段表诉的，即用分类的方法定义的，因此含代数式的绝对值问题均可用分类思想解决，含绝对值问题的分类方法具体说就是零点分段法：令绝对值（不管几个）中含代数式其值为零，找出其（一个或多个）零点，用这些零点把实数分成若干个小区间，利用在每个小区间所有绝对值中代数式符号都具有保号性，就可以根据绝对值得定义和绝对值中代数式的保号性把绝对值符号脱去，从而转化为不含绝对值的问题，使该问题得到解决。

三、例题1、解不等式2213x x x x +--+>-分析：不等式含的绝对值中各代数式的零点分别为：-2、1、-1、3.因此可将实数分为(](](](](),2,2,1,1,1,1,33,-∞----+∞这五个小区间，分别讨论，分类求解。

解：（1）当2x ≤-时，220x x +-≥，10,30x x +<-<，原不等式变为：2221(3),340,4 1.x x x x x x x x +-++>--+-><->或考虑到大前提{2,41,4x x x x ≤-<-><-或 （2）当11x -<≤时，220,10,30x x x x +-<+<-<，原不等式变为22(2)1(3),0,01x x x x x x x -+-++>---<<<考虑到大前提{2101x x -<≤-<<无解。

（3）当11x -<≤时，220,10,30x x x x +-<+>-<。

原不等式变为22(2)1(3),20x x x x x x -+-++>--++<无解。

（4）当13x <≤时，220,10,30x x x x +->+>->，原不等式变为222(1)3,0,01x x x x x x x x +--+>--><>或。

考虑到大前提{3,01,3x x x x ><>>或。

综上，原不等式的解为{}4x x x ∈<-或x>2。

利用零点分段法脱去绝对值符号，要注意零点若有意义，千万不要漏掉。

复数概念引起的分类也是常常遇到的。

复数z a bi =+（.a b R ∈）的三角形式(cos sin )z r i θθ=+，它有四项要求：（1）0r ≥;(2) 实数与虚部即正余弦函数中的角必须相同；（3）前面实部必须是余弦，后面虚部必须是正弦；（4）cos θ与sin i θ中间必须是加号。

不满足以上任何一条的形式均不是三角式。

2、求复数：1sin cos i θθ--的三角形式。

分析：由于1sin cos 2sin (cos sin )42i i πθθθ⎛⎫--=-∂+∂ ⎪⎝⎭。

这个形式是否是三角形式取决于sin 42πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的符号，因此要按sin 42πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的符号分类讨论。

解： 21sin cos 1cos sin 222sin cos 42422sin sin cos 424242i i i ππθθθθπθπθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫--=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（1） 若2(),,242k k Z k ππθθππ=+∈-=-即 1sin cos 0(cos sin )();i i R θθβββ--=+∈（2） 若34422k k πππθπ-<<+，即2242k k πθπππ-<-<-+，2sin 042πθ⎛⎫-> ⎪⎝⎭； 771sin cos 2sin cos()sin();424242i i πθπθπθθθ⎛⎫⎡⎤∴--=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （3） 若54422k k πππθπ-<<+，即22,2sin()04242k k πθπθπππ--<-<--< 1sin cos i θθ--2sin sin cos()424242i πθπθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-•--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2sin cos sin ()42242242i πθππθππθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-•+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 332sin cos sin 424242i πθπθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--•-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦指数概念也会引起分类的要求，因为零指数定义为：01(0)x x =≠，涉及到幂等于1的问题，就需要考虑底数为零与不为零两种情况。

3、解方程sin 1x x =解：（1）若sin 0,x ≠1x =；（2）若sin 0,0x x =≠，(0,)x k k k Z π∴=≠∈。

综上，方程的解集为{}{}10,.k k k Z π⋃≠∈对数比较大小问题取决于底数与对数的大小关系。

因为当底数大于1时，对数是增函数，当底数大于0小于1时，对数时间函数。

因此，这类问题就要按底数与1的大小关系分类讨论。

4、求0x →的值。

02x x →==。

因为0x →，考虑,22424x x ππππ-<<-<<，所以sin 2x 的零点就只有0x =了。

从而可以对02x π-<<与02x π<<两种情况分别去掉绝对值符号后再求极限，若这两个极限（即左右极限）值相等，其公共值就是原极限；若左右极限不相等，则原极限不存在。

解:(1) 02x π<<.002lim lim 2x x x x ++→→==; (2) 02x π-<<,000lim lim lim 2x x x x x x ---→→→===, 0x →∴不存在。

四、其它类型的分类讨论图形相对位置的变化引起的分类，在许多涉及图形的问题中，由于图形相对位置的变化产生了各种不同的情况，就需要用分类的思想按各种图形中由角大小引起的分类是最常见到的。

命题隐含了多种情况引起的分类，对于命题条件隐含了多种情况且相应的处理方法不同问题，就可按不同的情况分别考虑，即采取化整为零，各个击破的解题思路。

当命题条件直接蕴含了多种情况时，由命题条件推导结论必须按多种情况分别予以讨论。

判断结果不具备唯一引起的分类，解题中，对于判断结果不具备唯一性，即结论必须用分段形式叙述的问题和所研究对象的全体不宜用同一方法处理的问题，我们常常要进行分段讨论。

解题中分类讨论是为了适应数学结论的限制而采取的化整为零分而治之的手段。

数学定义、定理、公式、法则等是数学解题的依据，而每一个数学结论的成立都有一定的条件，适用于一定的范围，这个范围或条件就成了它们的限制。