初等数学研究试题答案
初等数学研究试卷B精编版
襄樊学院10~11学年度上学期《初等数学研究》试卷参考答案与评分标准一、单项选择题（从下列各题4个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在题干后面的括号内，答案选错、不选、多选者，该题不得分。
每小题3分，共27分）1.实数域上的一切有逆的n n ⨯阶矩阵对于矩阵乘法来说作成一个（ A ）。
A 群B 环C 域D 除环2.( C )是有理数域Q 的扩张。
{}.(2)a 2a A Q Q =∈ b .(2)2a b ,a 0a B Q Q ⎧⎫=∈≠⎨⎬⎩⎭， {}.(2)b 2a b C Q a =+∈，Q{}.(2)2bi a b D Q Q =∈， 3.如果48234+-++x Bx Ax x 是D Cx x ++2的完全平方,若A>0，则A 、 B 、C 、D 分别为（ C ）。
A.-4，8，-2,2B.4,8，-2,2C.4,0,2，-2D.-4,0,2,-24.如果d cx bx ax +++23能被22h x +整除，则a ，b ，c ，d 满足（ D ）。
A.ab=cdB.Ac=bdC.ad=-bcD.ad=bc5. 二圆外切于点P. AB 是一条外公切线（A ，B 为切点）.则∠PAB=( B ).A.75°B.90°C.120°D.150°6. 平行四边形ABCD 的底边BC 固定,另一边AB 长为a ,则其对角线交E 的轨迹为一圆,圆心是BC 中点,则圆的半径为( B ).A.aB. 2aC. 3aD. 4a 7.函数),(2+∞-∞-=-在xx e e y 内的反函数具有（ A ）性质。
A 奇函数 增函数 B 奇函数 减函数C 偶函数 增函数D 偶函数 减函数8.消去方程023183234=+--+x x x x 中的二次项,则原方程变为（ A ）。
43.y 81790A y y +++= 43.y 81790B y y -++=43.y 81790C y y ++-= 43.y 81790D y y +--=9. 多面体中，发出奇数条棱的定点数必为( B ).A.奇数B.偶数C.任意点D.不存在 得分 评卷人二、填空题（每小题3分，共18分）1. 已知：设M 为平面α外一点，A 、B 为α内两点.MA=51CM ，MB=30CM ，MO ⊥平面α,垂足为O.且AO=BO=5：2，求MO=126CM 。
初等数学专题研究答案
习题解答第一讲 自然数的基数理论与序数理论1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律证明：对于{(,)|,}A B a b a A b B ⨯=∈∈与{(,)|,}B B b a b B a A ⨯=∈∈，定义A B ⨯到B A ⨯的映射为：(,)(,),(,),(,)fa b b a a b A B b a B A −−→∈⨯∈⨯显然这个映射是A B ⨯到B A ⨯的一一映射，所以A B B A ⨯=⨯，于是按定义有：A B B A ⋅=⋅，即乘法满足交换律。
2、利用最小数原理证明定理14.定理14的内容是：设()p n 是一个与自然数有关的命题，如果：（1）命题()p n 对无穷多个自然数成立；（2）假如命题对0()n k k n =≥成立时，能够推出命题对1n k =-也成立，那么对一切自然数不小于n 0的自然数n ，命题()p n 必然成立。
证明：如果命题不真，设使命题不成立的自然数构成集合M ，那么M 非空，因此，M 中必有一个最小数000()r r n ≥。
此时，由于不大于0r 的自然数只有有限个，按照条件（1），至少有一个自然数0()r r r >，命题在r 处成立；于是由条件（2），命题对1r -也成立，连锁应用条件（2），那么命题在12,,,,, r r r r k ---处都成立，而这个序列是递减的，因此0r 必然出现在这个序列中，这与0r 的假定不符，这个矛盾说明定理14成立。
3、用序数理论证明3+4=7证明：313432313145,(),''''+==+=+=+==33323256(),'''+=+=+== 34333367()'''+=+=+==4、设平面内两两相交的n 个圆中，任何三个不共点，试问这n 个圆将所在的平面分割成多少个互不相通的区域？，证明你的结论。
解：设这n 个圆将所在平面分割成()f n 个部分，显然1224(),()f f ==； 如果满足条件的n 个圆把平面分割成()f n 个部分，那么对于满足条件的n+1个圆来说，其中的n 个圆一定已经把平面分割成()f n 个部分，而最后一个圆由于与前面的每个圆都相交，并且由于任何三个圆不共点，所以这最后的圆与前面的n 个圆必然产生2n 个交点，这2n 个交点必然把这最后一个圆分割成2n 段圆弧，这些圆弧每一段都把自己所在的一个区域一分为二，从而12()()f n f n n +-=， 于是得：212324121()(),()(),,()()() f f f f f n f n n -=-=--=- 将这n-1个等式相加得：124211()()()() f n f n n n -=+++-=- 即 2122()()f n n n n n =-+=-+ 5、设平面上的n 条直线最多可以把平面分割成 f (n )个互不相通的区域，证明：112()()n n f n +=+ 证明：显然1111212()()f +⨯==+成立； 假将设平面上的k 条直线最多可以把平面分割成 f (k )112()k k +=+个互不相通的区域，那么对于平面上的k+1条直线来说，其中的任意k 条直线最多把平面分割成112()k k +=+个互不相通的区域，对于最后的直线来说，它如果与前面的每条直线都相交，那么在这条直线上最多可以产生k 个交点，这k 个交点可以把最后的这条直线分割成k+1段，每一段都将自己所在的区域一分为二，从而11()()f k f k k +-=+所以：111112()()()k k f k f k k k ++=++=+++ 121121122()()()()k k k k k +++++=+=+所以公式112()()n n f n +=+在1n k =+时也成立， 于是公式对一切自然数n 都成立。
初等数学研究答案(1)
3.已知：在凸五边形ABCDE 中，∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=.2-1800α求证：∠BA C =∠CAD=∠DAE.思路：证五边形ABCDE 内接于圆，则由等弦⇒等弧⇒等圆周角即得所证。
沿此思路，有多种证法，这里介绍两种教简的方法。
证法1.发挥等腰三角形的性质。
连接BD ，如图1.14，则得△CBD 是等腰的且底角()[]()如分析所述即得所证。
共圆、、、同理，共圆、、、E D C A E D B A BDE CDB ∴-=--=∠∴=--=∠ααααα322211801801801800图1.14EDBCA证法2：巧证等腰梯形。
连接BE ，如图1.15 ∠C=∠D,BC=DE,..3.2在圆上而所对圆周角皆为等弧共圆且底角、、、等腰梯形A A E D D C C B DEB CBE E D C B CDEB ∴=∠==∴=∠=∠⇒⇒ααα图1.15EDACB4.设H 为锐角△ABC 之垂心，若AH 等于外接圆半径，求证：∠BAC=600分析：因条件中的等量关系含有外接圆半径，故宜画出外接圆，以便发现隐含的联系，现介绍三种较简的证法。
证法1：借助平行四边形。
连接CO 并延长交外接圆于D ，如图1.17，则有直径所对圆周角为直角易证BD//AH(同⊥BC)， AD//BH(同⊥AC)，⇒AHBD 是平行四边形；图1.17DOHCBA60600,21=∠∴=∠∴===A BDC CD R AH BD ，证法2.利用欧拉线的预备定理60600212121217.118.1,=∠=∠=∠∴=∠∴===⊥MOC BOC A MOC OC R AH OM M BC OM 知则由例如图于作图1.18KMDO ABC证法3.利用正弦定理60sin 2sin 2219.1,,=∠∴=∠=∠=⊥⊥A AB C R AHF AH AF AC BF BC AE ，则有如图设图1.19FEABC6.在△ABC 中，先作角A 、B 的平分线，再从点C 作上二角的平分线之平行线，并且连D 、E,若DE//BA ，求证：△ABC 等腰。
初等数学研究答案
初等数学研究，李长明，周焕山版 高等教育出版社习题一1答：原则：（1）A ⊂B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。
（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。
（3）若a>b ，则ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
则a=b 。
（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
则a <b 。
（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
则a>b 。
初等数学研究参考答案
1、 已知21-=i z ，则150100++z z 的值等于（ ）A 、1B 、1-C 、iD 、i -2、 已知53sin =θ，02sin <θ，则2tan θ的值等于（） A 、21B 、21-C 、31D 、3 3、 函数136-+-=x x y 的值域是（）A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-317,B 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-1277,C 、(]5,∞-D 、[)+∞,5 4、 若实数y x ,满足()()22214125=-++y x ，则22y x +的最小值为（）A 、2B 、1C 、3D 、25、 曲线()x x x f -=4在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点坐标为（）A 、()3,1B 、()3,1-C 、()0,1D 、()0,1-6、 设集合{}1>=x x M ，{}12>=x x P ，则下列关系中正确的是（） A 、P M =B 、P P M = C 、M P M = D 、P P M =7、 设α是锐角，2234tan +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则αcos 的值等于（） A 、22B 、23C 、33D 、36 8、 设()x f 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知()1,0∈x 时，()()x x f -=1log 21，则函数()x f 在()2,1上（）A 、是增函数，且()0<x f ；B 、是增函数，且()0>x fC 、是减函数，且()0<x f ；D 、是减函数，且()0>x f9、 已知锐角βα,满足()21sin ,1tan =-=αβα，则βcos 等于（） A 、426+B 、426-C 、462-D 、426-- 10、分解因式：y x y x 62922-+-(x-3y)(x+3y+2)分解因式：3542322+++++y x y xy x=(x+y)(x+2y)+3(x+y)+(x+2y)+3 =(x+y)(x+2y+3)+(x+2y+3) =(x+y+1)(x+2y+3) 已知200420052004112004--+-=x x y ，则()2004y x +的值是； x=1/2004,y= -2005/2004,代入得1 已知实数m 满足m m m =-+-20082007，则=-22007m 2008 计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x x x x x x xx 1111＝1/2x-1 自然数集的两种主要理论是 基数理论 、 序数理论 。
初等数学研究答案 李长明 周焕山编习题4(1)答案
24.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+31111222y x x y y x 解：方程组的定义域(){}0,0,≠≠y x y x原方程组变形为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+311233xyy x xy y x 即()⎩⎨⎧=+=+)2.......(....................3)1.(....................1233xy y x xy y x ())(3333y x xy y x y x +++=+ ()⎩⎨⎧=+=+++∴)2.(........................................)(3)3.(....................12)(3x 3xy y x xy y x xy y 令x+y=u,xy=v,有：⎩⎨⎧==+)5........(..............................3)4.......(....................123u 23v u v v u 由（5）代入（4）得：0369u 23=-+u()0369u 2=-+u u0u =∴或036-u 9u 2=+，即3u 12u -==，将u=0代入（5），得v=0 ⎩⎨⎧==+∴00y x xy 解得⎩⎨⎧==00y x 不在定义域内 将U=-12代入（5）得：v=36⎩⎨⎧==+∴3612x xy y ,解得：6,0)6(,0361222==-=+-x x x x ⎩⎨⎧==∴66y x 将u=-3代入（5）得。
v=-9⎩⎨⎧-=-=+∴93y x xy ,解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=2532325323y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=2532325323y x x y 9-= 故原方程的解为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+25323253-23-253-23-25323-6,6，，，， （3）()⎩⎨⎧=+=+++xyy x x y x 71232y 22原方程可化为：()()()⎩⎨⎧=+=++-+）（2.....................................712)1..(....................3222xy y x y x xy y x 令x+y=u,xy=v,代入上方程组，有：⎩⎨⎧==+-)4......(..............................712)3......(....................3222v u u v u 由（4)得：u 712v =代入(3),并整理得：.(5)....................0.........224-u 17-u 72= 解(5)的得：732,7u 21-==u 将u=7代入(4),得v=12,故⎩⎨⎧==+127xy y x 解得⎩⎨⎧==43y x 或⎩⎨⎧==34y x 将732-=u 代入（4)得：49384v -= 故⎪⎩⎪⎨⎧-==+49384732-y x xy 得：0384224492=-+x x 解：987526450176224983844942242242+±-=⨯⨯+±-=x 9871022249812544022428⨯⨯±-=±-= 9810722244⨯±-=9810112224±-= 7108716±-= 故解得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2107872108y x ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=2107872108y x 故原方程组的解为：()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-107821078,21078-2-10783,44,3，，，， 26.（1）⎩⎨⎧==++）（2 (2464))1.......(....................12646422y X y x 解：令v u y x ==64,64，则原方程组可化为：⎩⎨⎧==+）（4.........................24)3....(....................12u 22uv v （3）+2（4），得：28122u 22+=++uv v即()()22222v u +=+ 222+=+∴v u⎩⎨⎧==∴22v 2u 或⎩⎨⎧==2v 22u ()⎩⎨⎧==∴2264264I y x 或()⎩⎨⎧==2642264II y x 解（I)得：⎪⎩⎪⎨⎧==4161y x 解（II ）得：⎪⎩⎪⎨⎧==6141y x 故原方程组的解为：⎪⎭⎫⎝⎛41,61，或⎪⎭⎫ ⎝⎛61,41，(2)()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-）（2.....................25)1.......(..........21log log 2225.0y x y x y 解：方程（1）左边取以2为底的对数，得：()22log 1log 5.0log log 2222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x y 即： ()2log log -22-=--y x y()2.log 2=-y x y()4x -y =∴y 即）（3........................42=-xy y 解(2)，(3)联立方程组得：⎩⎨⎧=+=-)2..(....................25)3..(....................4222y x xy y 令y=tx,分别代入（2），（3）得： ()()⎩⎨⎧=+=-））5.(..............................2514.....(....................41222t x t t x 由（4），（5）解出2x 的表达式得：())6( (1)25142+=-t t t 由（6）变形整理得：0425212=--t t ()()0174-t 3=+t71,3421-==t t 由34=t ，有x y 34=，代入(3)得：3±=x 由71-=t ，有x y 71-=，代入（3）得：227±=x ⎩⎨⎧==∴43y x ，⎩⎨⎧-=-=43y x （舍），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==22227y x （舍），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22227-y x 所以原方程组的根为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,227-4,3，，27.（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2.......(..............................125)1....(..............................43sin sin 22πy x y x 解：利用降次公式，（1)即：4322cos 122cos -1=-+y x 212cos 2cos =+y x ()21cos 2=+y x ()())3....(.. (2)1cos cos 2=-+y x y x （2）代入（3），化简得：()21cos .125cos 2=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y x π ()426261cos +=-=-y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42664cos 125cos πππ )4........(2426cos πk acr y x ++±=-∴ （2）（4）联立解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Z ∈-+±=Z ∈++±=k k acr y k k acr x ,426cos 21245,426cos 21245ππππ 4.（1）()()()()()())1.......(..........131321212--=--+--x x x x x x x 解：方程定义域为}{3,2,1,M ≠∈=x R x x 且将（1）式左边通分， ()()()()()()()1313212123--=----+-x x x x x x x x 即()()()()()131321222--=-----x x x x x x x 左边分子因式分解：()()()()()()()13-x 132121x 2-x -=---+x x x x左边约分()()()())2......(....................1313121--=--+x x x x x 两边同乘以（x-1)(x-3)得：1,21,121==+=+∴x x x 但x=1不在定义域内，为增根，原方程无解解法2：方程定义域为}{3,2,1,M ≠∈=x R x x 且将方程右边的分式移到左边： ()()()()()()0131321212=-----+--x x x x x x x 左边通分整理得：()()()()()()0321222123=------+-x x x x x x x 即：()()()()()()()()0321212,0321-x 2232=-----=--+-x x x x x x x x x 约去公因式()()021-x ≠-x ,将方程左边化成最简因式：()0321=-x 上式的分子为非零常数，显然无解。
初等数学研究答案1
大学数学之初等数学研究 ,李长明 ,周焕山版 ,高等教育出版社 习题一1答：原那么：〔1〕A ⊂B〔2〕A 的元素间所定义的一些运算或根本关系 ,在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说 ,重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
〔3〕在A 中不是总能施行的某种运算 ,在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原那么的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：〔1〕添加元素法；〔2〕构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
a=b ,M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设bc ac M c =∈，即 ,那么M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ,所以命题对任意自然数c 成立。
〔2〕假设a <b ,那么bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 那么ac<bc 。
〔3〕假设a>b ,那么ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 那么ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：假设b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时 ,由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时 ,由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
那么a=b 。
〔2〕用反证法：假设b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时 ,由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时 ,由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
那么a <b 。
〔3〕用反证法：假设b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时 ,由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时 ,由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
初等数学研究期末试题及答案A
初等数学研究期末试题及答案A延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸课程名称: 初等数学研究任课教师姓名: 左晓虹卷面总分: 100 分考试时长: 100 分钟考试类别:闭卷 ? 开卷 ? 其他 ? 注:答题内容请写在答题纸上，否则无效(一、单选题(4*10=40分),,,,,,1(设，是向量，命题“若，则”的逆否命题是 ( ) ||||ab,abab,,,,,,,,,,，则 (B)若，则 (A)若||||ab,||||ab,ab,,ab,,,,,,,,,,(C)若，则 (D)若，则 ||||ab,||||ab,ab,,ab,,x,,22(设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ( )2222(A) (B) (C) (D) yx,,4yx,4yx,,8yx,8fx()fxfx()(),,fxfx(2)()，,yfx,()3(设函数(R)满足，，则函数的图像x, 是 ( )xx,64((R)展开式中的常数项是 ( ) (42),x,,20,15(A) (B) (C)15 (D)205(某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( )2,(A) ,83,(B) 8,382,,(C)2,(D) 3[0,)，,6(函数在内 ( ) fxxx()cos,,(A)没有零点 (B)有且仅有一个零点第 1 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸 (C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点227(设集合， MyyxxxR,,,,{||cossin|,}1MN:}，为虚数单位，R，则为( ) ix,Nxx,,,{|||2i1](0(A)(0，1) (B)，1][01)[0(C)， (D)，xxx1238(右图中，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的x,6x,9p,8.5p12独立评分，为该题的最终得分，当，，x3时，等于( )(A)11 (B)10 (C)8 (D)7l9(设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点y(,),(,)xyxy(,)xyxn112233通过最小二乘法得到的线性回归方程(如右图)，以下结论中正确的是 ( )l(A)和的相关系数为直线的斜率 yx(B)和的相关系数在0到1之间 yxl(C)当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 nl(D)直线过点 (,)xy10(甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( )1151(A) (B) (C) (D) 363696二、解答题(10*5=50分，选做5道题目即可), ，,ACD90AEBC,1(如右图，?B=?D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE的长度(第 2 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸1,,fx()(0,)，,f(1)0,gxfxfx()()(),，2( 设函数定义在上，，导函数，( fx(),xgx()(1)求的单调区间;1gx()(2)讨论与的大小关系; g()x3(植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米(开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值( 4(叙述并证明余弦定理(((1)作出相应图像，叙述“三垂线定理”及其逆定理的内容; 5(2)请至少列出与三角形相关的5个性质命题(6(就感兴趣的某节课，请设计出你认为最好的开课语及结束语( 三、证明题(10分)ABACD,,如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，EDE,ABCABC,BCAA11111ABAC,平面，求证:( BCC1一、选择题(4*10=40分)1(C 2( B 3( B 4( C 5( A6( B 7( C 8( C 9( D 10( D二、解答题(10*5=50分，选做5道题目即可),，,ACD90AEBC,1.如图，?B=?D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE(AEBC,解:因为，,，,ACD90，所以?AEB=又因为?B=?D，所以?AEB??ACD，……5分ACAD所以, ,AEABABAC,，64所以， AE,,,2AD122222BEABAE,,,,,6242在Rt?AEB中，(………………………5分第 3 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸1,,fx()(0,)，,f(1)0,gxfxfx()()(),，2. 设函数定义在上，，导函数，( fx(),xgx()(1)求的单调区间;1gx()(2)讨论与的大小关系; g()x1,fxxc()ln,，f(1)0,ln10，,cc,0解:(1)?，?(为常数)，又?，所以，即，cfx(),x1fxx()ln,?;， gxx()ln,，xx,1x,1,,gx()0,x,1?，令，即，解得，…………2分 ,0gx(),22xx,gx()0,gx()(0,1)gx()x,(0,1)当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间;,x,，,(1,)gx()0,gx()(1,)，,gx()当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间;…………3分111(2)，设， gxx()ln,,，hxgxgxx()()()2ln,,,,，xxx2(1)x,,则， hx(),,2x1h(1)0,x,1当时，，即， gxg()(),x,,x,，,(0,1)(1,):hx()0,h(1)0,当时，，，(0,)，,hx()因此函数在内单调递减，1hxh()(1),01,,x当时，=0，?; gxg()(),x1hxh()(1),x,1当时，=0，?( ………………5分 gxg()(),x3.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米(开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值为(解:(方法一)设树苗放在第个树坑旁边(如图)， i1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是siiiiiii,,，，,，，，,，，，,，，，,，(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10？？iiii(1)(20)(120)，,，， ,，，,,，,，10[(20)]iiii22第 4 页共 6 页延安大学西安创新学院期末考试命题专用纸2，…………………………8分 ,,，10(21210)iii,10所以当或时，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米. 11s……………………2分(方法二)根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值;所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。
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习题一1、数系扩展的原则是什么有哪两种扩展方式（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。
（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。
数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。
（2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc b b Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。
（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。
证明（1）（用反证法）,a .a b a b b ≠><假设则有或,a b ac bc ac bc >>=若有和矛盾。
,,a b ac bc ac bc <<<若有也和矛盾。
a .b a b ≠=故假设不真，所以（2）方法同上。
（3）方法同上。
4、依据序数理论推求：135+（），235⋅（） 解： 1313134++=='（）先求，，（P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求，3333323256++=+=+=='''再求，（），35343478.+=+=+=='''如此等等，直至（）（2）31313⋅⋅=先求，，3232313136⋅⋅=⋅=⋅+='再求，，333332323639⋅⋅=⋅=⋅+=+='再求，，353434312315.⋅=⋅=⋅+=+='如此等等，直至5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。
证明：1n 141511189,1n =+⨯-==①当时，是的倍数故时命题成立。
k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。
即是的倍数。
则当n=k+1时：k 1k 415k 114415k 1315k 18441519(52)k k k +++-=+--⨯+=+---（）（）（）。
944151-952k k k ∴+--是的倍数（）（）19415(1)1k k +∴++-是的倍数1n k ∴=-当时，命题成立。
由①，②知，对于任一自然数n 成立。
6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 24444121-1-1-1-.19251221n n n +⋅⋅⋅=--（）（）（）（）（）证明：412111--3-3.11-21n +⨯======⨯当时，左边，右边左边右边。
1n =故当时，等式成立。
n k =假设当时，等式成立，即：24444121-1-1-1-).19251221k k k +⋅⋅⋅=--（）（）（）（（）1n k =+则当时，有：22444411-1-1-1-)(1)1925(2k 1)(21)k ⋅⋅⋅--+（）（）（）（ 2(21)(23)12(1)121(1)12(12)(21)12(1)(21)k k k k k k k k k -++++=⋅-==⋅--+-++ 1.n k ∴=+当时，命题也成立。
由、知，对任意自然数n 命题成立。
41599k k +-是的倍数 9(52)9k -，是的倍数7、n (1,2...)n n A n αβ====设 （1）αβ以、为根作一元二次方程；（2）213;n n n A A A ++=+证明（3）3n 10A 用数学归纳法证明是的倍数。
解：（1）3-1αβαβ+==⋅==， 2310.x x αβ∴--=以，为根的一元二次方程为： （2）22313 1.αβααββ=+=+以，代入以上方程，得：， 2222n 2n n n n n n A+++∴=== n 113n n n++=n 13.n A A +=+（3）2232113310.n A A A ==+==当时， 1n =故命题对成立：3k 10.n k A =假设当时，命题成立，即是的倍数32(31)3k 113k k n k A A A +++=+=+（）则当时，有： 3k 133133k k A A A ++=++（） 3k 13103k A A +=+12n 211,3,3n n A A A A A ++=∈N =∈N =+又故经递推式所得的各个数皆为自然数，因此，3k 1.A +∈N3(k+1)10A ∴也是的倍数。
3k ()10A n ∴∈N 是的倍数。
8、,,,,a ()b c a b c a b b c κρκρ+,设都是整数。
如果则对于任何整数都有证明： 112212121212a b a?()c ()b .c .b m .m .a ()ab cm m z m a m z m a m a c m a m am a m b c κκρρκρκρκρκρκρ∴=∈=∈∴==∴+=+=++∈Z ∴+， （）又（）9.证明整数集具有离散性.证明： （反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a 和a+1之间存在b ,1a b a ∈Z <<+使。
依据加法单调性，(1)(1)1(1)a a b a a a +-<+-<++- ， 即11()2b a <+-<1b a ⎡⎤⎣⎦+-∈N （）.这就和自然数集具有离散性相矛盾。
10、证明：有理数乘法满足结合律。
证明：,,,()a b c Q ab c a bc ∈=设要证：（） （1）当a,b,c 中至少有一个为零。
（1）显然成立。
设a,b,c 都不为零。
因为算术数乘法满足结合律，故a ()bc a b c ⋅⋅=⋅⋅（）。
故（1）两边的绝对值相等。
如果a,b,c 中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果a,b,c 中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。
因此（1）成立。
11、指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：{}10（）； {}21（）； 3N （）； {}40N （）； 5Q +（）；6（）奇数集合；7（）偶数集合；{}8036,3n ±±⋅⋅⋅±（），，，。
答：（1）加，乘，成环（2）乘，除（3）加，乘（4）加，乘（5）加，乘，除（6）乘（7）加，乘，成环（8）加，乘，成环12、设有n 个正分数 312123.n n a a a a a b b b <<<⋅⋅⋅< （分母为正分数） 求证：112112a n n n n a a a ab b b b b ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅+. 证明： 设1212m ,a a b b =M = 12121212a a ab b a b b <⇒< 32232323a a ab b a b b <⇒< 34343434a a ab b a b b <⇒<m <M 11111mb b mb a b ∴<M ⇒=<M (1) 22m b b ∴<M 122122111m a b b b a a b b =⋅<⋅=又 即2222m ,a b a b =<M 而222m b a b ∴<<M (2)223mb a b <<M 同理： (3)n n n mb a b <<M (n)12n ++⋅⋅⋅+（）（）（）121212m()()n n n b b b a a a b b b ++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<M ++⋅⋅⋅+1212m n na a ab b b ++⋅⋅⋅+∴<<M ++⋅⋅⋅+ 112112a n n n na a a ab b b b b ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅+即. 13.近似计算：()4311.210+1.53105003.6⨯⨯+()243.260.3824-()332.264 2.13⨯()()34 2.6310 2.43564⨯÷3344333333(1) 1.2 1.53105003.6=1210 1.5310 5.003610 =(12+1.53+5.0036)10 (12 1.5 5.0)10 =18.5101910 =1.910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯≈++⨯⨯≈⨯⨯解：解法一：10 4334444441.210 1.53105003.6=1.2100.153100.5003610(1.20.1530.50036)10(1.20.150.50)10=1.85101.910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++⨯≈++⨯⨯≈⨯解法二：(2)43.260.382443.260.38242.87842.88-≈-=≈(3)32.264 2.1332.26 2.1368.713868.7⨯≈⨯=≈ 3333(4)(2.6310) 2.43564(2.6310) 2.4361.079101.0810⨯÷≈⨯÷≈⨯≈⨯ 14.已知近似数的相对误差界是000.02，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。
00=2315.40.02=0.463080.5∆⨯≈解：故近似数精确到个位所以有效数字有4个15.22 3.1416 1.7321=4.5511 4.551ππ≈⨯-≈计算0.001.解：2*16.,,,,S=.a b c d Q x ax b ad bc cx d∈+=+设是无理数。