初等数学研究复习题
初等代数复习题及答案
初等代数研究复习题及答案数科院 包晓文（不对的地方欢迎指正）一、填空题1. 康托的基数理论给出的自然数加法的定义是:设A 、B 都是有限集，b B a A ==,，且=⋂B A φ,则称B A ⋂的基数为a 加上b 的和，记作b a +.这里a 叫做被加数，b 叫做加数，求和的运算叫做加法.2. 皮亚诺给出的自然数的公理化定义是:集合N 的元素叫做自然数，如果N 的元素间有一个基本关系“后继”，（用""+来表示），并满足下列公理： I.N ∈1；II. 对任何N a ∈，有唯一的N a ∈+； III. 对任何N a ∈，+a 不是1IV. 对任何N b a ∈,,若+a 与+b 相同，则a 等于b （记作b a =）； V. （归纳公理）若N M ⊆，且 o 1 M ∈102 对任意M a ∈,有M a ∈+,则N M =3. 自然数的最小数原理的内容是（N 任意一个非空子集中必有最小数.）.4. 第二数学归纳法的内容是: 设()n P 是关于自然数n 的命题，若o 1（奠基）()n P 在1=n 时成立；02（归纳）在()n P （k n ≤≤1，k 是任意自然数）成立的假定下，可以推出()1+k P 成立，则()n P 对一切自然数n 成立. 5.777的末两位数字是（ 07 ）．6.分母不大于7的正既约真分数的个数是（ 17 ）.7. 分数2925可以化为( 十进无限 )循环小数，其循环节的长度为（ 3 ）．8. 若(,)1,a b =则(,)ab a b +=（ 1 ）．9.(636,480)-=（ 12 ），[636,480]-=（25440）．10. 函数112+-=x x y 的值域是( ()()+∞⋃∞-,22, ).11. 函数22511x x y x x -+=-+值域是(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-37,3 ).12. 模m 的剩余类具有的性质是（至少写出两条）： 定义 如果N m ∈,集合},|{是任意整数t r mt x x K r+==，1,,1,0-=m r ，则称110,,,-m K K K 为模m 的剩余类. 剩余类具有下列比较明显的性质：1）模m 的剩余类110,,,-m K K K 都是Z 的非空子集； 2）每个整数必属于且只属于一个剩余类；3）两个整数属于同一个剩余类的充要条件是它们对模m 同余.13. 初等函数分为( 代数函数 )和(初等超越函数)两大类. 14. 超越方程包括 (指数方程，对数方程，三角方程和反三角方程)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧反三角方程三角方程对数方程指数方程超越方程无理方程有理方程代数方程方程15. 柯西不等式的内容是( ∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221).二、证明题1. 利用自然数的序数理论证明2510⨯=． 证明 212=⨯42121222=+⨯=⨯=⨯+∴ 62222232=+⨯=⨯=⨯+ 82323242=+⨯=⨯=⨯+102424252=+⨯=⨯=⨯+2. 证明任意n 个相邻的整数都构成模n 的一个完全剩余系． 证明 设n a a a ,,,21 是相邻的n 个整数， 任取i a ，j a （j i ≠），则1-≤-n a a ji依据题意，只需证明i a 与j a 不同余则可. 下面用反证法来证明 假设()n a a j i mod =，即i a 与j a 同余则有r nq a i+=1，r nq a j +=2，由此21q q n a a j i -=-已知1-≤-n a a j i ，所以021=-q q ，即21q q =因此j ia a =，这与已知矛盾，故原命题成立。
初等数学研究试题答案
习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？( P9——P10) 答：设数系A扩展后得到新数系为B,则数系扩展原则为：( 1) A B(2)A的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B中被重新定义。
而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。
(3)在A中不是总能实施的某种运算，在B中总能施行。
( 4)在同构的意义下， B 应当是 A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A唯一确定。
数系扩展的方式有两种：( 1)添加元素法。
( 2)构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设a,b,c N ,则( 1 )若a b,则ac bc;( 2)若a b,则ac bc; ( 3)若a b,则ac bc；证明：(1)设命题能成立的所有C组成集合MQa b,a a 1,b b 1, ( P13规定) a1 b 11 M假设c M ,即ac bcQ ac a( c 1) ac a,bc b(c 1) bc b又 Q ac bc, a b ac a bc b ac bc c M .由归纳公理知， M N, 所以命题对任意自然数成立。
(2)若a b,则有b a k,k N. (P17定义 9) 由(1)有 bc (a k)c3、对自然数证明乘法消去律： 设a,b,c N,则（1） 若 ac be,则a b; （2） 若 ac be,则 a b;（3） 若 ac be,贝U a bb证明（ 1）（用反证法）假设a b,则有a b 或a b. 若a b,有ac bc 和ac be 矛盾。
若a b,有ac be,也和ac be 矛盾。
故假设a b 不真，所以a b.(2)方法同上。
ac bc(P17.定义 9)或： 若a b,则有b a k, k N.bc (a k)c acac ackc (a k)cbcac bc.( 3) 若a b,则有:ab k,k N.ac (b k)cbc kc.kcac kcac bc(3)方法同上。
初等数学研究作业
10、解下列无理方程。
（1）236x x ++=（2）2660x x --+=（3=（4=（1）（1）236x x ++=解：令232(0)t x x t =+-≥则则方程转化为26t ++=即40t +=1)0=4=-所以1t =，将1t =代回232t x x =+-中，解得32x =-±（2）2660x x --+=解：设y =22320y xy x --=解得32y x =-或y x =当32y x =-时，2x =-两边同时平方得：2518180x x --= 解得95x ±=当y x =x =两边同时平方得：2222x x x --= 解得1x =-经检验，1x =-，x =所以原方程的解为x =（3=解：两边平方得5327x x x ++++=+整理得 1=-即 12=-012=-矛盾，即该题无解（4=解：原式1=422x ----22=-+0=20、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。
要使这两个正方形的面积之和等于17 2cm ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 解：设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(5)x -cm ，依题意得：22(5)17x x +-=整理得，2540x x -+=即(4)(1)0x x --=解得121,4x x ==所以1×4=4 （cm ）, 20-4=16（cm ）答：这段铁丝剪成两段后的长度分别为4cm 和16cm 。
21、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(35010)a -件，但物价局定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解：依题意得：(21)(35010)400a a --=整理得，2567750a a -+=解得 1225,31a a ==∵21120%25.2⨯+=（）∴231a =不符合题意，舍去 即350103*********a -=-⨯=（件）答：需要进货100件，每件商品应定价25元。
初等数学研究期末复习题：选择题与填空题1
初等数学研究期末复习题：选择题与填空题一．选择题1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )．A CB DA ．2B ．4C ． 6D ． 82．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．设A =22211148()34441004⨯++⋅⋅⋅+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．255．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b<<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．1826的结果是( )．A ．无理数B ．真分数C ．奇数D ．偶数7．设4r ≥，111a r r =-+，b =c =，则下列各式一定成立的是( )．A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345x x x x x ++++的未位数字是( )．A ．1B ．3C ．5D ．79．已知1m =1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )．A ．5-B ．5C ．9-D ．910．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )．A ．h <1B ．h =1C ．1<h <2D ．h >211．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP =QO ，则QC QA 的值为( )． A ．231- B ．23 C ．32+ D ．32+12．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．313．方程333652x x x y y -+=-+的整数解(,)x y 的个数是( )．A ．0B ．1C ．3D ．无穷多14．已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°15．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若AB =6，BC =5，EF =3，则线段BE 的长为( )．A ．185B ．4C ．215D ．24516．已知实数,x y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则223233x y x y -+- 2007-的值为( )．A ．2008-B ．2008C ．1-D ．117．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．318．若,a b 是两个正数，且1110a b b a--++=，则( )． A ．103a b <+≤ B ．113a b <+≤ C ．413a b <+≤ D ．423a b <+≤ 19．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为( )．A ．－13B ．－9C ．6D ． 020．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝( )．A ．72B ．10C ．105D ．73二．填空题21．在直角坐标系中，抛物线2234y x mx m =+-（m >0）与x 轴交于A ，B 两点．若A ，BD CB A Q O PQ P C O A B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OBOA -=，则m 的值等于 ． 22．已知D ，E 分别是△ABC 的边BC ，CA 上的点，且BD =4，DC =1，AE =5，EC =2．连结AD 和BE ，它们相交于点P ．过点P 分别作PQ ∥CA ，PR ∥CB ，它们分别与边AB 交于点Q ，R ，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为 ．23．已知4021,,,x x x 都是正整数，且124058x x x ++⋅⋅⋅+=，若2221240x x x ++⋅⋅⋅+的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于 ．24．若实数x 、y 满足3333=13+43+6x y ＋，3333=15+45+6x y ＋，则x ＋y ＝__________． 25．已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为_________ ．26．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b =2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ．27．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数2(3)3y x a x =+-+的图像与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 ．28．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三 角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．29．若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．30．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且 1m n +≤．设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=_______.31．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，MAN ∠135=°，则四边形AMCN 的面积为 ．32．已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为AB =2，BC =CD =10，AD =6，过B 、D 两点作圆，与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BE BF -的值为 ．。
初等几何研究复习题
习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。
已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。
证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。
∵AD ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B=90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则 FE ′=21AB=AF=BF∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥AD ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD ∥BC ∴E ′F 与EF 共线∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC)∴E ′F = E F∴E ′与E 重合，证毕.习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。
知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。
解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。
∴BF 21AC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=21AB=BE21∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=21×10=5cm即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。
习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。
已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。
D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作DF ⊥ AC 延长线于F 。
求证：DE －DF 为常量。
证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。
最新初等数学研究试卷
一，填空题：（每题 3 分，共 24 分）
1， 求函数 y=
的值域_______
2， 用不等号（ ＞，＜，≥，≤）连接两个解析式所得的式子 叫做不等式，其一般形式为_______
3， 由基本初等函数经过有限次的四则运算及函数复合，并且 只能用一个解析式表示的函数叫做______Байду номын сангаас_
A、是奇函数不是偶函数 B、是奇函数也是偶函数 C、是偶函数不是奇函数 D、既不是奇函数也不是偶函数
2，有限集的基数叫（ ）
A、实数 B、虚数 C、有理数 D、正整数
3，只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同
时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6 个
B．9 个 C．18 个
4， 用运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子叫 做________
5， 二元一次不定方程 ax+by=c（a,b,c∈Z 且 ab≠0）有整数 解的充要条件是________
6， 数列 1， 8, 27, 64, 125， 216，…， ,…是 ________阶等差数列
7， N 个不同元素的环状排列数为________
四，综合题 （每题 8 分，共 16 分）
1，若数列{an}（n∈N*）满足：①an≥0；②an﹣2an+1+an+2≥0；③ a1+a2+…+an≤1，则称数列{an}为“和谐”数列．
（1）已知数列{an}， 谐”数列，说明理由；
（n∈N*），判断{an}是否为“和
（2）若数列{an}为“和谐”数列，证明：
初等数学研究期末复习：解答题doc
初等数学研究期末复习题：解答题代数部分1．已知函数f (n )的定义域和值域都是N ，且(1)f (2)=2；(2)对m 、n ∈N ，有f (mn )=f (m )f (n )；(3)m >n ⇒f (m ) >f (n )．求证：对任意n ∈N ，有f (n )= n ．2．用跳跃归纳法证明：任一正方形可剖分成个数多于5个的正方形．3．对任意自然数n ，设sincosnnnρθθ=+，若1sin cos ρθθ=+是有理数，试证n ρ是有理数．4．证明：当n >2时，n 与n !之间至少存在一个质数．5．设a 、b ∈Z ，证明：在a ，b ，a +b ，a －b 中必有一个是3的倍数．6．已知,k n N∈，n a 表示12kkkn++⋅⋅⋅+的个位数字，求证：120.n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是有理数．7．证明：实数集是不可数集． 8．设α是无理数，求证：3(1)α+与3(1)α-不能同为有理数．9．设(1)n N n ∈>，求证：111s in 2n n k k nnπ--==∏．10．已知cos cos cos sin sin sin 0αβγαβγ++=++=，求证：co s 2co s 2co s 2sin 2sin 2sin 20αβγαβγ++=++=．11．圆内接六边形ABCDEF 的三条边AB ，CD ，EF ，都等于该圆的半径，求证：另三边BC ，DE ，F A 的中点P ，Q ，R 构成一个正三角形．12．设1z i +≤，求z和arg z 的最大值与最小值．13．已知,,a b c R∈且0a b c ++=，求证：555222333523abcabcab c ++++++=．14．分解因式：5555()x y z xyz++---．15．已知(),(),(),()F x P x Q x R x 和()S x 都是多项式，且432()1F x xx xx =++++，5525()()()()()P x x Q x x R x F x S x ++=⋅，求证：1x-是(),(),(),()F x P x Q x R x 和()S x 的一个公因式．16．确定正整数k 值，使432()22f x xx k xk x =--+-能分解成整系数因式．17．已知a b c b cc aa b++=---，求证：222()()()a bc b c c a a b ++=---．18．已知1xyz=，2xy z ++=，22216xyz++=，求111222x y zy z xz x y+++++的值．1920．已知1224lo g 18,lo g54ab ==，求证：5()1a b a b +-=．21．实数,x y 满足2220xy x +-=，求22xy-的值域．22．求下列函数的值域：(1)yx =-(2)y=23．求函数22331221x x yxx ++=++的值域．24．证明sin cos y x x=+的最小正周期是2π．25．证明2sin yx=不是周期函数．26．证明：函数sin y x=是超越函数．27．已知()(y f x x =∈R )的图像关于点0(,)a y 和直线()xb a b =≠都对称，求证：()f x 是周期函数．28．求函数229(,)()f m n m n n =-+⎛⎫⎪⎝⎭的最小值．29．解方程：222916(3)xxx +=-．30．解方程：2660x x ---=．31(x a +=∈R )．32．解方程：3233110x x x --+=．33．解方程：3120x x --=．34．解方程：432420x x xx +---=．35．解方程：7654322513135210xxx x x x x +----++=．36．解方程组3355x yy x ==⎧⎨⎩．37．解方程组123x x y y y y z z z zx x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．. 38．解方程组222333333x y z x y z x y z ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．39．已知：22221,1(,,,,,2)a b kab c dkcd a b c d k R k +-=+-=∈<，求证：2a c b d -≤．40．已知01(1,2,,)i x i n ≤≤=⋅⋅⋅，121nSx x x =+++⋅⋅⋅+，求证：121212(1)(1)(1)1nn nx x x x x x S x S x S x ++⋅⋅⋅++--⋅⋅⋅-≤---．41．已知0(1,2,,)i x i n >=⋅⋅⋅，求证：12121212()nnx x x x x x nnn x x x x x x ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅．42．设,,0x y z ≥且1x y z ++=，求证：7227y z zx x y x y z ++-≤．43．解关于x 的不等式组：22(1)020x a x a x -++>-<⎧⎨⎩．441<+．45．解关于x 的不等式：2x a x ++<．46．已知数列{}n a 的前n 项和(1033)2n n n S -=，(1)求通项n a ；(2)求n S 的最大值．47．求和231234122222nn nnn S -+=+++⋅⋅⋅++．48．已知数列{}n a 中，设10a =，121n n n a a nn++=+，求通项公式n a ．49．已知数列{}n a 中，11a =，21a =，12n n n a a a --=+(3)n ≥，求通项公式na ．50．已知数列{}n a 中，11a =,27a =，且124461nn n a a a n --=-++，求通项公式n a ．几何部分1．已知：在⊿ABC 中，BE 平分∠ABC 而交AC 边于E ，CF 平分∠ACB 而交AB 边于F ，且BE =CF ．求证：AB =AC ．2．设E 是正方形ABCD 内一点，且∠ECD =∠EDC =15°．求证：⊿EAB 是正三角形． 3．AD 是⊙ABC 的直径，过点D 作圆的切线，交CB 的延长线于P ，连PO 并延长交AB 、AC 于M 、N ．求证：OM =ON ．4．设AB 是⊙O 的弦，M 是AB 的中点，过M 任作两弦CD 、EF ，记P 、Q 依次为AB 与CF 、ED 的交点．求证：PM =MQ ．5．在锐角⊿ABC 中，过各顶点作其外接圆的切线，A 、C 处的两切线分别交B 处的切线于M 、N ，BD ⊥AC 于D ．求证：BD 平分∠MDN ．6．已知：AD 是⊿ABC 的高，P 是AD 上任一点，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于E 、F ．求证：DA 平分∠EDF ．7．在⊿ABC 中，AB =AC ，D 是BC 上的一点，E 是AD 上的一点，且∠BED =2∠CED =∠A ．求证：BD =2CD ．8．在⊿ABC 中，若D 、E 在BC 上，且∠BAD =∠CAE ．求证：22B E A B E CB D CD CA ⋅=．9．已知：正⊿ABC 的边长为1，等腰DBC 的顶角∠BDC =120°，以D 为顶点任作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连MN ．求证：⊿AMN 的周长等于2．10．已知：R 、r 分别是⊿ABC 的外接圆和内切圆的半径，I 是内心，AI 的延长线交外接圆于D ．求证：2AI ID Rr ⋅=．11．菱形ABCD 的内切圆切各边于E 、F 、G 、H ，在弧EF 与弧GH 上分别作此圆的切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q ．求证：MQ //NP ．12．在⊿ABC 中，已知AB =AC ，AD 、BE 是高，且交于H ，E F ⊥BC 于F ，M 是AH 的中点，延长AD 到G ，使DG =EF ．求证：BM ⊥BG ．13．已知：⊿ABC 内接于⊙O ，L 、M 和N 分别为弧BC 、弧CA 和弧AB 的中点，连结NM 、LM 分别交AB 、BC 于D 、E ，I 是⊿ABC 的内心．求证：D 、I 、E 三点共线．14．由圆内接四边形各边中点向对边引垂线，证明这四垂线共点．15．证明：三角形三边的中点，三高之足，垂心与各顶点所连线段的中点，这九点共圆．16．已知⊿ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，三条内角平分线长分别为a b c t t t 、、，求证：()2a b c t t t a b c ++≤++．17．已知⊿ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ．求证：222222()()()abca b b c c a ++≥+-+-+-．18．在四边形ABCD 中，⊿ABD 、⊿BCD 、⊿ABC 的面积比是3︰4︰1，点M 、N 分别在线段AC 、CD 上，且B 、M 、N 三点共线，AM ︰AC =CN ︰CD ．求证：M 、N 分别是AC 、CD 的中点． 19．已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于其内一点，且OA =OC ，OD =3OB ，在AC 、CD 上各取一点M 、N ，使AM ︰AC =CN ︰CD =︰3．求证：B 、M 、N 三点共线．20．P 为⊿ABC 的BC 边上任一点，作PE //AB 交AC 于E ，PF //AC 交AB 于F ，设1A B CS =．求证：B P F C P E A F P E S S S 、、至少有一个不小于49．21．已知凸五边形ABCDE 中，每一顶点与其相邻的两顶点所成的三角形的面积都是1．求A B C D E S ．22．⊿PQR 与⊿P ′Q ′R ′是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 是它们的公共部分，若记AB =a 1，BC =b 1，CD = a 2，DE = b 2，EF = a 3，F A = b 3．求证：222222123123a a ab b b ++=++．23．设I 是⊿ABC 的内心，AI 、BI 、CI 分别交对边于A ′、B ′、C ′，记12Aα=∠，12Bβ=∠，12Cγ=∠．求证：(1)1(1ta n ta n )2A I A A βγ=+'，1(1ta n ta n )2B I B B γα=+'，1(1ta n ta n )2C I C C αβ=+'；(2)18427A IB IC I A A B B C C ⋅⋅<≤'''⋅⋅．24．证明：任意四边形的面积不大于对边乘积之和的一半．25．设一直角∠MON ，试在OM 、ON 边上及角内各求一点A 、B 、C ，使得BC +CA =l (定长)，且四边形ACBO 的面积最大．26．已知点A 为平面上两半径不等的⊙O 1 和⊙O 2的一个交点，外公切线P 1P 2的切点P 1、P 2，另一条外公切线Q 1Q 2的切点Q 1、Q 2，M 1、M 2分别为P 1Q 1、P 2Q 2的中点．求证： ∠O 1A O 2=∠M 1A M 2．27．在等腰⊿ABC 中，顶角∠ACB =80°，过A 、B 引两直线在⊿ABC 内交于一点O ，若∠OAB =10°，∠ABO =20°．求证：∠ACO =60°．28．设E 、F 分别是⊿ABC 的AB 、AC 上的点，BE =CF ．求证：EF <BC ．29．设P 是平行四边形ABCD 内一点，使∠P AB =∠PCB ．求证：∠PBA =∠PDA ． 30．在⊿ABC 中，点D 是AB 的中点，E 、F 分别在边AC 、BC 上，证明：⊿DEF 的面积不大于⊿ADE 与⊿BDF 的面积之和．31．四边形ABCD 内接于圆，另一直径在AB 上的半圆与其他三边都相切．求证： A D B C A B +=．32．设P 是正⊿ABC 内任一点，且P A a =，P B b =，P C c =，试用a 、b 、c 表示⊿ABC 的面积．33．求证：三角形的外心、垂心、重心共线．34．三个全等的圆有一个公共点O ，且都在一个已知三角形内，每一个圆都与三角形的两边相切．求证：这个三角形的内心、外心与点O 共线．35．已知四边形ABCD 的任一组对角之和为θ．求证：222()()()2c o s A C B D A B C D A D B C A B B C C D A D θ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅．。
初等数学研究试题答案
习题一1、数系扩展的原则是什么有哪两种扩展方式（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。
（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。
数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。
（2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc b b Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。
（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。