初等数学研究试题答案
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习题一
1、数系扩展的原则是什么有哪两种扩展方式（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：
（1）B A ⊂
（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。
（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。
数系扩展的方式有两种：
（1）添加元素法。
（2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则
（1）,;a b ac bc ==若则
（2）,;a b ac bc <<若则
（3）,a b ac bc >>若则；
证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,
b b 1,P13(1),(1)a 11
1,a ac a c ac a bc b c bc b b M
c M c bc
==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）
假设即
ac ,ac a c .
bc a b
a bc
b
c bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。
（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）
由（1）有()bc a k c =+
a c kc =+
ac bc ∴< （P17.定义9）
或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=
.ac bc ∴=
（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有
a ().c
b k
c bc kc =+<+
ac bc ∴>
3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则
（1）,;ac bc a b ==若则
（2）ac bc a b <<若，则；
（3）ac bc a b >>若，则。
证明（1）（用反证法）
,a .a b a b b ≠><假设则有或
,a b ac bc ac bc >>=若有和矛盾。
,,a b ac bc ac bc <<<若有也和矛盾。
a .
b a b ≠=故假设不真，所以
（2）方法同上。
（3）方法同上。
4、依据序数理论推求：
135+（），
235⋅（） 解： 1313134++=='（）先求，，
（P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求，
3333323256++=+=+=='''再求，（），
35343478.+=+=+=='''如此等等，直至（）
（2）31313⋅⋅=先求，，
3232313136⋅⋅=⋅=⋅+='再求，，
333332323639⋅⋅=⋅=⋅+=+='再求，，
353434312315.⋅=⋅=⋅+=+='如此等等，直至
5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。
证明：1n 141511189,1n =+⨯-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时：
k 1k 415k 11
4415k 1315k 18441519(52)
k k k +++-=+--⨯+=+---（）（）（）。
944151-952k k k ∴+--是的倍数（）（）
19415(1)1k k +∴++-是的倍数
1n k ∴=-当时，命题成立。
由①，②知，对于任一自然数n 成立。
6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 24444121-1-1-1-.19251221n n n +⋅⋅⋅=--（）（）（）（）（）
证明：
412111--3-3.11-21
n +⨯======⨯当时，左边，右边左边右边。 1n =故当时，等式成立。
n k =假设当时，等式成立，即：
24444121-1-1-1-).19251221k k k +⋅⋅⋅=--（）（）（）（（）
1n k =+则当时，有：
22444411-1-1-1-)(1)1925(2k 1)(21)k ⋅⋅⋅--+（）（）（）（ 2(21)(23)12(1)121(1)12(12)(21)12(1)(21)
k k k k k k k k k -++++=⋅-==⋅--+-++ 1.n k ∴=+当时，命题也成立。
由、知，对任意自然数n 命题成立。
41599k k +-是的倍数 9(52)9k -，
是的倍数
7
、n (1,2...)n n A n αβ====设 （1）αβ以、为根作一元二次方程；
（2）213;n n n A A A ++=+证明
（3）3n 10A 用数学归纳法证明是的倍数。
解：（1
）3-1αβαβ+==⋅==， 2310.x x αβ∴
--=以，为根的一元二次方程为： （
2）2231
3 1.αβαα
ββ=+=+以，代入以上方程，得：， 2222n 2
n n n n n n A
+++∴=== n 113n n n
++=
n 13.n A A +=+
（3）2232113310.n A A A ==+==当时， 1n =故命题对成立：
3k 10.n k A =假设当时，命题成立，即是的倍数
32(31)3k 113k k n k A A A +++=+=+（）
则当时，有： 3k 133133k k A A A ++=++（
） 3k 13103k A A +=+
12n 211,3,3n n A A A A A ++=∈N =∈N =+又故经递推式所得的各个数皆为自然数，
因此，3k 1.A +∈N