2018年人教版数学选修1-1教材解读：双曲线

双曲线 教材解读
一、知识精讲
1、正确理解双曲线的定义
一要注意不要将“绝对值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要注意“常数”的条件，即常数2a<|F 1F 2|，因为当2a=|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1和F 2为端点的两条射线，而当2a> |F 1F 2|时，其轨迹不存在。

2、准确把握双曲线的标准方程
（1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。

（2）两种双曲线的异同：①相同点：形状、大小相同，都有a>0，b ＞0，c 2=a 2+b 2；
②不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

（3）判断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的系数为正；双曲线的焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的系数为正。

（4）与椭圆标准方程的不同：
①双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；椭圆标准方程中是“+”号，双曲线标准方程中是“－”号；
②双曲线方程和椭圆方程各有两种形式，其判断方法不同：对于双曲线
12222=-b y a x 和122
22=-b
x a y 来说，如果x 2项为正的，则焦点在x 轴上；x 2项的分母是a 2；如果y 2项为正的，则焦点在y 轴上；y 2项的分母是a 2，a 不一定大于b ，这和椭圆有明显的不同。

③双曲线有两个顶点，离心率e>1；而椭圆有四个顶点，离心率e<1；椭圆
标准方程中a 2=b 2+ c 2，而双曲线中c 2=a 2+b 2。

3、 对双曲线的简单几何性质的加强理解
（1）双曲线的焦点（两个）总在它的实轴上；椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据。

同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个
重要数据，由于1222-=-=e a a c a b ，当e 从接近1逐渐增大时，a b
的值就从
接近于0逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大。

（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法。

因为y=±a b x ⇔a x ±b y
＝0⇔22a x －22b y ＝0，所以把标准方程22a x －22b
y ＝1
（a>0，b ＞0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。

（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：
①渐近线方程为mx±ny ＝0的双曲线的方程为：m 2x 2－n 2y 2＝λ（λ≠0且为常数）。

②与双曲线22a x －22b
y ＝1（a>0，b ＞0）有共同渐近线的双曲线方程可设为2
2
a x －22
b
y ＝λ（λ≠0且为常数）。

（4）实轴与虚轴相等（即a=b ）的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线为y=±x ，离心率e=2。

二、方法点拨
1、应用双曲线的定义和标准方程解题时，应注意：（1）动点是否满足双曲线的准确定义。

（2）条件“2a<|F 1F 2|”是否成立。

（3）是否使|PF 1|-|PF 2|=2a 与|PF 1|-|PF 2|=-2a 同时成立。

（4）焦点所在坐标轴是否明确。

2、求双曲线标准方程的方法
（1）求双曲线的标准方程包括“定量”和“定位”。

要求出双曲线的标准方程，就要求出2a 和 2b 这两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出方程关于2a 和 2b 的方程组。

解得2a 和 2b 的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指a 、b 、c 等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了2a 和 2b 在方程中的位置。

（2）求双曲线方程一般可用待定系数法，其解题方法是先定型，再定量。

解题步骤分为：首先判断曲线的类型，其次求出关键数据（即待定系数），最后写出曲线方程。

（3）如果已知渐近线方程y=±a b
x ，双曲线方程可设为λ=-2222b
y a x ，通过
求出λ确定双曲线方程。

三、高考考情分析与应试策略
双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点和热点之一，高考中主要以选择题、填空题为主，其次考查以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，这类问题以解答题为主。

高考会从以下几个方面来命题：（1）运用双曲线的定义解决到焦点的距离，焦点弦等有关问题，双曲线的定义仍将是今后考查的重点。

（2）灵活运用双曲线的性质，解决离心率、渐近线问题，也是今后考查的重点。

有关离心率的问题将会是一个热点。

（3）以双曲线为载体的开放题、研究性问题，将逐步取代繁冗的解答题，成为高考的热点。

在学习中掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质时，要注重数形结合。

一是结合图形理解标准方程中的参数 a 、b 、c 、e 的几何意义及相互
关系；二是结合图形理解双曲线的简单几何性质。

四、高考热点题型展现 1、有关基本概念的考查
双曲线的定义及标准方程是双曲线的基础知识，高考中多为基础性题目。

例1．（上海春）若R ∈k ，则“3>k ”是“方程
13
322
=+--k y k x 表示双曲线”的( )
（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k －3>0,k+3>0，所以方程
表示双曲线；当方程
表示双曲线时，k=－4 是可以的，
这不在k>3里．故应该选A ．
2、双曲线的几何性质的考查
双曲线的几何性质作为是高考的重点和热点之一，高考中必定考查，有离心率的题目出现上升趋势。

例2．(陕西卷)已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π
3 ,则双曲线的离心率为
A.2
B. 3
C.263
D.233 解法1：双曲线22
212x y a -
=(a >2)的两条渐近线的夹角为π3 ，则
2tan 6a π==
，所以 a 2=6，双曲线的离心率为233 ，选D ． 解法2：认识两条渐近线的夹角和几何量之间的关系,构建方程有
3
3
2,8,2,6,332222=
====e c b a a 所以,选D; 3、双曲线有关的综合问题
以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，是高考考查的重点，也是我们学习中的难点。

例3．（四川卷）
已知两定点(
))
12
,F F ，满足条件212
PF PF -=
的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点。

如果AB =，
且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=
，求m 的值和ABC ∆的面积S 。

分析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。

解：由双曲线的定义可知，曲线E
是以(
))
12
,F F 为焦点的双曲线
的左支，且1c a ==，易知1b =， 故曲线E 的方程为()2210x y x -=<
设()()1122,,,A x y B x y ，由题意建立方程组22
1
1y kx x y =-⎧⎨-=⎩ 消去y ，得()221220k x kx -+-=
又已知直线与双曲线左支交于两点,A B ，有
()()222
12
212210281020
1201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪-⎨+=<⎪-⎪-⎪=>⎪-⎩
解得1k <- 又因为
12AB x x =
-
=
=
=
依题意得
= 整理后得 42
2855250k k -+=
∴257k =
或25
4k = 但1k <
<- ∴k
= 故直线AB 10x y ++= 设(),c c C x y ，由已知OA OB mOC +=
，得()()()1122,,,c c x y x y mx my +=
所以()1212,,c c x x y y mx my m m ++⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()
0m ≠ 又12221k x x k +==--()212122222
22811
k y y k x x k k +=+-=-=
=-- 即点8C m ⎫⎪⎪
⎝
⎭
将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得
22
8064
1m m -= 得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
所以4m =，C 点的坐标为()
2
C 到AB
13
=
所以ABC ∆的面积11
23
S =⨯=。