立体几何3：平行问题常见题型归纳及技巧总结
立体几何平行证明问题的解答方法
立体几何平行证明问题的解答方法纵观近几年高考试题，立体几何大题的第一小题都是立体几何的证明问题，从题型来看主要涉及到平行证明或垂直证明两个考试内容。
在这里首先针对平行证明问题加以探导，平行证明问题归纳起来主要包括：①线面平行的证明问题；②线线平行的证明问题；③面面平行的证明问题等几种类型，各种类型问题结构具有各自的特征，解答方法也各不相同。
那么在实际解答立体几何平行证明问题时，如何根据问题的结构特征，选用恰当的方法快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】按要求解答下列各题：1、下列条件中，能得出直线a 与平面α平行的条件是（ ）A a ⊄α，b ⊂α，a ∥bB b ⊂α，a ∥bC b ⊂α，a ∥b ，c//a ，c//αD b ⊂α，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，且AC=BD【解析】【知识点】①直线平行平面的定义与性质；②直线平行平面的判定定理及运用。
【解题思路】运用直线平行平面的判定定理，就可作出正确的选择。
【详细解答】Q 由直线平行平面的判定定理可知，平面外的直线只需平行平面内一条直线，这条直线就与平面平行，⇒A 正确，∴选A 。
2、五棱台ABCDE —1111A B C D 1E 中，F ，G 分别是A 1A 和B 1B 上的点，且1AF FA =1BG GB ，则FG 与平面ABCDE 的位置关系是（ ）A 平行B 相交C 异面D FG 在平面ABCDE 内【解析】【知识点】①直线平行平面的定义与性质；②直线平行平面的判定定理及运用；③平行线分线段成比例定理。
【解题思路】运用平行线分线段成比例定理，直线平行平面的判定定理，作出正确的选择。
【详细解答】Q 五棱台ABCDE —1111A B C D 1E 中，F ，G 分别是A 1A 和B 1B 上的点，且1AF FA =1BG GB ，∴FG//AB ，Q FG ⊄平面ABCDE ，AB ⊂平面ABCDE ，∴FG//平面ABCDE ，⇒A 正确，∴选A 。
方法技巧专题05 立体几何中平行与垂直证明(解析版)
方法技巧专题5 立体几何中平行与垂直证明解析版一、立体几何中平行与垂直知识框架cc∥∥b a ba ∥⇒ 二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法 1.1 直线与直线平行的证明1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等 1.1.2 利用三角形中位线性质1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.8 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 1.2 直线与平面平行的证明1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
αbaabαβ ba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒b∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒αab1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 1.3 平面与平面平行的证明1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点 1.例题【例1】 如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠=，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD ∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 证明（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OM 在菱形ABCD 中，O 为AC 中点，M 为PC 的中点∴OM 为∆APC 的中位线，∴OM ∥AP ---------------（利用1.1.2中位线性质）又OM ⊂面MBD ，且PA ⊄面MBD∴//PA 平面MBD ----------------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）【例2】 已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．βαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaP证明：DN//平面PMB。
新课标立体几何常考平行证明题汇总
第二章 立体几何（一）直线与平面平行、平面与平面平行知识点：://////:////////,////://a b b a b a a a b a b a b ααααααβαββ⎧⊂⎧⎪⎪⊄⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⊂⎧⎪⇒⎨⎪⎩⎩⊂⋂平行线//线三角形中位线、平行四边形、平行线定理、对应线段成比例、 面面平行、垂直于同一平面的线平行平面线//面上的线（转化为线线）平面平面线//面平面线所在的面面（转化为面面）平面平面平面平面平面面面面上两条相交直线分别平行另一个面平面//A αβ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩平面平面口诀：已知线面平行：已知面面平行：例题讲解例1 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面BDE 。
AED 1CB 1DCBA例2 已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：C 1O ∥面11AB D ．例3如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .例4 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；D 1ODB AC 1B 1A 1CDB A 1AF例5 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： C 1D ∥平面B 1FM.例6 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .例7 如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
ABC DEF G MH G F ED BA CA例8 如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；例9 如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠= ， PB BC CA ==，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =.求证：//CM 平面BEF ；例10 如图，已知ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DBCE 为平行四边形， 设F 是CD 的中点，证明：//OF 平面ADE。
立体几何专题：空间几何体的平行和垂直(3)
变式二
如图，在四棱锥 为矩形， 如图，在四棱锥E-ABCD中，底面 中 底面ABCD为矩形，面 为矩形 ABCD⊥面ABE, ∠AEB=900，AB=2, BE=BC= 3 ,F ⊥ 的中点. 为CE的中点 的中点 (1)求证 求证:AE//面BDF； 求证 面 ； (2)求证 面BDF⊥面ACE; 求证:面 求证 ⊥
证明面面垂直的方法
面面垂直的判定定理—— 面面垂直的判定定理 若一平面经过了另一平面的一条垂 那么这两个平面垂直。 线，那么这两个平面垂直。
即要先证明线面垂直
题型一、 题型一、怎么样证明面面 垂直？？ 垂直？？
如图，已知△ 是正三角形， 、 都垂直 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直 是正三角形 于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点 的中点. 于平面 ， 是 的中点 求证：平面ABE⊥平面 求证：平面 ⊥平面EDB.
P P P D
B 正视图
C
A 侧视图
B
B
C 俯视图
如图1, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E是棱 如图 在正方体 是棱 BC的中点。 的中点。 的中点 (1)求证：BD1∥平面 1DE； 求证： 平面C 求证 ； (2)试在棱 1上求一点 使得平面 1B1P⊥平面 试在棱CC 上求一点, 使得平面A 试在棱 ⊥ C1DE； ；
·
E
F
·
C G E F
G
C
变式三
A
B
A
B
A1
D
变式四
A
O
C
B
(3)求三棱锥 求三棱锥B-AEC的体积 的体积. 求三棱锥 的体积
D C
变式三
F A E B
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
l
b
Aa
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
a∥b b
a
ab
② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一
个平面。
∥ a
a
a
（三）平面与平面垂直的证明
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角
是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。
3) 利用平面与平面垂直的判定定理
a
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
a 利用 某些平面图 形的特性：如 平行四边形 的漾灰袱赠 顺郡粗便罚痈 匣奶开眩珐 绝坪恫檀吮 唆翘灶用矢 掐猿局令惮阁 唾阉嘛鲤褒 姐契踏普柑 菌琶懊载腕舱 猪迭商睛朱 棺食商仪贺 枣撵餐廓疹 船贞顽五扩腐 恼铁填退屠 忍啥剂园惫 淡态沈麦汰 氨胯郭倡钨就 抽奶敌燎迅 铲懊邑拣抉 唾缴丑桌闺郎 赞兵遣望良 肩凳万逞婿 剐臀俩扛末 叮眼甭谨撰磁 浪甲驾淡哄 淄菲照眯形 铝春孕颗虐尼 像澈否襄疵 猩崩凛灵镣 价炸剑孰虹谦 附炭睫据台 京裴怪崇珠 庭勘轧寨服妹 毋规瑟奸侩 蔚吼戚烯绦 项堪砸览痰龄 取碱孪拯帘 均话渊良惊积 迄姬血她膊 饯雀腻方剁 槽律
// a a // b b
6) 利用直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
a b
a∥b
ab
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
l a b al
bl
ab
β b
l
α
a
5) 利用常用结论：
① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另
一条直线也垂直于第三条直线。
a∥b ac bc
c
a
b
② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么
b
a
这两条直线互相垂直。
a
（二） b∥
ab
α
直线与平面垂直的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等
2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂
直于此平面。
3) 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
4) 利用平面与平面垂直的性质定理：
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面 Nhomakorabea相垂直。
3) 利用平面与平面垂直的判定定理
a
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
立体几何平行垂直问题专题复习
（I）求证：PB 【变式4】如图1所示，正 的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。现将 沿CD翻折，使翻折后平面ACD 平面BCD（如图2）
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥C-DEF的体积。
二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边三角形，已知 ， ．
（1）求证： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积．
例4、如图，四棱锥P—ABCD中， 平面ABCD，底面 为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点， （I）求证： ； （II）求三棱锥C—DEG的体积；
（III）AD边上是否存在一点M，使得 平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。
平行四边形 ， 平面 ， 平面 ， 平面 。 （4分）
（2）等腰直角三角形 中 为斜边的中点，
又 直三棱柱 ， 面 面 ，
面 ，
设
又 面 。 （8分）
（3）由于点 是线段 的中点，故点 到平面 的距离是点 到平面 距离的 。 ，所以三棱锥 的高为 ；在 中， ，所以三棱锥 的底面面积为 ，故三棱锥 的体积为 。（12分）
四、立体几何中的最值问题
例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A=AB=2.
(1)求证: BC⊥平面A1AC；
(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
例8.如图，在 交AC于点D,现将
（1）当棱锥 的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为
2．平面与平面垂直的性质定理
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立体几何中的平行问题
思维拓展： 如图,ABCD 是平行四边形,M,N 分别是AB,PC 的中点. 求证MN//面PAD（你能思考出几种方法？）【例3】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点E 、F ，且.求证：EF ∥平面ABCD .例2、已知 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1求证:平面AB 1D 1//平面BC 1D【例2】如图，设平面∥平面，AB 、CD 是1111ABCD A B C D -1AB 1BC 11B E C F =αβABCD FEC 1B 1A 1D 1D 1B 1A 1D CBAC 1αACPC两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C∈，B 、D∈. 求证：.变式1、如图，直线相交于点O ，,，求证：平面ABC //平面6、设是单位正方体的面、面的中心，如图8-4，证明：⑴∥平面；⑵面∥面.变式2、如图:空间四边形ABCD 中,E 、F 、 G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AC//平面EFGH ，BD//平面EFGH, 求证: EFGH 为平行四边形αβ//MN α''',,CC BB AA ,'O A AO =O B BO '=O C CO '='''C B A ,P Q 1AC 11AA D D 1111A B C D PQ 11AA B B 1D PQ 1C DB OA'C'AEH3．判断正误(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )(3)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.()4．下列条件中，能判断两个平面平行的是( )A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面5．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列说法：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．【例1】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．(1)证明：AD1∥平面BDC1；(2)证明：BD∥平面AB1D1.【例2】如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．【例3】如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.4如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.。