初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案

初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'⊃；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'⊃，所以)(C A ⋃)(D B ⋃⊃所以集合C A ⋃的基数c a +大于集合D B ⋃的基数d b +，所以d b c a +>+.5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 1555555155155)25(2535''=++=++⋅=+⋅=+⋅=⋅=⋅ （2）解：按照自然数序数理论乘法定义87)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：︒1当2=n 时，命题成立.（反证法）()()()()()()()01121,1111111,111101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(212122121212121212122221212122111112111212222121≥++-+⇒≥++-++≥+-+-≥++++∴≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=︒+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a ka a ka a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n ka a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。

，且成立，即时假设 7证明：︒1当8=n 时，命题成立.（538+=）︒2设),7(N k k k n ∈>=时命题成立.k 角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票来支付.在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付1+k 角的邮票.在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付1+k 角的邮票.综合︒1、︒2，命题对于不小于8的所有自然数成立. 8证明：（1）()()()32164,2133,12++==+===f f f（2）()()()121121-=-+++=n n n n f ︒1当4,3,2=n 时，命题成立.︒2假设),7(N k k k n ∈>=时命题成立，即()()121-=k k k f .那么1+=k n 时，原k 条直线有)1(21-k k 个交点.由条件知，第1+k 条直线与原k 条直线各有一个交点，且互不相同.故新增k 个交点，所以()()()()[]111211-++=+=+k k k k f k f .综合︒1、︒2，命题对于不小于2的所有自然数成立. 9举例：正整数集N 上定义的整除关系“|”满足半序关系.证明：（1）（自反性）任意的正整数x ，总有x x |； （2）（反对称性）如果x y y x |,|，那么y x =；（3）（传递性）如果z y y x |,|，那么z x |. 通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.10证明：设N M ⊆，且 ①M ∈1②若M a ∈，则M a ∈'.若N M ≠.令A 是所有不属于M 的自然数组成的集合，则A 是N 的非空子集，按照最小数原理，A 中有最小数，设为b .由①知1≠b ，于是存在自然数c ，使b c ='，这样就有b c <，所以M c ∈，但根据②有M c ∈'，这与M b ∉矛盾.所以N M =. 11证明：（1）根据自然数减法定义有，c d c d b a b a =-+-+=)(),(，两式相加得：c b a b d c d a +-+=-++)()(，于是)()()()(b a c b d c d a -++=-++， 若d c b a -=-，则c b d a +=+ 若c b d a +=+，则d c b a -=-（2）)()()(d b d c b a ++-+-c a d c d b a b +=-++-+=)()( （3）先证bc ac c b a -=-)(事实上，由ac c b a b c b a bc =-+=-+)]([)( 可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.由此，为了证明（3），只要证明)()()()(bc ad bd ac d c b d c a +-+=---， 根据（1）上式就是)()()()(bd ac d c b bc ad d c a ++-=++- 于是只要证明ac bc bc ac +=+显然，这个等式是成立的，所以（3）成立.12证明：（1）根据自然数除法定义有c dcd b a b a =⋅⋅=,，两式相乘，得ba bc d c ad ⋅=⋅，所以有：若bc ad =，则d cb a =；若d cb a =，则bc ad =（2）bc ad d cd b b a b d d c b a bd +=⋅+⋅=+)()()(，根据除法定义，（2）成立.（3）ac d cd b a b d c b a bd =⋅⋅=⋅))(()(，根据除法定义，（3）成立.13证明：'''''''')()(n m m n m n n m +=+=+=+.14证明：设N b a ∈∀,，下，下面证明b a b a b a <>=,,三种关系有且仅有一个成立.（1）先证明三个关系中至多有一个成立.假若它们中至少有两个成立，若令b a b a >=,同时成立，则存在*N k ∈，使得：k a k b a +=+=于是a a >，与a a =矛盾.同理可证，任意两种关系均不能同时成立. （2）再证明三中关系中至少有一个成立.取定a ，设M 是使三个关系中至少有一个成立的所有b 的集合，当1=b 时，若1=a ，则b a =成立；若1≠a ，则存在*N k ∈，使得k b k k a +=+==1'，这时b a >成立.因此M ∈1.假若M b ∈，即三个关系中至少有一个成立.当b a <时，存在*N m ∈，使得m a b +=，则''')(m a m a b +=+=，即'b a <成立.当b a >时，存在*N k ∈，使得k b a +=，若1=k ，就有'1b b a =+=； 若1≠k ，就有*N l ∈，且'l k =，使得l b l b l b a +=++=+=''1，即'b a >成立.综上，M b ∈'，从而*N M =. 15证明：nby nax by ax n n +=+=)(，bny ab bn ab n a |,|,|∴∴ ，anx ab an ab n b |,|,|∴∴n nby nax ab =+∴|16证明：因为))(()(c a d b bc ad cd ab --=+-+，且cd ab c a +-|，))((|c a d b c a ---，所以))((|c a d b cd ab c a ---+-，即bc ad c a +-|17证明：因为)1)(1(121++++-=---p p p p p p p p ，而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而121++++--p p p p p 是奇数， 于是Z s s p p p ∈+-=-),12)(1(1，同理有Z t t q q q ∈++=+),12)(1(1，两式相加：)1)(()1)(1(2+++=++-=+t s q p t s p q p q p ，所以)(|q p q p q p ++.18解：因为3153=+q p ，所以p 3和q 5必为一奇一偶. 若p 3为偶数，可验证质数5,2==q p ，则13log 2+q p 1532log 2+⨯=81log 2=3-= 若q 5为偶数，可验证质数2,7==q p ，则13log 2+q p 1237log 2+⨯=0= 所以0313log 2或-=+q p. 19证明：根据减法是加法的逆运算知，设b a ,是有理数，b a -是这样一个数，它与b 的和等于a ．即a b b a =+-)(．但是，我们有 ])[()]([b b a b b a +-+=+-+(加法结合律)a a =+=0因此，)(b a -+这个确定的有理数，它与b 的和等于a ， )(b a b a -+=-∴又如果差为x ，则有a b x =+，于是，两边同加)(b -有： )()(b a b b x -+=-++ )()]([b a b b x -+=-++ )(b a x -+=即差只能是)(b a -+，定理得证． 20证明：做差，0332>-=-+a b a b a ，03)(232<-=-+b a b b a . 所以有b ba a <+<3221证明：首先证明y x ≤当且仅当y x y ≤≤-.事实上，若y x ≤，当0≥x 时，y x x ≤=且y x -≥，即y x y ≤≤-;当0<x 时，y x x ≤=-,有x y ≤-,且y x ≤<0,故y x y ≤≤-.反之，若y x y ≤≤-,当0≥x 时，y x x ≤=;当0<x 时，x x y =-≥.下面来证明：b a b a b a +≤+≤-.事实上，对于b a ,显然有： a a a ≤≤- b b b ≤≤-故有b a b a b a +≤+≤+-)(. 由上面的讨论知，b a b a +≤+.另一方面，b b a b b a b b a a ++=-++≤-+=. 故b a b a b a +≤+≤-.22证明:(反证法)设,qpe =其中q p ,是正整数,不妨假定q p ,互素, 取自然数q n >,用!n 乘下列级数表达式两边: ++++=!31!21!111e ,得:++++++++-++=)2)(1(11113)1(!!!n n n n n n n e n 令13)1(!!++-++= n n n n a n , +++++=)2)(1(111n n n b n 于是n n b a e n +=!,则e n !应为正整数, n a e n -!应为整数. 但是))3)(2(1211(110 ++++++=<n n n n b n 12)1(2))2(1211(1122+<++=+++++≤n n n n n n 因为1>n ,故10<<n b ,即n b 不可能是整数,产生矛盾,所以e 是无理数.23证明：假设1,1),(,≠==q q p qpa n两边n 次方得n nqp a =，但是,1),(=q p 所以1,1),(≠=n n n q q p ，所以a 不是整数，这与已知条件矛盾， 所以n a 是无理数. 24证明：假设N q Z p qpb a ∈∈=,,log ， 所以q p b a =，因为1),(=b a ，所以1),(=q p b a但是当0≤p 时，上式明显不成立；当0>p 时，上式与1),(=q p b a 矛盾.所以，b a log 不是有理数，又可以证明b a log 是实数，所以b a log 是无理数.25证明：假设方程有有理数根1,1),(,>==q q p qp x ，将q px =其代入方程，可得：)(12211---+++-=n n n n n q a q p a p a q p ，由此可知q 的任何素数因子r 必可整除n p ，因此r 必可整除p ，从而知r 为p 与q 的公因子，但是1),(=q p ，所以1=r ，所以1=q ，这与1>q 矛盾.所以整系数代数方程011=+++-n n n a x a x 的任何非整实根均为无理数.26按照字典排序法，先比较实部，再比较虚部. 27证明：将三次本原单位根ω=x 或2ω分别代入)(x f ：1)(2313++=++n m f ωωω012=++=ωω 1)()()(2321322++=++n m f ωωω012=++=ωω因此，)(x f 含有因式)(),(2ωω--x x ，而)()(2ωω-⋅-x x 012=++=x x 所以)(|)1(2x f x x ++28证明（反证法）：若π与3.8的和是有理数a ，即a =+8.3π，则π=-8.3a . 因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差8.3-a 仍是有理数，与π是无理数矛盾，所以π与3.8的和是无理数.29两个无理数的商可能是有理数.例如：2是无理数，易证22也是无理数，Z ∈=222230不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如022=-.31解：由于xyi y x y x y x xyi y x yi x z )(44)()2()(222222222244-+--=+-=+= 所以4z 是纯虚数的条件是04)(22222=--y x y x ，0)(422≠-xy y x 即0,)21(≠±±=y y x32证明：设1C 是C 的任一子域，R C ⊃1，且在1C 中方程12-=z 有解j z =. 按照题意，要证明C C =1.因为C C ⊆1，所以只需要证明C C ⊇1. 由1C j ∈，C C ⊆1，知C j ∈，依C 的四则运算律，有0))((22=--+=+-j ij ji i j i j i于是，j i =或j i -=.任取C ∈ω，由),(,R y x yi x ∈+=ω， 知yj x +=ω或yj x -=ω又由于1,,C j y x ∈，而1C 是域，于是1C ∈ω，因此C C ⊇1.第二章习题及答案1．设0,x > 证明ln(1).1xx x x<+<+ 证明 取()ln(1).f x x =+ 在(0,)x 上有导数1().1f x x'=+利用微分中值定理()(0)ln(1)ln(10)1(),0.001f x f x f x x x ξξξ-+-+'===<<--+即ln(1).1x x ξ+=+ 又因11ln(1)1,11x x ξ+=<<++ 因此有ln(1).1xx x x<+<+2．若,,x y z 均为实数, 且22221(0),.2x y z a a x y z a ++=>++=求证:2220,0,0.333x a y a z a ≤≤≤≤≤≤证明 由22221()2xy a x y a ++--=有2221()()0.4x y a x y ay a +-+-+= 其判别式2221()4()04y a y ay a ∆=---+≥(因x R ∈). 从而,2320y ay -≤即20.3y a ≤≤同理可证220,0.33x a z a ≤≤≤≤ 3．设,,a b c 表示一个三角形三边的长, 求证:222()()()3.a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤证明不失一般性, 设,a b c ≥≥ 令,,a c m b c n =+=+ 则0.m n ≥≥ 有2223()()()abc a b c a b c a b c a b c -+--+--+-()()()()()()a ab ac b b c b a c c a c b =--+--+--()()()()c m m n m c n n n m cmn =+-++-+22()[()()]0.m n c m n m n cmn =--+-+≥∴222()()()3.a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤4．设,,x y R ∈ 且22 1.xy +≤求证:222x xy y +-≤证明 设222,xy λ+= 则由题设可知, 1,λ≤ 并可设cos ,sin .x x λθλθ==于是222x xy y +-222(cos 2cos sin sin )λθθθθ=+-2(cos 2sin 2)2).4πλθθλθ=+=+∴222 2.x xy y +-≤5．已知1,1,a b << 求证 1.1a bab+<+ 证明 欲证11a b ab +<+成立, 只需2()11a bab+<+, 即证22()(1)a b ab +<+.则只需22(1)()0,ab a b +-+> 也就是222210,a ba b +-->即证22(1)(1)0.a b --> 而1,1,a b << 所以22(1)(1)0a b -->成立. 命题得证.6．若11(0),n i i i a a ==>∑ 求111()().nnii ia n an=+≥+∏ 证明21122211111111...n a a a n a n a n a +=++++项22212111(1),n n n n n a +-≥+2222122222212222211111...(1),n n n n a a n a n a n a n a n a +-+=++++≥+项…………2222221111...(1)n n n n n n n n a a n a n a n a n a +=++++≥+项以上诸式, 当且仅当1(1,2,...,)ia i n n==是等号成立.诸式两端相乘得21212111()()...()(1)n n n n n a a a n a a a +++≥+由已知11ni i a ==∑2311211,()....n n n nn n a a a --≤≥1332122121111()()...()(1),n n n n n n n n a a a n a a a n n+-+++≥+ 即111()().nnii ia n an=+≥+∏ 等号当且仅当121...n aa a n====时成立.7．证明: 函数852()10.f x x x x x =-+-+> 证明 (1) 当(,0)x ∈-∞时, 显然()0;f x >(2) 当(0,1)x ∈时, 823()(1)(1)0;f x x x x x =+-+->(3)[1,)x ∈+∞时,53()(1)(1)10.f x x x x x =-+-+>综合(1), (2), (3)可知, 可知()f x 恒正.8．证明 若1(1,2,...,),ia i n ≥=则112122(...1)(1)(1)...(1).n nna a a a a a -+≥+++证明 用数学归纳法证明如下: 当1n =时, 命题显然成立;假设命题对n 成立, 我们来证明它对1n +也成立, 注意到1(1,2,...,).ia i n ≥=1111111111(1)(1)2(1)2(1)n nn nn n in i i i n i i i i a aa a a a ++--++====+≤+⋅+=+++∏∏∏∏111112[1()]n nn i i n i i a a a +-+===+++∏∏1111111112[(1)(11)]n n n nn i i i i n i i i i a a a a a +++-+=====+++--++∏∏∏∏111111112(1)2(1)n n n nn i i i n i i i a a a a +++-+====+-+--∏∏∏1111112(1)2[(1)(1)]n n nn i i n n i i a a a a +-++===+----∏∏11112(1)2(1)[1)n nnn i n i i i a a a +-===+---∏∏112(1).n ni i a +=≤+∏故命题对1n +成立. 9．设1(1,2,...,),ia i n ≥= 求证1212(1)(1...).1nni n i a a a a n =+≥+++++∏证明111(1)2(1)2n nni i i i a a ==-+=+∏∏112(1)2n n i i a =-≥+∑112(1)1nni i a n =-≥++∑112[(1(1)]1nni i n a n ==⋅++-+∑12(1).1n n i i a n =++∑10．设0,x y z ++=求证: 33322236()().x y z x y z ++≤++ 证明 显然0x y z ===是平凡情形. 假定,,x y z 不全为零, 不妨设0,0.x y ><由(),z x y =-+ 得3333.x y z xyz ++=记333222226()5421622xy xyI x y zx y z z =++==⋅⋅⋅322322216(22)3xy xy z z xy ⎛⎫++ ⎪≤=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.再注意到2222()22,xy x y xy z xy +=+-=+ 因而222222,z xy x y z +=++ 这就是所要证的不等式.11．已知,a b 为小于1的正数, 求证: ≥证明 设1234,(1),(1),(1)(1),za bi z a bi z ab i z a b i =+=-+=+-=-+-则1z=,2z =3z=4z =12341234z z z z z z z z +++≥+++22i 2 2.=+=∴22222222(1)(1)(1)(1)2 2.a b a b a b a b +-++--+-≥12．设,,,a b c R +∈求证:,n n n p q r q r p r p q a b c a b c a b c a b c ++≥++其中,,,n N p q r ∈, 且.p q r n ++=证明.........,n n np q rnnnnnnn r p qpa qb rc a b c a a b b c c n ++=⋅⋅≤ 同理,n n n q rpqa rb pc a b c n ++≤.n n nr p q ra pb qc a b c n++≤三式相加, 即得.nn n p q r q r p r p q ab c a b c a b c a b c ++≥++13．设,,,a b c R +∈求证: 333222.a b c a b b c c a ++≥++证明 该不等式关于,,a b c 对称, 不妨设,a b c ≥≥则由左式-右式222()()()a a b b b c c c a =-+-+-222()()()a a b b b c c c b b a =-+-+-+-2222()()()()0.a c ab bc b c =--+--≥ 故333222.ab c a b b c c a ++≥++14．已知0,a b >>333.a b a b <-证 333,a b a b <-由于0,a b >>330a b >, 0,>只要证,a b a b -<-<0,>< 由于0,a b >> 此不等式显然成立.15．若2,p R p ∈<且不等式()2222loglog 12log x p x x p++>+恒成立, 求实数x 的取值范围.解 令2log,x a =将不等式转化为:2(1)210,a p a a -+-+>令2()(1)21,f p a p aa =-+-+ 则()0f p >恒成立, 等价于:()0,(2)0.f p f >⎧⎨->⎩222(1)210,2(1)210.a a a a a a ⎧-+-+>⎪⇒⎨--+-+>⎪⎩ 解不等式组得:13180.2a a x x ><-⇒><<或或16．设e 是自然对数的底, π是圆周率, 求证.ee ππ>证明 因为2ln ln ln ln 1ln ,eee e x x x d dx e xx x πππππ-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰⎰ 又当(,)x e π∈时,21ln 0,xx -< 所以21ln 0.exdx x π-<⎰因此,ln ln ,e e ππ>从而有.e eππ>17．当x 为何值时, 2229(112)x x <+-+成立?解 先将不等式分母有理化, 有2222(112)(112)(112)(112)x x x x x ++=-+-+++2(11222212.x x x =++=+++因此原不等式同解于不等式组112021004522298x x x x x x ⎧+≥⇔>-⎪⎪⎪≠⇔≠⎨⎪⎪+++⇔<⎪⎩解得1450.28x x -≤<≠且即原不等式的解集为1450028x x x x ⎧⎫⎧⎫-≤<≤<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭.19．已知01,a a >≠且解关于x 的不等式1log (1) 1.ax-> 解 原不等式1log (1)log .aaa x⇔-> （1）当1a >时，原不等式1110,111100.111.x x a a x x x a a x⎧->-⎪⎪-⇔⇔->⇔<⇔<<⎨-⎪->⎪⎩（2）当01a <<时，原不等式110,11.111.x x a a x⎧->⎪⎪⇔⇔<<⎨-⎪-<⎪⎩20．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元. 甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一件乙所需工时分别为2时、1时，A ，B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500. 如何安排生产可使收入最大？解 这个问题的数学模型是二元线性规划.设甲、乙两种产品的产量分别为,x y 件，约束条件是2400,2500,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数是32f x y =+. 要求出适当的,x y ，使32f x y =+取得最大值.（该图来至高中数学课程标准，需重做）先要画出可行域，如图。