初等数学研究试卷

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初等数学研究作业

10、解下列无理方程。

（1）236x x ++=（2）2660x x --+=（3=（4=（1）（1）236x x ++=解：令232(0)t x x t =+-≥则则方程转化为26t ++=即40t +=1)0=4=-所以1t =，将1t =代回232t x x =+-中，解得32x =-±（2）2660x x --+=解：设y =22320y xy x --=解得32y x =-或y x =当32y x =-时，2x =-两边同时平方得：2518180x x --= 解得95x ±=当y x =x =两边同时平方得：2222x x x --= 解得1x =-经检验，1x =-，x =所以原方程的解为x =（3=解：两边平方得5327x x x ++++=+整理得 1=-即 12=-012=-矛盾，即该题无解（4=解：原式1=422x ----22=-+0=20、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。

要使这两个正方形的面积之和等于17 2cm ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？解：设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(5)x -cm ，依题意得：22(5)17x x +-=整理得，2540x x -+=即(4)(1)0x x --=解得121,4x x ==所以1×4=4 （cm ）, 20-4=16（cm ）答：这段铁丝剪成两段后的长度分别为4cm 和16cm 。

21、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(35010)a -件，但物价局定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解：依题意得：(21)(35010)400a a --=整理得，2567750a a -+=解得 1225,31a a ==∵21120%25.2⨯+=（）∴231a =不符合题意，舍去即350103*********a -=-⨯=（件）答：需要进货100件，每件商品应定价25元。

《初等代数研究》试卷(A)和试卷(B)

铜仁学院2008级数学本科班《初等代数研究》期末考试卷（A ）一，填空题：每题4分，共40分1、已知实数y x ,满足1≤+≤22y x 4，则22y xy x u ++=的最大值是2、方程22)6(117236-=-+-x x x 的解是3、函数的值域是x x y -+=14、设=+=++141421,01xx x x 则5、设=⨯=+=+n n n n a a a a 则通项,23,0116、方程 012sin 22=+-xx x π的所有实数根是7,的值域是则是实数已知2222,3,,y xy x z y xy x y x +-==++8,已知数列{n a }的前n 项之和n S 满足11log 2+=+n S n ,则通项n a =9，若恒成立，则是正数，且y x a y x y x a +≤+,,的最小值为a10,若且R p ∈p x x p x p +>++<2222log 21log log ,2）不等式（恒成立，则实数x 的取值范围是二、解答题（每题10分，共70分）班级________________ 姓名1，设,,+∈N b a 证明：2在a b 与ba b a ++2之间。

2，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+x y xy x x 100lg8lg 268)(lg 42解方程组3，已知.2,,=++∈+c b a R c b a 且（1）求证：;964)2(≤-a a （2）求S=的最大值。

333222c b a c b a ---++4考虑以下数列｛n a ｝,*∈N n(1) n a =1ln)3(;12)2(;12+=+=++n n a n a n n n n . 其中满足性质“对任意的正整数都成立122,++≤+n nn a a a n ”的数列有_____（写出所有满足条件的序号）；若数列｛n a ｝满足上述性质，且,11=a ,5820=a 求10a 的最小值5已知()()().111,,,,2≤≤≤-+=++=x f x b ax x g c bx ax x f c b a 时，当是实数，函数（1），证明：当1≤c（2），证明：当.2)(11≤≤≤-x g x 时，（3），当).(2)(11,0x f x g x a ，求的最大值为时，≤≤-> 、6，已知函数[]且同时满足，的定义域为,10)(x f ①，对任意[];2)(1,0≥∈x f x 总有 ②，;3)1(=f③，若2)()()(1.0,021212121-+=+≤+≥≥x f x f x x f x x x x ，则有且（1），求的值；)0(f （2），试求的最大值；)(x f（3），设数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，满足,11=a n S +∈--=N n a n ),3(21。

《初等数学研究》期末试卷

数学与应用数学专业《初等数学研究》一、证明题（本题共3小题，每小题8分，共24分）1. 任何无限集A 必有一子集B 与自然数集N 一一对应。

2、证明：c ab c b c a ab +=++3、在100个连续自然数1,2,3……..99，100中任取51个数，证明在这51个数中，一定有两个数，其中一个是另一个的倍数。

二、计算题(本题共5小题，4、5每小题8分，6、7、8每小题10分，共46分)4、今天是周日，问20035天后是星期几？5、求221365n H H H n n n =++--的特解。

6、在楼房内两层楼梯中间设置一照明灯L，要求在两层的楼梯口各设置一开关x与y同时控制此灯。

具体地说，当上楼时拉开关x使灯L亮，上楼后再拉开关y使灯L灭。

此后又有人上（下）楼，再拉开关x（或y），灯L又亮，此人通过楼梯后，再拉开关y（或x），灯L又灭。

试问开关x与y应如何连接才能实现上述要求。

7、数学系在某次运动会上参加团体操，参加者4人一排，余下一人；5人一排，余下2人；7人一排，余下3人，则该系有多少人参加了团体操。

8、求线性非齐次差分方程组的通解，并求其在初值条件0010,9x y==下的特解。

11224,229.n n nn n nx x yy x y++++=⎧⎨+-=⎩三、解答题(本题共2小题，每小题15分，共30分)9、简述RMI 原则的基本思想，并利用该思想分析解决：在复数集内解方程0653856234=++-+x x x x10、（兔子-狐狸生态模型）如果没有狐狸，假设兔子每年增长10%，但是狐狸的出现使兔子减少，假设兔子减少的数量和狐狸数量成正比，比例系数为0.15。

另一方面，在没有兔子的情况下，假定狐狸数量每年减15%，但是兔子的出现使狐狸数量增长，假设狐狸增加的数量和兔子数量成正比，比例系数为0.1。

假设现有兔子数10个，狐狸数8个，问若干年后兔子与狐狸的数量如何？。

初等数学研究_习题集(含答案)

《初等数学研究》课程习题集一、单选题 1. 已知αβ、是方程22(2)(35)0x k x kk --+++=的两实数根，则221αβ++的最大值是（）..20.19.21.18A B C D2. 设()lg (101)2xxxb f x a x x a b -=+++4是偶函数，g ()=是奇函数，则的值为（）11..1.1..22A B C D --3. 设432()f x xa xb xc xd =++++，其中a b c d 、、、为常数，如果(1)1,f =[]1(2)2,(3)3,(4)(0)4f f f f ==+=则（）.5.3.7.11A B C D4. 若不等式2lo g 0m x x -<在区间（0，2）内恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1116m ≤< B.1016m <≤ C.104m <<D.116m ≥5. 已知()()(,),(7)7f x y f x y x y R f +=∈=且，则(49)f 等于（）A.7B. 14C.49D. 16. 设33,(5)2003(5)1,(4)2003(4)1,x y xx y y -+-=--+-=为实数，满足则().x y +=A.1B. 9C. -1D. -97. 实数x y 、满足关系式[][]21yx x =+--和[]1y x =+，则x y +的值一定是（）1012.1516.910.A B C D .与之间与之间与之间一个整数8. 对每一个自然数n, 抛物线22()(21)1,n yn n x n x x A =+-++与轴交于n B 两点，||n n A B 以表示该两点的距离，则1122||||A B A B ++ 20022002||A B +等于（）2001200220032004.....2002200320042003A B C D9. 已知多项式2(),4(1)1,1(2)5,(3)f x a x c f f f =--≤≤--≤≤则满足（）3825.4(3)15.1(3)20.(3)33f B f C f D f ≤≤-≤≤-≤≤-≤≤A .7(3)2610. 若2222,260,2x y x x yx yx -+=++实数满足则的最大值为( ）A.15B. 14C. 17D. 1611.设2250,320,a x x b x x +=-+=是一元二次方程的较大的一根是的较小的一根那么a b +的值是（）A.-4B. -3C. 1D. 312. 2320x x -+=方程的最小一个根的负倒数是（）A.1B. 12C. 2D. 413. 在,A B C G ∠022直角中，A =90为重心，且G A =2, 则G B +G C =( )A ． 25 B. 10 C. 20 D. 1514. 圆锥的侧面展开图的圆心角等于0120，该圆锥的侧面积与表面积之比值为（）A.23B.45C.12D.3415. ∠∠0A B -A C 在A B C 中,C =90,A 的平分线A D 交B C 于D ,则C D等于（）.tan .sin .co s .co t .A AB AC AD A16. 在A B C 中，A B A C =，,,D B C B E A C E ⊥为中点且于交A D P 于，已知3B P =， 1P E =，则P A =（）A B C D ....17.已知梯形A中，//,,A B CA B C DA DBC BD A B C B D D C S S∠⊥=梯形平分且则，3A B C D .：1. 2.5：1.2：1. 1.5：118. 已知A D是直角三角形A B C斜边上的高，43A B A C ==，,:()A B CA C DS S=则，5A B C D .：3.25：9.4：3.16：919. 已知直角三角形的周长为2+斜边上的中线为1,则这个三角形的面积为（）14A B C D 1..1..220. 若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则他们的边长之比为（）11113A B C D ....二、填空题1 21. 集合2{1,2,31},{1,3},{3}A mm B AB =--=-=，实数m 的值是 _______22. 若函数2()1f x x a x =-+能取得负值，则实数a 的取值范围为23. 设x y z 、、为实数,1()2x y z =++，则23x y z=24. 函数sin ()yA x b =ω+ϕ+在同一周期内有最高点（,312π），最底点（7,512π-），则它的解析式为25. 若函数[]2(2)1,()2x f xf -+∞的定义域为，则的定义域为26. 在等差数列{}n a 中，已知前20项的和n S =170，则691116a a a a +++ =27. 已知：1ta n 11ta n +α=-α，则sin 2α的值=28. 设11(0),()f x f x x x ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭则29. 2,120nn S n =数列的前项和那么这个数列的前项中所有奇数项的和是30. 2006!的末尾的“0”的个数是 31. 已知：12()()3f x f x x x+-=+，则()___________f x =32. 不等式20a x a b x b ++>的解集是{23}M x =<<，则_____,______a b ==33. 以三角形的三条中线长为边作三角形，则它的面积与原三角形面积之比为34. P 是正方形ABCD 内一点，PA=2, PB=1, PD=3, 则A P B ∠的度数为 35. 1E F GA EB F A BC A E B F G S=，是的中线，与交于，若，则A B CS=36. 在A B C 中，5B C M I A B C =，与分别是的重心与内心，若//M I B C则A B A C +的值为37. 在A B C 中，90C ∠=，I IE A B E ⊥为内心，于，若2B C =，A C =3，则A E E B ⋅=38. 设直角三角形的斜边为C, 其内切圆的半径为r, 则内切圆的面积与三角形面积之比是39. 若等腰梯形的两条对角线互相垂直, 高为8cm ，则上、下底之和为40. 凸n 边形的n 个内角与某一个外角的和为1350°，则n 等于三、计算题41. 121212{}1,2,,n n n n n n n a a a a a a a a a ++++===++已知数列中，且121,n n a a ++≠求20031.n n a =∑42. 求函数332s in 3s inc o s 3c o s s in 2c o s 2x x x xy x x+=+的最小值。

湖二师初等数学研究期末考试试题

湖二师初等数学研究期末考试试题一、仔细审题，正确填空。

（每空1分，计20分）1、八千五百亿零二万六千三百写作（），把它“万”后面的尾数省略，约是（）,写成用亿作单位的近似数是（）。

2．两个完全一样的梯形上底是2厘米，下底是6厘米，高是3厘米，把这两个梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底是（）厘米，高是（）厘米。

3、丁丁在班级座位是第2列第四行，用数对表示是（），小明座的位置用数对表示（3,6），他坐在第（）列第（）行。

4、在○里填上“<” “>”或“=”。

3000000○3万840÷8+16○840÷（8+16）（32+16）×25○32+16×2563000÷300○630÷35、一个等腰三角形的底角是65°，那么它的顶角是（），这个三角形也是（）三角形。

6、从12时开始，时针按顺时针方向旋转180°后是（）时，时针从3时到7小时，按（）时针方向旋转了（）°。

7．小军比小华多8张邮票，小军给（）张小华，他们俩人的邮票就一样多了。

8、从一张长25厘米，宽20厘米的彩纸上剪下一个最大正方形，剪下的正方形的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。

二、认真分析，判断是非。

（正确的画“√”错误的画“×”）（10分）1．根据37÷4=9……1，所以370÷40=9……1。

（）2．最大的八位数比最小的七位数多九千万。

( )3．长方形和正方形都是特殊的平行四边形。

( )4．（25×16）×4=25×4+16×4。

（）5．三根长度分别是6厘米、6厘米、9厘米的小棒能拼成一个等腰三角形。

（）三、反复比较，慎重选择。

（每题2分，计10分）1、一个三角形被遮住了两个角，露出的角是锐角，这个三角形是（）三角形。

① 锐角② 钝角③不能确定2、哪道算式的得数与240÷6÷2相等？①240 ÷（6×2）② 240×（6÷2）③ 240÷(6÷2)3、67500万中的“7”表示（）① 7亿②7千③ 7千万4、下面三组小棒不能围成三角形的是（）。

初等几何研究试卷5

第 1 页（共 2 页）5一、填空题（本大题共 9题，每空 2 分，共 20分）1、当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，可以先作出具有所示性质的图形，然后证明所作的图形跟所给的图形就是同一个，这种证法叫做；2、在ABC ∆中，,BE AC CF AB ⊥⊥,若AB AC >，则BE 与CF 的大小关系是；3、已知ABC ∆的三边分别为5cm,8cm,11cm ，则ABC ∆的面积S= ；4、从圆O 外一点P 引这个圆的两条切线，其夹角为60º，如果PO=6，那么圆的半径等于；5、圆内接四边形ABCD 中，已知AB=6cm,BC=CD=4cm,AD=8cm ，则对角线AC ·BD= ；6、在一些作图题中，解题的关键在于一些线段的算出，这种利用代数解作图题的方法称为；7、设点C 在线段AB 上且满足关系式2AC AB CB =⋅，则点C 称为线段AB 的； 8、设一线段在互垂三平面上的射影为123,,r r r ，则此线段的长为； 9、到两定点A 、B 的距离的平方差为定值k 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，称为，点A 到垂足H 的距离AH= . 二、计算题（本大题共 2 题，第1小题8 分,第2小题10分，共 18 分） 1、在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，连接BE 与AC交于点P,求:BE EP 的值。

2、已知Rt ABC ∆所在平面外一点P 到直顶角C 的距离为24，到两直角边的距离为求PC 与平面ABC 所成的角。

三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分）1、圆的两弦AB 与CD 相交于一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，过F 作圆的切线FG ，G 为切点，证明EF=FG.2、设梯形ABCD 的两底之和AD+BC=CD ，求证D ∠与C ∠的平分线交于AB 的中点处。

CE第 2 页（共 2 页）3、AD 、BE 、CF 是ABC ∆的高线，从垂足D 引DM BE ⊥于M ，引DN CF ⊥于N ，求证MNFE4、证明三角形的中线小于夹此中线两边的半和，而大于这半和与第三边一半的差。

初等数学研究试题答案

习题一1、数系扩展的原则是什么有哪两种扩展方式（P9——P10）答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。

而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。

（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。

数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。

（2）构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。

a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc b b Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。

（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有（P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。

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一，填空题：（每题3分，共24分）
1，求函数y=1
x 2+x ―3的值域_______
2，用不等号（＞，＜，≥，≤）连接两个解析式所得的式子
叫做不等式，其一般形式为_______
3，由基本初等函数经过有限次的四则运算及函数复合，并且
只能用一个解析式表示的函数叫做________
4，用运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子叫
做________
5，二元一次不定方程ax+by=c （a,b,c ∈Z 且ab ≠0）有整数
解的充要条件是________
6，数列 1， 8, 27, 64, 125， 216，…，n 3,…是
________阶等差数列
7， N 个不同元素的环状排列数为________
8， (x +y +z)n 的展开式有________项。

二，选择题（每题5分，共30分）
1，已知)(x f 不是常数函数，对于R x ∈，有)8()8(x f x f -=+，
且)4()4(x f x f -=+，则)(x f （）
A 、是奇函数不是偶函数
B 、是奇函数也是偶函数
C 、是偶函数不是奇函数
D 、既不是奇函数也不是偶函数
2，有限集的基数叫（）
A 、实数
B 、虚数
C 、有理数
D 、正整数
3，只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A ．6个
B ．9个
C ．18个
D ．36个 4，2222=++++x x 的结果（）
A 1
B 2
C 3
D 0
5，不等式22
x x x x -->的解集是（）
A. (02)，
B. (0)-∞，
C. (2)+∞，
D. (0)∞⋃+∞（-，0），
6，若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为(
) A ． 0 B .34 C ． 1 D .54
三，计算题（每题6分，共30分）
1x xy y .
2，求函数321y x x =-.
3，解方程5432251313520x x x x x +--++=.
4，求44444
+++++的值.
1234n
5，2个教师和6个学生围着一张圆桌就坐.
（1）共有多少种坐法？
（2）两位教师相邻，有多少种坐法？
（3）两位教师不相邻，有多少种坐法？
四，综合题（每题8分，共16分）
1，若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．
（1）已知数列{a n}，（n∈N*），判断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；
（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）
2，观察下列各式的特点：﹣1＞﹣，﹣＞2﹣，2﹣＞﹣2，…
（1）请根据以上规律填空﹣﹣
（2）请根据以上规律写出第n（n≥1）个不等式，并证明你的结论．。