初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案

初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案

第一章数

1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0

到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i满足r - _1，和有序实数对（a,b）—起组成一个复数

a bi .

2 （略）

3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：

为了保证在自然数集中除法的封闭性，像ax=b的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.

公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集•

为了表示具有相反意义的量，引入了负数•并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.

直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力

下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.

虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用•这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集•

4证明：设集合A,B,C,D两两没有公共元素a,b,c,d分别是非空有限集A,B,C,D

的基数，根据定义，若a b，则存在非空有限集A'，使得A-〜B ;若c_d

从而必存在非空有限集C'，使得C二C'〜D，所以（A _• C）二（B D）所以集合

A 一C的基数a c大于集合

B . D的基数b d，所以a c b d .

5（1）解：按照自然数序数理论加法定义，

5 3 =5 2'= （5 2） 5

= 515=5155

=5 5 5 =15

（2）解：按照自然数序数理论乘法定义

5 ^5 2' = （5 2）'

-（5 1'）'二[（5 1）']'

=（6 ） =7 =8

6证明：1当n =2时，命题成立.（反证法）

当 n = k • 1时，由 a i . 0,i =1,2，…,k 1,且 a i - a 2 得，亠 空

L ",且 4

1

—a k 半 1 —a k 书 1

— a k+

1

_a kH1

、2 _ 2

2

口 )+a k J 启，即 (k +111 —a^ )2 + k(k +1 al

k

k 1

二 k 1 ?a k 「-2 k 1 a k 1

1 - 0

7证明：1当n = 8时，命题成立.（8 = 3 • 5 ）

2设n 二k （k ・7,k ・N ）时命题成立.

k 角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮

票来支付•

在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付k 1 角的邮票•

在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付k 1角的邮 票•

综合1、2，命题对于不小于8的所有自然数成立. 8 证明：（1） f2=1, f3 =3=12, f4 =6 = 123

」 」 1」

(2) f n =12

n -1 n n -1

2

1当n =2,3,4时，命题成立.

1

2假设n 二k （k 7,^ N ）时命题成立，即f k =-k k -1 .那么n 二k 1时，原k

2

1

条直线有-k （k -1）个交点.由条件知，第k 1条直线与原k 条直线各有一个交点，

2

且互不相同•故新增k 个交点，所以f k ・1二f k 」k ，1〔k ，1 -1.

2

综合1、2，命题对于不小于2的所有自然数成立.

2 假设 n =k 时(k _2)成立，即 a i ■ 0,i =1,2,…,k ,

2 2 a

1

a 2

2

1 ■ ak

k

a 1 a 2 J - a k 卅丿

2

2 2

2

2

1 —a k 1

2

a 1 七 2 +…+a k +a “ >-__

+a “

由归纳假设，得

a 1

J —a k 卑 j

a k

J

一 a

kd4 j

要证

-k,

9举例：正整数集N上定义的整除关系“|”满足半序关系.

证明：（1）（自反性）任意的正整数x，总有x|x ；

（2）（反对称性）如果x|y, y |x，那么x = y ；

(3)(传递性)如果x|y, y|z，那么x|z.

通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.

10证明：设M 5 N，且

① 1 M

②若a M，则a M .

若M = N .

令A是所有不属于M的自然数组成的集合，则A是N的非空子集，按照最小数原理，A中有最小数，设为b.由①知b=1，于是存在自然数c，使c二b，这样

就有c ::: b，所以c M，但根据②有c M，这与b ■' M矛盾.所以M = N .

11证明：(1)根据自然数减法定义有，a=b・(a_b),d ・(c_d) = c，两式相加

得：a d (c-d) = b (a-b) c，于是(a d) (c -d) = (b c) (a - b)，

若a-b=c-d，贝U a d = b c

若 a d = b c，贝U a-b=c-d

(2)(a-b) (c-d) (b d) = b (a-b) d (c-d)=a c

(3)先证(a-b)c 二ac-bc

事实上，由be (a -b)c 二[b (a -b)]c 二ac

可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.

由此，为了证明(3)，只要证明a(c-d)-b(c— d) = (ac+bd)—(ad+bc)，

根据(1) 上式就是a(c _d) (ad be)二b(c - d) (ac bd)

于是只要证明ac • be二be - ac

显然，这个等式是成立的，所以(3)成立.

12证明：(1 )根据自然数除法定义有^b a,d £ = c，两式相乘，得

b d

ad — = bc 旦，所以有：若ad 二be，贝U -=—；若-=—，贝q ad 二be

d b b d b d